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4.1.1 圆的标准方程(课时训练及答案)

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高中数学(人教 A 版,必修二)课时作业

第四章 圆与方程 §4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程
【课时目标】 1.用定义推导圆的标准方程,并能表达点与圆的位置关系. 2.掌握求 圆的标准方程的不同求法.

1.设圆的圆心是 A(a,b),半径长为 r,则圆的标准方程是________________,当圆的圆 心在坐标原点时,圆的半径为 r,则圆的标准方程是________________. 2.设点 P 到圆心的距离为 d,圆的半径为 r,点 P 在圆外?________;点 P 在圆上? ________;点 P 在圆内?________.

一、选择题 1 1.点(sin θ,cos θ)与圆 x2+y2= 的位置关系是( ) 2 A.在圆上 B.在圆内 C.在圆外 D.不能确定 2.已知以点 A(2,-3)为圆心,半径长等于 5 的圆 O,则点 M(5,-7)与圆 O 的位置关系 是( ) A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.无法判断 3.若直线 y=ax+b 通过第一、二、四象限,则圆(x+a)2+(y+b)2=1 的圆心位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.圆(x-3)2+(y+4)2=1 关于直线 y=x 对称的圆的方程是( ) 2 2 A.(x+3) +(y+4) =1 B.(x+4)2+(y-3)2=1 C.(x-4)2+(y-3)2=1 D.(x-3)2+(y-4)2=1 5.方程 y= 9-x2表示的曲线是( ) A.一条射线 B.一个圆 C.两条射线 D.半个圆 6.已知一圆的圆心为点(2,-3),一条直径的两个端点分别在 x 轴和 y 轴上.则此圆的 方程是( ) A.(x-2)2+(y+3)2=13 B.(x+2)2+(y-3)2=13 C.(x-2)2+(y+3)2=52 D.(x+2)2+(y-3)2=52 二、填空题 7.已知圆的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是(5,6),(3,-4),则这个圆的方程 是________________________________________________________________________. 8.圆 O 的方程为(x-3)2+(y-4)2=25,点(2,3)到圆上的最大距离为________. 9.如果直线 l 将圆(x-1)2+(y-2)2=5 平分且不通过第四象限,那么 l 的斜率的取值范围 是________.

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三、解答题 10.已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1)和 B(2,-2),且圆心 C 在直线 l:x-y+1=0 上, 求圆心为 C 的圆的标准方程.

11.已知一个圆与 y 轴相切,圆心在直线 x-3y=0 上,且该圆经过点 A(6,1),求这个圆 的方程.

能力提升 12.已知圆 C:(x- 3)2+(y-1)2=4 和直线 l:x-y=5,求 C 上的点到直线 l 的距离的 最大值与最小值.

13.已知点 A(-2,-2),B(-2,6), C(4, -2),点 P 在圆 x2+y2=4 上运动, 求|PA|2+|PB|2 2 +|PC| 的最值.

1.点与圆的位置关系的判定:(1)利用点到圆心距离 d 与圆半径 r 比较.(2)利用圆的标准 方程直接判断,即(x0-a)2+(y0-b)2 与 r2 比较. 2.求圆的标准方程常用方法:(1)利用待定系数法确定 a,b,r,(2)利用几何条件确定圆 心坐标与半径. 3.与圆有关的最值问题,首先要理清题意,弄清其几何意义,根据几何意义解题;或对

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代数式进行转化后用代数法求解.

第四章 圆与方程 § 4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程 答案
知识梳理 1.(x-a)2+(y-b)2=r2 2.d>r d=r d<r 作业设计 x2+y2=r2

1 1.C [将点的坐标代入圆方程,得 sin2θ+cos 2θ=1> ,所以点在圆外.] 2 2.B [点 M(5,-7)到圆心 A(2,-3)的距离为 5,恰好等于半径长,故点在圆上.] 3.D [(-a,-b)为圆的圆心,由直线经过一、二、四象限,得到 a<0,b>0,即-a>0, -b<0,再由各象限内点的坐标的性质得解.] 4.B [两个半径相等的圆关于直线对称,只需要求出关于直线对称的圆心即可,(3,- [由 y= 9-x2知,y≥0,两边平方移项,得 x2+y2=9.∴选 D.] 4)关于 y=x 的对称点为(-4,3)即为圆心, 1 仍为半径. 即所求圆的方程为(x+4)2+(y-3)2=1. ] 5.D 6.A 则 [设直径的两个端点为 M(a,0),N(0,b),

a+0 b+0 =2?a=4, =-3?b=-6. 2 2

所以 M(4,0),N(0,-6). 因为圆心为(2,-3), 故 r= ?2-4?2+?-3-0?2= 13. 所以所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=13.] 7.(x-4)2+(y-1)2=26 解析 圆心即为两相对顶点连线的中点,半径为两相对顶点距离的一半. 8.5+ 2 解析 点(2,3)与圆心连线的延长线与圆的交点到点 (2,3)的距离最大,最大距离为点 (2,3) 到圆心(3,4)的距离 2加上半径长 5,即为 5+ 2. 9.[0,2]

解析 由题意知 l 过圆心(1,2),由数形结合得 0≤k≤2. 10.解 因为 A(1,1)和 B(2,-2), 3 1? 所以线段 AB 的中点 D 的坐标为? ?2,-2?, 直线 AB 的斜率 kAB= -2-1 =-3, 2-1

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3 1 1 x- ?,即 x-3y-3=0. 因此线段 AB 的垂直平分线 l′的方程为 y+ = ? 2 3? 2?

?x-3y-3=0, ? 圆心 C 的坐标是方程组? 的解. ? ?x-y+1=0 ? ?x=-3, 解此方程组,得? 所以圆心 C 的坐标是(-3,-2). ?y=-2. ?
圆心为 C 的圆的半径长 r=|AC|= ?1+3?2+?1+2?2=5. 所以,圆心为 C 的圆的标准方程是(x+3)2+(y+2)2=25. 11.解 设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2 (r>0). |a|=r ? ? 由题意得?a-3b=0 ? ??6-a? +?1-b? =r
2 2



2

解得 a=3,b=1,r=3 或 a=111,b=37,r=111. 所以圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9 或(x-111)2+(y-37)2=1112. | 3-1-5| 12. 解 由题意得圆心坐标为( 3,1),半径为 2, 则圆心到直线 l 的距离为 d= 2 6 6 6 =3 2- ,则圆 C 上的点到直线 l 距离的最大值为 3 2- +2,最小值为 3 2- -2. 2 2 2 13.解 设 P 点坐标(x,y),则 x2+y2=4. |PA|2+|PB|2+|PC|2=(x+2)2+(y+2)2+(x+2)2+(y-6)2+(x-4)2+(y+2)2=3(x2+y2)-4y +68=80-4y. ∵-2≤y≤2,∴72≤|PA|2+|PB|2+|PC|2≤88. 即|PA|2+|PB|2+|PC|2 的最大值为 88,最小值为 72.


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