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选修4-4极坐标系导学案

时间:2014-06-03


甘肃秦安一中

高二数学

选修 4-4 导学案

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§1.2极坐标系 学习目标 1.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置. 2.体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别. 3.掌握直角坐标与极坐标的相互转化。 学习过程 一、极坐标的概念 (预习教材 P8~ P11,找出疑惑之处) 情境 1:军舰巡逻在海面上,发现前方有一群水雷,如何确定它们的位置以便将它们引 爆?

2、设 M 是平面内一点,极点 O 与 M 的距离 | OM | 叫做点 M 的 以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的 有序数对 叫做点 M 的 ,记作 。

,记为 ,记为 。



3、思考:直角坐标系与极坐标系有何异同? _______________________. ◆应用示例 例题 1:(1)写出图中 A,B,C,D,E,F,G 各点的极坐标 ( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) .

情境 2:如图为某校园的平面示意图,假设某同学在教学楼处。 (1)他向东偏 60°方向走 120M 后到达什么位置?该位置唯一确定吗?

(2) :思考下列问题,给出解答。 ①平面上一点的极坐标是否唯一?

(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置,他应如何描述?

②若不唯一,那有多少种表示方法?

问题 1:为了简便地表示上述问题中点的位置,应创建怎样 的坐标系呢?

③坐标不唯一是由谁引起的?

④不同的极坐标是否可以写出统一表达式? 问题 2:如何刻画这些点的位置? ⑤本题点 G 的极坐标统一表达式。 定义新知 1:极坐标的概念 1、如右图,在平面内取一个定点 O ,叫做 自极点 O 引一条射线 Ox ,叫做 再选定一个 及其 个 (通常取 。 ,一个 ; (通常取 )
O



M ( ? ,? )

?



二、与直角坐标的转化 直角坐标系的原点O为极点, x 轴的正半轴为极轴,且 在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P的指教 坐标与极坐标分别为 ( x, y ) 和 ( ? ,? ) ,则由三角函数的定义

?
x

方向) ,这样就建立了一

可以得到如下两组公式:

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? x ? ? cos ? ? ? y ? ? sin ?
说明:

?? 2 ? x2 ? y 2 ? ? y ? tan ? ? x ?

3.点 M 的直角坐标是 (?1, 3) ,则点 M 的极坐标为(



? A. (2, ) 3

1、上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式 2、通常情况下,将点的直角坐标化为极坐标时,取 ? ≥0, 0 ≤ ? < 2? 。 3、互化公式的三个前提条件 (1). 极点与直角坐标系的原点重合; (2). 极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合; (3). 两种坐标系的单位长度相同. ◆应用示例
2? 例 2.将点 M 的极坐标 (5, ) 化成直角坐标。 3 解:

? 2? 4.在极坐标系中,已知两点 A(3,? ) , B (1, ) ,求 A, B 两点间的距离。 3 3

? B. (2, ? ) 3

C. (2,

2? ) 3

? D. (2, 2k? ? ), (k ? Z ) 3

三、总结提升 1.极坐标中的相关概念: 2.极坐标与直角坐标的转化关系: 课后练习:

? ?? 1.已知 M ? 5, ? ,下列所给出的选项中,能表示该点的坐标的是 ? 3?





?? ? A. ? 5,? ? 3? ?

? 4? ? B. ? 5, ? ? 3 ?

2? ? ? C. ? 5,? ? 3 ? ?

5? ? ? D. ? 5, ? ? 3 ? ?

?? ?? ? 2.若 A ? (其中 O 是极点) ? ? ,则|AB|=___5____, S ?ABO =_6_________。 ? 3 , ? ,B ? 4, ? ? 3 6? ?
S ?AOB ?

例 2.将点 M 的直角坐标 (? 3,?1) 化成极坐标 解:

? 2? ? 3 3.已知点的极坐标分别为 (3, ) , ( 2, ) , ( 4, ) , ( , ? ) ,求它们的直角坐标。 4 3 2 2

4.已知点的直角坐标分别 (3, 3 ) , (0,?

◆反馈练习 1.在下面的极坐标系里描出下列各点 ? A(3, 0),B(6, 2? ),C (3, ) 2 4? 5? 5? D(5, ),E (3, ),F (4, ? ),G (6, ) 3 6 3 2.点 P 1,? 3 ,则它的极坐标是(
? ?? A. ? 2, ? ? 3? ? 4? ? B. ? 2, ? ? 3 ?

7 5 ) , ( ,0) , (?2,?2 3) ,为求它们的极坐标。 2 3

5、在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是(
O X

) D、 ( ? , ? ? ? )

A、 ( ? ,? )

B、 ( ? ,?? )

C、 ( ? , ? ? ? )

?

?



6、设点 P 对应的复数为-3+3i,以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点 P 的极坐标为 ( )
3 D. (3, ? ) 4

?? ? C. ? 2,? ? 3? ?

4? ? ? D. ? 2,? ? 3 ? ?

3 5 5 A.( 3 2 , ? ) B. ( 3 2 , ? ) C. (3, ? ) 4 4 4


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