高三数学模拟试题(文科)及答案1

数 学（文科）
第Ⅰ卷 选择题（共 60 分） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 10 小题， 每小题 5 分，共 60 分） 1．函数 y ? A．[1，2]

A． k ? 5 C． k ? 5 A． S2013 ? 0, 且S2014 ? 0 C． a2013 ? 0, 且a2014 ? 0

B． k ? 5 D． k ? 6 B． S2013 ? 0, 且S2014 ? 0 D． a2013 ? 0, 且a2014 ? 0

7．设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ，若 ?a2013 ? a1 ? ?a2014 ，则必定有

log 2 (2 x ? 1) 的定义域是
3

B． [1, 2)

1 C．( ,1] 2

1 [ ,1] D． 2

8．已知 O,A,M,B 为平面上四点，且 OM ? ?OB ? (1 ? ?)OA ，实数 ? ? (1, 2) ，则 A. 点 M 在线段 AB 上 C. 点 A 在线段 BM 上 B. 点 B 在线段 AM 上 D. O,A,M,B 一定共线

2．某学校从高三甲、乙两个班中各选 6 名同掌参加数学竞赛，他们取得的 成绩（满分 100 分）的茎叶图如右图所示，其中甲班学生成绩的众数是 85， 乙班学生成绩的平均分为 81，则 x+y 的值为 A.6 B.7 C.8 D.9

9．在 ?ABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ，其中 A ? 120 , b ? 1，且

?ABC 面积为 3 ,则
A． 21

a?b ? sin A ? sin B
B． 2 39
3

C． 2 21

3． “ m ? 0 ”是“函数 f ( x) ? m ? log 2 x( x ? 1) 存在零点”的 A．充分不必要条件 C．充要条件
2 2

D. 2 7

B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
2

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 11．已知点 F1、F2 分别是椭圆 的左、右焦点，A、B 是
以 O（O 为坐标原点）为圆心、|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点， 且△F2AB 是正三角形，则此椭圆的离心率为（ ） A． 3 D.4 12． 已知函数 两侧， Ａ． (?6, 0]

4．已知圆 C : x ? y ? 6 x ? 8 y ? 21 ? 0 ，抛物线 y ? 8 x 的准线为 l ，设抛物线上任意一 点 P 到直线 l 的距离为 m ，则 m ? | PC | 的最小值为 A．5 B. 41 C. 41 -2

3 B． 2
f ( x) ?

C． 2 ? 1

D． 3 ? 1

4 3 y ? x的 x 与 g ( x) ? x ? t ， 若 f ( x ) 与 g ( x) 的交点在直线

5．在 A，B 两个袋中都有 6 张分别写有数字 0，1，2，3，4， 5 的卡片，现 从每个袋中任取一张卡片，则两张卡片上数字之和为 7 的概率为 A．

则实数 t 的取值范围是 （

）
Ｃ． (4, ??) Ｄ． (?4, 4)

1 9

B．

1 18

C．

1 6

D．

1 3

Ｂ． (?6, 6)

6．右图是计算 条件是

1 1 1 1 1 ? ? ? ? 值的一个程序框图，其中判断框内应填入的 2 4 6 8 10
第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分）

二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，满分 20 分，把答案填写在答题卡相应的位置） 13．复数

（Ⅱ）若 D 是 AB 中点，求证：AC1∥平面 B1CD. 19． （本小题满分 12 分） 已知关于 x 的一元二次函数 f ( x) ? ax2 ? 4bx ? 1. (Ⅰ)设集合 P={1，2， 3}和 Q={－1，1，2，3，4}，分别从集 合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b ， 求函数 y ? f ( x) 在区间[ 1,??) 上是增函数的概率；

4+3i 1+2i

的虚部是__

___． ___．

14．函数 f ( x ) ? x ?

1 (x ? 1) 的最小值为__ x ?1

15． 一个几何体的三视图如右图所示， 则该几何体的体积为__

___．

16．在 ?ABC 中，不等式 1 ? 1 + 1 ≥ 9 成立；在凸四边形 ABCD 中， A B C ? 不等式 1 ? 1 + 1 + 1 ≥ 16 成立；在凸五边形 ABCDE 中，不等式 A B C D 2?

?x ? y ? 8 ? 0 (Ⅱ)设点（ a ， b ）是区域 ? 内的随机点，求函数 ?x ? 0 ?y ? 0 ?

y ? f ( x)在区间 [1,??) 上是增函数的概率.
20． （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ? a ln x ( x ? 0) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间和极值； （Ⅱ）若 f ( x) ? 0 对 x ?[1,??) 上恒成立，求实数 a 的取值范围. 21． （本小题满分 12 分） 如下图所示，椭圆 C : x 2 ?

1 1 1 1 1 25 ? + + + ≥ 成 立 ， ? ， 依 此 类 推 ， 在 凸 n 边 形 A1 A2 ? An 中 ， 不 等 式 A B C D E 3?
1 1 ? + A1 A2 ? 1 ≥ An

__

___成立.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共 5 小题，共 70 分） 17． （本小题满分 12 分） 已知函数 f ?x ? ? 2 cos2 x ? sin? 2 x ?

y2 ? 1(0 ? m ? 1) 的左顶点为 A ， M 是椭圆 C 上异于点 A 的任 m

意一点，点 P 与点 A 关于点 M 对称．

? ?

7? ? ?. 6 ?

（Ⅰ）若点 P 的坐标为 ( ,

9 4 3 ) ，求 m 的值； 5 5

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最大值，并写出 f ( x) 取最大值时 x 的取值集合； （Ⅱ） 已知 ?ABC 中， 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 若 f ( A) ? 最小值. 18． （本小题满分 12 分） 在直三棱柱 ABC -A1B1C1 中，已知 AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点 D 在棱 AB 上． (Ⅰ)求证：AC⊥B1C；

（Ⅱ）若椭圆 C 上存在点 M ，使得 OP ? OM ，求 m 的取值范围．

3 , b ? c ? 2. 求实数 a 的 2

请考生从第 22、23、24 题中任选一题做答。如果多做，则按

所做的第一题计分。 22． （本小题满分 10 分）选修 4—1：几何证明选讲 如图，CP 是圆 O 的切线，P 为切点，直线 CO 交圆 O 于 A，B 两点，AD⊥CP，垂足为 D． 求证：∠DAP＝∠BAP．
C D A · O B P

数学（文科）参考答案与评分标准 一、选择题： 题号 答案 二、填空题: 13．-1； 14．3； 15． 1 C 2 D 3 A 4 B 5 A 6 C 7 A 8 B 9 D 10 A 11 D 12 B

2 ； 3

16．

.

(第 21A 题)

23． （本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程 π 在极坐标系中，已知圆 C：ρ＝4cosθ 被直线 l：ρsin(θ－ )＝a 截得的弦长为 2 3，求实 6 数 a 的值．

三、解答题 17． （本小题满分 12 分） 解：(Ⅰ) f ( x) ? 2 cos 2 x ? sin(2 x ?

7? 7? 7? ) ? (1 ? cos 2 x) ? (sin 2 x cos ? cos 2 x sin ) 6 6 6

? 1+

3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1+sin(2 x ? ) . 2 2 6

∴函数 f ( x) 的最大值为 2 .要使 f ( x) 取最大值，则 sin(2 x ? 24． （本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 1 已知 a，b 是正数，求证：a2＋4b2＋ — ≥4． ab

?
6

) ? 1,

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

(k ? Z ) ，解得 x ? k? ?

?
6

,k ?Z .
???6 分

? ? 故 x 的取值集合为 ? ? x x ? k? ? , k ? Z ? . 6 ? ?
（Ⅱ）由题意， f ( A) ? sin(2 A ?

3 ，化简得 sin(2 A ? ? ) ? 1 . 6 2 6 2 ? 5? ? A ? ?0, ? ? ，? 2 A ? ? ? ( ? , 13? ) ，∴ 2 A ? ? ， ∴A? ? . 6 6 6 6 6 3 ) ?1 ?

?

在 ?ABC 中，根据余弦定理，得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos 由 b ? c ? 2 ，知 bc ? (

?
3

? (b ? c) 2 ? 3bc .

b?c 2 2 ) ? 1 ，即 a ? 1 . 2
???12 分

∴当 b ? c ? 1 时，实数 a 取最小值 1 .

18. （本小题满分 12 分）解: (Ⅰ)证明：在△ABC 中，因为 AB=5，AC=4，BC=3， 所以 AC + BC = AB ， 所以
2 2 2

AC⊥BC．

因为 直三棱柱 ABC-A1B1C1，所以 C C1⊥AC， 因为 BC∩AC =C，所以 AC⊥平面 B B1C1C． 所以 AC⊥B1C． ??? 6 分

解：(Ⅰ) f ' ( x) ? 1 ? a ? x ? a ( x ? 0) ,
x x

当 a ? 0 时， f ' ( x) ? 0 ，在 (0,?? ) 上增,无极值； 当 a ? 0 时， 由f ' ( x) ? 上增,
f ( x) 有极小值 f (a) ? (a ? 1) ? a ln a ，无极大值; ??? 6 分

x?a 在 (a,?? ) ? 0, 得x ? a ，f ( x) 在 (0, a ) 上减， x

（Ⅱ）连结 BC1，交 B1C 于 E，连接 DE． 因为直三棱柱 ABC-A1B1C1，D 是 AB 中点，所以 侧面 B B1C1C 为矩形， DE 为△ABC1 的中位线，所以 DE// AC1． 因为 DE ? 平面 B1CD，AC1 ? 平面 B1CD，所以 AC1∥平面 B1CD．??? 12 分 19． （本小题满分 12 分） 解：(Ⅰ)∵函数 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1 的图象的对称轴为 x ?
2

（Ⅱ） f ' ( x) ? 1 ?

2b , a
a

a x?a ， ? x x 当 a ? 1 时， f ' ( x) ? 0 在 [1,??) 上恒成立，则 f ( x) 是单调递增的， 则只需 f ( x) ? f (1) ? 0 恒成立，所以 a ? 1 , a ? 1 时， f ( x) 在上 (1, a ) 减，在 (a,?? ) 上单调递增，所以当 x ? (1, a) 时， 当 f ( x) ? f (1) ? 0 这与 f ( x) ? 0 恒成立矛盾，故不成立,综上： a ? 1 .??? 12 分

要使 f ( x) ? ax2 ? 4bx ? 1 在区间 [1,??) 上为增函数，当且仅当 a >0 且 2b ? 1, 即2b ? a ， 若 a =1 则 b =－1；若 a =2 则 b =－1，1；若 a =3 则 b =－1，1； ∴事件包含基本事件的个数是 1+2+2=5， 5 1 ∴所求事件的概率为 ? . ???6 分 15 3 (Ⅱ)由（1）知当且仅当 2b ? a 且 a >0 时，函数 f ( x) ? ax2 ? 4bx ? 1在区是间 [1,??) 上为增函数， 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为 ?(a, b) | ?a ? 0
? ? ? ? ?a ? b ? 8 ? 0 ? ? ，构成所求事件的区域 ? ? ?b ? 0 ? ? ?

21． （本小题满分 12 分） 解： （Ⅰ）依题意， M 是线段 AP 的中点，

??? 2 分

??? 6 分

为三角形部分. 由? ?

?a ? b ? 8 ? 0 16 8 得交点坐标为 ( , ), a 3 3 b? ? 2 ?

??? 8 分

1 8 ?8? 3 ? 1 .???12 分 ∴所求事件的概率为 P ? 2 1 3 ?8?8 2

??? 10 分

20. （本小题满分 12 分）

（或：导数法）

24．选修 4—5：不等式选讲 1 已知 a，b 是正数，求证：a2＋4b2＋ — ≥4． ab 证明：因为 a，b 是正数，所以 a2＋4b2≥4ab． 1 1 所以 a2＋4b2＋ — ≥4ab＋ — ≥2 ab ab 1 即 a2＋4b2＋ — ≥4． ab 1 4ab× — ＝4． ab ??????10 分

??????2 分

??? 12 分

22 选修 4—1：几何证明选讲 证明：因为 CP 与圆 O 相切，所以∠DPA＝∠PBA． 因为 AB 为圆 O 直径，所以∠APB＝90° ， 所以∠BAP＝90° －∠PBA． 因为 AD⊥CP，所以∠DAP＝90° －∠DPA， 所以∠DAP＝∠BAP．
C D A · O B P

??????2 分

??????6 分

??????10 分

23．选修 4—4：坐标系与参数方程 解：因为圆 C 的直角坐标方程为(x－2) 2＋y2＝4， 直线 l 的直角坐标方程为 x－ 3y＋2a＝0．

(第 22 题)

??????4 分 ??????6 分

|2＋2a| 所以圆心 C 到直线 l 的距离 d＝ ＝|1＋a|． 2 因为圆 C 被直线 l 截得的弦长为 2 3，所以 r2－d2＝3． 即 4－(1＋a)2＝3．解得 a＝0，或 a＝－2．

??????10 分