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2012届高考数学(理)考前60天冲刺【六大解答题】三角函数

时间:2012-04-13

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知识点总结精华

三角函数

1. ① 与 ? ( 0 ° ≤ ? < 360 ° ) 终 边 相 同 的 角 的 集 合 ( 角 ? 与 角 ? 的 终 边 重 合 ):
? ? ? | ? ? k ?360? ??, k ? Z

? ? ②终边在 x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? , k ? Z

? ? ③终边在 y 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? ? 90? , k ? Z

? ? ④终边在坐标轴上的角的集合: ? | ? ? k ?90? , k ? Z

? ? ⑤终边在 y=x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? ? 45? , k ? Z

? ? ⑥终边在 y ? ?x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? ? 45? , k ? Z

⑦若角? 与角 ? 的终边关于 x 轴对称,则角? 与角 ? 的关系:? ? 360? k ? ?

⑧若角? 与角 ? 的终边关于 y 轴对称,则角? 与角 ? 的关系:? ? 360? k ?180? ? ?

⑨若角? 与角 ? 的终边在一条直线上,则角? 与角 ? 的关系:? ? 180? k ? ?

⑩角? 与角 ? 的终边互相垂直,则角? 与角 ? 的关系:? ? 360? k ? ? ? 90?

2. 角度与弧度的互换关系:360°=2? 180°=? 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′

弧度与角度互换公式: 1rad=180 °≈57.30°=57°18ˊ.
?

1°= ? ≈0.01745(rad)
180

3、弧长公式:l ?| ? | ?r .

扇形面积公式:

s扇形

?

1 2

lr

?

1 |?|? r2 2

4、三角函数:设? 是一个任意角,在? 的终边上任取(异于

的)一点 P(x,y)P 与原点的距离为 r,则 sin? ? y ; cos? ? x ;

r

r

原点

y

a的 终边

P(x,y)

tan? ? y ; x

cot? ? x ;
y

sec? ? r ;. csc? ? r .

x

y

5、三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余

y
++

o -

-x

正弦 、余割

y
-+

o -

+

x

余弦 、正割

y

-+

o +-

x

正切 、余切

r

o

x


y

3 弦) 2

sinx

sinx

y

T

4

P

cosx

1 cosx
x

cosx

cosx

O M Ax 1

4

sinx

sinx

2

3

6、三角函数线
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16. 几个重要结论: (1) y

SIN\COS三角函数值大小关系图

(2) y

1、 2、 3、 4表示第一、二、三、

|sinx|>|cosx|四象限一半所在区域

sinx>cosx

O

x

cosx>sinx

|cosx|>|sinx|

|cosx|>|sinx|

O

x

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|sinx|>|cosx|

(3)



o<x<

? 2

,则sinx<x<tanx

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正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT.

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7. 三角函数的定义域: 三角函数 f (x) ? sinx f (x) ? cosx f (x) ? tanx
f (x) ? cotx f (x) ? secx
f (x) ? cscx

定义域
?x | x ? R? ?x | x ? R?

??x ?

|

x

?

R且x

?

k?

?

1 2

?

,

k

?

Z

? ? ?

?x | x ? R且x ? k? , k ? Z?

??x ?

|

x

?

R且x

?

k?

?

1 2

?

,

k

?

Z

? ? ?

?x | x ? R且x ? k? , k ? Z?

8、同角三角函数的基本关系式: sin? ? tan?
cos?

cos? ? cot? sin ?

tan? ? cot? ? 1 csc? ? sin ? ? 1 sec? ? cos? ? 1 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 sec2 ? ? tan2 ? ? 1 csc2 ? ? cot2 ? ? 1

9、诱导公式: “奇变偶不变,符号看象限”

三角函数的公式:(一)基本关系

公式组一

公式组二

sinx·cscx=1
cosx·secx=1 tanx·cotx=1
公式组四

tanx= sin x cos x

sin2x+cos2x=1

x= cos x sin x

1+tan2 x =sec2x

1+cot2x=csc2x
公式组五

sin(2k? ? x) ? sin x cos(2k? ? x) ? cos x tan(2k? ? x) ? tan x cot(2k? ? x) ? cot x 公式组六

sin(? ? x) ? ? sin x sin(2? ? x) ? ? sin x sin(? ? x) ? sin x

cos(? ? x) ? ? cos x cos(2? ? x) ? cos x cos(? ? x) ? ? cos x

tan(? ? x) ? tan x tan(2? ? x) ? ? tan x tan(? ? x) ? ? tan x

cot(? ? x) ? cot x cot(2? ? x) ? ? cot x cot(? ? x) ? ? cot x

(二)角与角之间的互换

公式组一

公式组二

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? sin 2? ? 2sin? cos?

公式组三 sin(?x) ? ? sin x cos(?x) ? cos x tan(?x) ? ? tan x cot(?x) ? ? cot x

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ?1 ? 1? 2 sin 2 ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

tan 2? ? 2 tan? 1? tan2 ?

sin ? ? ? 1? cos?

2

2

tan(? ? ? ) ? tan? ? tan ? 1? tan? tan ?

cos ? ? ? 1? cos?

2

2

tan(? ? ? ) ? tan? ? tan ? 1? tan? tan ?

tan? ? ? 1? cos? ? sin ? ? 1? cos? 2 1? cos? 1? cos? sin ?

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公式组三

公式组四

2 tan ?

sin ? cos ? ? 1 ?sin?? ? ? ?? sin?? ? ? ??
2

sin ? ?

2

1? tan2 ?

cos? sin ? ? 1 ?sin?? ? ? ?? sin?? ? ? ??
2

2

cos? cos ? ? 1 ?cos?? ? ? ?? cos?? ? ? ??

1? tan2 ?

cos? ?

2

1? tan2 ?

2

sin ? sin ? ? ? 1 ?cos?? ? ? ?? cos?? ? ? ??

sin ?

? sin

?

?

2 2 sin

?

?

?

cos ?

?

?

2

2

2

?

2 tan

tan? ?

2

1? tan 2 ?

2

sin ?

? sin

?

?

? 2 cos

?

?

sin

?

?

?

2

2

cos? ? cos ? ? 2 cos ? ? ? cos ? ? ?

2

2

cos? ? cos ? ? ?2sin ? ? ? sin ? ? ?

2

2

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:

公式组五
cos(1 ? ?? ) ? sin? 2
sin(1 ? ?? ) ? cos? 2
tan(1 ? ?? ) ? cot? 2
cos(1 ? ?? ) ? ?sin? 2
tan(1 ? ?? ) ? ? cot? 2
sin(1 ? ?? ) ? cos? 2

y ? sin x

y ? cosx

y ? tan x

y ? cot x

y ? Asin??x ???
(A、? >0)

定义域 值域

R [?1,?1]

R [?1,?1]

??x ?

|

x

?

R且x

?

k?

?

1 2

?

,

k

?

Z

? ? ?

R

?x | x ? R且x ? k?, k ? Z?
R

R
?? A, A?

周期性

2?

2?

?

?

2?

?

奇偶性 奇函数

偶函数

奇函数

奇函数

当? ? 0, 非奇非偶

当? ? 0, 奇函数

[? ? ? 2k? , 2
? ? 2k? ] 2

上为增函





[?2k ?1?? , ; ?? ? ? ? k? , ? ? k? ??

2k? ]

?2

2?

上为增函 上 为 增 函 数



(k?Z )

[2k? ,

?2k ?1?? ]

?k?, ?k ?1?? ? 上为减函
数( k ?Z )

? ? ? ?

2k?

?? 2
?

??

(

A),

? ? ? ?

? ? ?

2k?

?

1 2

?

??

(?

? ? A)?

??

?

单调性

? [

?

2k? ,

2

3? ? 2k? ] 2

上为减函 数 (k?Z )

上为减函

数( k ?Z )

上为增函数;

? ?

2k?

?

?

? ?
2 ?

??

( A),

? ? ? ?

? ?

2k?

?

?

?3 2 ?

?

??

? ? (? A)? ?

上为减函数

(k?Z ) 注意:① y ? ? sin x 与 y ? sin x 的单调性正好相反;y ? ?cos x 与 y ? cos x 的单调性也同样相反.

一般地,若 y ? f (x) 在[a, b] 上递增(减),则 y ? ? f (x) 在[a, b] 上递减(增).

▲y
② y ? sin x 与 y ? cos x 的周期是? .

③ y ? sin(?x ??) 或 y ? cos(?x ??) ( ? ? 0 )的周期 T ? 2? . ?

x O

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y

?

tan

x 2

的周期为 2?

(T

?

? ?

?T

? 2?

,如图,翻折无效).

④ y ? sin(?x ??) 的对称轴方程是 x ? k? ? ? ( k ?Z ),对称中心( k? ,0 ); y ?(osc ?x ??) 的对
2

称轴方程是 x ? k? ( k ?Z ),对称中心( k? ? 1 ? ,0 ); y ? an(t
2 y ? cos 2x ?原?点?对?称? y ? ? cos(?2x) ? ? cos 2x

?x ? ?) 的对称中心( k? ,0 ).
2

⑤当 tan? · tan ? ?1, ? ? ? ? k? ? ? (k ? Z ) ; tan? · tan ? ? ?1, ? ? ? ? k? ? ? (k ? Z ) .

2

2

⑥ y ? cos x 与 y ? sin?? x ? ? ? 2k? ?? 是同一函数,而 y ? (?x ? ?) 是偶函数,则

?2

?

y ? (?x ? ?) ? sin(?x ? k? ? 1 ? ) ? ? cos(?x) . 2

⑦函数 y ? tan x 在 R 上为增函数.(×) [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域,

y ? tan x 为增函数,同样也是错误的].

⑧定义域关于原点对称是 f (x) 具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定

义域关于原点对称(奇偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数: f (?x) ? f (x) ,奇函数: f (?x) ? ? f (x))
奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如: y ? tan x 是奇函数, y ? tan(x ? 1 ? ) 是非奇非偶.(定义
3 域不关于原点对称)

奇函数特有性质:若 0 ? x 的定义域,则 f (x) 一定有 f (0) ? 0 .( 0 ? x 的定义域,则无此性质)





y

y

⑨ y ? sin x 不是周期函数; y ? sin x 为周期函数(T ? ? );

y ? cosx 是周期函数(如图); y ? cos x 为周期函数(T ? ? );

x

1/2

x

y=cos|x|图象
y ? cos 2x ? 1 的周期为? (如图),并非所有周期函数都有最小正周期,例如:
2

y=|cos2x+1/2|图象

y ? f (x) ? 5 ? f (x ? k),k ? R .

y ? a cos? ? b sin ? ? a2 ?b2 sin(? ??)

⑩ 其中 tan?=b/a 且?所在的象限与(?,b)相同?

sin15? ? cos 75? ? 6 ? 2 , sin 75? ? cos15? ? 6 ? 2 , tan15? ? cot 75? ? 2 ? 3 , tan 75? ? cot15? ? 2 ? 3 .

4

4

11、三角函数图象的作法:

1)、几何法: 2)、描点法及其特例——五点作图法(正、余弦曲线),三点二线作图法(正、余切曲 线).

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3)、利用图象变换作三角函数图象.

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.

函数 y=Asin(ωx+φ)的振幅|A|,周期T ? 2? ,频率 f ? 1 ? | ? | ,相位?x ??; 初相?

|? |

T 2?

(即当 x=0 时的相位).(当 A>0,ω>0 时以上公式可去绝对值符号),

由 y=sinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当 0<|A|

<1)到原来的|A|倍,得到 y=Asinx 的图象,叫做振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换.(用 y/A

替换 y)

由 y=sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0<|ω|<1)或缩短(|ω|

>1)到原来的| 1 | 倍,得到 y=sinω x 的图象,叫做周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换.(用
?
ωx 替换 x) 由 y=sinx 的图象上所有的点向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平行移动|φ|个单
位,得到 y=sin(x+φ)的图象,叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移.(用 x+φ替换 x)
由 y=sinx 的图象上所有的点向上(当 b>0)或向下(当 b<0)平行移动|b|个单位, 得到 y=sinx+b 的图象叫做沿 y 轴方向的平移.(用 y+(-b)替换 y)
由 y=sinx 的图象利用图象变换作函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)(x∈R)的图 象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延 x 轴量伸缩量的区别。

试题精粹 江苏省 2011 年高考数学联考试题 12.(江苏天一中学、海门中学、盐城中学 2011 届高三调研考试)在斜三角形 ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c ,若 tanC ? tanC ?1,则
tan A tanB

a2 ? b2 c2

?



.(3)

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8 . ( 淮 阴 中 学 、 姜 堰 中 学 、 前 黄 中 学 2011 届 第 一 次 联 考 ) 在 ?ABC 中 ,

a cos2 C ? c cos2 A ? 3 b

2

2 2 , 且 ?ABC 的 面 积 S ? sa i n C, 则 a ?c 的 值

=

.(4 )

sin x ? sin y ? 2

10 . (淮 阴 中 学 、 姜 堰中 学 、 前 黄 中 学 2011 届 第 一 次 联 考 )已 知

3,

cos x ? cos y ? 2 3 ,则 sin x ? cos x 的值=

2 .( 3 )

12. (常州市 2011 届高三数学调研)设函数 f (x) ? 2sin ?x, x ?[? ? , ? ] ,其中? 是非零常 43
数.(1)若 f (x) 是增函数,则? 的取值范围是____________;
10.(姜堰二中学情调查(三))若 A 是锐角三角形的最小内角,则函数 y ? cos2A ? sin A 的

值域为

.[? 1 ?

3 ,1)

2

14.(泰州市 2011 届高三第一次模拟考试)已知 O 是锐角 ?ABC的外接圆的圆心,且 ?A ? ? ,

若 cosB AB ? cosC AC ? 2mAO ,则 m ?

sin C

sin B

。; sin? (用? 表示)

9.(江苏省南通市 2011 届高三第一次调研测试)函数 f ? x? ? sin? x ? 3 cos? x? x? R? ,又

f (?) ? ?2 , f ?? ? ? 0 ,且 ? ? ? 的最小值等于 π ,则正数? 的值为 ▲ .1
2 14.(江苏省南通市 2011 届高三第一次调研测试)已知等腰三角形腰上的中线长为 3 ,则该

三角形的面积的最大值是 ▲

.2

7、(南通市六所省重点高中联考试卷)设

x

? (0,

? 2

)

,则函数(

sin2

x

?

1 sin 2

)(cos2 x

x

?

1 cos2

) x

的最小值是 ▲ 25 4

12、(南通市六所省重点高中联考试卷)已知函数 f (x) ? xsin x , x ? R,则 f (? ) , f (1) , 5

f(? ? )的大小关系为 ▲ 3

4、(宿迁市高三 12 月联考)若将函数 y ? sin(?x ? ? )(? ? 0) 的图像向右平移 ? 个单位长度

4

6

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后,得到一个奇函数的图象,则? 的最小值为___

___; 3 2

1. (无锡市

1



期末











s

i

n???

x

?

? 6

? ??

?

3 3





s

i

n???

5? 6

?

x

? ??

?

s

i

n2

? ??

? 3

?

x

? ??

=

▲ .2? 3 3

7 .(徐 州 市 12 月 高 三 调 研 ) 已 知函 数 f (x) ?

1

?

sin

x cos x 22

,则

f (?

)

的值为

2 tan x 2 cos2 x ?1

8

2

▲ .2

8.(盐城市第一次调研)观察下列几个三角恒等式:

① tan10 tan 20 ? tan 20 tan 60 ? tan 60 tan10 ?1;

② tan 5 tan100 ? tan100 tan(?15 ) ? tan(?15 ) tan 5 ? 1 ;

③ tan13 tan 35 ? tan 35 tan 42 ? tan 42 tan13 ?1. 一般地,若 tan?, tan ? , tan ? 都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为 ▲ . 当? ? ? ? ? ? 90 时, tan? tan ? ? tan ? tan ? ? tan ? tan? ? 1

15.(江苏天一中学、海门中学、盐城中学 2011 届高三调研考试)(本小题满分 14 分)

A是单位圆与 x 轴正半轴的交点,点 P 在单位圆上, ?AOP ? ? , (0 ? ? ? ? ),OQ ? OA ? OP, 四边形 OAQP 的面积为 S

⑴求 OA? OQ ? S 的最大值及此时? 的值?0 ;

⑵设点

B(?

3 5

,

4 5

),

?AOB

?

?

,

在⑴的条件下求

cos(?

?

?0

)



15.解: ⑴由已知 A(1,0), P(cos?,sin? )

……………………………………3

?OQ ? OA ? OP ,?OQ ? (1? cos ? ,sin ? )

又 S ? sin?, ?OA?OQ ? S ? sin? ? cos? ?1 ? 2 sin(? ? ? ) ?1 (0 ? ? ? ? ) 4

故 OA? OQ ? S 的最大值是

2

? 1 ,此时 ?0

?

? 4

,

……………………………………8

⑵?B(? 3 , 4),?AOB ? ?, ?cos? ? ? 3 ,sin? ? 4 ……………………………………10

55

5

5

cos(?

?

?0

)

=

cos(?

?

? 4

)

?

2 (sin ? ? cos ? ) ? ? 7 2 .……………………………………14

2

10

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15.(姜堰二中学情调查(三))(本小题满分 14 分)

在△ABC 中, a,b,c 分别为角 A、B、C 的对边, a2 ? c2 ? b2 ? 8bc ,a =3, △ABC 的 5
面积为 6 ⑴求角 A 的正弦值; ⑵求边 b、c; 15.(本小题满分 14 分)

在△ABC 中, a,b,c 分别为角 A、B、C 的对边, a2 ? c2 ? b2 ? 8bc ,a =3, △ABC 的面积 5

为 6 ⑴求角 A 的正弦值;

⑵求边 b、c;

解:(1) a2 ? c2 ? b2 ? 8bc ? b2 ? c2 ? a2 ? 4 ? cos A ? 4 ? sin A ? 3 ……… 7 分

5

2bc

5

5

5

(2)?

S?ABC

?

1 bcsin A ? 2

1 bc ? 3 25

?6

,?bc

? 20

由 b2 ? c2 ? a2 ? 4 及 bc ? 20 与 a =3 解得 b=4,c=5 或 b=5,c= 4 ……… 7 分

2bc

5

16. (泰州市 2011 届高三第一次模拟考试)(本小题满分 14 分)

已知 a ? ?cos?,sin? ?, b ? ?cos?,sin ? ?, c ? ?1,0? 。

(1)若 a ? b ? 2 ,记? ? ? ? ? ,求 sin 2 ? ? sin?? ? ? ? ?? 的值;

3

?2 ?

? ? (2)若? ? k? , ? ? k? ?k ? Z ? ,且 a ∥ b ? c ,求证: tan? ? tan ? 。

2

2

16. ⑴∵ a ? b ? cos(? ? ? ) ,∴ cos? ? 2 . ……………………………………(3 分) 3
∴ sin2 ? ? sin(? ?? ) ? 1? cos2 ? ? cos? ……………………………………(5 分) 2

? ? 1 . …………………………………………………………………………(7 分) 9

⑵∵ b ? c ? (1? cos ? ,sin ? ) , a ∥ (b ? c) ,∴ cos? sin ? ? (1? cos ? )sin? ? 0 .

………………………………………………(9 分)

又∵? ? k? , ? ? k? (k ? Z ) ,∴ tan ? ? sin ? ………………………(12 分)

2

1? cos ?

??

?

2sin cos 2 ?
2 cos2

2

? tan ? 2

.

2

……………………………………………………(14 分)

16、(宿迁市高三 12 月联考)(本题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,

且满足 (2b ? c) cos A ? a cos C 。 (1)求角 A 的大小;

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(2)设 m ? (0, ?1), n ? (cos B, 2cos 2 C) ,试求 m ? n 的最小值。 2
16、解:(1) (2b ? c) cos A ? a cos C ,

由正弦定理得: (2sin B ? sin C) cos A ? sin Acos C ……………2 分

? 2sin Bcos A?sin C cos A ? sin AcosC , 化为 2sin Bcos A ? sin AcosC ? cos AsinC
?2sin B cos A ? sin(A ? C) ,……………4 分

?2sin Bcos A ? sin B,得 cos A ? 1 ,? A ? ? ……………7 分

2

3

(2) m ? n ? (cos B, 2cos2 C ?1) ? (cos B, cos C), ……………8 分 2

? m ? n 2 ? cos2 B ? cos2 C ? cos2 B ? cos2 ( 2? ? B) ? 1? 1 sin(2B ? ? ) …………12 分

3

2

6

B ? ? , B ? C ? 2? ,? B ?(0, 2? ) .从而 2B ? ? ?(? ? , 7? ) ……………13 分

3

3

3

6 66

?当sin(2B ? ? ) ? 1,即B ? ? 时,m ? n 2 取得最小值 1 ,

6

3

2

所以, m ? n 的最小值为 2 。 2

……………14 分

15.(盐城市第一次调研)(本小题满分 14 分)
如图, O 为坐标原点,点 A, B,C 均在⊙O 上,点 A (3 , 4) , 55

y

B

A

点 B 在第二象限,点 C (1, 0) .
(Ⅰ)设 ?COA ? ? ,求 sin 2? 的值; (Ⅱ)若 ?AOB 为等边三角形,求点 B 的坐标.

O

Cx

15.解:(Ⅰ)因为 cos? ? 3 ,sin? ? 4 ,所以 sin 2? ? 2sin? cos? ? 24 ………第…1…5 6题分

5

5

25

( Ⅱ ) 因 为 ?AOB 为 等 边 三 角 形 , 所 以 ?AOC ? 60 , 所 以

c o?Bs O C? c ?o sA (O ?C 6 0 )

? 3 ? 4 3 ……………………………………………………………………10 分 10

同理, sin ?BOC ? 4 ? 3 3 ,故点 A 的坐标为 (3 ? 4 3 , 4? 3 3) …………………14

10

10

10



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9. (苏北四市 2011 届高三第二次调研)在△ ABC 中,角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c ,

若 sin A ? 3 sin C , B ? 30 , b ? 2 ,则△ ABC 的面积是 ▲ . 3 15. (苏北四市 2011 届高三第二次调研)(本小题满分 14 分)

已知函数 f (x) ? sin(2x ? ?) ? cos(2x ? ?) ? 2cos2 x .

6

3

(1)求 f ( ? ) 的值;

12

(2)求 f (x) 的最大值及相应 x 的值.

15.(1) f ( ? ) ? sin(2? ? ? ?) ? cos(2? ? ? ?) ? 2cos2 ?

12

12 6

12 3

12

? sin ? ? cos ? ?1? cos ?

32

6

…………………………………………………2



? 3 ?0?1? 3

2

2

? 3 ?1…………………………………………………………………………………………

6分

(1) f (x) ? sin(2x ? ?) ? cos(2x ? ?) ? 2cos2 x

6

3

? sin 2xcos ? ? cos 2xsin ? ? cos 2xcos ? ? sin 2xsin ? ? 2cos 2x ?1 …………………10

6

6

3

3



? 3 sin 2x ? cos 2x ?1 ? 2sin(2x ? ? ) ?1,………………………………………………12 6



?当 sin(2x

?

?) 6

? 1 时,

f

( x)max

?

2

?1?

3,

此时, 2x ? ? ? 2k? ? ? , 即 x ? k? ? ? (k ? Z) ,……………………………………………

6

2

6

14 分

试题精粹

江苏省 2010 年高考数学联考试题

一、填空题:

12.(江苏省无锡市 2010 年普通高中高三质量调研)如图,两座相距 60 m 的建筑物 AB、CD

的高度分别为 20m、50m,BD 为水平面,则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角





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解析:由图知直角三角形 ABD 中 AB=20m,BD=60m,则 AD= 20 10 m,同理易得 AC= 30 5 m,在

? ? ? ? 2

2

30 5 ?ACD 中 cos A ?

? 20 10

? 502 ?

2 得 A= ? .

2?30 5 ? 20 10

2

4

6.(江苏省无锡市部分学校 2010 年 4 月联考试卷)函数 y ? tan x ? tan3 x 的最大值与 1 ? 2 tan 2 x ? tan 4 x

最小值的积是



解析: y ? tan x ? tan3 x ? tan x(1? tan2 x) ? tan x ? 1? tan2 x 1? 2 tan2 x ? tan4 x (1? tan2 x)2 1? tan2 x 1? tan2 x

? 1 sin 2x ? cos2x ? 1 sin 4x ,所以:最大与最小值的积为 ?1 。

2

4

16

11 .( 江 苏 省 无 锡 市 部 分 学 校 2010 年 4 月 联 考 试 卷 ) 若 0 ? x ? 1 ,

a

? ?? sin x ??2 ,b ?x?

?

sin x , c x

?

sin x2 x2

,则 a,b, c 的大小关系是



解析:我们知道当 x ? ?0,1?时, sin x ? x 且 sin x 为减函数,从而:
x

?? sin ?x

x ?2 ? ?

?

sin x

x

?

sin x 2 x2

(当 x

? 1时, b

?

c ),所以 a

?

b

?

c。

2.(江苏省泰州市 2010 届高三联考试题)若函数 y ? 2a sin(ax ? ? ) 的最小正周期为? ,则 4

正实数 a ? ______▲_______.

解析:由函数 y ? 2a sin(ax ? ? ) 的最小正周期为? 知 2? ? ? ,则正实数 a ? 2.

4

|a|

4.(江苏省泰州市 2010 届高三联考试题) sin? ? 3 , cos ? ? 3 ,其中?、? ? (0, ? ) ,则

5

5

2

? ? ? ? ______▲_______.

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解析:由 sin? ? 3 , cos ? ? 3 ,其中?、? ? (0, ? ) ,知 cos? ? 4 ,sin ? ? 4

5

5

2

5

5

则 cos?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin? sin ? ? 12 ? 12 ? 0 ,又因为? ? ? ??0,? ? 得
25 25

??? ? ? . 2

4. (江苏通州市 2010 年 3 月高三素质检测)将函数 y ? sin 2x 的图象向左平移 ? 个单位, 再 4

向 上 平 移 1 个 单 位 , 所 得 图 象 的 函 数 解 析 式 是 ____________ ▲ ________________ .

y ? 2sin2 x

1.(2010 年 3 月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一)函数 f (x) ? 2sin(3πx ?1) (x ?R) 的

最小正周期为 ▲ . 2 3

12、(江苏省连云港市 2010 届高三二模试题) 在 Rt?ABC 中, c , r , S 分别表示它的斜

边长,内切圆半径和面积,则 cr 的取值范围是 S

▲ .[2 2 ? 2,1)

13、(江苏省连云港市 2010 届高三二模试题)函数 f(x)是定义在[-4,4]上的偶函数,其在

[0,4]上的图象如图所示,那么不等式

f(x) cosx

<0 的解集为



.(-π2 ,-1)∪(1,

π2 )

3 .( 江 苏 省 苏 南 六 校 2010 年 高 三 年 级 联 合 调研考 试 ) y ? 2sin(2x ??), ? ?(0,? ) 在

x

?

(0,

? 2

)

上是减函数,则 ?

?

_____________.

? 2

12 . ( 江 苏 省 苏 南 六 校 2010 年 高 三 年 级 联 合 调 研 考 试 )

f (x) ? sin x ? cos x, f1(x) ? f ?(x), f2 (x) ? f1?(x), , f n (x) ? f n??1 (x)

(其中 n ? N ? , n

?

2 ),则

f1

(

? 4

)

?

f

2

? ( 4

)

?

?

?

? f 2010 ( 4 )

? _____________. ?

2

9. ( 2010 年 江 苏 省 苏 北 四 市 高 三 年 级 第 二 次 模 拟 考 试 ) 将 函 数

f (x) ? 2sin(?x ? ?) (? ? 0) 的图象向左平移 ? 个单位,得到函数 y ? g(x) 的图象.若

3

3?

y ? g(x) 在[0, ?] 上为增函数,则? 的最大值为
4

▲ .2

14、(江苏省南京市 2010 年 3 月高三第二次模拟)已知定义域为 D 的函数 f(x),如果对任意 x

∈D,存在正数 K, 都有∣f(x)∣≤K∣x∣成立,那么称函数 f(x)是 D 上的“倍约束函数”,已

知下列函数:①f(x)=2x② f (x) = 2sin(x ? ? ) ;③ f (x) = 4

x

?1

;④

f

(x)

=

x2

x ?x

?1

,其

中是“倍约束函数的是

。①③④

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二、解答题

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15.(2010 年 3 月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一)(本小题满分 14 分)

在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cos A ? 4 , b ? 5c .
5 (1)求 sin C 的值; (2)求 sin(2 A ? C) 的值; (3)若△ABC 的面积 S ? 3 sin Bsin C ,求 a 的值.
2 15.解:(1) ∵ a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A = 26c2 ?10c2 ? 4 =18c2 ,
5

∴ a ? 3 2c .

…………………………………2 分

∵ cos A ? 4 , 0 ? A ? π ,
5 ∵a ? c,
sin A sin C

∴ sin A ? 3 . 5

c? 3 ∴ sin C ? csin A = 5 =

2.

……………………………5 分

a 3 2c 10

(2)∵ c ? a ,∴ C 为锐角,
∴ cosC ? 1 ? sin2 C ? 7 2 . 10
∵ sin 2A ? 2sin Acos A ? 2 ? 3 ? 4 ? 24 , 5 5 25
cos 2A ? 2cos2 A ?1 ? 2 ? 16 ?1 ? 7 , ………………………8 分 25 25
∴ sin(2A ? C) = sin 2AcosC ? cos 2Asin C

= 24 ? 7 2 ? 7 ? 2 ? 7 2 . 25 10 25 10 10

………………………10 分

(3)∵ b ? 5c , ∴ sin B ? b ? 5, sin B ? 5sinC .
sin C c

∴ 3 sin Bsin C ? 15 sin2 C ? 3 .

2

2

20

……………12 分

又∵S= 1 bcsin A ? 3 c2 ? a2 ,

2

2 12

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∴ a2 ? 3 , ∴ a ? 3 5 .

12 20

5

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……………………14 分

15.(江苏省无锡市部分学校 2010 年 4 月联考试卷)(14 分)(1)设 0 ? ? ? ? ,? ? ? ? 2? ,

若对任意的 x ? R ,都有关于 x 的等式 cos(x ? ? ) ?

sin(x ? ? ) ? 2 cos x ? 0 恒成立,试求?, ? 的值; (2)在 ?ABC中,三边 a,b, c 所对的角依次为 A, B,C ,且 2 cos2 C ? 3 sin 2C ? 3 ,

c ? 1, S?ABC ?

3 ,且 a ? b ,求 a, b 的值。 2

15、(江苏省连云港市 2010 届高三二模试题)(14 分) ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 lg a ? lgb ? lg cos B ? lg cos A ? 0. (1)判断 ?ABC 的形状; (2)设向量 m ? (2a,b) , n ? (a, ?3b) ,且 m ? n , (m ? n) ?(?m ? n) ? 14 ,求 a,b,c .
15、解:(1)由题 lg a ? lg cos A ? lgb ? lg cos B ,故 acos A ? bcos B , 由正弦定理 sin Acos A ? sin Bcos B ,即 sin2A ? sin 2B .

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又 cos A ? 0 ,cos B ? 0 ,故 A, B ? (0, ? ) , 2A,2B ?(0,? ) 2
因 a ? b ? A ? B ,故 2A ? ? ? 2B . 即 A ? B ? ? ,故 ?ABC 为直角三角形.
2
(2)由于 m ? n ,所以 2a2 ? 3b2 ? 0 ①

..............7 分

且 (m ? n) ? (?m ? n) ? n2 ? m2 ? 14 ,即 8b2 ? 3a2 ? 14 ②

联立①②解得 a2 ? 6,b2 ? 4 ,故在直角 ?ABC 中, a ? 6 ,b ? 2 , c ? 10 .......14 分

20.(江苏省苏南六校 2010 年高三年级联合调研考试)(本小题满分 16 分)

f (x) ? a ? sin x ? bx

已知函数

2 ? cos x

(a、b ? R) ,

(Ⅰ)若 f (x) 在 R 上存在最大值与最小值,且其最大值与最小值的和为 2680 ,试求 a 和 b 的
值。
(Ⅱ)若 f (x) 为奇函数,

(1)是否存在实数 b

,使得

f

(x)

(0,


2? 3

)

( 2? 为增函数, 3

,?

)

为减函数,若存在,求出 b

的值,若不存在,请说明理由;

(2)如果当 x ? 0 时,都有 f (x) ? 0 恒成立,试求 b 的取值范围。

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15. (2010 年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试)在平面直角坐标系 xOy 中,点

P (1 , cos2 ? ) 在角? 的终边上,点 Q (sin2 ? , ?1) 在角 ? 的终边上,且 OP ? OQ ? ? 1 .

2

2

(1)求 cos2? 的值;

(2)求 sin(? ? ? ) 的值.

15.(1)因为 OP ? OQ ? ? 1 ,所以 1 sin2 ? ? cos2 ? ? ? 1 ,

2

2

2

即 1 (1? cos2 ? ) ? cos2 ? ? ? 1 ,所以 cos2 ? ? 2 ,

2

2

3

所以 cos 2? ? 2 cos2 ? ?1 ? 1 .………………………………………………6 分 3

(2)因为 cos2 ? ? 2 ,所以 sin2 ? ? 1 ,所以点P(1 , 2) ,点Q(1 ,?1) ,

3

3

23

3

又点 P(1 , 2) 在角? 的终边上,所以 sin? ? 4 , cos? ? 3 .

23

5

5

同理 sin ? ? ? 3 10 , cos ? ? 10 ,

10

10

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所以 sin(? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? ? 4 ? 10 ? 3 ? (? 3 10 ) ? ? 10 .…14 分

5 10 5 10

10

16.(江苏省泰州市 2010 届高三联考试题)(本小题满分 14 分)
在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的对边长分别为 a、b、c ;

(1)设向量 x ? (sin B,sin C) ,向量 y ? (cosB,cosC) ,

向量 z ? (cosB,?cosC) ,若 z //(x ? y) ,求 tan B ? tan C 的值;

(2)已知 a2 ? c2 ? 8b,且 sin AcosC ? 3cos Asin C ? 0 ,求 b .

解:(1) x ? y ? (sin B ? cosB,sin C ? cosC) ,

由 z //(x ? y) ,得 cosC(sin B ? cos B) ? cos B(sin C ? cosC) ? 0 , (4 分)

即 sin BcosC ? cos BsinC ? ?2cos BcosC

所以 tan B ? tan C ? sin B ? sin C ? sin B cos C ? cos B sin C ? ?2 ;

cos B cos C

cos B cos C

(2)由已知可得, sin AcosC ? ?3cos Asin C ,

(7 分)

则由正弦定理及余弦定理有: a ? a2 ? b2 ? c2 ? ?3 b2 ? c2 ? a2 ? c ,

2ab

2bc

(10 分)

化简并整理得: a2 ? c2 ? 2b2 ,又由已知 a2 ? c2 ? 8b ,所以 2b2 ? 8b ,

解得 b ? 4或b ? 0 (舍) ,所以 b ? 4 .

(14 分)

15.(江苏省洪泽中学 2010 年 4 月高三年级第三次月考试卷(本题满分 14 分)已知角 A 、B 、

C 是 ?ABC 的 内 角 , a,b, c 分 别 是 其 对 边 长 , 向 量 m ? ( 2 3 s iAn , 2 2cAo s , )

2

2

? n

?

(c

os

A

,?1)



m

?

n

.

2

(1)求角 A 的大小;

(2)若 a ? 2, cos B ? 3 , 求 b 的长. 3

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三角函数解题技巧

高考试题中的三角函数题相对比较传统,难度较低,位置靠前,重点突出。因此,在复 习过程中既要注重三角知识的基础性,突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对 称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习,又要注重三角知识的工具性,突出 三角与代数、几何、向量的综合联系,以及三角知识的应用意识。

方法技巧

1.三角函数恒等变形的基本策略。 (1)常值代换:特别是用“1”的代换,如 1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。

(2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;配

凑角:α=(α+β)-β,β= ? ? ? - ? ? ? 等。

2

2

(3)降次与升次。(4)化弦(切)法。

(4)引入辅助角。asinθ+bcosθ= a2 ? b2 sin(θ+? ),这里辅助角? 所在象限由 a、

b 的符号确定,? 角的值由 tan? = b 确定。
a
2.证明三角等式的思路和方法。 (1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。 (2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利 用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 (1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”。 (2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。 (3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。

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例题分析

例 1.已知 tan? ? 2 ,求(1) cos? ? sin? ;(2) sin 2 ? ? sin?.cos? ? 2cos2 ? 的 cos? ? sin?
值.

解:(1) cos? ? sin? cos? ? sin?

1 ? sin?

?

1

?

cos? s in ?

? 1 ? tan? 1 ? tan?

? 1? 1?

cos?

2 ? ?3 ? 2 2 ; 2

(2)

sin

2

?

?

sin

?

cos

?

?

2 cos2

?

?

sin 2

?

? sin sin 2

? ?

cos ? ? 2 cos2 ? cos2 ?

?

?

s c

in 2 os2

? ?

?

s c

in ? os?

?

2

s c

in 2 os2

? ?

?

1

?

2? 2?2 2 ?1

?

4? 3

2.

说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到),进行弦、切互化,

就会使解题过程简化。

例 2.求函数 y ? 1? sin x ? cos x ? (sin x ? cos x)2 的值域。

解:设 t ? sin x ? cos x ? 2 sin(x ? π ) ?[? 2,2] ,则原函数可化为 4

y ? t2 ? t ?1 ? (t ?1)2 ? 3 ,因为 t ?[? 2,2] ,所以 24

当t ?

2 时, ymax ? 3 ?

2

,当 t

?

?

1 2

时,

ymin

?

3 4



所以,函数的值域为 y ?[ 3,3 ? 2] 。 4

例 3.已知函数 f (x) ? 4sin2 x ? 2sin 2x ? 2,x ? R 。

(1)求 f (x) 的最小正周期、 f (x) 的最大值及此时 x 的集合;

(2)证明:函数 f (x) 的图像关于直线 x ? ? π 对称。 8
解: f (x) ? 4sin2 x ? 2sin 2x ? 2 ? 2sin x ? 2(1? 2sin2 x)

? 2sin 2x ? 2cos 2x ? 2 2 sin(2x ? π ) 4
(1)所以 f (x) 的最小正周期T ? π ,因为 x ? R ,

所以,当 2x ? π ? 2kπ ? π ,即 x ? kπ ? 3π 时, f (x) 最大值为 2 2 ;

4

2

8

(2)证明:欲证明函数 f (x) 的图像关于直线 x ? ? π 对称,只要证明对任意 x ? R ,有 8

f (? π ? x) ? f (? π ? x )成立,

8

8

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因为 f (? π ? x) ? 2 2 sin[2(? π ? x) ? π ] ? 2 2 sin(? π ? 2x) ? ?2 2 cos 2x ,

8

8

4

2

f (? π ? x) ? 2 2 sin[2(? π ? x) ? π ] ? 2 2 sin(? π ? 2x) ? ?2 2 cos 2x ,

8

8

4

2

所以 f (? π ? x) ? f (? π ? x) 成立,从而函数 f (x) 的图像关于直线 x ? ? π 对称。

8

8

8

例 4. 已知函数 y= 1 cos2x+ 3 sinx·cosx+1 (x∈R),

2

2

(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合;

(2)该函数的图像可由 y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?

解:(1)y= 1 cos2x+ 3 sinx·cosx+1= 1 (2cos2x-1)+ 1 + 3 (2sinx·cosx)+1

2

2

4

44

= 1 cos2x+ 3 sin2x+ 5 = 1 (cos2x·sin ? +sin2x·cos ? )+ 5

4

4

42

6

64

= 1 sin(2x+ ? )+ 5

2

64

所以 y 取最大值时,只需 2x+ ? = ? +2kπ,(k∈Z),即 x= ? +kπ,(k∈Z)。

62

6

所以当函数 y 取最大值时,自变量 x 的集合为{x|x= ? +kπ,k∈Z} 6

(2)将函数 y=sinx 依次进行如下变换:

(i)把函数 y=sinx 的图像向左平移 ? ,得到函数 y=sin(x+ ? )的图像;

6

6

( ii ) 把 得 到 的 图 像 上 各 点 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 1 倍 ( 纵 坐 标 不 变 ), 得 到 函 数 2

y=sin(2x+ ? )的图像; 6

( iii)把得 到的图像上各点纵 坐标缩短到原来的 1 倍( 横坐标不变),得到函 数 2

y= 1 sin(2x+ ? )的图像;

2

6

(iv)把得到的图像向上平移 5 个单位长度,得到函数 y= 1 sin(2x+ ? )+ 5 的图像。

4

2

64

综上得到 y= 1 cos2x+ 3 sinxcosx+1 的图像。

2

2

说明:本题是 2000 年全国高考试题,属中档偏容易题,主要考查三角函数的图像和性质。

这类题一般有两种解法:一是化成关于 sinx,cosx 的齐次式,降幂后最终化成 y= a2 ? b2 sin (ωx+? )+k 的形式,二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题(1)还可以解法如下:当

1 cos2 x ? 3 sin x cos x 1 ? 3 tan x

cosx=0 时,y=1;当 cosx≠0 时,y= 2

2

+1= 2 2

+1

sin 2 x ? cos2 x

1 ? tan2 x

化简得:2(y-1)tan2x- 3 tanx+2y-3=0

∵tanx∈R,∴△=3-8(y-1)(2y-3) ≥0,解之得: 3 ≤y≤ 7

4

4

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∴ymax= 7 ,此时对应自变量 x 的值集为{x|x=kπ+ ? ,k∈Z}

4

6

例 5.已知函数 f (x) ? sin x cos x ? 3 cos2 x .

33

3

(Ⅰ)将 f(x)写成 Asin(?x ? ?) 的形式,并求其图象对称中心的横坐标;

(Ⅱ)如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b2=ac,且边 b 所对的角为 x,试求 x 的范围及此时

函数 f(x)的值域.

解: f (x) ? 1 sin 2x ? 3 (1 ? cos 2x ) ? 1 sin 2x ? 3 cos 2x ? 3 ? sin( 2x ? ? ) ? 3

2 32

3 2 32 32

33 2

(Ⅰ)由 sin( 2x ? ? ) =0 即 2x ? ? ? k? (k ? z)得x ? 3k ?1? k ? z

33

33

2

即对称中心的横坐标为 3k ?1?, k ? z 2
(Ⅱ)由已知 b2=ac

cosx ? a2 ? c2 ? b2 ? a2 ? c2 ? ac ? 2ac ? ac ? 1 ,

2ac

2ac

2ac 2

? 1 ? cosx ? 1, 0 ? x ? ? , ? ? 2x ? ? ? 5?

2

3

333 9

?| ? ? ? |?| 5? ? ? | , ?sin ? ? sin(2x ? ? ) ? 1, ? 3 ? sin(2x ? ? ) ? 1 ? 3 ,

32 9 2

3

33

33

2

即 f (x) 的值域为 ( 3,1 ? 3 ]. 2

综上所述, x ? (0, ? ] , 3

f (x) 值域为 ( 3,1 ? 3 ] . 2

说明:本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识,还需要利用数形结合的思

想来解决函数值域的问题,有利于培养学生的运算能力,对知识进行整合的能力。

例 6.在 ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 cos C ? 3a ? c , cos B b
(1)求 sin B 的值;

(2)若 b ? 4 2 ,且 a=c,求 ABC 的面积。

解:(1)由正弦定理及 cos C ? 3a ? c ,有 cos C ? 3sin A ? sin C ,

cos B b

cos B

sin B

即 sin BcosC ? 3sin Acos B ?sinC cos B ,所以 sin(B ? C) ? 3sin Acos B ,

又因为 A? B ? C ? π , sin(B ? C) ? sin A ,所以 sin A ? 3sin Acos B ,因为 sin A ? 0 ,所

以 cos B ? 1 ,又 0 ? B ? π ,所以 sin B ? 1? cos2 B ? 2 2 。

3

3

(2)在 ABC 中,由余弦定理可得 a2 ? c2 ? 2 ac ? 32 ,又 a ? c , 3
所以有 4 a2 ? 32,即a2 ? 24 ,所以 ABC 的面积为 3

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S ? 1 ac sin B ? 1 a2 sin B ? 8 2 。

2

2

例 7.已知向量 a ? (2 cos α,2sin α),b= (? sin α,cos α),x ? a ? (t2 ? 3)b,

y ? ?ka ? b ,且 x ? y ? 0 ,

(1)求函数 k ? f (t) 的表达式;

(2)若 t ?[?1,3] ,求 f (t) 的最大值与最小值。

解:(1) a2 ? 4 , b 2 ? 1, a ?b ? 0 ,又 x ? y ? 0 ,

所以 x ? y ? [a ? (t2 ? 3)b ]? (?ka ? b ) ? ?ka2 ? (t2 ? 3)b 2 ? [t ? k(t 2 ? 3)]a ? b ? 0 ,

所以 k ? 1 t3 ? 3 t ,即 k ? f (t) ? 1 t3 ? 3 t ;

44

44

(2)由(1)可得,令 f (t) 导数 3 t2 ? 3 ? 0 ,解得 t ? ?1,列表如下: 44

t

-1

f (t) 导数 0

(-1,1) 1



0

(1,3) +

f (t)

极大值

递减

极小值

递增



f

(?1)

?

1,f 2

(1)

?

?

1,f 2

(3)

?

9,所以 2

f

(t )max

?

9,f 2

(t )min

?

?

1 2



例 8.已知向量 a ? (cos α,sin α),b= (cos β,sin β),| a ? b |? 2 5 , 5

(1) 求 cos(α ? β) 的值;

(2) (2)若 0 ? α ? π,? π ? β ? 0,且sin β ? ? 5 ,求sin α 的值。

22

13

解:(1)因为 a ? (cos α,sin α),b=(cos β,sin β),

所以 a ? b ? (cos α ? cos β,sin α ? sin β),

又因为| a ? b |? 2 5 ,所以 (cos α ? cos β)2 ? (sin α ? sin β)2 ? 2 5 ,

5

5

即 2 ? 2cos(α ? β) ? 4,cos(α ? β) ? 3 ;

5

5

(2) 0 ? α ? π,? π ? β ? 0,0 ? α ? β ? π , 22

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又因为 cos(α ? β) ? 3 ,所以 sin(α ? β) ? 4 ,

5

5

sin β ? ? 5 ,所以 cos β ? 12 ,所以 sin α ? sin[(α ? β) ? β] ? ? 63

13

13

65

例 9.平面直角坐标系有点 P(1, cosx),Q(cosx,1), x ?[? ? , ? ] 44

(1) 求向量 OP 和 OQ 的夹角? 的余弦用 x 表示的函数 f (x) ;

(2) 求? 的最值.

解:(1)?OP ? OQ ? OP ? OQ ? cos? ,

?cos x ? cos x ? (1? cos2 x) cos?

? cos?

?

2 cos x 1? cos2 x



2 c os x f (x) ? 1? cos2 x

(? ? ? x ? ? )

4

4

(2)?cos? ?

2

,又

cosx ? 1

c os x

cos x ? 1 ?[2, 3 2 ],

cos x

2

?cos? ?[ 2 2 ,1] , 3

??min ? 0 ,

?max

?

arccos

2

2 3

.

说明:三角函数与向量之间的联系很紧密,解题时要时刻注意。

三角函数过关测试

1、已知 x ? (? ? ,0),cosx ? 4 ,则tan 2x ? ___________.

2

5

2、若 x ? ? 是方程 2cos(x ?? ) ? 1的解,其中,? ?(0, 2?) ,则? ?



3

3、已知 ? ? ? x ? 0,sin x ? cos x ? 1 ,则 sin x ? cos x =___________.

2

5

4、函数 y ? sin(2x ? ? ) ? cos(2x ? ? ) 的最小正周期为________.

6

3

5、定义在 R 上的函数 f (x) 既是偶函数又是周期函数,若 f (x) 的最小正周期是? ,且当

x ?[0, ? ] 时, f (x) ? sin x ,则 f (5? ) 的值为________.

2

3

6、在锐角△ABC 中,已知 A ? 2B ,则 a 的取值范围是



b

7、已知 △ABC 的周长为 2 ?1,且 sin A ? sin B ? 2 sin C , △ABC 的面积为 1 sin C , 6

则角 C = .

8、已知 sin(? ? 2? ) ?sin(? ? 2? ) ? 1 ,? ? (? , ? ) ,则 cos 2? ? _______.

4

4

4

42

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9、下面有 5 个命题:

①函数 y ? sin4 x ? cos4 x 的最小正周期是? .

②终边在 y 轴上的角的集合是{? | ? ? k? , k ? Z}. 2
③在同一坐标系中,函数 y ? sin x 的图象和函数 y ? x 的图象有 3 个公共点.

④把函数 y ? 3sin(2x ? ? ) 的图象向右平移 ? 得到 y ? 3sin 2x 的图象.

3

6

⑤函数 y ? sin(x ? ? ) 在[0,? ]上是减函数. 2

其中,真命题的编号是______ _____(写出所有真命题的编号).

10、如图,在 ?ABC 中, ?BAC ?120?, AB ? 2, AC ?1, D 是边 BC 上一点, DC ? 2BD, 则
A
AD BC ? __________ .

11、已知

tan(? 4

??)

?

1 2

,(1)求

tan?

的值;(2)求

sin 2a ? cBos2 1 ? cos 2?

?

D
的第值。10



C

12、已知 sin(? ? ?) ? 7 2 , cos 2? ? 7 ,求sin ?及 tan(? ? ?) .

4 10

25

3

13、如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角?,? ,它们的终边分别交

单位圆于 A,B 两点.已知 A,B 两点的横坐标分别是 2 ,2 5 . 10 5
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y
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(1)求 tan(? ? ?) 的值; (2)求? ? 2? 的值.

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参考答案

1、 ? 24 7

4? 2、 3

3、

?7 5

3 4、 ? 5、 2

? 6、 ( 2, 3) 7、 3

8、 ? 3 9、①④ 2

10、 ? 8 3

11、(1)解: tan(? 4

? ?)

?

tan ? ? tan? 4
1? tan ? tan?

?

1? 1?

tan? tan?

4

由 tan(? ? ?) ? 1 ,有 1? tan? ? 1 , 解得 tan? ? ? 1

4

2 1? tan? 2

3

(2)解法一: sin 2? ? cos2 ? ? 2sin? cos? ? cos2 ?

1 ? cos 2?

1 ? 2 cos2 ? ?1

? 2sin? ? cos? ? tan? ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 5

2 c os?

2 32 6

解法二:由(1),nat ? ? ? 1 ,得 sin? ? ? 1 cos?

3

3

∴ sin 2 ? ? 1 cos2 ? 9

1 ? cos2 ? ? 1 cos2 ? ∴ cos2 ? ? 9

9

10

于是 cos2? ? 2 cos2 ? ?1 ? 4 , 5

sin 2? ? 2sin? cos? ? ? 2 cos2 ? ? ? 3

3

5

代入得 sin 2?

? cos2 ?

?

?3? 9 5 10

?

?5

1 ? cos2?

1? 4

6

5

12、由题设条件,应用两角差的正弦公式得

7 2 ? sin(? ? ?) ? 2 (sin ? ? cos ?)

10

42

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即 sin ? ? cos? ? 7



5

由题设条件,应用二倍角余弦公式得

7 ? cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? (cos? ? sin ?)(cos? ? sin ?) ? ? 7 (cos? ? sin ?)

25

5

故 cos? ? sin ? ? ? 1



5

由①式和②式得 sin ? ? 3 , cos? ? ? 4 .因此,tan ? ? ? 3 ,由两角和的正切公式

5

5

4

tan(? ? ? ) ? tan? ? 3 ?

3?3 4

?4

3 ? 3 ? 48 ? 25

3.

3 1? 3 tan? 1? 3 3 4 ? 3 3

11

4

13、1)由已知条件即三角函数的定义可知 cos? ? 2 , cos ? ? 2 5 ,

10

5

因?为锐角,故 sin? ? 0,从而 sin ? ? 1? cos2 ? ? 7 2 10

同理可得 sin ? ? 1? cos2 ? ? 5 ,因此 tan? ? 7, tan ? ? 1 .

5

2

所以 tan(?

? ? ) = tan? ? tan ? 1? tan? tan ?

7? 1 ?2
1?7? 1

? ?3 ;

2

?3 ? 1

(2) tan(?

? 2? )

?

tan[(?

?

?)?

?]?

2

1? (?3)?

1

?

?1 ,

2

又0 ? ? ? ? , 0 ? ? ? ? ,故0 ? ? ? 2? ? 3? ,

2

2

2

从而由 tan(? ? 2? ) ? ?1 得 ? ? 2? ? 3? . 4

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