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高中新课程数学(新课标人教A版)选修1-1《2.3.2 抛物线的简单几何性质》课件

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2.3.2 抛物线的简单几何性质

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【课标要求】 1.掌握抛物线的性质、焦半径、焦点弦的应用. 2.掌握直线与抛物线位置关系的判断. 【核心扫描】 1.会用抛物线的性质解决与抛物线相关的综合问题.(重点) 2.直线与抛物线的位置关系的应用.(难点)

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自学导引 1.抛物线的几何性质 类型 y2=2px (p>0) y2=-2px x2=2py x2=-2py (p>0) (p>0) (p>0)

图象

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性 质

焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 开口方向

?p ? F?2,0? ? ?

? p ? F?-2,0? ? ?

? p? F?0,2? ? ?

? p? F?0,-2? ? ?

p x=-2 x≥0, y∈R x轴

p x=2 x≤0, y∈R

p y=-2 y≥0, x∈R

p y=2 y≤0,x∈R y轴

原点(0,0) e=1 向右 向左
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向上
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向下
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想一想:抛物线x2=2py(p>0)有几条对称轴?是否是中心对称 图形? 提示 有一条对称轴即y轴,不是中心对称图形.

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2.焦半径与焦点弦 抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径,过焦点的直 线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦,设抛物线上任意一点 P(x0,y0),焦点弦端点A(x1,y1),B(x2,y2),则四种标准形式 下的焦点弦,焦半径公式为

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标准 方程 焦半 径|PF| 焦点

y2=2px (p>0) |PF|= p x0+2 |AB|=

y2=-2px (p>0) |PF|= p 2-x0 |AB|=

x2=2py (p>0) |PF|= p y0+2 |AB|=

x2=-2py (p>0) |PF|= p 2-y0 |AB|=

弦|AB| x1+x2+p p-x1-x2 y1+y2+p p-y1-y2

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试一试:通过焦点垂直于对称轴的抛物线的弦叫通径,试求抛 物线y2=2px的通径的长度. 提示 通径的长度为2p.

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名师点睛 1.抛物线与双曲线的区别 (1)抛物线的几何性质和双曲线的几何性质比较起来,差别较 大,它的离心率为1,只有一个焦点、一个顶点、一条对称 轴、一条准线,它没有对称中心. (2)抛物线与双曲线的一支,尽管它们都是不封闭的有开口的 光滑曲线,但是它们的图象性质是完全不同的.事实上,从开 口的变化规律来看,双曲线的开口是越来越阔,而抛物线开口 越来越趋于扁平.

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2.抛物线的焦点弦 如图,AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点 F的一条弦,设A(x1,y1)、B(x2,y2), AB的中点M(x0,y0),相应的准线为l. (1)以AB为直径的圆必与准线l相切; p (2)|AB|=2(x0+ )(焦点弦长与中点关系); 2 (3)|AB|=x1+x2+p;

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2p (4)若直线AB的倾斜角为α,则|AB|= 2 ; sin α 如当α=90°时,AB叫抛物线的通径,是焦点弦中最短的; (5)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即x1·x2= p2 ,y1·y2=-p2. 4

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3.直线与抛物线的位置关系 设直线l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛 物线方程联立整理成关于x的方程ax2+bx+c=0的形式, (1)若a=0,直线与抛物线有一个公共点,此时直线平行于抛 物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共 点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. (2)若a≠0, 当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个公共点; 当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个公共点; 当Δ <0时,直线与抛物线相离,无公共点.
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题型一 抛物线几何性质的应用 x2 y2 【例1】 已知双曲线方程是 - =1,求以双曲线的右顶点为 8 9 焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程. [思路探索] 可先利用双曲线的右顶点求出抛物线的焦点,再

求出参数p,写出抛物线的方程.

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x2 y2 p 解 因为双曲线 8 - 9 =1的右顶点坐标为(2 2 ,0),所以 2 = 2 2 ,且抛物线的焦点在x轴正半轴上,所以,所求抛物线方

程为y2=8 2x,其准线方程为x=-2 2. 规律方法 根据抛物线的几何性质求抛物线的方程,需要确定 对称轴和开口方向以及一个待定系数p,即先定型,再定量, 必要时结合图形.

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【变式1】 抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆9x2+4y2 =36短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为3,求抛物 线的方程及抛物线的准线方程. x2 y2 解 椭圆的方程可化为 4 + 9 =1,其短轴在x轴上, ∴抛物线的对称轴为x轴, ∴设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p>0). p ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3,即 =3,∴p=6. 2 ∴抛物线的标准方程为y2=12x或y2=-12x, 其准线方程分别为x=-3和x=3.
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题型二

直线与抛物线的位置关系

【例2】 求过点P(0,1)且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直 线方程. [思路探索] 情况. 借助图形讨论直线斜率不存在、为0或不为0三种

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解 (1)若直线斜率不存在,则过P(0,1)的直线方程为x=0.直线 x=0与抛物线只有一个公共点. (2)若直线斜率存在,设为k, 则过P的直线方程为y=kx+1.
? ?y=kx+1, 由方程组? 2 消元得:k2x2+2(k-1)x+1=0, ? ?y =2x,

①当k=0时,得

1 ? ?x= , ? 2 ? ?y=1,

即直线y=1与抛物线只有一个公共

点.②当k≠0时,若直线与抛物线只有一个公共点,则Δ=4(k- 1 1) -4k =0.∴k=2,
2 2
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1 ∴直线方程为:y=2x+1. 1 综上所述:所求直线方程为x=0或y=1或y=2x+1. 规律方法 要判断直线与抛物线的位置关系,通常是通过讨论 直线方程与抛物线方程组成的方程组的解的情况来判断,对于 直线与抛物线只有一个公共点的情况,应特别注意平行于抛物 线对称轴的直线与抛物线只有一个公共点,但它不是切线,不 能用Δ=0求解,此时应分类讨论.

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【变式2】 已知顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线被直线x- 2y-1=0截得的弦长为 15,求此抛物线方程. 解 设抛物线方程为x2=ay(a≠0),
2 ? ?x =ay, 由? 消去y,得2x2-ax+a=0. ? ?x-2y-1=0,

∵直线与抛物线有两个交点, ∴Δ =(-a)2-4×2×a>0,即a<0或a>8.

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设直线与抛物线两交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2), a a 1 则x1+x2=2,x1x2=2,y1-y2=2(x1-x2), ∴|AB|= (x1-x2) +(y1-y2) = =
2 2

5 2 ( x 1-x2) 4

5 1 2 [(x1+x2) -4x1x2]= 5(a2-8a). 4 4

1 ∵|AB|= 15,∴4 5(a2-8a)= 15, 即a2-8a-48=0,解得a=-4或a=12, ∴所求抛物线方程为x2=-4y或x2=12y.
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题型三 有关焦点弦、中点弦问题 【例3】 抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点倾 斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,求抛物线的方 程. [思路探索] 根据题意先设出抛物线和直线方程,然后联立两

方程求弦长,注意焦半径公式的应用.

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解 如图,依题意设抛物线方程为 y2=2px(p>0), 1 则直线方程为y=-x+ p. 2 设直线交抛物线于A(x1,y1), B(x2,y2),则由抛物线定义,得 p p |AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1+ +x2+ =8.又A(x1,y1), 2 2

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1 ? ?y=-x+ p, 2 B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,由 ? 消去y,得 2 ? y ? =2px
2 p x2-3px+ =0, 4

∴x1+x2=3p.将其代入①得p=2, ∴所求抛物线方程为y2=4x.当抛物线方程设为y2=-2px时, 同理可求得抛物线方程为y2=-4x.

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规律方法 (1)在解决与焦点弦有关的问题时,一是注意焦点 弦所在的直线方程和抛物线方程联立得方程组,再结合根与系 数的关系解题;二是注意焦点弦、焦半径公式的应用,解题时 注意整体代入的思想,可使运算、化简简便. (2)在解决直线与抛物线的问题中经常遇到中点弦的问题,处 理的基本方法是点差法、利用根与系数的关系快速地求出中点 弦所在直线的斜率.

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【变式3】 过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,恰被Q所平 分,求AB所在的直线方程. 解 设以Q为中点的弦AB端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2), ① ② ③ ④ 由题意,得x1≠x2,则有y2 1=8x1,
2 y2 =8x2

x1+x2=8,y1+y2=2. ①-②,得(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2) 将③代入④,得y1-y2=4(x1-x2), y1-y2 即4= ,∴k=4. x1-x2 ∴所求弦AB所在直线方程为y-1=4(x-4), 即4x-y-15=0.
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题型四

抛物线中的定值、定点问题

【例4】 (12分)已知A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,并满足 OA⊥OB,求证: (1)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积,分别都是一个定值; (2)直线AB经过一个定点. 审题指导 设直线AB方程 → 联立方程组 → 消元得关于y的方程 →

Δ>0



利用根与系数的关系



由OA⊥OB列方程



求出b、p关系式 → 得证

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[规范解答] b,(2分)

(1)因为AB斜率不为0,设直线AB方程为my=x+

? ?my=x+b 由? 2 消去x,得y2-2pmy+2pb=0. ? ?y =2px

由Δ=(-2pm)2-8pb>0,(4分) 又∵y1+y2=2pm,y1y2=2pb,(6分) 又∵OA⊥OB,∴x1·x2+y1·y2=0,
2 y2 · y 1 2 ∴ 4p2 +y1·y2=0,∴b2+2pb=0,

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∴b+2p=0,∴b=-2p.(8分) ∴y1y2=-4p2,x1·x2=b2=4p2,所以A、B两点的横坐标之 积、纵坐标之积,分别是4p2和-4p2;(10分) (2)AB方程为my=x-2p,所以AB过定点(2p,0).(12分)

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【题后反思】 在直线和抛物线的综合题中,经常遇到求定 值,过定点的问题,解决这类问题的方法有很多,例如斜率 法、方程法、向量法、参数法等.解决这类问题的关键是代换 和转化.有时利用数形结合思想能达到避繁就简、化难为易、 事半功倍的效果.

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【变式4】 如图,过抛物线y2=x 上一点A(4,2)作倾斜角互补的两 条直线AB,AC交抛物线于B,C两点, 求证:直线BC的斜率是定值. 证明 设kAB=k(k≠0),

∵直线AB,AC的倾斜角互补, ∴kAC=-k(k≠0), ∵AB的方程是y=k(x-4)+2.
? ?y=k(x-4)+2, 由方程组? 2 ? ?y =x,
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消去y后,整理,得 k2x2+(-8k2+4k-1)x+16k2-16k+4=0. ∵A(4,2),B(xB,yB)是上述方程组的解. 16k2-16k+4 4k2-4k+1 ∴4·xB= ,即xB= . k2 k2 4k2+4k+1 以-k代换xB中的k,得xC= , k2 yB-yC k(xB-4)+2-[-k(xC-4)+2] ∴kBC= = xB-xC xB-xC 8k2+2 k(xB+xC-8) k( k2 -8) 1 = = =-4. xB-xC -8k k2 所以直线BC的斜率为定值.
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方法技巧

探索性问题的求解策略

高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径,解决非传统 完备问题的能力,是命题者根据学科特点,将数学知识有机结 合并赋予新的情境创设而成的,要求考生自己观察、分析、创 造性地运用所学知识和方法解决问题,是思维的一种“放养” 形式.

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【示例】 已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2). (1)求抛物线C的方程,并求其准线方程; (2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛 5 物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于 ?若存在,求出 5 直线l的方程;若不存在,说明理由. [思路分析] (1)将点A代入y2=2px,求出p值可得抛物线方程; (2)直线方程与抛物线方程联立,注意判别式Δ的限制作用. 解 (1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p· 1,

∴p=2,故所求的抛物线方程为y2=4x, 其准线方程为x=-1;
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(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t,
2 ? ?y =4x, 由? 得y2+2y-2t=0, ? ?y=-2x+t

因为直线l与抛物线C有公共点, 1 所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-2. 5 |t| 5 另一方面,由直线OA与直线l的距离等于 5 可得 = 5 ,∴t 5 1 1 =± 1,由于-1?[-2,+∞),1∈[-2,+∞), 所以符合题意的直线l存在,其方程为y=-2x+1.
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方法点评 解决探索性问题,对观察、联想、类比、猜测、抽 象、概括诸方面有较高要求,高考题中一般对这类问题有如下 方法:(1)直接求解;(2)观察——猜测——证明;(3)赋值推 断;(4)数形结合;(5)联想类比;(6)特殊——一般——特 殊.充分利用题设条件是解题关键.

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