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数学分析知识点总结(定积分)

时间:2018-06-27


第一篇

分析基础

1.1 收敛序列
(收敛序列的定义) 定义: { xn } 是实数序列,a 是实数, 设 如果对任意 ? ? 0 都存在自然数 N , 使得只要 n ? N , 就有

xn ? a ? ?
那么 { xn } 收敛,且以 a 为极限,称为序列 { xn } 收敛收敛于 a ,记为

lim xn ? a 或者 xn ? a(n ? ??)
定理 1:如果序列 { xn } 有极限,那么它的极限是唯一的。 定理 2(夹逼原理) :设 { xn } , { y n } 和 { z n } 都是实数序列,满足条件

xn ? yn ? zn ,

?n ? N

如果 lim xn ? lim zn ? a ,那么 { y n } 也是收敛序列,且有

lim yn ? a
定理 3:设 { xn } 是实数序列, a 是实数,则以下三陈述等价 (1) 序列 { xn } 以 a 为极限; (2) {xn ? a} 是无穷小序列; (3) 存在无穷小序列 {an } 使得

xn ? a ? an ,
(收敛序列性质) 定理 4:收敛序列 { xn } 是有界的。 定理 5:

n ? 1, 2,?.

(1)设 lim xn ? a ,则 lim xn ? a 。 (2)设 lim xn ? a , lim yn ? b ,则 lim( xn ? yn ) ? a ? b 。 (3)设 lim xn ? a , lim yn ? b ,则 lim( xn yn ) ? ab 。

(4)设 xn ? 0 , lim xn ? a ? 0 ,则 lim

1 1 ? 。 xn a yn lim yn b ? ? 。 xn lim xn a

(5)设 xn ? 0 , lim xn ? a ? 0 , lim yn ? b ,则 lim (收敛序列与不等式)

定理 6:如果 lim xn ? lim yn ,那么存在 N 0 ? N ,使得 n ? N0 时有

xn ? yn
定理 7:如果 { xn } 和 { yn } 都是收敛序列,且满足

xn ? yn ,
那么

?n ? N 0 ,

lim xn ? lim yn

1.2 收敛原理
(单调序列定义) 定义: (1)若实数序列 { xn } 满足

xn ? xn ?1 , ?n ? N ,
则称 { xn } 是递增的或者单调上升的,记为

{xn } ? .
(2)若实数序列 { yn } 满足

yn ? yn ?1 , ?n ? N ,
则称 { yn } 是递减的或者单调下降的,记为

{ yn } ?
(3)单调上升的序列和单调下降的序列统称为单调序列。

定理1:递增序列 { xn } 收敛的充分必要条件是它有上界,其上确界记为 sup{xn } 。 定理 1 推论:递减序列 { yn } 收敛的充分必要条件是它有下界,其下确界记为 inf{xn } 。 扩展: 因为一个序列的收敛性及其极限值都只与这序列的尾部 (即从某一项之后的项) 有关, 所以定理 1 和它的推论中单调性条件可以虚弱为“从某一项之后单调” ,即为

xn ? xn?1 ,


?n ? N0 ,

yn ? yn?1 ,
(自然对数的底 e ) 自然对数的底 e 通过下面这个式子求得

?n ? N0 ,

? 1? e ? lim ?1 ? ? n ??? ? n? ? 1? 我们先来证明序列 xn ? ?1 ? ? 是收敛的。 ? n?
(1)序列 xn ? ?1 ?
n

n

? ?

1? ? 是单调上升的。 n?

n

1 1 1 1 2 ? 1? xn ? ?1 ? ? ? 1 ? 1 ? (1 ? ) ? (1 ? )(1 ? ) 2! n 3! n n ? n? 1 1 2 k ?1 ? ? ? (1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) k! n n n 1 1 2 n ?1 ? ? ? (1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) n! n n n
1 ? ? xn ?1 ? ?1 ? ? ? n ?1 ? 1 1 1 1 2 (1 ? ) ? (1 ? )(1 ? ) 2! n ? 1 3! n ?1 n ?1 1 1 2 k ?1 ? ? ? (1 ? )(1 ? )? (1 ? ) k! n ?1 n ?1 n ?1 1 1 2 n ?1 ? ? ? (1 ? )(1 ? )? (1 ? ) n! n ?1 n ?1 n ?1 1 1 2 n ? (1 ? )(1 ? )? (1 ? ) (n ? 1)! n ?1 n ?1 n ?1 ? 1?1?
n ?1

n

对比 xn 和 xn ?1 的展开式, xn ?1 前面 n ? 1项的每一项都比 xn 中相应项要大,即

1 1 2 k ?1 1 1 2 k ?1 (1 ? )(1 ? )? (1 ? ) ? (1 ? )(1 ? )?(1 ? ) k! n ?1 n ?1 n ?1 k ! n n n
除此之外 xn ?1 还比 xn 在最后多一个正项。因此我们得出 xn 是单调上升的,即

xn ? xn ?1 , ?n ? N ,
? 1? (2)序列 xn ? ?1 ? ? 是有上界的。 ? n?
n

1 1 1 1 2 n ?1 ? 1? xn ? ?1 ? ? ? 1 ? 1 ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) 2! n n! n n n ? n? 1 1 1 ? 1 ? 1 ? ? 2 ?? ? n 2 2 2
n

?1? 1? ? ? 1 2 ?1 ? ? ? ? 1 ? ?3 1 1 1? 1? 2 2
? 1? 序列 xn ? ?1 ? ? 是单调上升且有上界,因此必是收敛的,此收敛值用 e 表示。通过计算机 ? n?
模拟,我们可以得到 e 的近似值,前几位是 2.718281828459045… 在数学中,以 e 为底的对数称为自然对数, e 称为自然对数的底,正实数 x 的自然对数 通常记为 ln x , log x 或者 log e x 。
n

n

(闭区间套原理) 定理 2(闭区间套原理) :如果实数序列 ? an ? 和 ?bn ? (或闭区间序列 ? an , bn ? )满足条件 (1) ? an , bn ? ? ? an ?1 , bn ?1 ? (或者 an ?1 ? an ? bn ? bn ?1 , (2) lim ? bn ? an ? ? 0 那么 (i)闭区间序列 ? an , bn ? 形成一个闭区间套。 (ii)实数序列 ? an ? 和 ?bn ? 收敛于相同的极限值 c 。

?

?

?n ? 1 )

?

?

lim an ? lim bn ? c
(iii) c 是满足以下条件的唯一实数值。

an ? c ? bn , ?n ? N
证明: (ii)由条件(1)可得

an?1 ? an ? bn ? bn?1 ? ? ? b1
我们可以看到 ? an ? 单调上升而有上界,?bn ? 单调下降而有下界, 因此 ? an ? 和 ?bn ? 都是收敛 序列。由条件(2)可得 lim bn ? lim an ? lim ? bn ? an ? ? 0 ,因此实数序列 ? an ? 和 ?bn ? 收敛 于相同的极限值。

lim an ? lim bn ? c
(iii)因为

c ? sup ?an ? ? inf ?bn ?
所以显然有

an ? c ? bn , ?n ? N
假如还有一个实数 c ' 满足

an ? c ' ? bn , ?n ? N
由于

lim an ? lim bn ? c
那么根据夹逼准则,有

c ' ? lim c ' ? lim an ? lim bn ? c
则证明了 c 是唯一的。

(Bolzano-Weierstrass 定理) 定义:设 ? xn ? 是实数序列,而

n1 ? n2 ? n3 ? ? ? nk ? nk ?1 ? ?
是一串严格递增的自然数,则

xn1 , xn2 , xn3 ,?, xnk , xnk ?1 ,?
也形成一个实数序列。我们把序列 xnk 叫做序列 ? xn ? 的子序列(或部分序列) ,要注意的 是子序列 xnk 的序号是 k 。 定理 3:设序列 ? xn ? 收敛于 a ,则它的任何子序列 xnk 也都收敛于同一极限 a 。 证明:对于任意 ? ? 0 ,存在 N 0 ? N ,使得只要 n ? N0 ,就有

? ?

? ?

? ?

xn ? a ? ?
当 k ? N0 时就有 nk ? k ? N 0 ,因而此时有

xnk ? a ? ?
定理 4(Bolzano-Weierstrass) :设 ? xn ? 是有界序列,则它具有收敛的子序列。 (柯西收敛原理) 柯西序列定义:如果序列 ? xn ? 满足条件:对于任意 ? ? 0 ,存在 N 0 ? N ,使得当 m, n ? N 0 时,就有

xm ? xn ? ?
则此序列为柯西序列,又称基本序列。 引理:柯西序列 ? xn ? 是有界的。 证明:对于任意 ? ? 1 ,存在 N 0 ? N ,使得当 m, n ? N 0 时,就有

xm ? xn ? 1
于是对于 n ? N0 ,我们有

xn ? xn ? xN0 ?1 ? xN0 ?1 ? 1 ? xN0 ?1
若记

K ? max x1 , x2 ,? , xN0 ,1 ? xN0 ?1
则有

?

?

xn ? K , ?n ? N
定理 5(收敛原理) :序列 ? xn ? 收敛的必要充分条件是:对任意 ? ? 0 ,存在 N 0 ? N ,使得 当 m, n ? N 0 时,就有

xm ? xn ? ?
换句话说: 序列 ? xn ? 收敛 ? 序列? xn ? 是柯西序列

1.3 无穷大
定义: (1)设 ? xn ? 是实数序列,如果对任意正实数 E ,存在自然数 N ,使得当 n ? N 时就 有

xn ? E
那我们就说实数序列 ? xn ? 发散于 ?? ,记为

lim xn ? ??
(2)设 ? yn ? 是实数序列,如果对任意正实数 E ,存在自然数 N ,使得当 n ? N 时就有

yn ? ? E
那我们就说实数序列 ? yn ? 发散于 ?? ,记为

lim yn ? ??
(3) ? z n ? 是实数序列, 设 如果序列 z n 为无穷大序列,记为

? ? 发散于 ?? ,即 lim
lim zn ? ?

zn ?? , ? 那么我们就称 ? z n ?

注记: (1)若集合 E ? R 无上界,则记

sup E ? ??
(2)若集合 F ? R 无下界,则记

sup F ? ??
定理 1:单调序列必定有(有穷的或无穷的)极限,具体而言是: (1)递增序列 ? xn ? 有极限,且

lim xn ? sup ? xn ?
(2)递减序列 ? yn ? 有极限,且

lim yn ? inf ? yn ?
定理 2:设 ? xn ? 和 ? yn ? 是实数序列,满足条件

xn ? yn ,
则有:

?n ? N

(1)如果 lim xn ? ?? ,那么 lim yn ? ?? ; (2)如果 lim yn ? ?? ,那么 lim xn ? ?? 。 定理 3:如果 lim xn ? ?? (或 ?? ,或 ? ) ,那么对于 ? xn ? 的任意子序列 xnk 也有

? ?

lim xnk ? ?? (或 ?? ,或 ? )
定理 4:设 xn ? 0, ?n ? N ,则

? xn ? 是无穷大序列 ? ?
扩充的实数系: R ? R ? {??, ??} 定理 5:实数序列 ? xn ? 至多只能有一个极限。 扩充的实数系 R 中的运算: (1)如果 x ? R ,那么

?1? ? 是无穷小序列 ? xn ?

x ? (??) ? (??) ? x ? ?? x ? (??) ? ??
(2)如果 x ? R , x ? 0 ,那么

x ? (??) ? (??) ? x ? ??
如果 y ? R , y ? 0 ,那么

y ? (??) ? (??) ? y ? ??
(3)如果 x ? R ,那么

x x ? ?0 ?? ??
(4) (??) ? (??) ? ?? , (??) ? (??) ? ??

(??) ? (??) ? ?? , (??) ? (??) ? ?? (??) ? (??) ? ?? , (??) ? (??) ? ?? (??) ? (??) ? (??) ? (??) ? ??
(5)除此之外,其余都没有定义。

1.4 函数的极限
x0 点的 ? 领域: U ( x0 ,? ) ? ( x0 ?? , x0 ? ? ) ? {x ? R || x ? x0 |? ?}, x0 ,? ? R,? ? 0 x0 点的去心? 领域:
? U ( x0 ,? ) ? ( x0 ?? , x0 ? ? ) \ x0 ? {x ? R | 0 ?| x ? x0 |? ?}, x0 ,? ? R,? ? 0

? ?? 的去心 H 领域: U (??, H ) ? ( H , ??) ? {x ? R | x ? H }, H ? R , H ? 0 ? ?? 的去心 H 领域: U (??, H ) ? (??, ? H ) ? {x ? R | x ? ? H }, H ? R , H ? 0
统一叙述:对于 a ? R ,我们用 U ( a ) 表示 a 的某个去心邻域,当 a 为有穷实数时,U ( a ) 的 形式为 U ( a,? ) ,当 a ? ?? 时, U ( a ) 的形式为 U (??, H ) 。

?

?

?

?

?

函数极限的序列式定义:设 a, A ? R ( a 和 A 都可以是有穷实数或者 ?? ) ,并设函数 f ( x) 在 a 的某个去心邻域 U ( a ) 上有定义。如果对于任何满足条件 xn ? a 的序列 {xn } ? U (a) , 相应的函数值序列 { f ( x)} 都以 A 为极限,那么我们说当 x ? a 时,函数 f ( x) 的极限为 A , 记为

?

?

lim f ( x) ? A
x ?a

n 简 单 例 子 如 : l i m s ix ?
x ?a

sai n lim cos x ? cos a ; lim | x |?| a | ; lim x ? a ; ;
x ?a x?a

x?a

lim x sin
x ?0

1 1 x x sin x 因为 | x sin |?| x | ;lim 因为 cos x ? ? 0, ?1, ? 1 ;lim ?0, x ?0 sin x x ?? x x sin x x

因为 |

sin x 1 。 |? x | x|

定理 1:函数极限 lim f ( x ) 是唯一的。
x?a

定理 2(夹逼原理) :设 f ( x) , g ( x) 和 h( x ) 在 a 的某个去心邻域 U ( a ) 上有定义,并且满 足不等式

?

? f ( x) ? g ( x) ? h( x), ?x ?U (a)
如果

lim f ( x) ? lim h( x) ? A
x?a x?a

那么

lim g ( x) ? A
x ?a

定理 3:关于函数的极限,有以下的运算法则:

lim( f ( x) ? g ( x)) ? lim f ( x) ? lim g ( x)
x?a x?a x ?a

lim( f ( x) g ( x)) ? lim f ( x) ? lim g ( x)
x ?a x ?a x ?a

lim
x ?a

g ( x) lim g ( x) ? x ?a f ( x) lim f ( x)
x ?a

定理 4 (复合函数求极限) 设函数 g 在 b 点的某个去心邻域 U (b) 上有定义,lim g ( y ) ? c 。 :
y ?b

?

又设函数 f 在 a 点的某个去心邻域 U ( a ) 上有定义, f 把 U ( a ) 中的点映射到 U (b) 之中 (用 记号表示就是: f (U (a)) ? U (b) )并且 lim f ( x) ? b ,则有
x?a

?

?

?

?

?

lim g ( f ( x)) ? c
x ?a

多项式函数与有理数分式函数求极限的法则如下: (1)设 P ( x) 是任意多项式, a ? R ,则

lim P( x) ? P(a )
x?a

(2)设 P ( x) 是任意多项式, Q( x) 是非零多项式 a ? R , Q(a ) 不都是 0,则

lim
P ( x) ? a0 x m ? a1 x m ?1 ? ? ? am ,

P( x) P(a ) ? x ?a Q( x) Q(a)
,则

(3)设

Q( x) ? b0 x n ? b1 x n ?1 ? ? ? bn , a0 ? 0, b0 ? 0

???, ? P( x) ? a0 lim ?? , x ?? Q( x ) ? b0 ? 0, ?
因为

如果 m ? n 如果 m ? n 如果 m ? n ? ? ???, ? ? a0 ??? , ? ? b0 ? ? 0, ? 如果 m ? n 如果 m ? n 如果 m ? n

am a1 ? ? m?n a0 ? x ? ? ? x m P( x) lim ? lim ? x x ?? Q ( x ) x ?? b b ? b0 ? 1 ? ? ? n x xn ?

1.5 单侧极限
定义(序列方式) :设 a ? R, A ? R ,并设函数 f (x) 在 (a ?? , a) 有定义。如果对任意满足 条件 xn ? a 的序列 {xn } ? (a ? ? , a) ,相应的函数值序列 { f ( xn )} 都以 A 为极限,那么我 们就说: x ? a 时函数 f (x) 的极限为 A ,记为
x ?a ?

?

lim f ( x) ? A

定义( ? ? ? 方式) :设 a, A ? R ,并设函数 f (x) 在 (a ?? , a) 有定义。如果对任意 ? ? 0 , 存在 ? ? 0 ,使得只要

a ?? ? x ? a
就有

| f ( x) ? A |? ?
那么我们就说: x ? a 时函数 f (x) 的极限为 A ,记为
x ?a ?

?

lim f ( x) ? A

定义( ? ? ? 方式,特殊的 A ? R, A ? ?? ) a ? R ,并设函数 f (x) 在 (a ?? , a) 有定义。 :设 如果对任意 E ? 0 ,存在 ? ? 0 ,使得只要

a ?? ? x ? a
就有

f ( x) ? E
那么我们就说: x ? a 时函数 f (x) 的极限为 ? ? ,记为
x?a ?

?

lim f ( x) ? ??

可用类似的方式来定义 x ? a 的极限。

?

定理 1:设 a ? R ,并设函数 f (x) 在 a 点的去心邻域 U ( a,? ) 上有定义。则极限 lim f ( x ) 存
x? a

?

在的充分必要条件是两个单侧极限存在并且相等:
x?a ?

lim f ( x) ? lim? f ( x) ? A
x ?a

当这条件满足时,我们有

lim f ( x) ? A
x?a

单调函数定义:设函数 f 在集合 S ? R 上有定义。

(1)如果对任意 x1 , x2 ? S , x1 ? x2 ,都有

f ( x1 ) ? f ( x2 )
那么我们就说函数 f 在集合 S 上是递增的或者单调上升的。 (2)如果对任意 x1 , x2 ? S , x1 ? x2 ,都有

f ( x1 ) ? f ( x2 )
那么我们就说函数 f 在集合 S 上是递减的或者单调下降的。 (3)单调上升函数与单调下降函数统称为单调函数。

1.6 连续与间断
定义 I:设函数 f (x) 在 x0 点的邻域 U ( x0 ,? ) 上有定义。如果对任何满足条件 xn ? x0 的序 列 {xn } ? U ( x0 ,? ) ,都有
x n ? x0

lim f ( x n ) ? f ( x0 )

那么我们就说函数 f 在 x0 点连续,或者说 x0 点事函数 f 的连续点。 定义 II:设函数 f (x) 在 x0 点的邻域 U ( x0 ,? ) 上有定义。如果对任意 ? ? 0 ,存在 ? ? 0 , 使得只要 | x ? x0 |? ? ,就有

| f ( x) ? f ( x0 ) |? ?
那么我们就说函数 f 在 x0 点连续,或者说 x0 点事函数 f 的连续点。

定理 1:设函数 f 在 x0 点连续,则存在 ? ? 0 ,使得函数 f 在 U ( x0 , ? ) 上有界。 (证明过程 参考函数极限)

定理 2:设函数 f (x) 和 g (x) 在 x0 点连续,则 (1) f ( x) ? g ( x) 在 x0 点连续; (2) f ( x) ? g ( x) 在 x0 点连续; (3)

f ( x) 在使得 g ( x0 ) ? 0 的 x0 处连续; g ( x)

(4) cg (x) 在 x0 点连续。

定理 3:设函数 f (x) 在 x0 点连续,则函数 | f ( x) | 也在 x0 点连续. 证明: || f ( x) | ? | f ( x0 ) ||?| f ( x) ? f ( x0 ) | ,余下易证。

定理 4:设函数 f (x) 和 g (x) 在 x0 点连续。如果 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ,那么存在 ? ? 0 ,使得对 于 x ?U ( x0 , ? ) 有

f ( x) ? g ( x)

定理 5(复合函数的连续性) :设函数 f (x) 在 x0 点连续,函数 g ( y ) 在 y0 ? f ( x0 ) 点连续, 那么复合函数 g ( f ( x)) 在 x0 点连续.

定义单侧连续:设函数 f (x) 在 ( x0 ? ? , x0 ] 上有定义,如果
? x ? x0

lim f ( x ) ? f ( x0 )

那么我们就说函数 f (x) 在 x0 点左侧连续。类似的可以定义右侧连续。引入记号
? ? f ( x0 ) ? lim f ( x), f ( x0 ) ? lim f ( x) ? ? x?x0 x?x0

我们知道极限存在的充分必要条件是两个单侧极限存在并且相等(这个相等值为极限值 A , 不一定是该点的函数值 f ( x0 ) ) ,可以写成
? ? f ( x0 ) ? f ( x0 ) ? A

但是如果在 x0 点左连续和右连续,则说明在 x0 点两个单侧极限存在并且相等,且这个相等 的值一定是该点的函数值 f ( x0 ) ) ,可以写成
? ? f ( x0 ) ? f ( x0 ) ? f ( x0 )

f (x) 在 x0 点左连续和右连续是 f (x) 在 x0 点连续的充分必要条件。
简单的说就是:

f ( x)在x0点连续 ? f ( x)在x0点左连续,右连续 f ( x)在x0点连续 ? f ( x)在x0点两个单侧极限存在,且值为f ( x0 )

定理 6:设函数 f (x) 在 U ( x0 ,? ) 上有定义,则 f (x) 在 x0 点连续的充分必要条件是
? ? f ( x0 ) ? f ( x0 ) ? f ( x0 )

反过来说,如果 f (x) 在 U ( x0 ,? ) 上有定义,但 f (x) 在 x0 点不连续,则称 x0 为间断点。有 情形 I 和情形 II,这两种情形下 x0 点分别成为第一类间断点和第二类间断点。 情形 I(第一类间断点) :两个单侧极限都存在,但
? ? f ( x0 ) ? f ( x0 )

或者
? ? f ( x0 ) ? f ( x0 ) ? f ( x0 )

情形 II(第二类间断点) :至少一个单侧极限不存在。 注意:单侧极限存在并不代表单侧连续,如果 f (x) 在 x0 点单侧极限存在,并且此极限值等 于 f (x) 在 x0 点的函数值 f ( x0 ) ,那么就说 f (x) 在 x0 点单侧连续。 简单的例子,例如函数

? sin x , x?0 ? f ( x) ? ? x ? 0, x?0 ?
f (0? ) ? f (0? ) ? f (0) ,0 为第一类间断点。如果改成

? sin x , x?0 ? f ( x) ? ? x ? 1, x?0 ?
f (0? ) ? f (0? ) ? f (0) ? 1 ,则 0 是连续点。
例如函数

? 1 x?0 ?sin , f ( x) ? ? x ? 0, x?0 ?
左右侧不连续,故 0 是第二类间断点。 狄里克莱(Dirichlet)函数

?1, D( x) ? ? ?0,
任何 x ? R 都是函数 D 的第二类间断点。 黎曼(Riemann)函数

如果x是有理数 如果x是无理数

?1 q, 如果x是既约分数 p q, q ? 0 R( x) ? ? 如果x是无理数 ? 0,
所有五里店都是黎曼函数的连续点;所有有利点都是第一类间断点。

1.7 闭区间上连续函数的重要性质
函数在闭区间上连续的定义:如果函数 f 在闭区间 [a, b ] 上有定义,在每一点 x ? (a, b) 连 续,在 a 点右侧连续,在 b 点左侧连续,那么我们就说函数 f 在闭区间 [a, b] 上连续。

引理:设 {xn } ? [a, b] , xn ? x0 ,则 x0 ? [a, b] 。

定理 1:设函数 f 在闭区间 [a, b] 上连续。如果 f (a ) 与 f (b) 异号,那么必定存在一点

c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0

定理 2(介值定理) :设函数 f 在闭区间 [a, b] 上连续。如果闭区间的两端点的函数值

f (a) ? ? 与 f (b) ? ? 不相等,那么在这两点之间函数 f 能够取得介于 ? 与 ? 之间的任意
值 ? 。这就是说,如果 f (a) ? ? ? f (b) ,那么存在 c ? (a, b) ,使得

f (c) ? ?

定理 3:设函数 f 在闭区间 [a, b] 上连续,则 f 在闭区间 [a, b] 上有界。

定理 4(最大值与最小值定理) :设函数 f 在闭区间 [a, b] 上连续, M , m 分别是函数 f 在 闭区间 [a, b] 上的最大值与最小值,记

M ? sup f ( x), m ? inf f ( x)
x?[ a ,b ] x?[ a ,b ]

则存在 x ', x '' ?[a, b] ,使得

f ( x ') ? M ,

f ( x '') ? m

一致连续定义: E 是 R 的一个子集, 设 函数 f 在 E 上有定义, 如果对任意 ? ? 0 , 存在 ? ? 0 , 使得只要

x1 , x2 ? E , | x1 ? x2 |? ?

就有

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? ?
那么 j 我们就说函数 f 在 E 上是一致连续的。

定理 5(一致连续性定理) :如果函数 f 在闭区间 I ? [a, b] 连续,那么它在 I 上是一致连续 的。

1.8 单调函数和反函数
引理: 集合 J ? R 是一个区间的充分必要条件为: 对于任意两个实数 ? , ? ? J , 介于 ? 和 ? 之间的任何实数 ? 也一定属于 J 。

定理 1:如果函数 f 在区间 I 上连续,那么

J ? f ( I ) ? { f ( x) | x ? I }
也是一个区间。

定理 2: 如果函数 f 在区间 I 上单调。 则函数 f 在区间 I 上连续的充分必要条件为: f ( I ) 也 是一个区间。 反函数定义:设函数 f 在区间 I 上连续,则 J ? f ( I ) 也是一个区间。如果函数 f 在区间 I 上严格单调,那么 f 是从 I 到 J ? f ( I ) 的一一对应。这时,对任意 y ? J ? f ( I ) ,恰好只 有一个 x ? I 能使得 f ( x) ? y 。 我们定义一个函数 g 如下: 对任意的 y ? J , 函数值 g ( y ) 规 定为由关系 f ( x) ? y 所决定的唯一的 x ? I 。这样定义的函数 g 称为是函数 f 的反函数, 记为

g ? f ?1
我们看到,函数 f 及其反函数 g ? f
?1

满足如下关系:

g ( y ) ? f ? f ( x) ? y

定理 3: 设函数 f 在区间 I 上严格单调并且连续, 则它的反函数 g ? f 严格单调并且连续。

?1

在区间 J ? f ( I ) 上

1.9 指数函数,对数函数和初等函数连续性小结
定理 1:设 a ? R, a ? 1 ,则有
x (1) lim a ? ?? x ?? x (2) lim a ? 0 x ???

定理 2:初等函数在其有定义的范围内是连续的。

1.10 无穷小量(无穷大量)的比较,几个重要的极限
无穷小量定义:设函数 ? ( x) 在 a 点的某个去心邻域 U ( a ) 上有定义,如果

?

lim ? ( x) ? 0
x?a

那么我们就说 ? ( x) 是 x ? a 时的无穷小量。 无穷大量定义:设函数 A( x) 在 a 点的某个去心邻域 U ( a ) 上有定义,如果

?

lim A( x) ? 0
x?a

那么我们就说 A( x) 是 x ? a 时的无穷大量。 定义 3:设函数 ? ( x) 和? ( x) 在 a 点的某个去心邻域 U ( a ) 上有定义,并设在 U ( a ) 上

?

?

? ( x) ? 0 。我们分别用记号 O , o 与 ? 表示比值
(1)? ( x) ? O(? ( x)) 表示

? ( x) 在 a 点邻近的几种状况: ? ( x)

? ( x) ? ( x) 是 x ? a 时的有界变量,即 lim 有界。 x ?a ? ( x) ? ( x)

(2)? ( x) ? o(? ( x)) 表示

? ( x) ? ( x) 是 x ? a 时的无穷小量,即 lim ? 0 。我们可以说 x ?a ? ( x) ? ( x)

。 ? ( x) 是比 ? ( x) 更高阶的无穷小(或者更低阶的无穷大) (3)? ( x) ? ? ( x) 表示

lim

? ( x) ?1 x ?a ? ( x)

注意: O , o 与 ? 都是相对于一定的极限过程而言的,使用时一定要附加上记号 x ? a 例如:

sin x ? o( x) sin x ? x
特别的:记号

( x ? ?) ( x ? 0)

? ( x) ? O(1)
表示? ( x) 在 a 点的某个去心邻域上有界;而记号

? ( x) ? o(1)
表示 lim? ( x) ? 0 。
x?a

定理 1:设函数 ? ( x) 和? ( x) 在 a 点的某个去心邻域 U ( a ) 上有定义, ? ( x) ? 0 。则有

?

? ( x) ? ? ( x) ? ? ( x) ? ? ( x) ? o(? ( x))
常见的极限: (1) lim

sin x ?1 x ?0 x

(2)下面几个等价

1 lim(1 ? ) x ? e x ?? x lim(1 ? x) x ? e
x ?0 1

lim
x ?0

ln(1 ? x) ?1 x

lim

x ?1 x ?0 ln(1 ? x )

lim
lim

logb (1 ? x) 1 ? x ?0 x ln b

ex ?1 ?1 x ?0 x

(1 ? x) a ? 1 lim ?a x ?0 x
定理 3:对于极限过程 x ? 0 ,我们有 (1) sin x ? x ? o( x), (2) cos x ? 1 ?
x

tan x ? x ? o( x)

1 2 x ? o( x 2 ) 2

(3) e ? 1 ? x ? o( x) (4) ln(1 ? x) ? x ? o( x) (5) (1 ? x) ? 1 ? ? x ? o( x) 上面的内容很有用, 因为我们在求乘积或商的极限的时候, 可以将任何一个因式用它的等价
?

因式来替换。 定理 4:如果 x ? a 时? ( x) ? ? ( x) ,那么就有 (1) lim? ( x ) f ( x ) ? lim ? ( x) f ( x )
x?a x?a

(2) lim
x ?a

? ( x) f ( x)
g ( x)

? lim
x ?a

? ( x) f ( x)
g ( x)

(2) lim

f ( x) f ( x) ? lim x ?a ? ( x) g ( x) x ?a ? ( x) g ( x)

证明(1) :

?? ( x) ? lim? ( x) f ( x) ? lim ? ? (? ( x) f ( x)) ? ? lim ? ( x) f ( x ) x?a x ?a ? ( x) ? ? x?a
一些简单的例子:

o( ? x) lim ? ? ? o( ? x) ? ? ? sin ? x ? x ? o( ? x ) x ? ? x ? x ?0 ? ? lim ? lim ? (1) lim x ?0 sin ? x x ?0 ? x ? o(? x ) x ?0 o(? x) o(? x) ? ? ? ?? lim ? ? ? ? x ?0 x x ? ?

??

(2) lim

tan(tan x) tan x ? lim ?1 x ?0 x ?0 x x
2 2
1 2

1 2 1 2 x ? o( x 2 )) ? 1 x ? o( x 2 ) 1 ? x ?1 (1 ? x ) ? 1 2 (3) lim ? lim ? lim ? lim 2 ?1 x ?0 1 ? cos x x ?0 1 ? cos x x ?0 x ?0 1 2 1 2 2 1 ? (1 ? x ? o( x )) x ? o( x 2 ) 2 2 (1 ?

? ln(1 ? x) ? ? lim x 2 ? 2 ln 2 (1 ? x) ? lim (4) lim x ?0 1 ? cos x x ?0 1 ? cos x x ?0 1 2 x 2
2

第二篇

微积分的基本概念及应用 2.1 导数

导数的定义:设函数 f ( x) 在 x0 点邻近有定义,如果存在有穷极限

x ? x0

lim

f ( x) ? f ( x0 ) , x ? x0

那么我们就说函数 f ( x) 在 x0 点可导,并且把上述极限值称之为函数 f ( x) 在 x0 点的导数, 记为 f '( x0 ) ,这是拉格朗日(Lagrange)记号。我们还习惯用 ?x ? x ? x0 表示自变量 x 的 增量, ?x 可正可负,用符号 ?y ? ?f ( x0 ) ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 表示函数 y ? f ( x) 的相应 增量,则导数的定义可以写成

f '( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ( x0 ) ?y ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x ?x

用莱布尼兹(Leibnitz)记号表示为

df ( x0 ) dy (或 ) dx dx ?f ( x0 ) ?y 后一记号提示我们导数是差商 (或 )的极限,人们把导数也叫微商。 ?x ?x
通常人们习惯用增量方式来写导数,这样比较方便,如下面的

f '( x) ? lim
h ?0

f ( x ? h) ? f ( x ) f ( x ? ?x) ? f ( x) ? lim ?x ?0 h ?x

常见函数的导数: (1)常值函数 f ( x) ? C , f '( x) ? 0 。 我们有 f '( x) ? lim
h ?0

f ( x ? h) ? f ( x ) C ?C ? lim ?0 h ?0 h h
m

(2)设 m ? N ,函数 f ( x) ? x , f '( x) ? mx

m ?1



( x ? h) m ? x m ? 我们有 ? k ?0 h

m

k Cm x m? k h k ? x m

h

1 2 k ? (Cm x m?1 ? Cm x m?2 h1 ? ? ? Cm x m? k h k ?1 )

f ( x ? h) ? f ( x ) ( x ? h) m ? x m 1 f '( x) ? lim ? lim ? Cm x m?1 ? mx m?1 h ?0 h ?0 h h
(2)设 m ? N ,函数 f ( x) ? x
?m

( x ? 0) , f '( x) ? ?mx ? m?1 。

f ( x ? h) ? f ( x ) 1 ? 1 1 ? 1? 1 1 ?? 1 1 1 ? ? ? ? m?? ? ? ?? ? ? ? ? m?1 ? m m ?1 m?2 h h ? ( x ? h) x ? h ? x ? h x ? ? ( x ? h) ( x ? h) x x ? ?? ? 1 1 1 1 ? ? ( x ? h) m?1 ? ( x ? h) m?2 x ? ? ? x m?1 ? ( x ? h) x ? ?

因而有

? f ( x ? h) ? f ( x ) 1 1 1 1 ? ? ? lim ? ( x ? h) m ?1 ? ( x ? h) m ? 2 x ? ? ? x m ?1 ? h ?0 h ?0 ( x ? h) x h ? ? 1 ? 1 1 1 ? ? ? 2 ? m ?1 ? m ?1 ? ? ? m ?1 ? x ?x x x ? m ? ? m ?1 x f '( x) ? lim
(4)幂函数 f ( x) ? x ( x ? 0, ? ? R) , f '( x) ? ? x (5)函数 f ( x) ? sin x , f '( x) ? cos x 。
?

? ?1



h? h ? h 2 cos ? x ? ? sin sin f ( x ? h) ? f ( x) sin( x ? h) ? sin x h? 2? 2 ? ? 2 ? ? ? cos ? x ? ? h h h 2? h ? 2 f ( x ? h) ? f ( x ) f '( x) ? lim ? cos x h ?0 h
(6)函数 f ( x) ? cos x , f '( x) ? ? sin x

h? h ? h ?2sin ? x ? ? sin sin f ( x ? h) ? f ( x) cos( x ? h) ? cos x h? 2? 2 ? ? 2 ? ? ? ? sin ? x ? ? h h h 2? h ? 2 f ( x ? h) ? f ( x ) f '( x) ? lim ? ? sin x h ?0 h
(7)函数 f ( x) ? e , f '( x) ? e
x x

f ( x ? h) ? f ( x ) e x ? h ? e x eh ? 1 eh ? 1 ,已知 lim ? ? ex ?1, h ?0 h h h h

f '( x) ? lim
h ?0

f ( x ? h) ? f ( x ) eh ? 1 x ? e x lim ?e h ?0 h h
x
x

(8)函数 f ( x) ? a , f '( x) ? a ln a

f ( x ? h) ? f ( x ) a x ? h ? a x ah ?1 ah ?1 ,已知 lim ? ? ax ? ln a , h ?0 h h h h

f '( x) ? lim
h ?0

f ( x ? h) ? f ( x ) ah ?1 ? a x lim ? a x ln a h ?0 h h

(9)函数 f ( x) ? ln x , f '( x) ?

1 x

h h ln(1 ? ) ln(1 ? ) f ( x ? h) ? f ( x) ln( x ? h) ? ln x x ?1 x ? ? h h h h x x f ( x ? h) ? f ( x ) 1 ln(1 ? h) 已知 lim ? ? 1 , f '( x) ? lim h ?0 h ?0 h x h 1 (10)函数 f ( x) ? log a x , f '( x) ? x ln a h h h log a (1 ? ) log a (1 ? ) ln(1 ? ) f ( x ? h) ? f ( x) log a ( x ? h) ? log a x 1 1 x ? x ? x ? ? h h h h h x x ln a x x f ( x ? h) ? f ( x ) 1 ln(1 ? h) 已知 lim ? ? 1 , f '( x) ? lim h ?0 h ?0 h x ln a h
定理 1:设函数 f 和 g 在 x 点可导, c ? R , 则 f ? g 和 cf 在 x 点可导, 并且

( f ( x) ? g ( x)) ' ? f '( x) ? g '( x) (cf ( x)) ' ? cf '( x)
(单侧导数) 单侧导数定义:设函数 f 在 ( x ?? , x] 有定义,如果存在左侧极限

h ?0

lim ?

f ( x ? h) ? f ( x ) h

那么我们就说函数 f 在 x 左侧可导,并且称为左导数,记为

f '? ( x) ? lim ?
h ?0

f ( x ? h) ? f ( x ) h f ( x ? h) ? f ( x ) h

同理可以得到右导数为

f '? ( x) ? lim ?
h ?0

定理 2: 设函数 f 在 x 点邻近有定义,则 f 在 x 点可导的充分必要条件是它在这点的两个单 侧导数都存在并且相等,

f '? ( x) ? f '? ( x)

当这个条件满足时就有

f '( x) ? f '? ( x) ? f '? ( x)
在一个点处可导的条件就是在则个点处从左边趋近和从右边趋近, 斜率都是一样的。 简单的 例子: (1)函数 f ( x) ?| x | 在 x ? 0 处不可导,因为 f '? ( x) ? ?1 ,而 f '? ( x) ? 1 ,所以在该点导 数不存在。其实也可以这样理解,从左边趋近 0 的时候斜率是-1,从右边趋近 0 的时候斜率 是 1,可导的 (可微性,微分) 定义:设函数 f ( x) 在 x 点邻近有定义,如果

f ( x ? h) ? f ( x) ? Ah ? ? (h)
其中 A 与 h 无关,那么我们就说函数 f ( x) 在 x 点可微。

定理 3:函数 f ( x) 在 x 点可导的充分必要条件是它在这点可微。 注记:由于这个定理的缘故,人人们把“可导”和“可微”这两个术语当做同义词来使用。 求导数的方法又称之为“微分法” 。

定理 4:设函数 f ( x) 在 x0 点可微(可导) ,那么它在这点连续。 当我们用式子定义一个量的时候,采用记号“:=”是很方便的,例如

f ( x) :? x 2 ? 2
表示 f ( x) 用式子 x ? 2 来定义。记号“:=”读作“定义为” 。
2

定义记号:设函数 f ( x) 在 x0 点可微(可导) ,我们引入记号

dx :? ?x ( dx 定义为 ?x )
dy :? f '( x0 )dx ? f '( x)?x
并把 dy 叫做函数 y ? f ( x) 在 x0 点的微分。 微分的意义: (1)从集合角度来看微分 dy ? f '( x)dx 正好是切线函数的增量。 (2)从代数的角度来看,微分 dy ? f '( x)dx 是增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 的线性主部,

dy 与 ?y 仅仅相差一个高阶无穷小量 ? (?x)
?y ? dy ? ? (?x)
因而当 ?x 充分小的时候,可以用 dy 作为 ?y 的近似值,实际应用中经常这样做。 (3) 之前我们引入

dy dy 作为导数的记号。 有了微分的概念, 我们可以把记号 解释为 dy 与 dx dx
dy ? f '( x0 ) dx

dx 之商:

2.2 求导法则,高阶导数
定理 1:设函数 u 和 v 在 x0 点可导,则以下各式在 x ? x0 处成立 (1) (u( x) ? v( x)) ' ? u '( x) ? v '( x) (2) (u( x)v( x)) ' ? u '( x)v( x) ? u( x)v '( x)

? u ( x) ? u '( x)v( x) ? u ( x)v '( x) (3) ? ? ? (v( x)) 2 ? v( x) ?
证明: (1)记 f ( x) ? u( x) ? v( x) ,则有

'

f ( x ? h) ? f ( x) ? u( x ? h) ? u( x) ? v( x ? h) ? v( x)
f ( x ? h) ? f ( x ) u ( x ? h) ? u ( x ) v ( x ? h) ? v ( x ) ? lim ? lim h ?0 h ?0 h h h ? u '( x) ? v '( x) f '( x) ? lim
h ?0

(2)记 f ( x) ? u( x)v( x) ,则有

f ( x ? h ) ? f ( x ) ? u ( x ? h )v ( x ? h ) ? u ( x )v ( x ) ? u ( x ? h )v ( x ? h ) ? u ( x )v ( x ? h ) ? u ( x )v ( x ? h ) ? u ( x )v ( x ) ? (u ( x ? h) ? u ( x))v( x ? h) ? u ( x)(v( x ? h) ? v( x))

f ( x ? h) ? f ( x ) u ( x ? h) ? u ( x ) v ( x ? h) ? v ( x ) ? lim v( x ? h) ? lim u ( x) h ?0 h ?0 h h h ? u '( x)v( x) ? u ( x)v '( x) f '( x) ? lim
h ?0

(3)记 f ( x) ?

u ( x) ,则有 v( x)

u ( x ? h) u ( x ) ? v ( x ? h) v ( x ) (u ( x ? h)v ( x ) ? u ( x )v ( x )) ? (u ( x )v ( x ? h) ? u ( x )v ( x )) ? v ( x ? h )v ( x ) (u ( x ? h) ? u ( x ))v ( x ) u ( x )(v ( x ? h) ? v ( x )) ? ? v ( x ? h )v ( x ) v ( x ? h )v ( x ) f ( x ? h) ? f ( x ) ?

f ( x ? h) ? f ( x ) f '( x) ? lim ? lim h ?0 h ?0 h u '( x)v( x) ? u ( x)v '( x) ? (v( x)) 2

(u ( x ? h) ? u ( x)) (v( x ? h) ? v( x)) v( x) u ( x) h h ? lim h ?0 v ( x ? h )v ( x ) v ( x ? h )v ( x )

经常用到的式子如

? 1 ? v '( x) ? ? ?? (v( x)) 2 ? v( x) ?

'

定理 1 等效的:设函数 u 和 v 在 x0 点可微,则有 (1) d (u( x) ? v( x)) ? du( x) ? dv( x) (2) d (u( x)v( x)) ? v( x)du( x) ? u( x)dv( x)

(3) d ?

? u ( x) ? v( x)du ( x) ? u ( x) dv( x) ?? (dv( x)) ? v( x) ?

简单的例子如 (1) f ( x) ? e sin x ,则
x

f '( x) ? (e x sin x) ' ? (e x ) 'sin x ? e x (sin x) ' ? e x (sin x ? cos x)
(2) f ( x) ? tan x

? sin x ? f '( x) ? (tan x) ' ? ? ? ? cos x ? (sin x) 'cos x ? sin x(cos x) ' cos 2 x ? sin 2 x ? ? cos 2 x cos 2 x 1 ? ? ( x ? k? ? ) 2 cos x 2
(3) f ( x) ? e ,则
?x

'

ex ?1? f '( x) ? e ? x ? ? x ? ? ? 2 x ? ?e ? x e ?e ?
(4)双曲正弦函数 shx ?

'

e x ? e? x 2 e x ? e? x ,有 2

(5)双曲余弦函数 chx ?

ch(? x) ? chx , sh(? x) ? sh( x) ch( x ? y) ? chx ? chy ? shx ? shy

sh( x ? y) ? shx ? chy ? chx ? shy ch2 x ? sh2 x ? 1, ch2 x ? ch2 x ? sh2 x , sh2 x ? 2chx ? shx (chx) ' ? shx , (shx) ' ? chx
(复合函数的求导和微分表示的不变性) 定理 2:设函数 f ( x) 在 x0 点可导,函数 g ( y ) 在 y0 ? f ( x0 ) 点可导,则复合函数

? ( x) ? g ? f ( x) ? g ( f ( x)) 也在 x0 点可导,并且
? '( x0 ) ? g '( f ( x0 )) f '( x0 )
证明:设辅助函数

? g ( y ) ? g ( f ( x0 )) ? ? ( y ) ? ? y ? f ( x0 ) ? g '( f ( x )) 0 ?
明显函数? ( y ) 在 y0 ? f ( x0 ) 点连续。又由于

, 如果y ? f ( x0 ) , 如果y ? f ( x0 )

? ( x) ? ? ( x0 )
x ? x0 ? ? ( y) ?

?

g ( f ( x)) ? g ( f ( x0 )) g ( f ( x )) ? g ( f ( x0 )) f ( x ) ? f ( x0 ) ? ? x ? x0 f ( x) ? f ( x0 ) x ? x0

f ( x) ? f ( x0 ) x ? x0

对于 y ? f ( x0 ) ,直接有

? '( x0 ) ? lim
? lim
x ? x0

? ( x) ? ? ( x0 )
x ? x0

x ? x0

? lim ? ( f ( x)) ?
x ? x0

f ( x) ? f ( x0 ) x ? x0

g ( y ) ? g ( f ( x0 )) f ( x) ? f ( x0 ) ? y ? f ( x0 ) x ? x0 g ( y ) ? g ( f ( x0 )) f ( x) ? f ( x0 ) ? lim x ? x0 y ? f ( x0 ) x ? x0

? lim

y ? f ( x0 )

? g '( f ( x0 )) f '( x0 )
对于 y ? f ( x0 ) ,有

? '( x0 ) ? lim
x ? x0

? ( x) ? ? ( x0 )
x ? x0

x ? x0

? lim ? ( f ( x)) ?
x ? x0

f ( x) ? f ( x0 ) x ? x0

? lim g '( f ( x0 )) ?

f ( x) ? f ( x0 ) x ? x0

? g '( f ( x0 )) f '( x0 )

所以命题得证。 复合函数求导法则的另一表示法:将复合函数 f (? (t )) 对 t 求导得: ( f (? (t ))) ' ,因为是用 ( 整个函数 f (? (t )) 对 t 求导, f '(? (t )) 是用整个函数对 ? (t ) 求导)

( f (? (t ))) ' ? f '(? (t ))? '(t )
或者

d ( f (? (t ))) d ( f (? (t ))) d? (t ) ? dt d? (t ) dt
两边乘以 dt 就得到

d ( f (? (t ))) ? f '(? (t ))d? (t )
不论 x 是自变量,或者 x ? ? (t ) 是另一变量 t 的函数,函数 f ( x) 的微分表示式都具有相同 的形式

df ( x) ? f '( x)dx
这一结论叫做“微分表示的不变性” 。 链式法则求导: 定理 2 中的复合函数求导法则又称链式法则,对于函数 z ? g ( y) 与

y ? f ( x) 的符合,链式法则可以形式地写成

dz dz dy ? ? dx dy dx
或者书写的格式通常是

( g ( f ( x))) ' ? g '( f ( x)) ? f '( x)
简单的例子: (1) (sin ax) ' ? cos ax ? (ax) ' ? a cos ax (2) (tan bx) ' ?
cx cx

(bx) ' b ? 2 cos bx cos 2 bx
cx

(3) (e ) ' ? e ? (cx) ' ? ce
2 2 2

(4) (sin x ) ' ? cos x ? ( x ) ' ? 2 x cos x

2

(4) ln | x | ( x ? 0) ,当 x ? 0 时, (ln | x |) ' ? (ln x) ' ?

1 。当 x ? 0 时, x

(ln | x |) ' ? (ln(? x)) ' ?

1 1 (? x) ' ? 。因此对于 x ? 0 和 x ? 0 着两种情况,我们都得到 (? x) x

(ln | x |) ' ? (ln | x ? c |) ' ?
(ln | ? ( x) |) ' ?
? x?a ? (5) ? ln ? ,两种方法 ? x?a ?
'

1 x 1 x?c

1 ? ? '( x) ? ( x)

? x?a ? 1 1 2a 方法 1: ? ln ? ? (ln | x ? a | ? ln | x ? a |) ' ? x ? a ? x ? a ? x 2 ? a 2 ? x?a ? ? x?a ? x?a ? x?a ? x?a 方法 2: ? ln ? 0 ,则原式 ? ? x ? a ? x ? a ? ,讨论,如果 x?a ? x?a ? ? ?
' '

'

x?a? x?a? 2a x?a? x?a? 2a x?a ? 。如果 。 ? 0 ,则原式 ? ? ? ? 2 ? ? ? 2 2 x?a? x?a? x ?a x ? a ? x ? a ? x ? a2 x?a
' '

(6) (e

sin( x 2 ? c )

)'
2

(esin( x

2

?c )
2

) ' ? esin( x

?c )

(sin( x 2 ? c)) '
2

? esin( x

?c )

? cos( x 2 ? c) ? ( x 2 ? c) ' ? 2 xesin( x
1 2 2 2 2

?c )

cos( x 2 ? c)
x x ? a2
2

(7) ( x ? a ) ' ? (( x ? a ) 2 ) ' ?

1 ? 1 2 ( x ? a2 ) 2 ? ( x2 ? a2 ) ' ? 2

(8) (ln( x ?

x 2 ? a 2 )) ' ?
v( x)

(x ? x ? a ) '
2 2

1? ?

x
2

x ? x2 ? a2

x ? a2 ? x ? x2 ? a2

1 x2 ? a2

(9) ((u ( x))

)'
v( x)

(u ( x)v ( x ) ) ' ? (eln u ( x )

)

) ' ? (ev ( x )ln u ( x ) ) '

? ev ( x )ln u ( x ) (v( x) ln u ( x)) ' u '( x) ) u ( x) u '( x) ? u ( x)v ( x ) (v '( x) ln u ( x) ? v( x) ) u ( x) ? ev ( x )ln u ( x ) (v '( x) ln u ( x) ? v( x) ? u ( x)v ( x ) (ln u ( x))v '( x) ? v( x)u ( x) v ( x ) ?1 u '( x)

(反函数的求导法则) 从一个简单的例子入手,在 OXY 坐标系中,函数 y ? ? ( x) 的图像与其反函数 x ? ? ( y) 的 图像应该是同一条曲线,设在 x0 处可导,在 ( x0 , y0 ) 作此图像的切线,该切线与 OX 轴夹角 为 ? ,与 OY 轴夹角为 ? ,则 ? ?

?
2

? ? ,于是有
tan ? ? 1 tan ?
1 ? '( x0 )



? '( y0 ) ?

定理 3:设函数 y ? ? ( x) 在包含 x0 点的开区间 I 上严格单调且连续。如果这函数在 x0 点可 导并且导数 ? '( x0 ) ? 0 ,那么反函数 x ? ? ( y) 在 y0 点可导,并且

? '( y0 ) ?

1 1 ? ? '( x0 ) ? '(? ( y0 ))

证明:在所给的条件下,函数 x ? ? ( y) 也严格单调并且连续,于是当 y ? y0 , y ? y0 时, 应有? ( y ) ? ? ( y0 ),? ( y ) ? ? ( y0 ) ,因而

y ? y0

lim

? ( y ) ?? ( y0 )
y ? y0

? lim

y ? y0

1 1 1 1 ? lim ? ? x ? x0 ? ( x ) ? ? ( x ) y ? y0 ? '( x0 ) ? '(? ( y0 )) 0 ? ( y ) ?? ( y0 ) x ? x0

上式可以形式地写成

dx 1 ? dy dy dx
简单的例子: (1) y ? ? ( x) ? e 和 x ? ? ( y) ? ln y 互为反函数
x

? '( x) ? e x ,? '( y) ?

1 1 1 1 ? ln y ? , ,也可以由反函数求导法则得到? '( y ) ? y ? '(? ( y )) e y

? '( x) ?

1 1 1 ? ? ? ex 1 ? '( y ) ? '(? ( x)) ex

(2)? ( y) ? arccos y ,

? '( y ) ?

1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? '( x) ? '(? ( y )) ? '(arccos y ) ? sin(arccos y ) 1? y2

常见函数的导数:

(C ) ' ? 0 , C 是常数
( x m ) ' ? mx m?1 , m 是自然数

( x ? m ) ' ? ?mx ? m?1 , m 是自然数
( x ? ) ' ? ? x ? ?1 , ? 是实数

(sin x) ' ? cos x (cos x) ' ? ? sin x

(tan x) ' ?

1 ? , x ? ? k? 2 cos x 2 1 (cot x) ' ? ? 2 , x ? k? sin x
1 1 ? x2
1 1 ? x2
, | x |? 1

(arcsin x) ' ?

(arccos x) ' ? ?

, | x |? 1

(arctan x) ' ?

1 1 ? x2 1 (arc cot x) ' ? ? 1 ? x2

(e x ) ' ? e x (a x ) ' ? a x ln a , a ? 0, a ? 1

1 ,x?0 x 1 , a ? 0, a ? 1, x ? 0 (log a | x |) ' ? x ln a (ln | x |) ' ?
(ln( x ? x 2 ? a 2 )) ' ? 1 x2 ? a2 1 x ? a2
2

(ln( x ? x 2 ? a 2 )) ' ?

, | x |?| a |

(参数式函数的求导) 例如函数

y ? a 2 ? x 2 , ?a ? x ? a
可以用参数表示为

x ? a cos t , y ? a sin t , 0 ? t ? ?
一般来说,设有参数表达式

x ? ? (t ) , y ? ? (t ) , t ? J
其中函数 ? 在区间 J 上严格单调并且连续,函数? 在区间 J 上连续(因为函数 ? 为自变量, 必须单调连续,函数? 为结果) ,我们可以把 t 表示成 x 的连续函数

t ? ? ?1 ( x) , x ? I ? ? ( J )
于是 y 表示成 x 的连续函数

y ? ? (? ?1 ( x)) , x ? I
如果函数 ? 和? 都在区间 J 上的 t 0 点处可导,并且 ? '(t0 ) ? 0 ,那么复合函数? ? ? 在在
?1

x0 ? ? (t0 ) 处可导,并且有
(? (? ?1 ( x))) 'x ? (? (t )) ' x ? ? '(t ) ? t ' x ? ? '(t ) ?
因此对于参数表示的函数

1 ? '(t ) ? x 't ? '(t )

x ? ? (t ) , y ? ? (t )
求导法则为

dy dy ? '(t ) dt ? ? , ? '(t ) ? 0 dx ? '(t ) dx dt
简单例子 (1)曲线方程为

x ? ? (t ) , y ? ? (t )
在 x0 ? ? (t0 ) , y0 ? ? (t0 ) 处的切线斜率为

? '(t0 ) ? '(t0 )
切线方程为

Y ?? (t0 ) ? '(t0 ) ? X ? ? (t0 ) ? '(t0 )
(2)极坐标方程给出的曲线

r ? r (? )

?

?
r ? r (? )
极坐标参数方程为

?

x ? r (? ) cos ? ,
于是

y ? r (? )sin ?

r (? ) dy tan ? ? dy d? (r (? ) sin ? ) ' r '(? ) sin ? ? r (? ) cos ? r '(? ) ? ? ? ? dx dx (r (? ) cos ? ) ' r '(? ) cos ? ? r (? ) sin ? 1 ? tan ? r (? ) d? r '(? )
设切线方向与 x 轴夹角为 ? ,那么

r (? ) r '(? ) tan ? ? r (? ) 1 ? tan ? r '(? ) tan ? ?
于是有

r (? ) tan ? ? tan ? ? ? tan(? ? ? ) ? tan ? r '(? ) 1 ? tan ? tan ?
因此极坐标上某一点的切线与极径的家教的正切应为

tan ? ?

r (? ) r '(? )

(隐函数的求导) 当变量 y 对变量 x 的函数关系通过一个方程来给出的时候,例如

x2 ? y 2 ? 1

对于每一个 x ?[?1,1] ,有唯一的 y ? [0, ??) 与之对应,于是方程 x ? y ? 1确定了从
2 2

集合 D ? [?1,1] 到集合 E ? [0, ??) 的一个函数,对一般情形,设 D ? R, E ? R ,按照方程

F ( x, y ) ? 0
对每一个 x ? D 恰好有唯一的 y ? E 与之对应,那么我们就说:由条件

F ( x, y ) ? 0 , x ? D , y ? E
确定了一个隐函数,当然,有时候隐函数可以显示的表示出来,也有时候无法显示的表示。 要注意的是:要由方程确定一个隐函数,仅仅指出 x 的变化范围时不够的,还需要指出 y 的 变化范围,以确定是一一对应的才能说是一个隐函数。 隐函数可以简化求导过程,而且表达的也更简洁一些。下面有一些例子 (1)求以下条件确定的隐函数 y ? y ( x) 的倒数

x 2 ? y 2 ? 1, ?1 ? x ? 1 , y ? 0
对恒等式 x ? y ? 1两边求导得到
2 2

2 x ? 2 yy ' ? 0
那么求得

y'? ?
(2)求函数 y ? u ( x)
v( x)

x y

, u ( x) ? 0 的导数。

对函数两边取对数得到

ln y ? v( x) ln u( x)
按隐函数求导得

y' u '( x) ? v '( x) ln u ( x) ? v( x) y u ( x)
得到

? u '( x) ? y ' ? y ? v '( x) ln u ( x) ? v( x) ? u ( x) ? ?

(高阶导数) 设函数 f 在开区间 I 上每一点可导,则一下对应关系定义了一个函数

x ? f '( x), ?x ? I
记为 f ' 。 对于导函数 f ' , 我们又可以讨论它的可到性和导数。 f '( x) 称为函数 f 的导函数, 导函数 f ' 在 x 点的导数称为函数 f 在在 x 点的二阶导数,记为

f ''( x) , f (2) ( x) ,
可以用同样的方式定义 n 阶导数,记为

d2y dx 2

f ( n ) ( x) ,
一些函数的高阶导数具有规律,下面是几个例子 (1) y ? x
?

dny dx n

y ' ? ? x? ?1

y '' ? ? (? ? 1) x? ?2
?

y ( n ) ? ? (? ? 1)?[? ? (n ? 1)]x? ?n
(2) y ? ln(1 ? x)

y' ?

1 ? (1 ? x)?1 1? x

y '' ? (?1)(1 ? x)?2 y ''' ? (?1)(?2)(1 ? x)?3
?

y ( n ) ? (?1)(?2)?[?(n ? 1)](1 ? x) ? n ? (?1) n ?1
(3) y ? sin x

(n ? 1)! (1 ? x) n

y ' ? cos x ? sin( x ? ) 2

?

y '' ? cos( x ? ) ? sin( x ? 2 ? ) 2 2 y ''' ? ? sin( x ? ) ? sin( x ? 3 ? ) 2 2
?

?

?

?

?

(4) y ? cos x

y ( n ) ? sin( x ? n ? ) 2
y ( n ) ? cos( x ? n ? ) 2

?

?

定理 4(Leibnitz 公式) :设函数 u 和 v 在 x0 点 n 阶可导,则这两个函数的乘积 uv 也在 x0 点

n 阶可导,并且在这点有
n ?n? (uv)( n ) ? ? ? ?u ( n ? k ) v ( k ) k ?0 ? k ?

其中

? n ? n(n ? 1)? (n ? k ? 1) , (k ? 1, 2,?, n) ? ?? k! ?k ?
下面证明一下:

? n ? ? n ? ? n ? 1? ? ??? ??? ? ? k ? ? k ? 1? ? k ?

? n ? ? n ? n(n ? 1)? (n ? k ? 1) n(n ? 1) ?[n ? (k ? 1) ? 1] ? ? ??? ?? k! (k ? 1)! ? k ? ? k ? 1? n(n ? 1)?[n ? (k ? 1) ? 1] ? n ? k ? 1 ? (n ? 1)n(n ? 1) ?[n ? (k ? 1) ? 1] ? ?1 ? ?? (k ? 1)! k k! ? ? ? n ? 1? ?? ? ? k ?
归纳法证明: n ? 1 ,明显成立 假设对于 n ? N 成立,考虑 n ? 1的情况

(uv)

( n ?1)

? ? (uv)

(n) '

?

n ? n ?n? ? ?n? ? ? ? ? ?u ( n ? k ) v ( k ) ? ? ? ? ?(u ( n ? k ?1) v ( k ) ? u ( n ? k ) v ( k ?1) ) ? k ?0 ? k ? ? k ?0 ? k ?

'

n n ?n? ?n? ? ? ? ?u ( n ? k ?1) v ( k ) ? ? ? ?u ( n ? k ) v ( k ?1) (后面一项中令k ? k0 ? 1, 那么k0 ? k ? 1) k ?0 ? k ? k ?0 ? k ? n n ?1 ? n ? ( n ? k0 ?1) ( k0 ) ?n? ? ? ? ?u ( n ? k ?1) v ( k ) ? ? ? v ?u k ?0 ? k ? k0 ?1 ? k0 ? 1 ? n ? n ? ? ? n ? ? ( n ? k ?1) ( k ) ( n ?1) ? u ( n ?1) ? ? ? ? ? ? ? v ?v ? ?u k ?1 ? ? k ? ? k ? 1? ? n ? n ? 1? ( n ? k ?1) ( k ) ( n ?1) n ?1 ? n ? 1? ( n ? k ?1) ( k ) ? u ( n ?1) ? ? ? v ?v ? ?? v ?u ?u k ?1 ? k ? k ?0 ? k ?

(参数函数的二阶导数) 已知

x ? ? (t ) , y ? ? (t )


dy ? '(t ) ? dx ? '(t )
那么二阶导数为

? ? '(t ) ? ' d? ? '(t ) ? ? ? '(t ) ? ? ? ? ? '(t ) ? ? ''(t )? '(t ) ?? '(t )? ''(t ) d 2 y d ? dy ? d ? ? '(t ) ? ? ? dt ? ? ?? ? ? ?? ? 3 2 dx dx dx ? dx ? dx ? ? '(t ) ? ? '(t ) ?? '(t ) ? dt
实际上

d ? ? '(t ) ? ? ? 又可以用参数函数求导方式求导。 dx ? ? '(t ) ?

2.3 无穷小增量公式和有限增量公式
(无穷小增量公式) 如果函数 f 在 x0 点可导,那么就有

f ( x) ? f ( x0 ) ? f '( x0 )( x ? x0 ) ? ? ( x ? x0 )
这个式子也可以写成

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? f '( x0 )?x ? ? (?x)
上面这些公式称为无穷小增量公式,他们反映了当 ?x ? x ? x0 ? 0 时函数的变化情况。

定义:设 I 是一个区间, x0 ? I ,如果存在? ? 0 ,使得 U ( x0 ,? ) ? I ,那么我们就说 x0 是 区间 I 的一个内点。区间 I 出去断点以外的所有点都是内点,它的全体内点的集合是一个开 区间,记为 I 0 。

定义:设函数 f 在区间 I 上有定义, x0 ? I 。如果存在 x0 的一个邻域 U ( x0 , ? ) ? I ,使得
0

对任何 x0 ?U ( x0 , ? ) 都有

f ( x) ? f ( x0 ) ( f ( x) ? f ( x0 ) )
那么我们就说函数 f 在 x0 点取得极大值(极小值) ,这时如果对任何 x0 ?U ( x0 , ? ) 都有

?

f ( x) ? f ( x0 ) ( f ( x) ? f ( x0 ) )
那么我们就说函数 f 在 x0 点取得严格的极大值(严格的极小值) x0 点称为极值点。 。 注意:极值是一个局部的概念,函数 f 在 x0 点取得极大值(极小值) ,仅仅意味着:与邻近 个点的函数值相比,这点的函数值 f ( x0 ) 是较大的(较小的) 。函数 f 在区间 I 上的最大值 (最小值)则是一个整体的概念。 引理:设 A ? R , A ? 0 。如果

? (h) ? Ah ? ? (h),

(h ? 0)

那么可以断定:对于充分小的 h ? 0 , ? ( h) 与 Ah 同号。

定理 1(费马 Fermat 定理) (极值的必要条件) :设函数 f 在区间 I 上有定义,在这区间内

的 x0 点取得极值。如果 f 在 x0 点可导,那么必有

f '( x0 ) ? 0
证明:由条件有 f ( x) ? f ( x0 ) , x0 为极值点。则有

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 )
当 ?x ? 0 时有

当 ?x ? 0 时有

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?0 ?x

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?0 ?x
根据函数 f 在 x0 可导,则有

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?0 ?x ?0 ?x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f '( x0 ) ? f ? '( x0 ) ? lim? ?0 ?x ?0 ?x f '( x0 ) ? f ? '( x0 ) ? lim?
所以只能是 f '( x0 ) ? 0 。

定义:我们把使得 f '( x0 ) ? 0 的点 x0 叫做函数 f 的临界点。 注意:函数 f 在极值点出可以没有导数。例如 f ( x) ?| x | 。

定理 2:设函数 f 在 [a, b] 连续,在 (a, b) 可导,如果方程 f '( x) ? 0 在 (a, b) 中只有有限个 根 x1 , x2 ,? xk ,那么函数 f 在区间 [a, b] 上的最大值 M 和最小值 m 分别为

M ? max{ f (a), f ( x1 ),?, f ( xk ), f (b)}


m ? min{ f (a), f ( x1 ),?, f ( xk ), f (b)}
(有限增量公式) 定理 3(Rolle 罗尔定理) :设函数 f 在闭区间 [a, b] 上连续,在开区间 (a, b) 上可导,并且 满足

f (a) ? f (b)

则存在 c ? (a, b) ,使得

f '(c) ? 0

y
f '(c)
f (a)

f (b)

O

a

c

b

x

证明:当 M ? m ,则 f 是常值函数,对于 c ? (a, b) , f '(c) ? 0 成立。当 M ? m ,那么至 少有其中一个极值在点 c ? (a, b) 取得,根据费马定理,在这点就有 f '(c) ? 0 。

定理 4(Lagrange 拉格朗日定理、中值定理、均值定理) :设函数 f 在闭区间 [a, b] 上连续, 在开区间 (a, b) 上可导,则至少存在一点 c ? (a, b) ,使得

f '(c) ?
或写作

f (b) ? f (a) b?a

f (b) ? f (a) ? f '(c)(b ? a)

y
f '(c)
f (a)

f (b)

O
证明:构造辅助函数

a

c

b

x

L( x ) ? f ( x ) ? f ( a ) ?
容易知道

f (b) ? f (a) ( x ? a) b?a

L(a) ? L(b) ? 0
根据罗尔定理,存在 c ? (a, b) ,使得

L '(c) ? f '(c) ?


f (b) ? f (a) ?0 b?a

f '(c) ?

f (b) ? f (a) b?a

设 x 是区间 [a, b] 上一点, x ? ?x ( ?x ? 0 )是区间上另一点,在拉格朗日公式在区间

[ x, x ? ?x] ? I 上成为 f ( x ? ?x) ? f ( x) ? f '(? )?x
其中 ? ? [ x, x ? ?x] ,设 ? ? x ? ? ? ?x , 0 ? ? ? 1 ,则有

f ( x ? ?x) ? f ( x) ? f '( x ? ? ? ?x)?x , 0 ? ? ? 1
上式成为有限增量公式, 这个公式中 ?x 不必限定为 “无穷小量” 它可以使满足 ( x ? ?x) ? I , 的任意有限量 ?x 。
0

定理 5:设函数 f 在区间 I 上连续,在 I 可导,则

f ? c ? f '( x) ? 0, ?x ? I 0
用文字表达为:如果函数 f 在某个区间上导数恒为 0,那么 f 在区间 I 是一个常数。

推论:函数 f 在区间 I 上连续,在 I 可导,如果存在

0

f '( x) ? g '( x) , ?x ? I 0
那么存在常数 C ,使得

f ( x) ? g ( x) ? C , ?x ? I

定理 6:设函数 f 在区间 I 上连续,在 I 可导,则 如果 f '( x) ? 0 , ?x ? I ,那么 f 在区间 I 上递增;
0

0

如果 f '( x) ? 0 , ?x ? I ,那么 f 在区间 I 上递减;
0

2.4 泰勒展式
n 阶泰勒展式为
f ( x) ? f ( x0 ) ? f '( x0 )( x ? x0 ) ?
取 x0 ? 0 ,有

f ''( x0 )( x ? x0 ) 2 f ( n ) ( x0 )( x ? x0 ) n ?? ? ?[( x ? x0 ) n ] 2! n!

f ''(0) x 2 f ( n ) (0) x n f ( x) ? f (0) ? f '(0) x ? ?? ? ?[ x n ] 2! n!
常见的展式:

f ( x) ? e x ? 1 ? x ?

x2 xn ? ? ? ? ? ( xn ) 2! n!
x3 x5 x 2 m?1 ? ? ? ? (?1) m?1 ? ? ( x 2 m?1 ) 3! 5! (2m ? 1)!

f ( x) ? sin x ? x ?

f ( x) ? cos x ? 1 ?

x2 x4 x2m ? ? ? ? (?1) m ? ? ( x2m ) 2! 4! (2m)!

f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ?

x 2 x3 x 4 xn ? ? ? ? ? (?1) n ?1 ? ? ( x n ) 2 3 4 n

f ( x) ? (1 ? x)? ? 1 ? ? x ?

? (? ? 1)
2!

x2 ? ? ?

? (? ? 1)?(? ? n ? 1)
n!

xn ? ? ( xn )

2.5 原函数与不定积分 2.5.1 原函数与不定积分概念
定义:设函数 f 在区间 I 上有定义,如果函数 F 在区间 I 上连续,在 I 0 可导,并且满足条 件:

F '( x) ? f ( x), ?x ? I 0
或者

dF ( x) ? f ( x)dx, ?x ? I 0
那么我们就说 F 是函数 f 的一个原函数,或者说 F 是微分形式 f ( x)dx 的一个原函数。

定理 1: 设函数 f 在区间 I 上有定义, 如果 F 是函数 f 的一个原函数, 那么对任意的 C ? R , 函数

F ( x) ? C
也是函数 f 的一个原函数,并且 f 的任何原函数都可以写成这种形式。

定义:设函数 f 在区间 I 上有定义,如果 F 是函数 f 的一个原函数,则函数簇

F ( x) ? C , C ? R
表示 f 的一切原函数, 我们把这函数簇叫做函数 f 的不定积分, 或者叫微分形式 f ( x)dx 的 不定积分,记为

? f ( x)dx ? F ( x) ? C
在这里, f ( x) 称为被积函数, f ( x)dx 称为被积表示式,而 根据定义有:

?

是表示不定积分的符号。

? ? f ( x)dx ? ? f ( x) d ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx
'



? F '( x)dx ? F ( x) ? C
? dF ( x) ? F ( x) ? C

定理 2:如果 F ( x) 和 G ( x) 分别是函数 f ( x) 和 g ( x) 的原函数, ? 是一个实数,那么

F ( x) ? G( x) 是函数 f ( x) ? g ( x) 的原函数,? F ( x) 是函数 ? f ( x) 的原函数。我们有以下运
算法则:

? ( f ( x) ? g ( x))dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx ? (? f ( x))dx ? ? ? f ( x)dx
常见积分表:

? 0dx ? C ? 1dx ? x ? C

?x

?

dx ?

1 ? ?1 x ?C ? ?1

?x

1 dx ? ? dx ? ln | x | ?C x 1 ? x ? adx ? ln | x ? a | ?C
?1
x x

? e dx ? e
x ? a dx ?

?C

ax ?C ln a

? cos xdx ? sin x ? C ? sin xdx ? ? cos x ? C

? cos ? sin
? ?
1

1
2

x x
2

dx ? tan x ? C

1
2

dx ? ? cot x ? C

? 1? x
1

dx ? arctan x ? C
dx ? arcsin x ? C

1 ? x2 1

x ?a
2

2

dx ? ln | x ? x 2 ? a 2 | ?C

简单的例题:

(1) tan xdx
2 ? tan xdx ? ?

?

2

1 ? cos 2 x 1 ? 1 ? dx ? ? ? ? 1?dx ? ? dx ? ? 1dx ? tan x ? x ? C 2 2 cos x cos 2 x ? cos x ?

(2)

? sin

1
2

2x

dx

1 1 1 dx ? ? dx 2 2 2x 4sin x cos x 4 (1 ? cos x) cos 2 x 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? dx ? ? dx ? ? dx ? ? 2 dx 2 2 2 4 cos x 4 (1 ? cos x) 4 cos x 4 sin x 1 ? (tan x ? cot x) ? C 4

? sin

1
2

dx ? ?

2

(3)

? ( x ? ? )( x ? ? )dx
1 1 ? 1 1 ?

1

? ( x ? ? )( x ? ? )dx ? ? ? ? ? ? x ? ? ? x ? ? ?dx ? ?
? 1 1 x ?? ln ?C ? ln | x ? ? | ? ln | x ? ? |? ? C ? ? ?? ? ?? x??
1 dx ? a2

(4)

?x

2

?x

2

1 1 ? 1 1 x?a ? 1 dx ? dx ? ? dx ? ? ln ?C ?? 2 ?a 2a ? x ? a x ? a ? 2a x ? a

(5)

x2 ? 1 ? x2 dx

x2 1 ? ? ? 1 ? x 2 dx ? ? ?1 ? 1 ? x 2 ?dx ? x ? arctan x ? C ? ?
(6)

?x

4

1 dx ?1

?x

4

1 1 1 ?1? 1 1 ? 1 ? 1 x ?1 1 dx ? ? 2 dx ? ? ? ? ? dx ? ln ? arctan x ? C ?? 2 2 ? ?1 ( x ? 1)( x ? 1) 2 ? 2 ? x ?1 x ?1 ? 1 ? x ? 4 x ?1 2

x2 ? x ?1 dx (7) ? 3 x ? 2x2 ? x ? 2
x2 ? x ?1 ( x 2 ? 1) ? ( x ? 2) 1 1 dx ? ? dx ? ? dx ? ? dx ? ln | x ? 2 | ? arctan x ? C 2 ? x3 ? 2 x 2 ? x ? 2 ( x ? 1)( x ? 2) x?2 1 ? x2

2.5.2 换元积分法
引理:如果

dG(u) ? g (u)du
那么把 u 换成可微函数 u ? u (v) 仍有

dG(u(v)) ? g (u(v))du(v)
这就是说,从

? g (u )du ? G (u ) ? C
可以得到

? g (u(v))du (v) ? G(u (v)) ? C
在不定积分的表示式中可以做换元替换。 第一换元法 写成如下形式

? f ( x)dx ? ? g (u ( x))du ( x) ? G(u ( x)) ? C
常见例子

1 1 1 dx ? ? e3 x d (3x) ? ? e3 x d (3x) ? e3 x ? C 3 3 3 1 ax 1 ax 1 ax ax ? e dx ? ? ae d (ax) ? a ? e d (ax) ? a e ? C 1 1 1 1 ? sin 2 2 xdx ? 2 ? sin 2 2 xd (2 x) ? ? 2 cot 2 x ? C 1 1 1 1 ? sin 2 axdx ? a ? sin 2 axd (ax) ? ? a cot ax ? C 1 1 ? cos(ax ? b)dx ? a ? cos(ax ? b)d (ax ? b) ? a sin(ax ? b) ? C 1 一般有公式: ? g (ax ? b)dx ? ? g (ax ? b)d (ax ? b) a 1 x2 1 x2 x2 2 ? xe dx ? ? 2e d ( x ) ? 2 e ? C

?e

3x

? 1? x

x

4

dx ?

1 1 1 2 2 ? 1 ? ( x2 )2 d ( x ) ? 2 arctan x ? C 2

x2 1 1 1 3 3 ? cos2 x3 dx ? 3 ? cos2 x3 d ( x ) ? 3 tan x ? C
一般有公式: g ( x )x

?

k

k ?1

dx ?

1 g ( x k )d ( x k ) k?

(ln x)k 1 (ln x) k dx ? ? (ln x)k dx ? ? (ln x)k d (ln x) ? ?C ? x x k ?1
一般有公式:

?

g (ln x) dx ? ? g (ln x)d (ln x) x

ex 1 x x ? 1 ? e2 x dx ? ? 1 ? (e x )2 d (e ) ? arctan e ? C

? sin xdx ? ? 2 (1 ? cos 2 x)dx ? 2 x ? 4 sin 2 x ? C
2

1

1

1

? cos xdx ? ? 2 (1 ? cos 2 x)dx ? 2 x ? 4 sin 2 x ? C
2

1

1

1

? tan xdx ? ? cos xdx ? ?? cos xd (cos x) ? ? ln | cos x | ?C ? cot xdx ? ? sin x dx ? ? sin x d (sin x) ? ln | sin x | ?C ? cos
1 xdx ? ? cos 2 xd (sin x) ? ? (1 ? sin 2 x)d (sin x) ? sin x ? sin 3 x ? C 3 1 3 2 2 ? sin xdx ? ?? (1 ? cos x)d (cos x) ? ? cos x ? 3 cos x ? C 1 cos x 1 1 sin x ? 1 1 sin x ? 1 ? cos x dx ? ? cos2 xdx ? ? 1 ? sin 2 x d (sin x) ? ? 2 ln sin x ? 1 ? C ? 2 ln sin x ? 1 ? C
3

sin x

1

cos x

1

1 (sin x ? 1)(sin x ? 1) 1 (sin x ? 1) 2 1 (sin x ? 1) 2 1 (sin x ? 1) ? ln ? C ? ln ? C ? ln ? C ? ln ?C 2 2 2 (sin x ? 1)(sin x ? 1) 2 1 ? sin x 2 cos x 2 cos x
2

? ln

(sin x ? 1) ? C ? ln sec x ? tan x ? C cos x
du 1 u ?1 ? ln ?C 2 ?1 2 u ?1
?x? d? ? ?a? ? x? 1? ? ? ?a?
2

一般有公式:

?u

?

dx a2 ? x2

?

1 |a|?

dx ? x? 1? ? ? ?a?
2

?

a |a|?

?

a x arcsin ? C |a| a

?x? d? ? dx 1 1 x ?a? ? a 2 ? x 2 ? a ? ? x ?2 ? a arctan a ? C 1? ? ? ?a?


?x

2

dx ? px ? q

情形 1: x ? px ? q ? 0 有两个不等的实根 ? 和 ?
2

x 2 ? px ? q ? ( x ? ? )( x ? ? )


???

?x
2

2

dx dx 1 x ?? ?? ? ln ?C ? px ? q ( x ? ? )( x ? ? ) ? ? ? x??

情形 2: x ? px ? q ? 0 有重实根 ?

x 2 ? px ? q ? ( x ? ? )2


?x
2

2

dx dx 1 ?? ?? ?C 2 ? px ? q (x ? ? ) x ??

情形 3: x ? px ? q ? 0 有共轭复根 ? ? ?i

p? p2 ? x ? px ? q ? ? x ? ? ? q ? ? ( x ? ? )2 ? ? 2 2? 4 ?
2

2



? x?? ? d? ? dx dx 1 ? ? ? ? 1 arctan x ? ? ? C ? x 2 ? px ? q ? ? ( x ? ? )2 ? ? 2 ? ? ? ? x ? ? ?2 ? ? 1? ? ? ? ? ?
由于

???


p2 p ,? ? q? 4 2

dx 1 x?? ? x 2 ? px ? q ? ? arctan ? ? C ?

p 2 ?C arctan 2 p p2 q? q? 4 4 1 x?

第二换元法 这种方法中, 需要作适当的换元 x ? ? (t ) , 这里函数 ? (t ) 在区间 J 上严格单调并且连续, 在这区间的内部可导,并且满足条件 ? '(t ) ? 0 ,那么有

? f ( x)dx ?? f (? (t ))d (? (t )) ?? f (? (t ))? '(t )dt ?G(t ) ? C

在作替换 t ? ? ( x) ,那么得到
?1

? f ( x)dx ?G (?
简单例子: (1)

?1

(t )) ? C

?

a 2 ? x 2 dx

( a ? 0)

令 x ? a sin t , (?

?
2

?t ?

?
2

) ,那么
1 ? cos 2t dt 2

?
?

a 2 ? x 2 dx ? ? a 2 ? (a sin t ) 2 d (a sin t ) ? ? a 2 cos 2 tdt ? a 2 ? a 2t a 2 ? sin 2t ? C 2 4

x x ?x? 2 1 ? ? ? 代入有 由于 t ? arcsin , sin 2t ? 2sin t cos t ? 2sin t 1 ? sin t ? 2 a a ?a?

2

?

a 2t a 2 1? x ? a ? x dx ? ? sin 2t ? C ? ? a 2 arcsin ? x a 2 ? x 2 ? ? C 2 4 2? a ?
2 2

(2)

? (x

2

dx ? a 2 )2

令 x ? a tan t ,那么

? (x
?

2

dx d (a tan t ) ?? 2 2 2 ?a ) ? (a tan t )2 ? a 2 ?

a dt 2 cos 2 t 1 1 ? cos 2t ? ? cos t 2 ? ? 3 dt ? 3 ? dt 2 a a 2 ? a ? ? 2 ? ? cos t ?

t sin 2t ? ?C 3 2a 4a 3

由于 t ? arctan

x 2sin t cos t 2 tan t 2ax ,那么 sin 2t ? 2sin t cos t ? ,则 ? ? 2 2 2 2 a sin t ? cos t 1 ? tan t x ? a 2

? (x

2

dx t sin 2t 1 x x ? 3? ? C ? 3 arctan ? 2 2 ?C 2 2 3 ?a ) 2a 4a 2a a 2a ( x ? a 2 )

(3)

?

dx x2 ? a2

,a ? 0

令 x ? a tan t ,那么

a dt 2 dt ?? ? ? cos t ? ? ? x2 ? a2 cos t (a tan t ) 2 ? a 2 a2 2 cos t cos t d (sin t ) 1 ? 1 1 ? 1 sin t ? 1 ?? dt ? ? ? ?? ? ?C ?d (sin t ) ? ln 2 2 cos t 1 ? sin t 2 ? sin t ? 1 sin t ? 1 ? 2 sin t ? 1 dx d (a tan t ) 1 (sin t ? 1)(sin t ? 1) 1 (sin t ? 1) 2 1 (sin t ? 1) 2 1 (sin t ? 1) ?? ln ? C ? ln ? C ? ln ? C ? ln ?C 2 2 2 (sin t ? 1)(sin t ? 1) 2 1 ? sin t 2 cos t 2 cos t
2

? ln

(sin t ? 1) ? C ? ln sec t ? tan t ? C ? ln cos t

x2 ? a2 x ? ? C ? ln a a

x2 ? a2 ? x ? C

(3)

?

dx x ? a2
2

,a ? 0

令 x ? a sec t ,则

?

dx x2 ? a2

??

d (a sec t ) a 2 sec2 t ? a 2

??

tan t sec t tan 2 t

dt ? ?

tan t 1 ? dt tan t cos t

分情况讨论:

x ? a, 0 ? t ? ? 2,

?

1 x ?x? ?? dt ? ln sec t ? tan t ? C ? ln ? ? ? ? 1 ? C ? ln x ? x 2 ? a 2 ? C 2 2 cos t a ?a? x ?a dx

2

x ? ?a , ? ? 2 ? t ? 0 ,令 x ? ?u ,则 u ? a ,有

? ?
?

du u ?a
2 2

? ln u ? u 2 ? a 2 ? C ,代入 u ? ?x 有

?dx x ?a
2 2

? ln ? x ? x 2 ? a 2 ? C 那么

dx x ?a
2 2

? ? ln ? x ? x 2 ? a 2 ? C ? ln

1 ?x ? x ? a
2 2

? C ? ln x ? x 2 ? a 2 ? C

因此,统一有

?

dx x ?a
2 2

? ln x ? x 2 ? a 2 ? C , x ? a

2.5.3. 分部积分法
分部积分公式: 根据公式

d (u( x)v( x)) ? du( x)v( x) ? u( x)dv( x)
得到

u( x)dv( x) ? d (u( x)v( x)) ? v( x)du( x)
由此得到

? u ( x)dv( x) ? u( x)v( x)) ? ? v( x)du( x)
简单的例子 (1) x cos xdx

?

? x cos xdx ? ? xd (sin x) ? x sin x ? ? sin xdx ? x sin x ? cos x ? C
(2) x sin xdx

?

? x sin xdx ? ?? xd (cos x) ? ?( x cos x ? ? cos xdx) ? ? x cos x ? sin x ? C
(3) xe dx

?

x

? xe dx ? ? xd (e ) ? xe ? ? e dx ? ( x ? 1)e
x x x x

x

?C

(4) x ln xdx

?

k

ln x x k ?1 xk x k ?1 x k ?1 k ?1 ? x ln xdx ? ? k ? 1 d ( x ) ? k ? 1 ln x ? ? k ? 1 dx ? k ? 1 ln x ? (k ? 1)2 ? C
k

(5)上式中 k ? ?1 ,

ln x dx x ln x 1 2 ? x dx ? ? ln xd (ln x) ? 2 (ln x) ? C

?

(6) x arctan xdx

?

1 arctan x ? ? x 2 d (arctan x) 2 2 1 x 1 1 ? 1 ? ? x 2 arctan x ? ? dx ? x 2 arctan x ? ? ?1 ? ? dx 2 2 2(1 ? x ) 2 2 ? 1 ? x2 ? 1 1 1 ? x 2 arctan x ? x ? arctan x ? C 2 2 2

? x arctan xdx ? ? arctan xd ( 2 x ) ? 2 x
2

1

1

2

(7) x cos xdx

?

2

?x

2

cos xdx ? ? x 2 d (sin x) ? x 2 sin x ? 2? x sin xdx ? x 2 sin x ? 2 x cos x ? ? cos xdx

?

?

? x 2 sin x ? 2 x cos x ? 2sin x ? C
ax (8) e cos bxdx , e sin bxdx

?

ax

?

1 1 ax b ax ax ? cos bxd (e ) ? a e cos bx ? a ? e sin bxdx a 1 1 ax b ax ax ax ? e sin bxdx ? a ? sin bxd (e ) ? a e sin bx ? a ? e cos bxdx

?e

ax

cos bxdx ?

联立上两式方程即可解得。 (9) J n ?

? (x

2

dx ? a 2 )n

Jn ? ? ?

? ? dx x 1 x x2 ? 2 ? ? xd ? 2 ? 2 ? 2n ? 2 dx 2 n ? 2 n ( x 2 ? a 2 )n ( x ? a 2 )n ( x ? a 2 ) n ?1 ? (x ? a ) ? (x ? a )

x ( x2 ? a2 ) ? a2 x dx dx ? 2n ? dx ? 2 ? 2n ? 2 ? 2na 2 ? 2 2 2 n 2 2 n ?1 2 n 2 n (x ? a ) (x ? a ) (x ? a ) (x ? a ) ( x ? a 2 ) n ?1 x ? 2 ? 2nJ n ? 2na 2 J n ?1 ( x ? a 2 )n
因此有

J n ?1 ?

x 2n ? 1 ? J n ,我们已知有 2 2 n 2na ( x ? a ) 2na 2
2

dx 1 J1 ? ? 2 ? ? 2 x ?a a

?x? d? ? ? a ? ? 1 arctan x ? C ,由上面的递推公式我们可求得任意 J n 2 a a ?x? 1? ? ? ?a?

2.5.4.有理函数的积分
少数初等函数的原函数不再是初等函数,例如

?e

? x2

dx , ? sin x 2 dx , ? cos x 2 dx

?

sin x cos x x dx , ? dx , ? dx x x ln x

一个不定积分不能用初等函数来表示,并不意味着这个不定积分不存在,相反的,任何连续 函数 f ( x) 都具有原函数,也就是说任何连续函数的不定积分总是存在的,只是这不定积分 不一定能表示成初等函数。 但是有一些类型的函数, 他们的不定积分总能够表示成初等函数, 对这种情形,我们就说这类函数能积分为有限形式。 定理 1:在实数范围内,一个多项式额不可约因式只可能是一次的或者二次的。有理式真分 式

P( x) ,设 Q( x) 的不可约因式分解如下: Q( x)
Q( x) ? ( x ? a1 )h1 ?( x ? ar ) hr ? ( x 2 ? p1 x ? q1 ) k1 ?( x 2 ? ps x ? qs ) ks

则真分式

P( x) 可唯一的表示成以下简单分式之和: Q( x)
r ? A (1) Ai (2) Ai ( hi ) ? P( x) ? ?? i ? ?? ? ? Q( x) i ?1 ? x ? ai ( x ? ai ) 2 ( x ? ai ) hi ? (k ) (k ) ? M j (1) x ? N j (1) M j (2) x ? N j (2) M j j x? Nj j ?? ? 2 ? ?? ? 2 k ? x ? p j x ? q j ( x 2 ? p j x ? q j )2 (x ? p j x ? q j ) j j ?1 ? s

? ? ? ?

简单例子: (1)分式分解 由定理 1 可知
n 3 x 4 ? 2 x 3 ? 3 x 2 ? 1 m A( i ) B( j) x ? C ( j) ?? ?? i ( x ? 2) m ( x 2 ? 1) n ( x 2 ? 1) j i ?1 ( x ? 2) j ?1

3x 4 ? 2 x3 ? 3x 2 ? 1 ( x ? 2) m ( x 2 ? 1) n

?

A(1) A( m ) B (1) x ? C (1) B(n) x ? C (n) ?? ? ?? ? ?? ? ( x ? 2) ( x ? 2) m ( x 2 ? 1) ( x 2 ? 1) n

2.6 定积分 2.6.1.定积分的定义与初等性质
定积分概念的精确化,是黎曼(Riemann)的贡献。所以人们称定积分为“黎曼积分” 。 闭区间 [a, b] 的分割:插入在 a 和 b 质检的有限个分点

P : a ? x0 ? x1 ? ? ? xm ? b
这些分点把 [a, b] 分割成 m 个闭子区间

[ x0 , x1 ],[ x1 , x2 ],?,[ xm?1 , xm ],
其中第 i 个子闭区间的长度为

?xi ? xi ? xi ?1
我们把

| P |? max{?x1 , ?x2 ,?, ?xm }
叫做分割 P 的模。在分割 P 的每一个闭子区间上任意选取一点

?i ? [ xi ?1 , xi ], i ? 1, 2,?, m.
我们把这样 m 个点 ?1 , ? 2 ,? , ? m 叫做相应于分割 P 的一组标志点, 并约定用单独的一个字母

? 来表示它们。
设函数 f 在闭区间 [a, b] 上有定义,对于 [a, b] 的任意一个分割

P : a ? x0 ? x1 ? ? ? xm ? b
和相应于这分割的任意一组标志点 ? ,可以作和数

? ( f , P, ? ) ? ? f (?i )?xi
i ?1

m

我们把这个和数称为函数 f 在闭区间 [a, b] 上的积分和(或者黎曼和) 。如果闭区间 [a, b] 的 分割的序列 {P } 满足条件
n ???

(n)

lim | P ( n ) |? 0

那么我们就说 {P } 是一个无穷细分割序列。

(n)

定义 I:设函数 f 在闭区间 [a, b] 上有定义,如果有存在实数 I 使得对于任意无穷细分割序 列 {P } ,不论相应于每个分割 P( n ) 的标志点组 ?
(n)
n ???

(n)

怎么选择,都有

lim ? ( f , P, ? ) ? I

我们就说函数 f 在闭区间 [a, b] 上可积,并把 I 称为函数 f 在闭区间 [a, b] 上的定积分,记 为

?
这里

b

a

f ( x)dx ? lim ? ( f , P, ? ) ? I
| P|?0

?

称为积分号, f ( x)dx 称为被积分表示式, a 和 b 称为积分限。

常见例子 (1)常值函数 f ( x) ? C 在任何区间 [a, b] 上可积,并且

?

b

a

C ? C (b ? a)

事实上,对于 [a, b] 的任意分割 P 和相应于这分割的任意标志点组 ? ,都有

? (C , P, ? ) ? ? C ?xi ? C (b ? a)
i ?1

m

定理 1 (积分的线性性质) 设函数 f 和 g 在 [a, b] 上可积,? ? R , : 则函数 f ? g 和函数 ? f 也都在 [a, b] 上可积,并且

?

b

a

( f ( x) ? g ( x))dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx
a a

b

b

?

b

a

? f ( x)dx ?? ? f ( x)dx
a

b

定理 2 积分的可加性) 设 a ? b ? c , ( : 如果函数 f 在 [a, b] 和 [b, c] 上都可积, 那么它在 [a, c] 上也可积,并且

?

c

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ?? f ( x)dx
a b

b

c

定理 3(积分的单调性) :设 a ? b ,函数 f 和 g 在 [a, b] 上可积并且满足

f ( x) ? g ( x) , ?x ?[a, b]

则有

?

b

a

f ( x)dx ? ? g ( x)dx
a

b

证明:构造辅助函数 ? ( x) ? g ( x) ? f ( x) 。

定理 4(积分的中值定理) :设 a ? b ,函数 f 和 g 在 [a, b] 上可积,如果

m ? f ( x) ? M , ?x ?[a, b]
那么

m(b ? a) ? ? f ( x)dx ? M (b ? a)
a

b

特别的,如果 f 在 [a, b] 连续,那么存在 c ? [a, b] ,使得

?
即有

b

a

f ( x)dx ? f (c)(b ? a) (用求面积来理解)
1 b f ( x)dx b ? a ?a

f (c) ?

性质 1: a ? b ,则 性质 2: a ? b ,则

?

b

a
b

f ( x)dx ? 0 ;
f ( x)dx ? ?? f ( x)dx ;
b a

?

a

(定积分定义的应用)

?

b

a

f ( x)dx ? lim

b?a n ? f ( xi?1 ) (可以反过来用) n ??? n i ?1

2.6.2 牛顿-莱布尼兹公式
积分上限函数:设 f 在 [a, b] 连续,并且设 x 为 [a, b] 上的一点,现在我们来考察 f ( x) 在部 分区间 [a, x] 上的定积分

?

x

a

f ( x)dx

这里 x 既表示积分上限,又表示积分变量,因为定积分与积分变量的记法无关,所以为了明 确起见,可以吧积分变量改用其他符号,这里可以用 t 表示

?
? ( x) :

x

a

f (t )dt

对于每一个取定制的 x ,定积分有一个对应值,所以它在 [a, x] 上定义了一个函数,记作

?( x) ? ? f (t )dt , (a ? x ? b)
a

x

定理 1:如果函数 f 在 [a, b] 上连续,则积分上限的函数

?( x) ? ? f (t )dt
a

x

在 [a, b] 上可导,并且他的导数即使函数 f 本身,即

? '( x) ?

d x f (t )dt ? f ( x), a ? x ? b dx ?a

证明:若 x ? [a, b] ,设 x 获得增量 ?x ,使得 x ? ?x ? [a, b] ,则 ?( x) 在 x ? ?x 处的函数 值为

?( x ? ?x) ? ?
因此函数 ?( x) 的增量

x ??x

a

f (t )dt

?? ? ?( x ? ?x) ? ? ( x) ? ? ??
x ??x x

x ??x

a

f (t )dt ? ? f (t )dt ? ? f (t )dt ? ?
a a

x

x

x ??x

x

f (t )dt ? ? f (t ) dt
a

x

f (t )dt

在应用积分终止定理,即有等式

?? ? ?
则得到

x ??x

x

f (t )dt ? f (? )?x , ? ?[ x, x ? ?x]
?? ? f (? ) ?x

当 ?x ? 0 时, ? ? x ,因此有

?? ? f ( x) ?x ?0 ?x lim
因此有

? '( x) ? f ( x)

定理 2:如果函数 f 在 [a, b] 上连续,则函数

?( x) ? ? f (t )dt
a

x

就是 f ( x) 在 [a, b] 上的一个原函数。

定理 3(牛顿-莱布尼兹公式) :如果 F ( x) 是连续函数 f ( x) 在 [a, b] 上的一个原函数,则有

?

b

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a)

证明:根据定理 2,我们知道 f ( x) 的积分上限函数是 f ( x) 的一个原函数

?( x) ? ? f (t )dt
a

x

由于 F ( x) 也是函数 f ( x) 的一个原函数,于是这两个原函数之间相差为一个常数,即

F ( x) ? ?( x) ? C , x ?[a, b]
在上式中令 x ? a ,由于 ?(a) ?

?

a

a

f (t )dt ? 0 ,因此有
F (a) ? C

那么有

?( x) ? F ( x) ? C ? F ( x) ? F (a)
令 x ? b ,则

?(b) ? F (b) ? C ? F (b) ? F (a)
也就是说

?(b) ? ? f (t )dt ? F (b) ? F (a)
a

b

命题得证。 简单例子:

(1)

1 3 2 ?0 x dx ? 3 x
1

x ?1

?
x ?0

1 3

(2)

?
?

b

a
b

e x dx ? e x

x ?b x ?a

? eb ? ea

(3)

a

dx b x ?b ? ln | x | x ? a ? ln (这里必须是 b ? a ? 0 ) x a

(4)

?

?

0

sin xdx ? ? ? cos x ? x?0 ? 2

x ??

(5)求极限
n 1 1 1 1 ? 1 1 ? 1 lim ? ? ?? ? ? lim ? ? ?? dx ? ln 2 ? k n 0 1? x n?n? ? n ?1 n ? 2 k ?1 1? n

这里相当于 ?x ? (5)求极限

1 1 ,相当于对 求积分。 n 1? x
1 ?k? 1? ? ? ?n?
2

n n n ? ? n lim ? 2 2 ? 2 ?? ? 2 ? lim ? ? 2 n ? n2 ? ? n ?1 n ? 2 k ?1

?

1 1 1 ? x ?1 ?? dx ? arctan x x ?0 ? 2 n 0 1? x 4

(6)求极限
n 1 1p ? 2 p ? ? ? n p 1 1 ?k? 1 lim ? lim ? ? ? ? ? ? x p dx ? x p ?1 ? p ?1 n ??? n ??? n n 0 p ?1 p ?1 k ?1 ? n ? x ?0 p x ?1

(6)设函数 f ( x) 在 [0, ??) 内连续且 f ( x) ? 0 ,证明函数

F ( x) ?

? ?

x

0 x 0

tf (t )dx f (t )dx

在 (0, ??) 内为单调增加函数。 证明:

d x d x ?0 tf (t )dt ? xf ( x) , dx ?0 f (t )dt ? f ( x) dx
那么

F '( x) ?

xf ( x) ? f (t ) dx ? f ( x) ? tf (t ) dx
0

x

x

??

x

0

f (t )dx

?

0

2

由于

xf ( x)? f (t )dx ? f ( x) ? tf (t )dx ? f ( x) ? ( x ? t ) f (t )dx
0 0 0

x

x

x

且由于

( x ? t ) f (t ) ? 0
那么

xf ( x)? f (t )dx ? f ( x)? tf (t )dx ? f ( x)? ( x ? t ) f (t )dx ? 0
0 0 0

x

x

x

命题得证。

? (8)求 lim
x?0

1

cos x

e ? t dt
2

x2

容易知道这是一个

0 型的未定式,我们利用洛必达法则来计算,分子式可写成 0

??

cos x

1

e?t dt
2

它是以 cos x 为积分上限,作为 x 的函数可看成是以 u ? cos x 为中间变量的复合函数,

?

d cos x ? t 2 d d du d u ?t 2 du ?1 e dt ? ? d (cos x) f (cos x) ? ? du f (u ) ? dt ? ? du ?1 e dt ? dt dt
2 2

? ?e? u ? u ' ? sin xe ? cos

x

? lim
x ?0

1

cos x

e?t dt
2

x

2

sin xe? cos ? lim x ?0 2x

2

x

? lim
x ?0

1 2ecos
2

x

?

1 2e

2.6.3 定积分的换元法和分部积分法
(定积分的换元法) 定理 1:设函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续,函数 x ? ? (t ) 满足条件 (1) ? (? ) ? a , ? ( ? ) ? b ; (2) ? (t ) 在 [? , ? ] 具有连续导数,且值域为 [a, b] , 则有

?
几点注意:

b

a

f ( x)dx ? ? f (? (t ))? '(t )dt
?

?

(1) x ? ? (t ) 把原来变量 x 代换成新变量时, 用 积分限也要变换成相应于新变量 t 的积分限。 (2)直接用新变量 t 求最终的值就可以了。 简单的例子: (1)

?

a

0

a2 ? x2 dx (a ? 0)

x ? a sin t ,由于 0 ? a sin t ? a ,那么 0 ? t ?

?
2


? ?

?

a

0

a 2 ? x 2 dx ? ? 2 a 2 ? a 2 sin 2 t ? a cos tdt ? ? 2 a 2 cos 2 tdt ? a 2 ? 2
0 0 0 t?

?

1 ? cos 2t dt 2

?

a2 ? 1 ? 2 ? ? t ? sin 2t ? ? ? a2 2? 2 ? t ?0
(2)计算

?

4

0

x?2 dx 2x ?1
t 2 ?1 。当 x ? 0 , t ? 1;当 x ? 4 , t ? 3 。 2

令t ?

2x ?1 , x ?

?

4

0

t 2 ?1 t ?3 ?2 2 3 3t ?3 x?2 1?1 3 22 ? 2 dx ? ? tdt ? ? dt ? ? t ? 3t ? ? 1 1 t 2 2?3 2x ?1 ? t ?1 3

定理 2: (奇偶函数积分) (1)若 f ( x) 在 [?a, a] 上连续且为偶函数,则

?

a

?a

f ( x)dx ? 2? f ( x)dx
0

a

(2)若 f ( x) 在 [?a, a] 上连续且为奇函数,则

?
证明: 那么

a

?a

f ( x)dx ? 0

?

a

?a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ,作 t ? ?x
?a 0

0

a

?
故有

0

?a

f ( x)dx ? ? ? f (?t )dt ? ? f (?t )dt ? ? f (? x)dx
a 0 0
0 a a a

0

a

a

?

a

?a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( ? x)dx
?a 0 0 0 a 0

??

? f ( x) ? f (? x) ? dx

(1)如果 f ( x) 在 [?a, a] 上连续且为偶函数,则 f (? x) ? f ( x) ,则

?

a

?a

f ( x)dx ? ?

? f ( x) ? f (?x) ? dx ? 2?0 0
a

a

f ( x)dx

(2)若 f ( x) 在 [?a, a] 上连续且为奇函数,则 f (? x) ? ? f ( x) ,则

?

a

?a

f ( x)dx ? ?

a

0

? f ( x) ? f (?x) ? dx ? 0

(2)分部积分法 依据不定积分的分部积分法可得

?

b

a

u ( x)v '( x)dx ?
b

? ? u( x)v '( x)dx ? ? ?u( x)v( x) ? ? v( x)u '( x)dx ?
b a b a

b a

? ? u ( x)v( x) ? a ? ? v( x)u '( x)dx
这就是定积分的分部积分法 简单例子: (1)

?e
0

1

x

dx
x , x ? t 2 ; x ? 0 , t ? 0 ; x ? 1 , t ? 1; dx ? 2tdt ,原式变为
1 1 1 1 1 0 0 0 0 0

先用换元法,令 t ?

?

1

0

e x dx ? ? 2tet dt ? ? 2td (et ) ? ? 2tet ? ? ? 2et dt ? 2e ? ? 2d (et ) ? 2e ? ? 2et ? ? 2
1 0

2.6.4 定积分的几何应用(微元法)
微元法: (1)根据具体的情况,选取一个变量例如 x 作为积分变量,并确定它的变化区间 [a, b] ; (2)设想把区间 [a, b] 分成 n 个小区间,选取其中任一小区间并记作 [ x, x ? dx] ,求出相应 于这个小区间的部分量 ?U ,将 ?U 近似地表示成函数 f ( x) 在 x 处与 dx 的乘积,并记作

dU ? f ( x)dx
(3)对上式作定积分,得所求量为

U ? ? dU ? ? f ( x)dx
a a

b

b

(平面图形的面积) (1)椭圆

x2 y 2 ? ? 1的面积 a 2 b2

椭圆在四个象限的面积是一样的,设第一象限的面积为 A ,则

dA ? ydx
那么有

A ? ? ydx ? ? b 1 ?
0 0

a

a

x2 dx a2
?

令 x ? a sin t ,
? ? a 2 sin 2 t 1 ? cos 2t ab ? 1 ? 2 ? ab A ? ? 2 b 1? a cos tdt ? ? 2 ab cos 2 tdt ? ? 2 ab dt ? ? t ? sin 2t ? ? 0 0 0 a2 2 2 ? 2 4 ?0 ?

则椭圆的面积为 4A ? ? ab

(2)求抛物线 y ? 2 x 与直线 x ? y ? 4 所围图形的面积。
2

微元的面积为

? y2 ? dA ? ( x2 ? x1 )dy ? ? ( y ? 4) ? ? dy 2 ? ?

y 值范围是 [?2, 4] ,那么面积是
? y2 ? 1 ? ?1 A ? ? ? ( y ? 4) ? ? dy ? ? y 2 ? 4 y ? y 3 ? ? 18 ?2 2 ? 6 ? ?2 ?2 ?
4 4

(极坐标表示的曲线围成的面积)

曲线 ? ? ? (? ) 和射线 ? ? ? , ? ? ? 围成一面积。则积分变量是 ? ,变化区间是 [? , ? ] 。 对于任意一小区间 [? ,? ? d? ] ,扫过的窄曲边扇形面积可以用半径为 ? (? ) ,夹角为 ? 的圆 扇形表示,即

dA ?
那么面积为:

1 2 ?? (? )? d? 2

A??
简单例子

?

?

1 2 ?? (? )? d? 2

(1)计算简单心形线 ? ? a(1 ? cos ? ) 所围成图形的面积。

积分变量的区间为 [0, 2? ] ,则微元为

dA ?
则所求面积为

1 2 ? a(1 ? cos ? )? d? 2
2?

A??

2?

0

1 a2 ? 3 1 3? a 2 2 ? a (1 ? cos ? ) ? d? ? ? ? ? 2sin ? ? sin 2? ? ? ? 2 2 ?2 4 2 ?0

(体积) 1.旋转体的体积

上述旋转体可以看作是由连续曲线 y ? f ( x) ,直线 x ? a 和 x ? b 及 x 轴所围成的曲边 梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体,取 x 为积分变量,变化区间为 [a, b] ,将此区间分割成很 多分,没分区间对应于旋转体的一小片薄片,此薄片的体积近似于以 f ( x) 为底半径,高为

dx 的圆柱体,则体积微元为

dV ? ? [ f ( x)]2 dx
所得旋转体的体积为

V ? ? ? [ f ( x)]2 dx
a

b

上述方法可以推广至一般情况,如下图

立体在 x ? [a, b] 处被垂直于 x 轴的屏幕所截得的截面积为 S ( x) ,将区间 [a, b] 分割成很多 分,在 x 处取其中长度为 dx 的一段区间,得到一份体积微元

dV ? S ( x)dx
则在区间 [a, b] 上该立体体积为

V ? ? S ( x)dx
a

b

简单例子: 求下图中立体体积

取 x 处的横截面积为

S ( x) ?

1 1 1 y ? y tan ? ? y 2 tan ? ? ( R 2 ? x 2 ) tan ? 2 2 2 1 dV ? S ( x)dx ? ( R 2 ? x 2 ) tan ? dx 2

取长度为 dx 的一段区间,得到一份体积微元

那么所求体积为

1 2 1 1 ? 2 ? V ? ? S ( x)dx ? ? ( R ? x 2 ) tan ? dx ? tan ? ? R 2 x ? x 3 ? ? R 3 tan ? ?R ?R 2 2 3 ? ?R 3 ?
R R

R

(曲线的弧长) 1.参数方程

将弧线划分为很多个点 M 0 , M1 ,?, M n ,然后求每一段小弧线的长度,累加起来就是整 个弧线的长度,只要分得够细,则一小段弧线近似等于直线距离。 设弧线参数方程

? x ? ? (t ) , ? ? y ? ? (t )

? ?t ??

其中 ? (t ) 和? (t ) 在 [? , ? ] 上具有连续的导数。以 t 作为积分变量,相应的取 [? , ? ] 上任 意一小段区间 [t , t ? dt ] 的小弧线,它的长度 ?s 近似等于直线长度,即

?s ? (?x) 2 ? (?y ) 2 ,由于

?x ? ? (t ? ?t ) ? ? (t ) ? ? '(t )dt ?y ? ? (t ? ?t ) ?? (t ) ? ? '(t )dt
则弧长微元为

ds ? (dx) 2 ? (dy ) 2 ? (? '(t )) 2 ( dt ) 2 ? (? '(t )) 2 ( dt ) 2 ? (? '(t )) 2 ? (? '(t )) 2 dt
则所求弧长为
?

s??
(2)对于直角坐标方程

?

(? '(t ))2 ? (? '(t ))2 dt

y ? f ( x) , a ? x ? b ,相当于参数方程

?x ? x , a? x?b ? ? y ? f ( x)
代入有弧长公式为

s??

b

a

1 ? ( f '( x))2 dx ? ?

b

a

1 ? ( y ')2 dx

(3)对于极坐标形式 直角坐标系与极坐标的转换关系为

? x ? ? (? ) cos ? , ? ?? ? ? ? ? y ? ? (? ) sin ?
则弧长公式为

s??
由于

?

?

( x '(? ))2 ? ( y '(? ))2 d?

x '(? ) ? ? ? (? ) cos ? ? ? ? '(? ) cos ? ? ? (? ) sin ?
'

y '(? ) ? ? ? (? ) sin ? ? ? ? '(? ) sin ? ? ? (? ) cos ?
'

那么

( x '(? ))2 ? ( y '(? )) 2 ? ? ? '(? ) cos ? ? ? (? )sin ? ? ? ? ? '(? )sin ? ? ? (? ) cos ? ?
2

2

? ? ? (? ) ? ? ? ? '(? ) ?
2

2

故有弧长公式为

s??
(旋转曲面的面积)

?

?

( ? (? ))2 ? ( ? '(? ))2 d?

设曲线参数方程

? x ? ? (t ) , ? ? y ? ? (t )

? ?t ??

曲线绕 x 轴旋转一周, 求所扫过的面积。 相应的取 [? , ? ] 上任意一小段区间 [t , t ? dt ] 的小弧 线,它的长度近似等于直线长度,弧长微元为

ds ? (dx) 2 ? (dy ) 2 ? (? '(t )) 2 ( dt ) 2 ? (? '(t )) 2 ( dt ) 2 ? (? '(t )) 2 ? (? '(t )) 2 dt
这一段弧长扫过的面积可近似等于

dA ? 2? ?? (t ) ? ds ? 2? ?? (t ) (? '(t )) 2 ? (? '(t )) 2 dt
则,曲面扫过的面积为
?

A ? 2? ? ? (t ) (? '(t ))2 ? (? '(t ))2 dt
?

对于直角坐标方程 y ? f ( x) , a ? x ? b ,扫过的面积为

A ? 2? ? y 1 ? ( y ')2 dx
a

b

对于极坐标方程,直角坐标系与极坐标的转换关系为

? x ? ? (? ) cos ? , ? ?? ? ? ? ? y ? ? (? ) sin ?
则扫过的面积为

s ? 2? ? ? (? )sin ? ( ? (? ))2 ? ( ? '(? ))2 d?
?

?

2.6.5.定积分的物理应用(微元法)
(变力沿直线所做的功) 以前学过, ,一个不变的力 F 作用在物体上,物体沿力的方向移动了距离 s ,则力对物体做 的功为

W ? F ?s
一般来说, 一个沿 x 方向的力 F ? f ( x) , 在这个力的方向上物体从 a 点运动到 b 点, 则取 x 处一小段距离 dx ,则力在这段距离内所作的功微元为

dW ? f ( x)dx
则从 a 点运动到 b 点力所做的功为

W ? ? f ( x)dx
a

b

计算功的时候要考虑力的方向。 (水压力) 由高中物理知道,在水深 h 处的压强为 p ? ? gh ,如果有一个面积为 A 的平板水平放在水 深为 h 处,则平板一侧所受的压力为

P ? p? A
对于一个平板各处压强不均的平板,则用下面的方法求压力。

如图所示,左边有半桶水,水平放置,半径为 R ,计算一端所受的压力。如右图分析,设 深度为 x 处,取一小段深度计算此小块面积的压力微元

dF ? 2 ? gx ? R 2 ? x 2 ? dx
则总压力为

?

?

F ? 2? g ? x R ? x dx ? ? ? g ?
2 2 0

R

R

0

3 2 2 2 2 R ? x d (R ? x ) ? ? ? g (R ? x ) 3 2 2 2 2

R

?
0

2 ? gR 2 3

(万有引力) 由物理学知,质量为 m1 , m2 ,相距为 r 的两质点之间的引力的大小为

F ?G

m1m2 r2

其中 G 为引力常数,引力方向沿着两质点的连线方向。 例子:有一长度为 l ,线密度为 ? 的均匀细直棒,在其中垂线上距离 a 处有一质量为 m 的质 点 M ,试计算该棒对质点 M 的引力。

建立如图的坐标系, y 处一小段长度 dy 细棒作为研究对象。 取 其对质点的引力分解为沿 x 轴 方向和沿 y 轴方向。沿 x 轴方向力大小为

dFx ? ?G
沿 y 轴方向力大小为

?a

m ? ? dy ?
2

?y

2

? ?

?

a a2 ? y 2

? ?G

? a2 ? y 2 ?
? my
2

? ma

32

dy

dFy ? G
由于 ?G

?a

m ? ? dy ?
2

?y

2

?

y a ?y
2 2

?G

?a

? y2 ?

32

dy

? a2 ? y2 ?

? ma

32

为偶函数,则整根棒沿 x 轴方向力大小为

Fx ? ? ?

l 2

?l 2

G

?a

? ma
2

?y

2 32

?

dy ? ?2 ? G
0

l 2

?a

? ma
2

? y2 ?

32

dy

令 y ? a tan ? ,则 y ? 0 , ? ? 0 ; y ? l 2 , ? ? arctan

l 。 2a
arctan l 2a

Fx ? ?2?

arctan

l 2a

0

a ? 2G ? m ? G ? d? ? ? ? sin ? ? 32 2 2 cos ? a ? ?0 ? a ? ? ? 2 ? cos ? ?

? ma

??

2G ? ml 1 ? 2 a l ? 4a 2

由于 G

? a2 ? y2 ?

? my

32

为奇函数,因此

Fy ? ?

l 2

?l 2

G

?a

? my
2

? y2 ?

32

dy ? 0


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