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2012届高考数学(理)考前60天冲刺【六大解答题】三角函数

时间:2012-04-13


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三角函数 知识点总结精华 1. ① 与 ? ( 0 ° ≤ ? < 360 ° ) 终 边 相 同 的 角 的 集 合 ( 角 ? 与 角 ? 的 终 边 重 合 ) :

?? | ? ? k ? 360 ? ? , k ? Z ?
?

②终边在 x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? , k ? Z

?

? ? ? ? ?

③终边在 y 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? ? 90? , k ? Z ④终边在坐标轴上的角的集合: ? | ? ? k ? 90? , k ? Z

?

?

⑤终边在 y=x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? ? 45? , k ? Z

?

⑥终边在 y ? ?x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? ? 45? , k ? Z

?

⑦若角 ? 与角 ? 的终边关于 x 轴对称,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360? k ? ? ⑧若角 ? 与角 ? 的终边关于 y 轴对称,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360? k ? 180? ? ? ⑨若角 ? 与角 ? 的终边在一条直线上,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 180? k ? ? ⑩角 ? 与角 ? 的终边互相垂直,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360? k ? ? ? 90? 2. 角度与弧度的互换关系:360°=2 ? 180°= ? 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 弧度与角度互换公式: 1rad= 180 °≈57.30°=57°18ˊ.
?

1°= ? ≈0.01745(rad)
180

3、弧长公式: l

?| ? | ?r .

扇形面积公式: s扇形 ?

4、三角函数:设 ? 是一个任意角,在 ? 的终边上任取(异于 的) 一点 P x,y) 与原点的距离为 r, ( P 则
tan? ? y; x
cot? ? x; y

1 1 lr ? |? | ? r 2 2 2
原点
y a的 终边
P(x,y) r

sin ? ?

y; x cos? ? ; r r

sec? ?

r r ;. csc? ? . x y

o

x



y

5、三角函数在各象限的符号: (一全二正弦,三切四余
y y

+ + o x - 正弦、余割

- + o - + x
余弦、正割

y

y P T
4 cosx cosx

3 弦) 2 sinx sinx 1 cosx cosx 4 sinx 2 sinx 3

- + o x + 正切、余切
O

x

M

Ax

1

16. 几个重要结论 : (1)
y

SIN\COS三角函数值大小关系图

(2)

1、 2、 3、 4表示第一、二、三、 |sinx|>|cosx|四象限一半所在区域

y

6、三角函数线
sinx>cosx
O x |cosx|>|sinx| O |cosx|>|sinx| x

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cosx>sinx ? (3) 若 o<x< ,则sinx<x<tanx 2

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|sinx|>|cosx|

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正弦线:MP;

余弦线:OM;

正切线: AT.

7. 三角函数的定义域: 三角函数 f (x) ? sinx
f (x) ? cosx f (x) ? tanx f (x) ? cotx f (x) ? secx f (x) ? cscx

?x | x ? R? ?x | x ? R?
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ? ?x | x ? R且x ? k? , k ? Z? 1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ? ?x | x ? R且x ? k? , k ? Z?
cos?
cos? ? cot? sin ?

定义域

8、同角三角函数的基本关系式: sin ? ? tan ?
tan? ? cot? ? 1 csc? ? sin ? ? 1
sec? ? cos? ? 1

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 sec2 ? ? tan2 ? ? 1 csc2 ? ? cot2 ? ? 1

9、诱导公式: “奇变偶不变,符号看象限” 三角函数的公式: (一)基本关系
公式组一 sinx·cscx=1 cosx·secx=1 tanx·cotx=1 tanx= x=
sin x cos x cos x sin x

sin2x+cos2x=1 1+tan2 x =sec2x 1+cot2x=csc2x

公式组二 sin(2k? ? x) ? sin x cos(2k? ? x) ? cos x tan(2k? ? x) ? tan x cot(2k? ? x) ? cot x 公式组六 sin(? ? x) ? sin x cos(? ? x) ? ? cos x tan( ? x) ? ? tan x ? cot( ? x) ? ? cot x ?

公式组三 sin(? x) ? ? sin x cos(? x) ? cos x tan(? x) ? ? tan x cot(? x) ? ? cot x

公式组四 sin(? ? x) ? ? sin x cos(? ? x) ? ? cos x tan( ? x) ? tan x ? cot( ? x) ? cot x ?

公式组五 sin(2? ? x) ? ? sin x cos(2? ? x) ? cos x tan(2? ? x) ? ? tan x cot(2? ? x) ? ? cot x

(二)角与角之间的互换 公式组一 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?
tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ? tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

公式组二 sin 2? ? 2 sin ? cos?
cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ?

tan 2? ?
sin

2 tan? 1 ? tan2 ?
1 ? cos? 2 1 ? cos? 2

?
2

??

tan( ? ? ) ? ?

cos

?
2

??

tan( ? ? ) ? ?
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tan

?
2

??

1 ? cos? sin ? 1 ? cos? ? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin ?
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公式组三
sin ? ? 2 tan 1 ? tan

?
2

2

?
2

cos? ?

1 ? tan2 1 ? tan2

? ?
2 2

tan ? ?

2 tan 1 ? tan

?
2
2

?
2

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:
y ? sin x

2 1 cos? sin ? ? ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ?? 2 1 cos? cos ? ? ?cos?? ? ? ? ? cos?? ? ? ?? 2 1 sin ? sin ? ? ? ?cos?? ? ? ? ? cos?? ? ? ?? 2 ??? ? ?? sin ? ? sin ? ? 2 sin cos 2 2 ??? ??? sin ? ? sin ? ? 2 cos sin 2 2 ??? ? ?? cos? ? cos ? ? 2 cos cos 2 2 ??? ? ?? cos? ? cos ? ? ?2 sin sin 2 2

公式组四 1 sin ? cos ? ? ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ??

公式组五

1 cos( ? ? ? ) ? sin ? 2 1 sin( ? ? ? ) ? cos? 2 1 tan( ? ? ? ) ? cot? 2 1 cos( ? ? ? ) ? ? sin ? 2 1 tan( ? ? ? ) ? ? cot? 2 1 sin( ? ? ? ) ? cos? 2
y ? cot x
y ? A sin ??x ? ? ?

y ? cos x

y ? tan x
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

(A、 ? >0) R

定义域 值域 周期性 奇偶性

R
[?1,?1]

R
[?1,?1]

?x | x ? R且x ? k? , k ? Z?
R
?

R
?

?? A, A?
2?

2?

2?

?

奇函数
?
2

偶函数
[?2k ? 1?? , 2k? ]

奇函数
? ? ? ? ? k? , ? k? ? 2 ? 2 ?

奇函数

当 ? ? 0, 非奇非偶 当 ? ? 0, 奇函数
? ? 2k? ? ? ? ? 2k? ? ? ? ? ( A), ? ? ? ? 1 ? ? ?? ? 2 (? A)? ? ? ? 2 ??

[?

? 2k? ,

; ??

?k? , ?k ? 1?? ? 上为减函
数( k ? Z )

?

?
2

? 2k? ]

上为增函 数 ; 单调性
[

上为增函 数 [2k? , ?2k ? 1?? ] 上为减函 数 ( k ?Z )

上 为 增 函 数 ( k ?Z )

?

2 3? ? 2 k? ] 2

? 2 k? ,

上为增函数; ? ? ? 2k? ? ? ?

上为减函 数 k ?Z ) (

? ? 2 ( A), ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 2k? ? 2 ? ? ? ? (? A)? ? ? ? ?

上 为 减 函 数 ( k ?Z ) 注意:① y ? ? sin x 与 y ? sin x 的单调性正好相反; y ? ? cos x 与 y ? cos x 的单调性也同样相反. 一般地,若 y ? f (x) 在 [a, b] 上递增(减) ,则 y ? ? f (x) 在 [a, b] 上递减(增).


② y ? sin x 与 y ? cos x 的周期是 ? . ③ y ? sin(?x ? ? ) 或 y ? cos(?x ? ? ) ( ? ? 0 )的周期 T ?
2?

y

?

.
x O

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y ? tan

x 的周期为 2 ? ( ? T? ? T ? 2? ,如图,翻折无效). 2 ?

④ y ? sin(?x ? ? ) 的对称轴方程是 x ? k? ?

?
2

( k ?Z ) ,对称中心( k? ,0 ) y ? (s ; o c

?x ? ? ) 的对

称轴方程是 x ? k? ( k ? Z ) ,对称中心( k? ? 1 ? ,0 ) y ? a ; n t (
2

?x ? ? ) 的对称中心(
?
2

k? ,0 ). 2

y ? cos 2 x ??? ? y ? ? cos(?2 x) ? ? cos 2 x ?
原点对称

⑤当 tan? · tan ? ? 1, ? ? ? ? k? ?

?
2

(k ? Z ) ; tan? · tan ? ? ?1, ? ? ? ? k? ?

(k ? Z ) .

⑥ y ? cos x 与 y ? sin? x ? ? ? 2k? ? 是同一函数,而 y ? (?x ? ? ) 是偶函数,则 ? ? 2 ? ?
1 y ? (?x ? ? ) ? sin(?x ? k? ? ? ) ? ? cos( x) . ? 2

⑦函数 y ? tan x 在 R 上为增函数.(×) [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域,

y ? tan x 为增函数,同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对称是 f (x) 具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定 义域关于原点对称(奇偶都要) ,二是满足奇偶性条件,偶函数: f (? x) ? f ( x) ,奇函数: f ( ? x) ? ? f ( x) )
1 奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如: y ? tan x 是奇函数, y ? tan(x ? ? ) 是非奇非偶.(定义 3 域不关于原点对称)

奇函数特有性质: 0 ? x 的定义域, f (x) 一定有 f (0) ? 0 . 0 ? x 的定义域, 若 则 ( 则无此性质)


⑨ y ? sin x 不是周期函数; y ? sin x 为周期函数( T ? ? ) ; ; ; y ? cos x 是周期函数(如图) y ? cos x 为周期函数( T ? ? )

y



y

x

1/2 x

y=cos|x|图象

1 ,并非所有周期函数都有最小正周期,例如: y ? cos 2 x ? 的周期为 ? (如图) 2

y=|cos2x+1/2|图象

y ? f ( x) ? 5 ? f ( x ? k ), k ? R .

y ? a cos? ? b sin ? ? a 2 ?b 2 sin(? ? ? ) ⑩ 其中 tan?=b/a 且?所在的象限与(?,b)相同?
sin15 ? ? cos 75 ? ? 6? 2 4

, sin 75 ? ? cos15 ? ? 6 ? 2 , tan15 ? ? cot 75 ? ? 2 ? 3 , tan 75 ? ? cot15 ? ? 2 ? 3 .
4

11、三角函数图象的作法: 1) 、几何法: 2) 、描点法及其特例——五点作图法(正、余弦曲线) ,三点二线作图法(正、余切曲 线).
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3) 、利用图象变换作三角函数图象. 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等. 函数 y=Asin(ωx+φ)的振幅|A|,周期 T ? 2? ,频率 f ? 1 ? | ? | ,相位 ? x ? ? ; 初相 ?
|? |

T

2?

(即当 x=0 时的相位)(当 A>0,ω>0 时以上公式可去绝对值符号) . , 由 y=sinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1) 或缩短 (当 0<|A| <1)到原来的|A|倍,得到 y=Asinx 的图象,叫做振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换. (用 y/A 替换 y) 由 y=sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0<|ω|<1)或缩短(|ω| >1)到原来的 | 1 | 倍,得到 y=sinω x 的图象,叫做周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换.(用
?

ωx 替换 x) 由 y=sinx 的图象上所有的点向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平行移动|φ|个单 位,得到 y=sin(x+φ)的图象,叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移.(用 x+φ替换 x) 由 y=sinx 的图象上所有的点向上(当 b>0)或向下(当 b<0)平行移动|b|个单位, 得到 y=sinx+b 的图象叫做沿 y 轴方向的平移. (用 y+(-b)替换 y) 由 y=sinx 的图象利用图象变换作函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0) (x∈R)的图 象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延 x 轴量伸缩量的区别。

试题精粹 江苏省 2011 年高考数学联考试题 12.江苏天一中学、 ( 海门中学、 盐城中学 2011 届高三调研考试) 在斜三角形 ABC 中, A, B, C 角 所对的边分别为 a, b, c ,若

tan C tan C ? ? 1 ,则 tan A tan B

a 2 ? b2 ? c2
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▲ . (3)

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8 . ( 淮 阴 中 学 、 姜 堰 中 学 、 前 黄 中 学 2011 届 第 一 次 联 考 ) 在 ?ABC 中 ,

a cos 2
(4 )

C A 3 ? c cos 2 ? b 2 2 2 , ?ABC 的面积 S ? a sin C , a ? c 的值= 且 则

.

sin x ? sin y ?
10 . (淮 阴 中 学 、 姜 堰中 学 、 前 黄 中 学 2011 届 第 一 次 联 考 )已 知

2 3,

cos x ? cos y ?

2 3 ,则 sin x ? cos x 的值=

2 .( 3 )

12. (常州市 2011 届高三数学调研)设函数 f ( x) ? 2 sin ?x, x ? [? 数.(1)若 f (x) 是增函数,则? 的取值范围是____________;

? ?

, ] ,其中 ? 是非零常 4 3

10. (姜堰二中学情调查(三) )若 A 是锐角三角形的最小内角,则函数 y ? cos 2 A ? sin A 的 . [?

值域为

1? 3 ,1) 2

14.(泰州市 2011 届高三第一次模拟考试) 已知 O 是锐角 ?ABC 的外接圆的圆心, ?A ? ? , 且 若

cos B cosC AB ? AC ? 2m AO ,则 m ? sin C sin B

。 sin ? (用 ? 表示) ;

9. (江苏省南通市 2011 届高三第一次调研测试)函数 f ? x ? ? sin ? x ? 3 cos? x ? x ? R ? ,又
f (? ) ? ?2 , f ? ? ? ? 0 ,且 ? ? ? 的最小值等于

π ,则正数 ? 的值为 ▲ .1 2

14. (江苏省南通市 2011 届高三第一次调研测试)已知等腰三角形腰上的中线长为 3 ,则该 三角形的面积的最大值是 ▲ .2

7、 南通市六所省重点高中联考试卷) x ? (0, ( 设 的最小值是 ▲

?
2

2 则函数( sin x ? ),

1 1 )(cos 2 x ? ) 2 sin x cos2 x

25 4

12、 (南通市六所省重点高中联考试卷)已知函数 f ( x) ? x sin x , x ?R,则 f ( ) , f (1) , 的大小关系为 ▲ f( ? ) 3 4、 (宿迁市高三 12 月联考)若将函数 y ? sin(?x ?

?

?

5

?
4

)(? ? 0) 的图像向右平移

? 个单位长度 6

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后,得到一个奇函数的图象,则 ? 的最小值为___ 1. (无锡市 1 月期末调研) 已知 sin? x ?

___;

3 2

? ?

??

3 ? 5? ? ? 2 ?? ,则 sin? ? x ? ? sin ? ? x ? = ?? 6? 3 ? 6 ? ?3 ?





2? 3 3

x x sin cos 1 2 2 , 则 f (? ) 的 值 为 7 . 徐 州 市 12 月 高 三 调 研 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ( ? 8 2 tan x 2 cos 2 x ? 1 2 ▲ . 2
8. (盐城市第一次调研)观察下列几个三角恒等式: ① tan10 tan 20 ? tan 20 tan 60 ? tan 60 tan10 ? 1 ;
? ? ? ? ? ?

② tan 5 tan100 ? tan100 tan(?15 ) ? tan(?15 ) tan 5 ? 1 ;
? ? ? ? ? ?

③ tan13 tan 35 ? tan 35 tan 42 ? tan 42 tan13 ? 1 .
? ? ? ? ? ?

一般地,若 tan ? , tan ? , tan ? 都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为 ▲ . 当? ? ? ? ? ? 90 时, tan ? tan ? ? tan ? tan ? ? tan ? tan ? ? 1
?

15. (江苏天一中学、海门中学、盐城中学 2011 届高三调研考试) (本小题满分 14 分)

A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点,点 P 在单位圆上, ?AOP ? ? , (0 ? ? ? ? ), OQ ? OA ? OP, 四边形 OAQP 的面积为 S
?求 OA ? OQ ? S 的最大值及此时 ? 的值 ? 0 ;

3 4 ?设点 B(? , ), ?AOB ? ? , 在?的条件下求 cos(? ? ? 0 ) . 5 5 15.解: ?由已知 A(1,0), P(cos? , sin? ) ??????????????3
? OQ ? OA ? OP ,?OQ ? (1 ? cos ? , sin ? )
又 S ? sin ? , ?OA? OQ ? S ? sin ? ? cos? ? 1 ? 2 sin(? ? 故 OA ? OQ ? S 的最大值是 2 ? 1 ,此时 ? 0 ?

?
4

) ? 1 (0 ? ? ? ? )

?
4

,

??????????????8 ??????????????10

3 4 3 4 ?? B(? , ), ?AOB ? ? , ? cos ? ? ? , sin ? ? 5 5 5 5
cos(? ? ? 0 ) = cos(? ?
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?
4

)?

2 7 2 .??????????????14 (sin ? ? cos ? ) ? ? 2 10
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15. (姜堰二中学情调查(三)(本小题满分 14 分) ) 在△ABC 中, a, b, c 分别为角 A、B、C 的对边, a 2 ? c 2 ? b 2 ? 面积为 6 ?求角 A 的正弦值; ?求边 b、c; 15. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中, a, b, c 分别为角 A、B、C 的对边, a 2 ? c 2 ? b 2 ? 为6 ?求角 A 的正弦值;
8bc 5

8bc , a =3, △ABC 的 5

8bc , a =3, △ABC 的面积 5
7分

?求边 b、c;
2

解: (1) a2 ? c2 ? b2 ?

?b

? c ? a2 4 ? 2bc 5
2

? cos A ?

3 4 ? sin A ? ??? 5 5

1 1 3 (2)? S?ABC ? bc sin A ? bc ? ? 6 ,?bc ? 20 2 2 5



b2 ? c2 ? a2 4 ? 及 bc ? 20 与 a =3 解得 b=4,c=5 或 b=5,c= 4 ??? 2bc 5

7分

16. (泰州市 2011 届高三第一次模拟考试)(本小题满分 14 分) 已知 a ? ?cos? , sin ? ? , b ? ?cos ? , sin ? ? , c ? ?1,0 ? 。 (1)若 a ? b ? (2)若 ? ?

2 ?? ? 2 ,记 ? ? ? ? ? ,求 sin ? ? sin? ? ? ? 的值; 3 ?2 ?

k? ? , ? ? k? ?k ? Z ? ,且 a ∥ b ? c ,求证: tan ? ? tan 。 2 2 ? ? 2 16. ?∵ a ? b ? cos(? ? ? ) ,∴ cos ? ? . ??????????????(3 分) 3
∴ sin ? ? sin(
2

? ?

?

2

? ? ) ? 1 ? cos 2 ? ? cos ?

??????????????(5 分)

1 ? ? . ????????????????????????????(7 分) 9? ? ? ? ? ?∵ b ? c ? (1 ? cos ? ,sin ? ) , a ∥ (b ? c) ,∴ cos ? sin ? ? (1 ? cos ? )sin ? ? 0 .
??????????????????(9 分)

sin ? k? 又∵ ? ? , ? ? k? (k ? Z ) ,∴ tan ? ? ?????????(12 分) 1 ? cos ? 2

?

2sin

2 ? tan ? . ????????????????????(14 分) ? 2 2 cos 2 2 2

?

cos

?

16、 (宿迁市高三 12 月联考) (本题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且满足 (2b ? c) cos A ? a cos C 。 (1)求角 A 的大小;

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(2)设 m ? (0, ?1), n ? (cos B, 2cos 2

??

?

?? ? C ) ,试求 m ? n 的最小值。 2

16、解: (1)? (2b ? c) cos A ? a cos C , 由正弦定理得: (2sin B ? sin C ) cos A ? sin A cos C ?????2 分

? 2sin B cos A ? sin C cos A ? sin A cos C , 化为 2sin B cos A ? sin A cos C ? cos Asin C
? 2sin B cos A ? sin( A ? C ) ,?????4 分

?2sin B cos A ? sin B ,得 cos A ?
(2) m ? n ? (cos B, 2cos

C ? 1) ? (cos B, cos C ), ?????8 分 2 ?? ? 2 2? 1 ? ? m ? n ? cos 2 B ? cos 2 C ? cos 2 B ? cos 2 ( ? B) ? 1 ? sin(2 B ? ) ????12 分 3 2 6 ? 2? 2? ? ? 7? ?B ? ,B ?C ? ,? B ? (0, ) .从而 2 B ? ? (? , ) ?????13 分 3 3 3 6 6 6 ?? ? 2 ? ? 1 ?当sin(2 B ? ) ? 1,即B ? 时, ? n 取得最小值 , m 6 3 2
2

?? ?

1 ? ,? A ? ?????7 分 2 3

所以, m ? n 的最小值为

?? ?

2 。 2

?????14 分 y B A

15. (盐城市第一次调研)(本小题满分 14 分)

3 4 如图, O 为坐标原点,点 A, B, C 均在⊙O 上,点 A ( , ) , 5 5
点 B 在第二象限,点 C (1, 0) . (Ⅰ)设 ?COA ? ? ,求 sin 2? 的值; (Ⅱ)若 ?AOB 为等边三角形,求点 B 的坐标. 15.解: (Ⅰ)因为 cos ? ?

O

C

x

第 15 题 3 4 24 ?????6 分 ,sin ? ? ,所以 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 5 5 25
?

( Ⅱ ) 因 为 ?AOB 为 等 边 三 角 形 , 所 以 ?AOC ? 60

, 所 以

c o?B O C s ?

c ? s ( O??C o A

6 0 )

?

3? 4 3 ??????????????????????????10 分 10

同理, sin ?BOC ? 分
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4?3 3 3 ? 4 3 4? 3 3 , ) ???????14 ,故点 A 的坐标为 ( 10 10 10

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9. (苏北四市 2011 届高三第二次调研)在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c , 若 sin A ? 3 sin C , B ? 30? , b ? 2 ,则△ ABC 的面积是 ▲ . 3 15. (苏北四市 2011 届高三第二次调研) (本小题满分 14 分)

? ? 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) ? 2cos 2 x . 6 3 ? (1)求 f ( ) 的值; 12
(2)求 f (x) 的最大值及相应 x 的值.

? ? ? ? ? ? 15.(1) f ( ) ? sin(2 ? ? ) ? cos(2 ? ? ) ? 2cos 2 12 12 6 12 3 12 ? ? ? ???????????????????2 ? sin ? cos ? 1 ? cos 3 2 6 分
? 3 3 ? 0 ?1? 2 2

? 3 ? 1 ??????????????????????????????????
6分

? ? (1)? f ( x) ? sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) ? 2cos 2 x 6 3 ? ? ? ? ? sin 2 x cos ? cos 2 x sin ? cos 2 x cos ? sin 2 x sin ? 2cos 2 x ? 1 ???????10 6 6 3 3 分 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ,??????????????????12 6


?

? ?当 sin(2 x ? ) ? 1 时, f ( x)max ? 2 ? 1 ? 3 , 6 ? ? ? 此时, 2 x ? ? 2k ? ? , 即 x ? k ? ? (k ?Z) ,????????????????? 6 2 6
14 分 试题精粹 江苏省 2010 年高考数学联考试题 一、填空题: 12. (江苏省无锡市 2010 年普通高中高三质量调研)如图,两座相距 60 m 的建筑物 AB、CD 的高度分别为 20m、50m,BD 为水平面,则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角 为 。

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解析:由图知直角三角形 ABD 中 AB=20m,BD=60m,则 AD= 20 10 m,同理易得 AC= 30 5 m,在

?30 5 ? ? ? 20 10 ? ?ACD 中 cos A ?
2

2

? 502

2 ? 30 5 ? 20 10

?

? 2 得 A= . 4 2
tan x ? tan 3 x 的最大值与 1 ? 2 tan 2 x ? tan 4 x

6. (江苏省无锡市部分学校 2010 年 4 月联考试卷)函数 y ? 最小值的积是 解析: y ? 。

tan x ? tan 3 x tan x(1 ? tan 2 x) tan x 1 ? tan 2 x ? ? ? 1 ? 2 tan 2 x ? tan 4 x (1 ? tan 2 x) 2 1 ? tan 2 x 1 ? tan 2 x

?

11 .( 江 苏 省 无 锡 市 部 分 学 校 2010 年 4 月 联 考 试 卷 ) 若 0 ? x ? 1 ,

1 1 ?1 sin 2 x ? cos 2 x ? sin 4 x ,所以:最大与最小值的积为 。 2 4 16
sin x sin x 2 ? sin x ? a?? ,c ? ,则 a, b, c 的大小关系是 ? ,b ? x x2 ? x ?
2



解析:我们知道当 x ? ?0,1? 时, sin x ? x 且
2

sin x 为减函数,从而: x

sin x sin x 2 ? sin x ? (当 x ? 1时, b ? c ) ,所以 a ? b ? c 。 ? ? ? ? x x2 ? x ?
2. (江苏省泰州市 2010 届高三联考试题)若函数 y ? 2a sin( ax ? 正实数 a ? ______▲_______. 解析:由函数 y ? 2a sin(ax ?

?
4

) 的最小正周期为 ? ,则

?
4

) 的最小正周期为 ? 知

2? ? ? ,则正实数 a ? 2. |a|

4. (江苏省泰州市 2010 届高三联考试题) sin ? ?

3 3 ? , cos ? ? ,其中 ?、? ? (0, ) ,则 5 5 2

? ? ? ? ______▲_______.

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3 3 ? 4 4 , cos ? ? ,其中 ?、? ? (0, ) ,知 cos ? ? ,sin ? ? 5 5 2 5 5 12 12 则 cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? 0 ,又因为 ? ? ? ? ? 0, ? ? 得 25 25 ? ? ?? ? . 2 ? 4. (江苏通州市 2010 年 3 月高三素质检测)将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 个单位, 再 4
解析:由 sin ? ? 向 上 平 移 1 个 单 位 , 所 得 图 象 的 函 数 解 析 式 是 ____________ ▲ ________________ .

y ? 2sin 2 x
1. (2010 年 3 月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一)函数 f ( x) ? 2sin(3πx ? 1) (x ?R) 的
2 3 12、 (江苏省连云港市 2010 届高三二模试题) 在 Rt?ABC 中, c , r , S 分别表示它的斜

最小正周期为





边长,内切圆半径和面积,则

cr 的取值范围是 S



. [2 2 ? 2,1)

13、 (江苏省连云港市 2010 届高三二模试题)函数 f(x)是定义在[-4,4]上的偶函数,其在 [0, 4]上的图象如图所示, 那么不等式 π ) 2 3 . 江 苏 省 苏 南 六 校 2010 年 高 三 年 级 联 合 调 研 考 试 ) y ? 2sin(2 x ? ? ), ? ? (0, ? ) 在 (

f(x) <0 的解集为 cosx



π . (- , -1) (1, ∪ 2

? ? x ? (0, ) 2 上是减函数,则 ? ? _____________. 2
12 . ( 江 苏 省 苏 南 六 校 2010 年 高 三 年 级 联 合 调 研 考 试 )

f ( x) ? sin x ? cos x, f1 ( x) ? f ?( x), f 2 ( x) ? f1?( x),?, f n ( x) ? f n??1 ( x)

f1 ( ) ? f 2 ( ) ? ? ? f 2010 ( ) ? 4 4 4 _____________. ? 2 (其中 n ? N , n ? 2 ) ,则
?

?

?

?

9. ( 2010 年 江 苏 省 苏 北 四 市 高 三 年 级 第 二 次 模 拟 考 试 ) 将 函 数 ? ? f ( x) ? 2sin(? x ? ) (? ? 0) 的图象向左平移 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象.若 3 3? ? y ? g ( x) 在 [0, ] 上为增函数,则 ? 的最大值为 ▲ . 2 4 14、 (江苏省南京市 2010 年 3 月高三第二次模拟)已知定义域为 D 的函数 f(x),如果对任意 x ∈D,存在正数 K, 都有∣f(x)∣≤K∣x∣成立,那么称函数 f(x)是 D 上的“倍约束函数” ,已 知下列函数:①f(x)=2x② f ( x) = 2sin( x ? 中是“倍约束函数的是
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?
4

) ;③ f ( x) = x ? 1 ;④ f ( x) =

x ,其 x ? x ?1
2

。①③④
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二、解答题

15. (2010 年 3 月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一)(本小题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cos A ? (1)求 sin C 的值; (2)求 sin(2 A ? C) 的值;
3 (3)若△ABC 的面积 S ? sin B sin C ,求 a 的值. 2 4 15.解: (1) ∵ a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A = 26c 2 ? 10c 2 ? = 18c2 , 5

4 , b ? 5c . 5

∴ a ? 3 2c . ∵ cos A ? ∵
4 ,0 ? A? π , 5

?????????????2 分 ∴ sin A ?
3 . 5

a c , ? sin A sin C

3 c sin A 5 = 2 . ???????????5 分 ∴ sin C ? = a 3 2c 10 c?
(2)∵ c ? a ,∴ C 为锐角,
7 2 . 10 3 4 24 ∵ sin 2 A ? 2sin A cos A ? 2 ? ? ? , 5 5 25

∴ cos C ? 1 ? sin 2 C ?

cos 2 A ? 2cos2 A ? 1 ? 2 ?

16 7 , ?????????8 分 ?1 ? 25 25

∴ sin(2 A ? C ) = sin 2 A cos C ? cos 2 A sin C
24 7 2 7 2 7 2 . ?????????10 分 ? ? ? ? 25 10 25 10 10 sin B b (3)∵ b ? 5c , ∴ ? ? 5 , sin B ? 5sin C . sin C c

=

3 15 3 ∴ sin B sin C ? sin 2 C ? . 2 2 20
1 3 a2 又∵S= bc sin A ? c2 ? , 2 2 12

?????12 分

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a2 3 , ? 12 20

∴a ?

3 5 . 5

????????14 分

15. (江苏省无锡市部分学校 2010 年 4 月联考试卷) (14 分) (1)设 0 ? ? ? ? , ? ? ? ? 2? , 若对任意的 x ? R ,都有关于 x 的等式 cos(x ? ? ) ?

sin(x ? ? ) ? 2 cos x ? 0 恒成立,试求 ? , ? 的值;
(2)在 ?ABC 中,三边 a, b, c 所对的角依次为 A, B, C ,且 2 cos C ? 3 sin 2C ? 3 ,
2

c ? 1, S ?ABC ?

3 ,且 a ? b ,求 a, b 的值。 2

15、 (江苏省连云港市 2010 届高三二模试题) (14 分) ?ABC 中,角 A、 、 的对边分别为 B C

a、、,且 lg a ? lg b ? lgcos B ? lgcos A ? 0 . b c
(1)判断 ?ABC 的形状; (2)设向量 m ? (2a, b) , n ? (a, ?3b) ,且 m ? n , (m ? n) ? (?m ? n) ? 14 ,求 a, b, c . 15、解: (1)由题 lg a ? lg cos A ? lg b ? lg cos B ,故 a cos A ? b cos B , 由正弦定理 sin A cos A ? sin B cos B ,即 sin2 A ? sin 2B .

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又 cos A ? 0 ,cos B ? 0 ,故 A, B ? (0,

?
2

) , 2 A,2B ? (0, ? )

因 a ? b ? A ? B ,故 2 A ? ? ? 2B . 即 A? B ?

?

2

,故 ?ABC 为直角三角形.
2 2

....... 分 .......7

(2)由于 m ? n ,所以 2a ? 3b ? 0
2 2


2 2

且 (m ? n) ? (?m ? n) ? n ? m ? 14 ,即 8b ? 3a ? 14
2 2



联立①②解得 a ? 6, b ? 4 ,故在直角 ?ABC 中, a ? 6 , b ? 2 , c ? 10 ....14 分 ... 20. (江苏省苏南六校 2010 年高三年级联合调研考试) (本小题满分 16 分)

f ( x) ?
已知函数

a ? sin x ? bx (a、b ? R) , 2 ? cos x

(Ⅰ) f ( x) 在 R 上存在最大值与最小值, 若 且其最大值与最小值的和为 2680 , 试求 a 和 b 的 值。 (Ⅱ)若 f ( x) 为奇函数,

(1)是否存在实数 b ,使得 f ( x) 在 的值,若不存在,请说明理由;

(0,

2? 2? ) ( ,? ) 3 为增函数, 3 为减函数,若存在,求出 b

(2)如果当 x ? 0 时,都有 f ( x) ? 0 恒成立,试求 b 的取值范围。

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15. (2010 年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试)在平面直角坐标系 xOy 中,点 ??? ???? ? 1 1 P ( , cos2 ? ) 在角 ? 的终边上,点 Q (sin 2 ? , ? 1) 在角 ? 的终边上,且 OP ? OQ ? ? . 2 2 (1)求 cos 2? 的值; (2)求 sin(? ? ? ) 的值. ??? ???? ? 1 1 1 15.(1)因为 OP ? OQ ? ? ,所以 sin 2 ? ? cos2 ? ? ? , 2 2 2 1 1 2 即 (1 ? cos2 ? ) ? cos2 ? ? ? ,所以 cos2 ? ? , 2 2 3

1 .??????????????????6 分 3 2 1 1 2 1 2 2 (2)因为 cos ? ? ,所以 sin ? ? ,所以 点P ( , ) , 点Q( ,?1) , 3 3 2 3 3 4 3 1 2 又点 P( , ) 在角 ? 的终边上,所以 sin ? ? , cos? ? . 2 3 5 5 3 10 10 同理 sin ? ? ? , cos ? ? , 10 10
所以 cos 2? ? 2cos ? ? 1 ?
2

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所以 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ?

4 10 3 3 10 10 ? ? ? (? ) ?? .?14 分 5 10 5 10 10

16. (江苏省泰州市 2010 届高三联考试题) (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的对边长分别为 a、b、c ; (1)设向量 x ? (sin B, sin C ) ,向量 y ? (cos B, cos C ) , 向量 z ? (cos B,? cosC ) ,若 z //(x ? y ) ,求 tan B ? tan C 的值; (2)已知 a ? c ? 8b ,且 sin A cos C ? 3cos Asin C ? 0 ,求 b .
2 2

解: (1) x ? y ? (sin B ? cos B, sin C ? cos C ) , 由 z //(x ? y ) ,得 cos C (sin B ? cos B) ? cos B(sin C ? cos C ) ? 0 , 即 sin B cos C ? cos B sin C ? ?2cos B cos C (4 分)

sin B sin C sin B cos C ? cos B sin C ? ? ? ?2 ; (7 分) cos B cos C cos B cos C (2)由已知可得, sin A cos C ? ?3cos A sin C ,
所以 tan B ? tan C ? 则由正弦定理及余弦定理有: a ?

a 2 ? b2 ? c 2 b2 ? c 2 ? a 2 ? ?3 ?c , 2ab 2bc
2 2 2

(10 分)

化简并整理得: a ? c ? 2b ,又由已知 a ? c ? 8b ,所以 2b ? 8b ,
2 2 2

解得 b ? 4或b ? 0 (舍) ,所以 b ? 4



(14 分)

15. (江苏省洪泽中学 2010 年 4 月高三年级第三次月考试卷 (本题满分 14 分) 已知角 A 、B 、

A ? C 是 ?ABC 的 内 角 , a, b, c 分 别 是 其 对 边 长 , 向 量 m ? ( 2 3 s i n 2 ?? ? ? A n ? (cos ,?1) , m ? n . 2 (1)求角 A 的大小;
(2)若 a ? 2, cos B ?

A , 2 2c o s , ) 2

3 , 求 b 的长. 3

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三角函数解题技巧 高考试题中的三角函数题相对比较传统,难度较低,位置靠前,重点突出。因此,在复 习过程中既要注重三角知识的基础性,突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对 称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习,又要注重三角知识的工具性,突出 三角与代数、几何、向量的综合联系,以及三角知识的应用意识。 方法技巧 1.三角函数恒等变形的基本策略。 2 2 (1)常值代换:特别是用“1”的代换,如 1=cos θ+sin θ=tanx·cotx=tan45°等。 2 2 2 2 2 2 (2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin x+2cos x=(sin x+cos x)+cos x=1+cos x;配 凑角:α=(α+β)-β,β=

???
2



???
2
2

等。

(3)降次与升次。 (4)化弦(切)法。 (4)引入辅助角。asinθ+bcosθ= a ? b sin(θ+ ? ),这里辅助角 ? 所在象限由 a、
2

b 的符号确定, ? 角的值由 tan ? =

b 确定。 a

2.证明三角等式的思路和方法。 (1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。 (2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利 用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 (1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析” 。 (2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。 (3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。
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例题分析 例 1.已知 tan? ? 值.

2 ,求(1)

cos? ? sin? 2 2 ; (2) sin ? ? sin? . cos? ? 2 cos ? 的 cos? ? sin?

sin ? cos? ? sin ? cos? ? 1 ? tan? ? 1 ? 2 ? ?3 ? 2 2 ; 解: (1) ? sin ? 1 ? tan? 1 ? 2 cos? ? sin ? 1? cos? sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2 cos2 ? 2 2 (2) sin ? ? sin ? cos ? ? 2 cos ? ? sin 2 ? ? cos2 ? sin 2 ? sin ? ? ?2 2 2? 2 ?2 4? 2 . ? cos ? 2 cos ? ? ? sin ? 2 ?1 3 ?1 cos2 ? 1?
说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到) ,进行弦、切互化, 就会使解题过程简化。 例 2.求函数 y ? 1 ? sin x ? cos x ? (sin x ? cos x) 的值域。
2

解:设 t ? sin x ? cos x ?

π 2 sin( x ? ) ?[? 2,2] ,则原函数可化为 4

1 3 y ? t 2 ? t ? 1 ? (t ? )2 ? ,因为 t ? [? 2, 2] ,所以 2 4 1 3 当 t ? 2 时, ymax ? 3 ? 2 ,当 t ? ? 时, ymin ? , 2 4 3 所以,函数的值域为 y ? [ ,? 2] 。 3 4
例 3.已知函数 f ( x) ? 4sin x ? 2sin 2 x ? 2,x ? R 。
2

(1)求 f ( x) 的最小正周期、 f ( x) 的最大值及此时 x 的集合; (2)证明:函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? ?
2

π 对称。 8
2

解: f ( x) ? 4sin x ? 2sin 2 x ? 2 ? 2sin x ? 2(1 ? 2sin x)

π ? 2sin 2 x ? 2cos 2 x ? 2 2 sin(2 x ? ) 4
(1)所以 f ( x) 的最小正周期 T ? π ,因为 x ? R ,

π π 3π ? 2kπ ? ,即 x ? kπ ? 时, f ( x) 最大值为 2 2 ; 4 2 8 π (2)证明:欲证明 函数 f ( x) 的图像关于 直线 x ? ? 对称,只要证明对 任意 x ? R ,有 8 π π f (? ? x ) ? f (? ? x )成立, 8 8
所以,当 2 x ?
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π π π π ? x) ? 2 2 sin[2(? ? x) ? ] ? 2 2 sin(? ? 2 x) ? ?2 2 cos 2 x , 8 8 4 2 π π π π f (? ? x) ? 2 2 sin[2(? ? x) ? ] ? 2 2 sin(? ? 2 x) ? ?2 2 cos 2 x , 8 8 4 2 π π π 所以 f (? ? x) ? f (? ? x) 成立,从而函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? ? 对称。 8 8 8 3 1 2 例 4. 已知函数 y= cos x+ sinx·cosx+1 (x∈R), 2 2
因为 f (? (1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图像可由 y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?

3 3 1 1 1 2 2 cos x+ sinx·cosx+1= (2cos x-1)+ + (2sinx·cosx)+1 2 2 4 4 4 3 1 5 1 ? ? 5 = cos2x+ sin2x+ = (cos2x·sin +sin2x·cos )+ 4 4 4 2 6 6 4 1 ? 5 = sin(2x+ )+ 2 6 4 ? ? ? 所以 y 取最大值时,只需 2x+ = +2kπ,(k∈Z) ,即 x= +kπ,(k∈Z) 。 6 2 6 ? 所以当函数 y 取最大值时,自变量 x 的集合为{x|x= +kπ,k∈Z} 6
解: (1)y= (2)将函数 y=sinx 依次进行如下变换:

? ? ,得到函数 y=sin(x+ )的图像; 6 6 1 ( ii ) 把 得 到 的 图 像 上 各 点 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 倍 ( 纵 坐 标 不 变 ) 得 到 函 数 , 2 ? y=sin(2x+ )的图像; 6 1 ( iii)把得 到的图像上各点纵 坐标缩短到原来的 倍( 横坐标不变) ,得到函 数 2 1 ? y= sin(2x+ )的图像; 2 6 5 1 ? 5 (iv)把得到的图像向上平移 个单位长度,得到函数 y= sin(2x+ )+ 的图像。 4 2 6 4 3 1 2 综上得到 y= cos x+ sinxcosx+1 的图像。 2 2
(i)把函数 y=sinx 的图像向左平移 说明:本题是 2000 年全国高考试题,属中档偏容易题,主要考查三角函数的图像和性质。 这类题一般有两种解法: 一是化成关于 sinx,cosx 的齐次式, 降幂后最终化成 y= a ? b sin (ωx+ ? )+k 的形式,二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题(1)还可以解法如下:当
2 2

1 3 1 3 cos2 x ? sin x cos x ? tan x 2 2 cosx=0 时,y=1;当 cosx≠0 时,y= 2 +1= 2 +1 sin 2 x ? cos2 x 1 ? tan 2 x 2 化简得:2(y-1)tan x- 3 tanx+2y-3=0 3 7 ∵tanx∈R,∴△=3-8(y-1)(2y-3) ≥0,解之得: ≤y≤ 4 4
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7 ? ,此时对应自变量 x 的值集为{x|x=kπ+ ,k∈Z} 4 6 x x x 例 5.已知函数 f ( x) ? sin cos ? 3 cos2 . 3 3 3 (Ⅰ)将 f(x)写成 A sin(?x ? ? ) 的形式,并求其图象对称中心的横坐标;
∴ymax= (Ⅱ)如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b =ac,且边 b 所对的角为 x,试求 x 的范围及此时 函数 f(x)的值域. 解: f ( x) ? 1 sin 2 x ? 3 (1 ? cos 2 x ) ? 1 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 ? sin(2 x ? ? ) ? 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2
2

2x ? 2x ? 3k ? 1 ? ) =0 即 ? ? k? (k ? z )得x ? ? 3 3 3 3 2 3k ? 1 即对称中心的横坐标为 ?, k ? z 2
(Ⅰ)由 sin(
2

k?z

(Ⅱ)由已知 b =ac

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? , 2ac 2ac 2ac 2 1 ? ? 2 x ? 5? ? ? cos x ? 1, 0 ? x ? , ? ? ? 2 3 3 3 3 9 ? ? 5? ? ? 2x ? ?| ? |?| ? | , ? sin ? sin( ? ) ? 1, 3 2 9 2 3 3 3 3 ]. 即 f (x) 的值域为 ( 3 ,1 ? 2 cos x ?
综上所述, x ? (0,

? 3 ? sin(

2x ? 3 ? ) ? 1? , 3 3 2

?
3

]



f (x) 值域为 ( 3 ,1 ?

3 ] . 2

说明:本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识,还需要利用数形结合的思 想来解决函数值域的问题,有利于培养学生的运算能力,对知识进行整合的能力。 例 6.在 ? ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (1)求 sin B 的值; (2)若 b ? 4 2 ,且 a=c,求 ? ABC 的面积。 解:(1)由正弦定理及

cos C 3a ? c , ? cos B b

cos C 3a ? c cos C 3sin A ? sin C ,有 , ? ? cos B b cos B sin B

即 sin B cos C ? 3sin A cos B ? sin C cos B ,所以 sin( B ? C ) ? 3sin A cos B , 又因为 A ? B ? C ? π , sin( B ? C ) ? sin A ,所以 sin A ? 3sin A cos B ,因为 sin A ? 0 ,所 以 cos B ?

2 2 1 2 ,又 0 ? B ? π ,所以 sin B ? 1 ? cos B ? 。 3 3
2 2

(2)在 ? ABC 中,由余弦定理可得 a ? c ? 所以有

2 ac ? 32 ,又 a ? c , 3

4 2 a ? 32,即a 2 ? 24 ,所以 ? ABC 的面积为 3
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S?

1 1 ac sin B ? a 2 sin B ? 8 2 。 2 2 ? ? ? ? ? 2 cos 例 7.已知向量 a ? (2cos α,2 sin α),b = (? sin α, α),x ? a ? (t ? 3)b,

? ? ? ? ? y ? ?ka ? b ,且 x ? y ? 0 ,
(1)求函数 k ? f (t ) 的表达式; (2)若 t ?[?1 3] ,求 f (t ) 的最大值与最小值。 , 解:(1) a 2 ? 4 , b ? 1 , a ? b ? 0 ,又 x ? y ? 0 , 所以 x ? y ? [a ? (t ? 3)b ] ? (?ka ? b ) ? ?ka ? (t ? 3)b ? [t ? k (t ? 3)]a ? b ? 0 ,
2 2 2

?

?2
?

? ?
?

? ?

? ?

?

?

?2

?2

? ?

1 3 3 1 3 t ? t ,即 k ? f (t ) ? t 3 ? t ; 4 4 4 4 3 2 3 (2)由(1)可得,令 f (t ) 导数 t ? ? 0 ,解得 t ? ?1 ,列表如下: 4 4
所以 k ? t -1 0 极大值 (-1,1) - 递减 1 0 极小值 (1,3) + 递增

f (t ) 导数
f (t )

而 f (?1) ? ,f (1) ? ? ,f (3) ? , 所以 f (t ) max ? ,f (t ) min ? ?

1 2

1 2

9 2

9 2

1 。 2

sin sin | 例 8.已知向量 a ? (cos α, α ),b = (cos β, β ),a ? b |?
(1) 求 cos(α ? β ) 的值;

?

?

?

?

2 5 , 5

π π 5 , ? β ? 0,且 sin β ? ? ,求 sin α 的值。 ? 2 2 13 ? ? sin sin 解:(1)因为 a ? (cos α, α),b = (cos β, β),
(2) (2)若 0 ? α ?

sin 所以 a ? b ? (cos α ? cos β, α ? sin β ),
又因为 | a ? b |?

?

?

?

?

2 5 2 5 2 2 ,所以 (cos α ? cos β ) ? (sin α ? sin β ) ? , 5 5

即 2 ? 2cos(α ? β ) ? , α ? β ) ? cos( (2) 0 ? α ?

4 5

3 ; 5

π π , ? β ? 0, ? α ? β ? π , ? 0 2 2
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又因为 cos(α ? β ) ?

3 4 ,所以 sin(α ? β ) ? , 5 5 5 12 63 sin β ? ? ,所以 cos β ? ,所以 sin α ? sin[(α ? β ) ? β ] ? ? ? 13 13 65

例 9.平面直角坐标系有点 P(1, cos x), Q(cos x,1), x ? [?

, ] 4 4 (1) 求向量 OP 和 OQ 的夹角 ? 的余弦用 x 表示的函数 f (x) ;
(2) 求 ? 的最值.

? ?

解: (1)?OP ? OQ

? OP ? OQ ? cos? ,

? cos x ? cos x ? (1 ? cos2 x) cos? ? cos? ? 2 cos x 1 ? cos2 x


2 cos x ? ? (? ? x ? ) 2 1 ? cos x 4 4 1 3 2 2 cos x ? ? [2, ], (2)? cos? ? , 又 1 cos x 2 cos x ? cos x 2 2 2 2 ? cos? ? [ ,1] , . ?? min ? 0 , ? max ? arccos 3 3 f ( x) ?
说明:三角函数与向量之间的联系很紧密,解题时要时刻注意。 三角函数过关测试 1、已知 x ? (? 2、若 x ? 3、已知 ?

?
2

,0), cos x ?

?

4 , 则 tan 2 x ? ___________. 5


?

3 2

是方程 2cos( x ? ? ) ? 1 的解,其中, ? ? (0, 2? ) ,则 ? ?

? x ? 0,sin x ? cos x ?

4、函数 y ? sin(2 x ?

?

1 ,则 sin x ? cos x =___________. 5

) ? cos(2 x ? ) 的最小正周期为________. 6 3

?

5、定义在 R 上的函数 f (x) 既是偶函数又是周期函数,若 f (x) 的最小正周期是 ? ,且当

5? ) 的值为________. 2 3 a 6、在锐角△ABC 中,已知 A ? 2B ,则 的取值范围是 b x ? [0,

?

] 时, f ( x) ? sin x ,则 f (



7、已知 △ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 则角 C = 8、已知 sin( .

1 2 sin C , △ABC 的面积为 sin C , 6

?

? 1 ? ? ? 2? ) ? sin( ? 2? ) ? , ? ? ( , ) ,则 cos 2? ? _______. 4 4 4 4 2
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9、下面有 5 个命题: ①函数 y ? sin x ? cos x 的最小正周期是 ? .
4 4

②终边在 y 轴上的角的集合是 {? | ? ?

k? , k ? Z} . 2

③在同一坐标系中,函数 y ? sin x 的图象和函数 y ? x 的图象有 3 个公共点. ④把函数 y ? 3sin(2 x ? ⑤函数 y ? sin( x ?

?
3

) 的图象向右平移

?
2

? 得到 y ? 3sin 2 x 的图象. 6

) 在 [0, ? ] 上是减函数.
_____(写出所有真命题的编号) .

其中,真命题的编号是______

10、如图,在 ?ABC 中, ?BAC ? 120?, AB ? 2, AC ? 1, D 是边 BC 上一点, DC ? 2BD, 则

???? ??? ? AD?BC ? __________ .

A

11、已知 tan(

?
4

??) ?

B sin 2a ? cos2 ? D 1 , (1)求 tan? 的值; (2)求 的值。 题 第 10 1 ? cos 2? 2

C

12、已知 sin(? ?

? 7 2 7 ? )? , cos 2? ? , 求 sin ?及 tan(? ? ) . 4 10 25 3

13、如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角 ?,? ,它们的终边分别交

2 2 5 单位圆于 A,B 两点. 已知 A,B 两点的横坐标分别是 , . 10 5

y A B x

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(1)求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 ? ? 2? 的值.

参考答案

24 1、 ? 7
8、

4? 2、 3
3 2
9、①④

7 3、 ? 5

4、

?

5、

3 2

6、 ( 2, 3) 7、

? 3

?

10、 ?

8 3

11、 (1)解: tan(

?
4

??) ?

tan

?
4

? tan?

1 ? tan

?
4

?

tan?

1 ? tan? 1 ? tan?

由 tan(

?
4

??) ?

1 1 ? tan? 1 1 ,有 ? , 解得 tan ? ? ? 2 1 ? tan? 2 3

(2)解法一:

sin 2? ? cos2 ? 2 sin ? cos? ? cos2 ? ? 1 ? cos 2? 1 ? 2 cos2 ? ? 1

2 sin ? ? cos? 1 1 1 5 ? tan? ? ? ? ? ? ? 2 cos? 2 3 2 6 1 1 解法二:由(1) a ? ? ? ,得 sin ? ? ? cos? ,n t 3 3 1 1 9 2 2 ∴ sin ? ? cos ? 1 ? cos2 ? ? cos2 ? ∴ cos2 ? ? 9 9 10 4 2 于是 cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ? , 5 2 3 sin 2? ? 2 sin ? cos? ? ? cos2 ? ? ? 3 5 3 9 ? ? 2 sin 2? ? cos ? 5 代入得 ? 5 10 ? ? 4 1 ? cos 2? 6 1? 5 ?
12、由题设条件,应用两角差的正弦公式得

7 2 ? 2 ? sin(? ? ) ? (sin ? ? cos ?) 10 4 2

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即 sin ? ? cos ? ?

7 5



由题设条件,应用二倍角余弦公式得

7 7 ? cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? (cos ? ? sin ?)(cos ? ? sin ?) ? ? (cos ? ? sin ?) 25 5 1 故 cos ? ? sin ? ? ? ② 5 3 4 3 由①式和②式得 sin ? ? , cos ? ? ? .因此, tan ? ? ? ,由两角和的正切公式 5 5 4 3 3? ? tan ? ? 3 4 ? 4 3 ? 3 ? 48 ? 25 3 . tan(? ? ) ? ? 3 1 ? 3 tan ? 11 3 3 4?3 3 1? 4
13、1)由已知条件即三角函数的定义可知 cos ? ?

2 2 5 , cos ? ? , 10 5
2

因 ?为锐角, sin ? ? 0 ,从而 sin ? ? 1 ? cos ? ? 故

7 2 10

同理可得 sin ? ? 1 ? cos ? ?
2

5 1 ,因此 tan ? ? 7, tan ? ? . 5 2

1 7? tan ? ? tan ? 2 ? ?3 ; 所以 tan(? ? ? ) = ? 1 ? tan ? ?tan ? 1 ? 7 ? 1 2 1 ?3 ? 2 ? ?1 , (2) tan(? ? 2? ) ? tan[(? ? ? ) ? ? ] ? 1 1 ? (?3) ? 2 ? ? 3? 又0 ? ? ? , 0 ? ? ? , 故0 ? ? ? 2? ? , 2 2 2 3? 从而由 tan(? ? 2? ) ? ?1 得 ? ? 2? ? . 4

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