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【课堂新坐标】(教师用书)20132014学年高中数学3.2.3空间向量与空间角课时训练新人教版选修21

时间:2019-01-21

【课堂新坐标】 (教师用书)2013-2014 学年高中数学 3.2.3 空 间向量与空间角课时训练 新人教版选修 2-1

一、选择题 1.(2013·济南高二检测)已知 A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直 线 AB 与直线 CD 所成角的余弦值为( A. 5 22 66 5 22 B.- 66 5 22 C. 22 ) 5 22 D.- 22

→ → 【解析】 AB=(2,-2,-1),CD=(-2,-3,-3), → → → → AB·CD 5 5 22 ∴cos〈AB,CD〉= = = , → → 3× 22 66 |AB||CD| 5 22 ∴直线 AB、CD 所成角的余弦值为 . 66 【答案】 A → 3 1 1 2. 已知 A∈α , P?α , PA=(- , , 2), 平面 α 的一个法向量 n=(0, - , - 2), 2 2 2 则直线 PA 与平面 α 所成的角为( A.30° B.45° ) C.60° D.150°

→ 【解析】 设直线 PA 与平面 α 所成的角为 θ ,则 sin θ =|cos〈PA,n〉| - = - 3 2
2

3 2 +

1 1 - × - 2× 2| 2 2 2
2



1 2

2

·

1 - 2

2

+ - 2

2



3 .∴θ =60°. 2

【答案】 C 3.正方形 ABCD 所在平面外一点 P,PA⊥平面 ABCD,若 PA=AB,则平面 PAB 与平面 PCD 的夹角为( A.30° ) B.45° C.60° D.90°

1

【解】

如图所示,建立空间直角坐标系,设 PA=AB=1.则 A(0,0,0),D(0,1,0), →

P(0,0,1).于是AD=(0,1,0).
取 PD 中点为 E, 1 1 则 E(0, , ), 2 2 → 1 1 ∴AE=(0, , ), 2 2 → → 易知AD是平面 PAB 的法向量,AE是平面 PCD 的法向量, ∴ → → AD,AE = 2 , 2

∴平面 PAB 与平面 PCD 的夹角为 45°. 【答案】 B 4.(2013·西安高二检测)一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面,那 么这两个二面角( A.相等 C.相等或互补 ) B.互补 D.无法确定

【解析】 举例说明,如图所示两个二面角的半平面分别垂直,则半平面 γ 绕轴 l 旋 转时,总有 γ ⊥β ,故两个二面角大小无法确定关系. 【答案】 D 5.已知在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=1,AA1=2,E 是侧棱 BB1 的中点,则直线

AE 与平面 A1ED1 所成角的大小为(
A.60° C.45°

) B.90° D.以上都不对

2

【解析】 以点 D 为原点,分别以 DA,DC,DD1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空 间直角坐标系,如图. → → 由题意知,A1(1,0,2),E(1,1,1),D1(0,0,2),A(1,0,0),所以A1E=(0,1,-1),D1E= → (1,1,-1),EA=(0,-1,-1). 设平面 A1ED1 的一个法向量为 n=(x,y,z), → ? ?n·A1E=0, 则? → ? ?n·D1E=0
? ?y-z=0, ?x+y-z=0. ?

??

令 z=1,得 y=1,x=0,所以 n=(0,1,1), → → n·EA -2 cos〈n,EA〉= = =-1. → 2· 2 |n||EA| → 所以〈n,EA〉=180°. 所以直线 AE 与平面 A1ED1 所成的角为 90°. 【答案】 B 二、填空题 6.(2013·荆州高二检测)棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别为 A1B1、BB1 的中点,则异面直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是________.

1 【解析】 依题意,建立如图所示的坐标系,则 A(1,0,0),M(1, ,1),C(0,1,0), 2

N(1,1, ),
→ → 1 1 ∴AM=(0, ,1),CN=(1,0, ), 2 2
3

1 2

→ → ∴cos〈AM,CN〉=

1 2

5 · 2 2

2 = , 5 5

2 故异面直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为 . 5 【答案】 2 5

图 3-2-23 7.如图 3-2-23, 在三棱锥 O-ABC 中,OA=OB=OC=1,∠AOB=90°,OC⊥平面 AOB,

D 为 AB 的中点,则 OD 与平面 OBC 的夹角为________.
【解析】 ∵OA⊥平面 OBC, → ∴OA是平面 OBC 的一个法向量. 而 D 为 AB 的中点,OA=OB, → → ∴∠AOD=〈OD,OA〉=45°. ∴OD 与平面 OBC 所成的角 θ =90°-45°=45°. 【答案】 45° 8.在空间中,已知平面 α 过(3,0,0)和(0,4,0)及 z 轴上一点(0,0,a)(a>0),如果平 面 α 与平面 xOy 的夹角为 45°,则 a=________. 【解析】 平面 xOy 的法向量为 n=(0,0,1),设平面 α 的法向量为 u=(x,y,z),则
?-3x+4y=0, ? ? ?-3x+az=0, ?

即 3x=4y=az,取 z=1,则 u=( , ,1). 3 4 而 cos〈n,u〉= 1

a a

a

2

9 12 又∵a>0,∴a= . 5

+ +1 16

a

2



2 , 2

4

【答案】

12 5

三、解答题

图 3-2-24 9.如图 3-2-24 所示,在四面体 ABCD 中,O,E 分别是 BD,BC 的中点,CA=CB=CD =BD=2,AB=AD= 2. (1)求证 AO⊥平面 BCD; (2)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值.

【解】 (1)证明 连结 OC, 由题意知 BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD. 又 BO=DO,BC=CD,∴CO⊥BD. 在△AOC 中,由已知可得 AO=1,CO= 3, 又 AC=2,∴AO +CO =AC , ∴∠AOC=90°,即 AO⊥OC. ∵BD∩OC=O,∴AO⊥平面 BCD. (2)以 O 为坐标原点建立空间直角坐标系, 则 B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0, 3,0),A(0,0,1),
2 2 2

E( ,

1 2

3 ,0), 2

→ → ∴BA=(-1,0,1),CD=(-1,- 3,0), → → → → BA·CD 2 ∴cos〈BA,CD〉= = . → → 4 |BA|·|CD| ∴异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 2 . 4

10.四棱锥 P—ABCD 的底面是正方形,PD⊥底面 ABCD,点 E 在棱 PB 上.

5

(1)求证:平面 AEC⊥平面 PDB; (2)当 PD= 2AB 且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小.

【解】 如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 Dxyz,设 AB=a,PD=h,则

A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),D(0,0,0),P(0,0,h),
→ → → (1)∵AC=(-a,a,0),DP=(0,0,h),DB=(a,a,0), → → → → ∴AC·DP=0,AC·DB=0, ∴AC⊥DP,AC⊥DB,又 DP∩DB=D,∴AC⊥平面 PDB, 又 AC? 平面 AEC,∴平面 AEC⊥平面 PDB. 1 1 2 (2)当 PD= 2AB 且 E 为 PB 的中点时,P(0,0, 2a),E( a, a, a), 2 2 2 设 AC∩BD=O,O( , ,0)连结 OE,由(1)知 AC⊥平面 PDB 于 O, 2 2 ∴∠AEO 为 AE 与平面 PDB 所成的角, → 1 → 1 2 2 ∵EA=( a,- a,- a),EO=(0,0,- a), 2 2 2 2 → → EA·EO 2 ∴cos∠AEO= = , → → 2 |EA|·|EO| ∴∠AEO=45°,即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45°.

a a

图 3-2-25 11.如图 3-2-25,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 BC,CC1 上的点,CF=
6

AB=2CE,AB∶AD∶AA1=1∶2∶4.
(1)求异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值; (2)证明:AF⊥平面 A1ED; (3)求二面角 A1-ED-F 的正弦值.

【解】 如图所示, 建立空间直角坐标系, 点 A 为坐标原点, 设 AB=1, 依题意得 D(0,2,0),

F(1,2,1,)A1(0,0,4),E(1, ,0).
→ → 1 (1)易得EF=(0, ,1),A1D=(0,2,-4). 2 → → → → EF·A1D 3 于是 cos〈EF,A1D〉= =- . → → 5 |EF||A1D| 3 所以异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值为 . 5 → → → 3 1 (2)已知AF=(1,2,1),EA1=(-1,- ,4),ED=(-1, ,0). 2 2 → → → → 于是AF·EA1=0,AF·ED=0,因此,AF⊥EA1,AF⊥ED,又 EA1∩ED=E. 所以 AF⊥平面 A1ED. (3)设平面 EFD 的法向量 u=(x,y,z), → ? ?u·EF=0 则? → ? ?u·ED=0 1 ? ?2y+z=0 ,即? 1 -x+ y=0 ? ? 2

3 2

.

不妨令 x=1,可得 u=(1,2,-1). → 由(2)可知,AF为平面 A1ED 的一个法向量. → → u·AF 2 于是 cos〈u,AF〉= = , → 3 |u||AF|

7

→ 5 从而 sin〈u,AF〉= . 3 所以二面角 A1-ED-F 的正弦值为 5 . 3

8


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