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【2019最新】高中数学2-3圆的方程2-3-3直线与圆的位置关系2-3-4圆与圆的位置关系知识导学案新人教B版必修2

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【2019最新】高中数学2-3圆的方程2-33直线与圆的位置关系2-3-
4圆与圆的位置关系知识导学案新人教B版必修2
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2.3.4 圆与圆的位置关系

知识梳理

1.直线与圆的位置关系

直线 l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),

(1)设圆心(a,b)到直线的距离是 d,d=. | Aa ? Bb ? C |
A2 ? B2

位置关系

几何特征

代数特征(方程联立)

相离

d>r

无实数解(Δ <0)

相切

d=r

一组实数解(Δ =0)

相交

d<r

两组实数(Δ >0)

(2)圆的切线方程:过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程是x0x+y0y=r2.

类比:过圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上一点 P(x0,y0)的切线方程是(x0-a)(x-

a)+(y0-b)(y-b)=r2.

2.两圆的位置关系

设两圆的半径分别为 R、r(R≥r),圆心距为 d,则两圆的位置关系可

用下表表示:

位置关系 相离 外切 相交 内切 内含
知识导学

几何特征 d>R+r d=R+r R-r<d<R+r d=R-r d<R-r

代数特征(方程联立) 无实数解(Δ <0) 一组实数解(Δ =0) 两组实数解(Δ >0) 一组实数解(Δ =0) 无实数解(Δ <0)

通过方程,研究直线与圆、圆与圆的位置关系是本节的主要内容之一.判断直线与 圆、圆与圆的位置关系可以从两个方面入手:

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(1)曲线 C1 与 C2 有无公共点,等价于由它们的方程组成的方程组有无 实数解.方程组有几组实数解,曲线 C1 与 C2 就有几个公共点;方程组 没有实数解,曲线 C1 与 C2 就没有公共点. (2)运用平面几何知识,把直线与圆、圆与圆位置关系的结论转化为相 应的代数结论. 用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、 直线、圆;然后对坐标和方程进行代数运算;最后再把代数运算结果 “翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三 步曲”: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及 的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论. 疑难突破 圆和圆的位置关系的讨论. 剖析:用几何法来判别较好,设两圆心距为 d,两圆的半径分别为 r 和 R,则可以根据 d 与 R+r 的大小关系以及 d 与|R-r|的大小关系判断 两圆的位置关系. 当 r≠R 时,由于 R+r 和|R-r|将数轴分成了五个部分,分别是(-∞,|Rr|),|R-r|,(|R-r|,R+r),R+r,(R+r,+∞). 如图 2-3-(3,4)-1 所示.
图 2-3-(3,4)-1
3/4

所以 d 与|R-r|和 R+r 的大小关系可以分成以上的五种情况进行讨论. 也就是说,两圆的位置关系一共有五种情况. 当 R=r 时,由于|R-r|与原点重合,所以两圆的位置关系只有四种情况: 相离、相切、相交和重合.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

2-3-(3,4)-2

(1)当 d>R+r 时,两圆相离;

(2)当 d=R+r 时,两圆相切;

(3)当|R-r|<d<R+r 时,两圆相交;

(4)当 d=|R-r|时,两圆内切;

(5)当 d<|R-r|时,两圆内含.

(6)当 d=|R-r|=0 时,两圆重合.

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