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圆锥曲线重点知识点总结

时间:2018-07-02


双曲线

x2 y2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 2 b 的焦半径公式 7.双曲线 a a2 a2 PF1 =| e( x + ) | PF2 =| e( ? x) | c , c .
8.双曲线的内外部

x2 y2 x2 y2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) ? 0 ? 0 >1 2 P( x0 , y0 ) b a2 b2 (1)点 在双曲线 a 的内部 . x2 y2 x2 y2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) ? 0 ? 0 <1 P( x0 , y0 ) 在双曲线 a 2 b a2 b2 (2)点 的外部 .
9.双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2 y2 x2 y2 ? 2 =1 ? 2 =0? y=±b x 2 2 ? 渐近线方程: a b b a . (1)若双曲线方程为 a
x y x2 y2 b ± =0 ? =λ y=± x ? 双曲线可设为 a 2 b 2 a ? a b (2)若渐近线方程为 . x2 y2 x2 y2 ? 2 =1 ? 2 =λ 2 2 b b (3)若双曲线与 a 有公共渐近线,可设为 a ( λ > 0 ,焦点在 x 轴
上, λ < 0 ,焦点在 y 轴上). 10.双曲线的切线方程

x0 x y0 y x2 y 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) ? 2 =1 2 2 P ( x0 , y0 ) b b (1)双曲线 a 上一点 处的切线方程是 a . x2 y 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 2 P ( x0 , y0 ) b 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 (2)过双曲线 a x0 x y0 y ? 2 =1 a2 b . x2 y 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 2 b (3 双 曲 线 a 与 直 线 Ax + By + C = 0 相 切 的 条 件 是
A2 a 2 ? B 2 b 2 = c 2 .
11.焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度(即 b 值) 抛物线

椭圆

? x = a cos θ x2 y2 ? + 2 = 1(a > b > 0) 2 y = b sin θ . b 1.椭圆 a 的参数方程是 ? x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 2 b 焦半径公式 2.椭圆 a

PF1 = a + ex



PF2 = a ? ex F1 , F2分别为左右焦点 ,

x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 2 PF F b 3.焦点三角形:P 为椭圆 a 上一点,则三角形 1 2 的面积
b 2 ? tan
S=

∠PF1 F2 ; 2 PF ⊥ PF2 , 2 特别地,若 1 此三角形面积为 b ;

x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 2 PF ⊥ PF2 b 4. 在椭圆 a 上存在点 P, 使 1 的条件是 c≥b,即椭圆的离心率

2 ,1) e 的范围是 2 ; [
5.椭圆的的内外部

x2 y 2 x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) ? 0 + 0 <1 2 P ( x0 , y0 ) b a2 b2 在椭圆 a 的内部 . (1)点
2 2 x0 y0 x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) ? 2 + 2 >1 2 P ( x0 , y0 ) b a b (2)点 在椭圆 a 的外部 .

6.椭圆的切线方程

x0 x y0 y x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) + 2 =1 2 2 P ( x0 , y0 ) b b (1)椭圆 a 上一点 处的切线方程是 a . x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 2 P ( x0 , y0 ) b (2) 过 椭 圆 a 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 x0 x y0 y + 2 =1 a2 b . x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 2 b (3) 椭 圆 a 与 直 线 Ax + By + C = 0 相 切 的 条 件 是 A2 a 2 + B 2 b 2 = c 2 .

12.焦点与半径

a a 抛物线y 2 = ax(a ≠ 0), 焦点是( , 0), 准线x = ? ; 4 4 a a 抛物线x2 = ay (a ≠ 0), 焦点是(0, ), 准线y = ? ; 4 4
13.焦半径公式

( x0 , y0 ) 抛物线 y = 2 px( p > 0) ,C 为抛物线上一点,焦半径
2

CF = x0 +

p 2.

CD = x1 +
14.过焦点弦长

p p + x 2 + = x1 + x 2 + p 2 2 .

对焦点在 y 轴上的抛物线有类似结论。 15.设点方法

y0 2 ,y ) y 2 = 2 px 上的动点可设为 P 2 p 0 或 P (2 pt 2 ,2 pt )或 P ( xo , yo ) ,其中 抛物线 (
2 y0 = 2 px0

.

圆锥曲线共性问题 16.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线

f1 ( x, y ) = 0 f 2 ( x, y ) = 0
,

的交点的曲线系方程是

f1 ( x, y) + λ f2 ( x, y) = 0 λ ( 为参数). x2 y2 + 2 =1 2 2 2 (2) 共 焦 点 的 有 心 圆 锥 曲 线 系 方 程 a ? k b ? k , 其 中 k < max{a , b } . 当 k > min{a 2 , b 2 } 时,表示椭圆; 当 min{a 2 , b 2 } < k < max{a 2 , b 2 } 时,表示双曲线.
17.直线与圆锥曲线相交的弦长公式

AB = ( x1 ? x2 )2 + ( y1 ? y2 ) 2



AB = (1 + k 2 )( x2 ? x1 ) 2 =| x1 ? x2 | 1 + tan 2 α =| y1 ? y2 | 1 + co t 2 α
(弦端点 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 )

? y = kx + b ? F( x , y) = 0 消去 y 得到 ax 2 + bx + c = 0 ,? > 0 , α 为直线 AB 的倾斜角, k 由方程 ?
为直线的斜率).

18.涉及到曲线上的点 A,B 及线段 AB 的中点 M 的关系时,可以利用“点差法: 比如在椭圆中:

A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ),中 点 M ( x 0 , y 0 ), 则 有 : x12 y12 + = 1 (1 ) a2 b2 x22 y22 + = 1( 2 ) a2 b2 y1 ? y 2 x1 + x 2 b (1 ) ? ( 2 ) ? = ? (? x1 ? x 2 y1 ? y 2 a
19.圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 F ( x, y ) = 0 关于点

2 2

) =

x0 b ? (? y0 a

2 2

)

P( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 -x, 2 y0 ? y ) = 0 .

(2)曲线 F ( x, y ) = 0 关于直线 Ax + By + C = 0 成轴对称的曲线是

F (x ?

2 A( Ax + By + C ) 2 B ( Ax + By + C ) ,y? )=0 2 2 A +B A2 + B 2 .

20.“四线”一方程
2 2 2 2 xx y y 对于一般的二次曲线 Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 ,用 0 代 x ,用 0 代 y ,

x0 y + xy0 x0 + x y0 + y xy ,用 2 代 x ,用 2 代 y ,即得方程 2 用 代
Ax0 x + B ? x0 y + xy0 x +x y +y + Cy0 y + D ? 0 +E? 0 +F =0 2 2 2 ,曲线的切线,切点弦,

中点弦,弦中点方程均是此方程得到.


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