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2014-2015年度朝阳高三一模数学理科答案

时间:2015-05-16


北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学答案(理工类)
一、选择题(满分 40 分) 题号 答案 题号 答案 1 C 9
1 3 ? ? i 2 2

2015.4

2 C 10
n ?1 3

3 B 11
? ?? ? 2, ? ? 2?

4 A 12 72

5 D 13

6 A

7 B 14
1 1 ; 1 ? ( )n 2 2

8 C

二、填空题(满分 30 分)
2; ?1

(注:两空的填空,第一空 3 分,第二空 2 分) 三、解答题(满分 80 分) 15.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由已知,函数 f ( x) ? cos2 x ? 3 sin x cos x
3 1 sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) + 2 2 π 1 ? sin(2 x ? ) ? . 6 2 函数 f ( x) 的最小正周期为 T ? π .

当 2kπ ?

π π π 2π 3π 时( k ? Z ) ,即 kπ+ ? x ? kπ+ 时,函数 f ( x) 为减函数.即 ? 2 x ? ? 2kπ ? 2 6 6 3 2

π 2π ? ? 函数 f ( x) 的单调减区间为 ? kπ + , kπ + ? , k ? Z . 6 3? ?

………………….9 分
1 ? π π ,即 m ? k ? ? , =kπ ? ( k ? Z ) 2 6 6 2

(Ⅱ)由 x ? m 是函数 y ? f ( x) 图象的对称轴,则 2m ?
k ? Z .则 4 m ? 2 k ? ?

3 ?? .则 sin 4m ? . 2 3

………………….13 分

16. (本小题满分 13 分) 解: ( Ⅰ ) 由 茎 叶 图 可 知 , 分 布 在 [50,60) 之 间 的 频 数 为 4 , 由 直 方 图 , 频 率 为 , 0.1 25 4 ? 32 人. 所以全班人数为 0.125 所以分数在 [80,100] 之间的人数为 32 分数在 [80,100] 之间的频率为

0 . 0 1 2? 5 1 ? 0

(4 8 10)

10 人.

10 ? 0.3125 32

………………….4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,分数在 [80,100] 之间的有 10 份,分数在 [90,100] 之间的人数有

0.0125 10 32=4 份,由题意, X 的取值可为 0,1, 2,3 .

1

P( X ? 0) ?

3 C6 1 ? , 3 C10 6 2 1 C4 C6 3 ? , 3 C10 10

P( X ? 1) ?

1 2 C4 C6 1 ? , 3 C10 2 3 C4 1 ? . 3 C10 30

P( X ? 2) ?

P( X ? 3) ?

所以随机变量 X 的分布列为

X P

0

1

2

3

1 3 10 30 1 1 3 1 6 ? 3 ? ? .………………….13 分 随机变量 X 的数学期望为 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? 6 2 10 30 5
17.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)因为 AB // CD, AB ? 平面 CDE, CD ? 平面 CDE , 所以 AB // 平面 CDE ,同理, AF // 平面 CDE , 又 AB AF ? A, 所以平面 ABF // 平面 CDE , 因为 BF ? 平面 ABF , 所以 BF // 平面 CDE . ……………….4 分
z E F

1 6

1 2

D A B x

C y

(Ⅱ)因为平面 ADEF

平面 ABCD ,平面 ADEF 平面 ABCD ,

平面 ABCD = AD ,

CD

, CD AD

所以 CD

平面 ADEF .又 DE

平面 ADEF ,故 CD

ED .

而四边形 ADEF 为正方形,所以 AD

DE 又 AD

CD ,

以 D 为原点, DA , DC , DE 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标 系 D ? xyz .设 AD ? 1 ,则 D(0,0,0), B(1,1,0), F (1,0,1), C(0,2,0), E(0,0,1) , 取平面 CDE 的一个法向量 DA ? (1,0,0) , 设平面 BDF 的一个法向量 n ? ( x, y, z) ,
? ?x ? y ? 0 ?n ? DB ? 0 则? ,即 ? ,令 x ? 1 ,则 y ? z ? ?1 , 所以 n ? (1, ?1, ?1) . x ? z ? 0 n ? DF ? 0 ? ? ?

设平面 BDF 与平面 CDE 所成锐二面角的大小为 ? ,
2

则 cos? ?| cos ? DA, n ?|?

1 3

?

3 . ……………….9 分 3

所以平面 BDF 与平面 CDE 所成锐二面角的余弦值是 (Ⅲ)
z E F M

3 . 3

D A B x

C y

若 M 与 C 重合,则平面 BDM (C ) 的一个法向量 m0 的一个法向量 n

(0,0,1) ,由(Ⅱ)知平面 BDF

(1, 1, 1) ,则 m0 n = 1
EM ?? 0 EC

0 ,则此时平面 BDF 与平面 BDM 不垂直.

若 M 与 C 不重合,如图设 向量 m ? ( x0 , y0 , z0 ) ,

λ

1 ,则 M (0,2 ?,1 ? ?) ,设平面 BDM 的一个法

? ? x0 ? y0 ? 0 2? ?m ? DB ? 0 则? ,即 ? ,令 x0 ? 1 ,则 y0 ? ?1, z0 ? , 2 ? y ? (1 ? ? ) z ? 0 1 ? ? m ? DM ? 0 0 0 ? ? ?

所以 m ? (1, ?1,

2? ), 1? ?

若平面 BDF ? 平面 BDM 等价于 m ? n ? 0 ,即 1 ? 1 ?

2? 1 ? 0, 所以 ? ? ? ? 0,1? . 1? ? 2
EM 1 ? .……………….14 分 EC 2

所以, EC 上存在点 M 使平面 BDF ? 平面 BDM ,且 18. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 ? x x ? 0? . 当 a ? ?1 时, f ( x) ? ? ln x ?
x2 . 2

1 x 2 ? 1 ( x ? 1)( x ? 1) f ?( x) ? ? ? x ? ? . x x x
( x ? 1)( x ? 1) ( x ? 1)( x ? 1) ? 0 x 0 解得 x ? 1 ;由 ?0 x x x 所以 f ( x) 在区间 (0,1) 单调递减, 在区间 (1, ??) 单调递增.



0 解得 0 ? x ? 1 .

3

所以 x ? 1 时,函数 f ( x) 取得最小值 f (1) ? (Ⅱ) f ?( x) ?
( x ? 1)( x ? a) ,x ?0. x

1 . 2

……………….5 分

(1)当 a ? 0 时, x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数; x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函数. 所以 f ( x) 在 x ? 1 时取得最小值 f (1) ? ?a ? (ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x) ? 有一个零点;
1 (ⅱ)当 a ? ? 时,即 f (1) ? 0 时, f ( x) 有一个零点; 2 1 (ⅲ)当 a ? ? 时,即 f (1) ? 0 时, f ( x) 无零点. 2 1 (ⅳ)当 ? ? a ? 0 时,即 f (1) ? 0 时, 2 由于 x ? 0 (从右侧趋近 0)时, f ( x) ? ?? ; x ? ?? 时, f ( x) ? ?? , 所以 f ( x) 有两个零点.

1 . 2

x2 ? x ,由于 x ? 0 ,令 f ( x) 2

0, x

2 ,则 f ( x) 在 (0, ??) 上

(2)当 0 ? a ? 1 时, x ? (0, a) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函数; x ? (a,1) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数; x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函数. 所以 f ( x) 在 x ? a 处取极大值, f ( x) 在 x ? 1 处取极小值.
1 1 f (a) ? a ln a ? a 2 ? (a ? 1)a ? a ln a ? a 2 ? a . 2 2 当 0 ? a ? 1 时, f (a) ? 0 ,即在 x ? (0,1) 时, f ( x) ? 0 . 而 f ( x) 在 x ? (1, ??) 时为增函数,且 x ? ?? 时, f ( x) ? ?? , 所以此时 f ( x) 有一个零点.

( x ? 1)2 ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立,所以 f ( x) 为增函数. x 且 x ? 0 (从右侧趋近 0)时, f ( x) ? ?? ; x ? ?? 时, f ( x) ? ?? . 所以 f ( x) 有一个零点.

(3)当 a ? 1 时, f ?( x) ?

1 1 1 综上所述, 0 ? a ? 1 或 a ? ? 时 f ( x) 有一个零点; a ? ? 时, f ( x) 无零点; ? ? a ? 0 2 2 2 f ( x) 有两个零点.

……………….13 分 19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由题意可得

4

? c ? 2, ? 6 ? c ? , 解得 a ? 6 , b ? 2 , ? ? 2a 2 3 2 ?a ? b ? c , ?

故椭圆的方程为

x2 y 2 ? ?1. 6 2

…….4 分

(Ⅱ)当直线 l 斜率不存在时 A, B 的坐标分别为 (2, 四边形 AMBN 面积为 S AMBN ?

6 6 ) , (2, ? ) , | MN |? 2 6 , 3 3

1 | MN | ? | AB |? 4 . 2

当直线 l 斜率存在时, 设其方程为 y ? k ( x ? 2) , 点 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) ,M ( x3 , y3 ) ,
N (? x3 , ? y3 ) ,点 M , N 到直线 l 的距离分别为 d1 , d 2 ,则四边形 AMBN 面积为

S AMBN ?

1 | AB | (d1 ? d 2 ) . 2

? x2 y 2 ? 1, ? ? 由? 6 得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 12k 2 x ? 12k 2 ? 6 ? 0 , 2 ? y ? k ( x ? 2), ?

则 x1 ? x2 ?

12k 2 12k 2 ? 6 , , x x ? 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

所以 | AB |? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ]
12k 2 2 12k 2 ? 6 ? (1 ? k 2 )[( ) ? 4 ? ] 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

?

2 6(1 ? k 2 ) . 1 ? 3k 2
?4k , 1 ? 3k 2

因为 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 4) ?

6k 2 ?2k , ). 所以 AB 中点 D( 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

当k

0 时,直线 OD 方程为 x ? 3ky ? 0 ,

? x ? 3ky ? 0, 2 ? 2 由 ? x2 y 2 解得 x3 ? ?3ky3 , y3 . ? 1 ? 3k 2 ? ? 1, ? 2 ?6

所以 S AMBN ?

1 | AB | (d1 ? d 2 ) 2

5

?

1 2 6(1 ? k 2 ) | kx3 ? y3 ? 2k | | ?kx3 ? y3 ? 2k | ? ( ? ) 2 1 ? 3k 2 1? k2 1? k2
6 1 ? k 2 | 2kx3 ? 2 y3 | 1 ? 3k 2 2 6 1 ? k 2 | ?3k 2 y3 ? y3 | 1 ? 3k 2

?

?

?4

3k 2 ? 3 2 ? 4 1? ?4 3. 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

当 k ? 0 时,四边形 AMBN 面积的最大值 S AMBN 综上四边形 AMBN 面积的最大值为 4 3 .

2 6

2

4 3.

…………………………14 分

20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)若 b1 ? 1 ,因为数列 {an } 单调递增,所以 a1 ? 12 ,又 a1 是自然数,所以 a1 ? 0 或 1. (Ⅱ)因为数列 {an } 的每项都是自然数, 若 a1 ? 0 ? 12 ,则 b1 ? 1 ,与 a1 ? b1 矛盾; 若 a1 ? 2 ,则因 {an } 单调递增,故不存在 an ? 12 ,即 b1 ? 0 ,也与 a1 ? b1 矛盾. 当 a1 ? 1 时,因 {an } 单调递增,故 n ? 2 时, a n ? 1 ,所以 b1 ? 1 ,符合条件, 所以, a1 ? 1 . ………6 分 ………2 分

(Ⅲ)若 an ? 2n(n ? 1, 2, ) ,则数列 an 单调递增,显然数列 bm 也单调递增,
1 2 由 an ? m2 ,即 2n ? m2 ,得 n ? m , 2
1 2 所以, bm 为不超过 m 的最大整数, 2

当m

2k 1 k

N 时,因为 2k 2 ? 2k ? m2 ? 2k 2 ? 2k ? ? 2k 2 ? 2k ? 1 ,

1 2

1 2

所以 bm ? 2k 2 ? 2k ; 当m

2k k

N 时, m2 ? 2k 2 ,所以, bm ? 2k 2 .

1 2

综上, bm

2k 2 2k 2 ,

2k , m m

2k 1(k 2k ( k N )
6

N )



即当 m

0 且 m 为奇数时, bm

m2 1 ;当 m 2

0 且 m 为偶数时, bm

m2 . 2

若数列 {an } 是数列 {bm } 的生成数列,且 {bm } 生成 {an } 的控制函数为 g (n) , 则 bm 中不超过 g (n) 的项数恰为 an ,即 bm 中不超过 g (n) 的项数恰为 2n , 所以 b2n ? g (n) ? b2n?1 ,即 2n2 ? pn2 ? qn ? r ? 2n2 ? 2n 对一切正整数 n 都成立, 即?
2 ? ?( p ? 2)n ? qn ? r ? 0 对一切正整数 n 都成立, 2 (2 ? p ) n ? (2 ? q ) n ? r ? 0 ? ?

故得 p ? 2 ,且 ?

又常数 r ? Z , 当 q ? 0 时, 0 ? r ? 2n(n ? 1) ,所以 r ? 0 ,或 r ? 1 ;

?qn ? r ? 0 对一切正整数 n 都成立,故 0 ? q ? 2 , q ? Z . ?(2 ? q)n ? r ? 0

当 q ? 1 时, ?n ? r ? n(n ? 1) ,所以 r ? 0 ,或 r ? ?1 ; 当 q ? 2 时, ?2n ? r ? 0(n ? 1) ,所以 r ? ?2 ,或 r ? ?1 ;
2 所 以 g ( n)? 2n , 或 2n2 ? 1 , 或 2n2 ? n ? 1 , 或 2n2 ? n , 或 2n2 ? 2 n ? 2, 或

(n 2n2 ? 2 n? 1

N ).

………13 分

7


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