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2018年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数1第4讲幂函数与二次函数!

时间:2018-01-28


第4讲

幂函数与二次函数

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(2017·郑州外国语学校期中)已知 α ∈{-1,1,2,3},则使函数 y=x 的值域为 R,且为 奇函数的所有 α 的值为( A.1,3 C.-1,3
α α

) B.-1,1 D.-1,1,3
-1

解析 因为函数 y=x 为奇函数,故 α 的可能值为-1,1,3.又 y=x 的值域为{y|y≠0}, 函数 y=x,y=x 的值域都为 R.所以符合要求的 α 的值为 1,3. 答案 A 2.已知 a,b,c∈R,函数 f(x)=ax +bx+c.若 f(0)=f(4)>f(1),则( A.a>0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 B.a<0,4a+b=0 D.a<0,2a+b=0
2 3

)

解析 因为 f(0)=f(4)>f(1),所以函数图象应开口向上,即 a>0,且其对称轴为 x=2,即-

b =2,所以 4a+b=0. 2a
答案 A 1 a 3.在同一坐标系内,函数 y=x (a≠0)和 y=ax+ 的图象可能是(

a

)

1 a 解析 若 a<0,由 y=x 的图象知排除 C,D 选项,由 y=ax+ 的图象知应选 B;若 a>0,y=

a

xa 的图象知排除 A,B 选项,但 y=ax+ 的图象均不适合,综上选 B. a
答案 B 4.若函数 f(x)=x -ax-a 在区间[0,2]上的最大值为 1,则实数 a 等于(
2

1

)

-1-

A.-1 C.2
2

B.1 D.-2

解析 ∵函数 f(x)=x -ax-a 的图象为开口向上的抛物线, ∴函数的最大值在区间的端点取得, ∵f(0)=-a,f(2)=4-3a,
?-a≥4-3a, ? ?-a≤4-3a, ? ∴? 或? 解得 a=1. ?-a=1 ?4-3a=1, ? ?

答案 B 5.若关于 x 的不等式 x -4x-2-a>0 在区间(1,4)内有解,则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,-2) C.(-6,+∞)
2 2

)

B.(-2,+∞) D.(-∞,-6)
2

解析 不等式 x -4x-2-a>0 在区间(1,4)内有解等价于 a<(x -4x-2)max, 令 f(x)=x -4x-2,x∈(1,4), 所以 f(x)<f(4)=-2,所以 a<-2. 答案 A 二、填空题 3 3 3 ?2? ?1? 6.已知 P=2- ,Q=? ? ,R=? ? ,则 P,Q,R 的大小关系是________. 2 ?5? ?2? 3 ? 2?3 2 1 2 ? 2?3 ?1?3 ?2?3 3 解析 P=2- =? ? ,根据函数 y=x 是 R 上的增函数,且 > > ,得? ? >? ? >? ? , 2 ?2? 2 2 5 ? 2 ? ?2? ?5? 即 P>R>Q. 答案 P>R>Q 7.若 f(x)=-x +2ax 与 g(x)=
2 2 2

a

x+1

在区间[1, 2]上都是减函数, 则 a 的取值范围是________.

解析 由 f(x)=-x +2ax 在[1,2]上是减函数可得[1,2]? [a,+∞),∴a≤1. ∵y= 1 在(-1,+∞)上为减函数, x+1

∴由 g(x)= 故 0<a≤1.

a 在[1,2]上是减函数可得 a>0, x+1

答案 (0,1] 8.(2017·湖州调研)已知 f(x+1)=x -5x+4. (1)f(x)的解析式为________; (2)当 x∈[0,5]时,f(x)的最大值和最小值分别是________. 解析 (1)f(x+1)=x -5x+4,令 x+1=t,则 x=t-1,
2 2

-2-

∴f(t)=(t-1) -5(t-1)+4=t -7t+10,∴f(x)=x -7x+10. 7 2 (2)∵f(x)=x -7x+10,其图象开口向上,对称轴 x= , 2 9 ?7? ∵x∈[0,5],∴f? ? =- ,又 f(0)=10, 2 4 ? ?min

2

2

2

f(5)=0.∴f(x)的最大值为 10,最小值为- .
答案 (1)x -7x+10 三、解答题 9.已知幂函数 f(x)=x(m +m) (m∈N )的图象经过点(2, 2),试确定 m 的值,并求满足条件
2 -1 * 2

9 4

9 (2)10,- 4

f(2-a)>f(a-1)的实数 a 的取值范围.
解 幂函数 f(x)的图象经过点(2, 2), 1 2 -1 2 -1 ∴ 2=2(m +m) ,即 2 =2(m +m) . 2 ∴m +m=2.解得 m=1 或 m=-2. 1 * 又∵m∈N ,∴m=1.∴f(x)=x , 2 则函数的定义域为[0,+∞),并且在定义域上为增函数. 2-a≥0, ? ? 由 f(2-a)>f(a-1)得?a-1≥0, ? ?2-a>a-1, 3 ? 3? 解得 1≤a< .∴a 的取值范围为?1, ?. 2 ? 2? 10.已知函数 f(x)=x +(2a-1)x-3. (1)当 a=2,x∈[-2,3]时,求函数 f(x)的值域; (2)若函数 f(x)在[-1,3]上的最大值为 1,求实数 a 的值. 解 (1)当 a=2 时,f(x)=x +3x-3,x∈[-2,3], 3 对称轴 x=- ∈[-2,3], 2 21 ? 3? 9 9 ∴f(x)min=f?- ?= - -3=- , 4 ? 2? 4 2
2 2 2

? ? f(x)max=f(3)=15,∴值域为?- ,15?. 4
21

?

?

2a-1 (2)对称轴为 x=- . 2

-3-

2a-1 1 ①当- ≤1,即 a≥- 时, 2 2

f(x)max=f(3)=6a+3,
1 ∴6a+3=1,即 a=- 满足题意; 3 2a-1 1 ②当- >1,即 a<- 时, 2 2

f(x)max=f(-1)=-2a-1,
∴-2a-1=1,即 a=-1 满足题意. 1 综上可知,a=- 或-1. 3 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 11.(2016·浙江卷)已知函数 f(x)=x +bx, 则“b<0”是“f(f(x))的最小值与 f(x)的最小值 相等”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

2 2 b b2 ? b? b 2 解析 ∵f(x)=x +bx=?x+ ? - ,当 x=- 时,f(x)min=- . 2 4 ? 2? 4

b?2 b2 b b2 b ? 2 又 f(f(x))=(f(x)) +bf(x)=?f(x)+ ? - , 当 f(x)=- 时, f(f(x))min=- , 当- ≥ 2 2 4 2 ? ? 4
- 时, f(f(x))可以取到最小值- , 即 b -2b≥0, 解得 b≤0 或 b≥2, 故“b<0”是“f(f(x)) 4 4 的最小值与 f(x)的最小值相等”的充分不必要条件. 答案 A 12.(2017·长沙一中期中测试 )函数 f(x)=(m -m-1)·x4
2

b2

b2

2

m -m -1

9

5

是幂函数,对任意的 x1,

f(x1)-f(x2) x2∈(0,+∞),且 x1≠x2,满足 >0,若 a,b∈R,且 a+b>0,则 f(a)+f(b) x1-x2
的值( ) B.恒小于 0 D.无法判断

A.恒大于 0 C.等于 0

解析 依题意,幂函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴?
?m -m-1=1, ? ? ?4m -m -1>0,
2 015 9 5 2

解得 m=2,则 f(x)=x ∴函数 f(x)=x
2 015

.

在 R 上是奇函数,且为增函数.
-4-

由 a+b>0,得 a>-b, ∴f(a)>f(-b),则 f(a)+f(b)>0. 答案 A 2 ? ? ,x≥2, 13.已知函数 f(x)=?x 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根, 则实数 k 3 ? ?(x-1) ,x<2, 的取值范围是______. 解析 作出函数 y=f(x)的图象如图.则当 0<k<1 时,关于 x 的方程 f(x) =k 有两个不同的实根. 答案 (0,1) 14.已知函数 f(x)=ax +bx+c(a>0,b∈R,c∈R). (1)若函数 f(x)的最小值是 f(-1)=0,且 c=1,
? ?f(x),x>0, F(x)=? 求 F(2)+F(-2)的值; ?-f(x),x<0, ?
2

(2)若 a=1,c=0,且|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立,试求 b 的取值范围. 解 (1)由已知 c=1,a-b+c=0,且- =-1, 2a 解得 a=1,b=2,∴f(x)=(x+1) .
?(x+1) ,x>0, ? ∴F(x)=? 2 ?-(x+1) ,x<0. ?
2 2

b

∴F(2)+F(-2)=(2+1) +[-(-2+1) ]=8. (2)由 a=1,c=0,得 f(x)=x +bx, 从而|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立等价于-1≤x +bx≤1 在区间(0,1]上恒成立, 1 1 即 b≤ -x 且 b≥- -x 在(0,1]上恒成立.
2 2

2

2

x

x

1 1 又 -x 的最小值为 0,- -x 的最大值为-2.

x

x

∴-2≤b≤0. 故 b 的取值范围是[-2,0]. 15.(2016·嘉兴模拟)已知 m∈R,函数 f(x)=-x +(3-2m)x+2+m. 1 (1)若 0<m≤ ,求|f(x)|在[-1,1]上的最大值 g(m); 2 (2)对任意的 m∈(0,1],若 f(x)在[0,m]上的最大值为 h(m),求 h(m)的最大值.
2 2 ? 3-2m? +4m -8m+17,则对称轴为 x=3-2m, 解 (1)f(x)=-?x- ? 2 ? 4 2 ? 2

-5-

1 3-2m 3 由 0<m≤ ,得 0<2m≤1,则 1≤ < , 2 2 2 故函数 f(x)在[-1,1]上为增函数, 则当 x=1 时,函数 f(x)取得最大值,f(1)=4-m; 当 x=-1 时,函数 f(x)取得最小值 f(-1)=3m-2. 1 3 1 又∵0<m≤ ,∴0<3m≤ ,-2<3m-2≤- , 2 2 2

?1 ? 则|f(-1)|=|3m-2|∈? ,2?, ?2 ? ?7 ? |f(1)|=|4-m|=4-m∈? ,4?, ?2 ?
则|f(1)|>|f(-1)|, 即|f(x)|在[-1,1]上的最大值 g(m)=f(1)=4-m. 3-2m (2)由(1)知函数的对称轴为 x= ,且函数开口向下, 2 1 3-2m 3 由 0<m≤1,则 0<2m≤2,所以 ≤ < , 2 2 2 3-2m 3 2 若 m≤ ,即 0<m≤ 时,函数 f(x)在[0,m]上单调递增,则最大值 h(m)=f(m)=-3m + 2 4 4m+2. 3-2m 3 3-2m 若 m> ,即 <m≤1 时,函数 f(x)在[0,m]上不单调,此时当 x= 时,函数 f(x)取得 2 4 2 17 2 最大值 h(m)=m -2m+ , 4 17 3 ? ?m -2m+ 4 ,4<m≤1, 即 h(m)=? 3 ? ?-3m +4m+2,0<m≤4,
2 2

3 4 2 2 2 当 0<m≤ 时,h(m)=-3m +4m+2 的对称轴为 m=- = ,即当 m= 时,函数 h(m) 4 2×(-3) 3 3 2 2 10 ?2? ?2? 取得最大值 h? ?=-3×? ? +4× +2= . 3 3 ?3? ?3? 3 17 ?3 ? 2 当 <m≤1 时,h(m)=m -2m+ 的对称轴为 m=1,此时函数 h(m)在? ,1?上为减函数,则函 4 4 ?4 ? 2 3 17 53 10 ?3? ?3? 数 h(m)<h? ?=? ? -2× + = < . 4 4 4 4 16 3 ? ? ? ? 10 所以 h(m)的最大值为 . 3

-6-


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