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山东省师大附中2013届高三第四次模拟测试(1月)数学理试题

时间:2013-01-11


山东师大附中 2010 级高三第四次模拟考试 数学(理工类)
2013 年 1 月 命题人: 孙 宁 王俊亮 1. 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟. 2. 本试卷涉计的内容: 集合与逻辑、基本初等函数(Ⅰ) (Ⅱ) 、导数及其应用、三角函数、 数列、不等式、向量、立体几何

第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
1. 已知 ? 为第二象限角, sin ? ? A. ?

24 25

B. ?

12 25

3 ,则 sin 2? ? ( 5 24 12 C. D. 25 25



2.设全集 U ? R, A ? {x | 2

x? x ? 2?

? 1}, B ? {x | y ? ln ?1 ? x ?} ,


U

则右图中阴影部分表示的集合为( A. {x | x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1}

B. {x |1 ? x ? 2} D. {x | x ? 1} )

3.已知各项均为正数的等比数列{ an }中, a1a2 a3 ? 5, a7 a8a9 ? 10, 则 a4 a5 a6 ? ( A. 5 2
1.2

B.7
?0.8

C.6

D.4 2 ) D .

?1? 4. 已知 a ? 2 , b ? ? ? ? 2?
A. c ? b ? a

, c ? 2log 5 2 ,则 a, b, c 的大小关系为(
c?a?b
C.

B.

b?c?a

b?a?c

5.已知某几何体的三视图如图,其中正(主)视图中半圆的 半径为 1,则该几何体的体积为( A. 24 ? ) C. 24 ? ? D. 24 ?

3? 2

B. 24 ?

? 3

? 2

6.正六棱柱的底面边长为 4,高为 6,则它的外接球的表面积为

A.

20?

B.

25?

C.

100?

D.
·1·

200?

?x ? y ? 5 ? 0 ? 7.已知 x、 y 满足 ? x ? 3 ,则 z ? 2 x ? 4 y 的最小值为( ?x ? y ? 0 ?
A. 5 B. -5 C . 6 D. -6

)

8.为了得到函数 y ? sin ? 2 x ? A.向左平移

? ?

??

? 的图象,只要将 y ? sin x( x ? R) 的图象上所有的点( 3?

)

? 1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 3 2 ? B.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 3 ? 1 C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 6 2 ? D.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6 5? ? 9.已知 ? >0,0 ? ? ? ? , 直线 x = 和 x = 是函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 图象的两条相邻的对称轴, 4 4 则 ? =( ) 3? ? ? ? A . B . C . D . 4 4 3 2
10.若正数 x , y 满足 x ? 3 y ? 5 xy ,则 3x ? 4 y 的最小值是( A. )

24 5

B.

28 5

C.

5

D. 6

11.函数 y ? ln

e x ? e? x 的图象大致为( e x ? e? x

)

A.

B.

C.

D.

·2·

12.设 m, n 是空间两条直线, ? , ? 是空间两个平面,则下列选项中不正确的是( ... A.当 n ? ? 时, n ? ? ”是“ ? ∥ ? ”成立的充要条件 “ B.当 m ? ? 时, m ? ? ”是“ ? ? ? ”的充分不必要条件 “ C.当 m ? ? 时, n / / “ D.当 m ? ? 时, n ? ? ”是“ m ? n ”的充分不必要条件 “



? ”是“ m // n ”的必要不充分条件

山东师大附中 2010 级高三第四次模拟考试 数学(理工类)
第 II 卷(共 90 分)
二填空题(每题 4 分,满分 16 分,将答案填在答题纸上)
13.设函数 f1 ? x ? ? 2013 年 1 月

x x x , f 2 ? x ? ? f ? f1 ? x ? ? ? ? ? 1 ? 2 | x | , f3 ? x ? ? f ? f 2 ? x ?? ? 1 ? 3 | x | ? ? 1? | x |

??当 n ? 2 时, f n ? x ? ? f ? f n ?1 ? x ? ? ? ? ?
14.设函数 f ? x ? 是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x ? [0,1] 时, f ? x ? ? x ? 1 , 则 f ? 2013.5? =_______________. 15. 已知 ?ABC 中 AC ? 4, AB ? 2 错误! 未找到引用源。 错误! 未找到引用源。 若 G 为 ?ABC ,

???? ??? ? 的重心,则 AG ? BC ? 错误!未找到引用源。



16.已知函数 f ( x) 的导函数为 f ' ? x ? ,且满足 f ? x ? ? 2 xf ' ?1? ? ln x ,则 f ? x ? 在点 M (1, f ?1?) 处 的切线方程为

三解答题 (本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本题满分 12 分) 设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 b sin A ? 3a cos B . (1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 3,sin C ? 2sin A ,求 a , c 的值.

·3·

18.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos(

π π 1 ? x) cos( ? x) ? sin x cos x ? 3 3 4

(1)求函数 f (x ) 的最小正周期和最大值; (2)求函数 f ? x ? 单调递增区间

19.(本题满分 12 分) 已知球的直径为 10cm , 求它的内接圆锥体积的最大值, 出此时圆锥的底面半径和高. 并求

20. (本小题满分 12 分) 已 知 数 列 {an } 是 等 差 数 列 , {bn } 是 等 比 数 列 , 且

a1 ? b1 ? 2 , b4 ? 54 , a1 ? a2 ? a3 ? b2 ? b3 .
(1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式 (2)数列 {cn } 满足 cn ? anbn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn .

21.(本题满分 12 分) 四棱锥 P ? ABCD 底面是平行四边形,面 PAB ? 面 ABCD ,

PA ? PB ? AB ?

1 AD , ?BAD ? 600 , E , F 分别为 AD, PC 的中点. 2
P F B

(1)求证: EF / /面PAB (2)求证: EF ? 面PBD (3)求二面角 D ? PA ? B 的余弦值

C

·4·

A

E

D

22.(本题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? a ln x ? ?1 ? a ? x ?

1 2 x ,a?R 2

(1)当 0 ? a ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)已知 f ? x ? ? 0 对定义域内的任意 x 恒成立,求实数 a 的范围.

山东师大附中 2010 级高三第四次模拟考试 数学(理工类)
一选择题(每题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 B 3 A 4 A 5 A 6 C 7 D 8 A 9 A 10 C 11 C 12 C 2013 年 1 月

二填空题(每题 4 分,满分 16 分,将答案填在答题纸上)
13. f n ? x ? ?

x 1? n | x |

14.

3 2

15. 4

16. x ? y ? 1 ? 0

三解答题
17.【解析】 (1)? b sin A ? 3a cos B ,由正弦定理得 sin B sin A ? 3 sin A cos B --3 分 即得 tan B ? 3 ,? B ?

?
3

.---------------------------------------------------6 分

(2)? sin C ? 2sin A ,由正弦定理得 c ? 2a ,-------------------------8 分
2 2 2 由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B , 9 ? a ? 4a ? 2a ? 2a cos
2 2

?
3

,---------10 分

解得 a ? 3 ,?c ? 2a ? 2 3 .-----------------------------------------12 分稿源:konglei 18【解析】(Ⅰ)? f ( x) ? cos( :

π π 1 1 ? x) cos( ? x) ? sin 2 x ? 3 3 2 4 --------1 分

1 3 1 3 1 1 2分 ? ( cos x ? sin x)( cos x ? sin x) ? sin 2 x ? 2 2 2 2 2 4 ---------? 1 3 1 1 1 ? cos 2 x 3 ? 3cos 2 x 1 1 cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? ? ? ? sin 2 x ? ----4 分 4 4 2 4 8 8 2 4

?

1 2 ?? ? (cos 2 x ? sin 2 x) ? cos ? 2 x ? ? ------------------6 分 2 2 4? ?
·5·

函数 f (x ) 的最小正周期为 T ? ? ,-------------------7 分

函数 f (x ) 的最大值为

2 -------------8 分 2

(II)由 2k? ? ? ? 2 x ? 得 k? ? ? ? x ? k? ?

?
4

? 2k? , k ? z ------------------10 分

5 8

?
8

, k ? z ------------------------11 分 5? ? , k? ? ], k ? z ------------12 分 8 8
2

函数 f (x ) 的 单调递增区间为 [k? ?

2 2 2 2 19【解析】设圆锥的底面半径为 r ,高为 h ,则 ? h ? 5 ? ? r ? 5 ? r ? 10h ? h ----2 分

1 ? ? V锥 = ? r 2 h ? h ?10h ? h 2 ? ? ?10h 2 ? h3 ? --------------------5 分 3 3 3

V '?h? ?
h?

?

? 20h ? 3h ? ? ? h ? 20 ? 3h ? , 令V ' ? h ? ? 0 , 3 3
2

20 ,------------7 分 3

? 20 ? ? 20 ? h ? ? 0, ? ,V ' ? h ? ? 0; h ? ? ,10 ? ,V ' ? h ? ? 0 ? 3 ? ? 3 ? 20 ? 20 ? ? 20 ? V ? h ? 在 ? 0, ? ? ,在 ? , ? ? ;当h ? 时,V ? h ? 最大 10 3 ? 3 ? ? 3 ?
---9 分

Vmax ?

4000? ,----------------------11 分 81

此时 h ?

20 10 2 ,r ? --------------------------12 分 3 3

20. 【解析】(Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q : 由 b4 ? b1q 3 ,得 q 3 ?
54 ? 27 ,从而 q ? 3 2

因此 bn ? b1 ? q n?1 ? 2 ? 3 n?1

???????????????3 分

又 a1 ? a2 ? a3 ? 3a2 ? b2 ? b3 ? 6 ? 18 ? 24 ,? a2 ? 8 从而 d ? a2 ? a1 ? 6 ,故 a n ? a1 ? (n ? 1) ? 6 ? 6n ? 4 ???????????6 分

·6·

(Ⅱ) cn ? an bn ? 4 ? (3n ? 2) ? 3 n?1 令 Tn ? 1 ? 30 ? 4 ? 31 ? 7 ? 32 ? ? ? (3n ? 5) ? 3n?2 ? (3n ? 2) ? 3n?1

3Tn ? 1 ? 31 ? 4 ? 32 ? 7 ? 33 ? ? ? (3n ? 5) ? 3n?1 ? (3n ? 2) ? 3n ?????9 分
两式相减得

? 2Tn ? 1 ? 3 ? 31 ? 3 ? 3 2 ? 3 ? 3 3 ? ? ? 3 ? 3 n?1 ? ( 3n ? 2) ? 3 n ? 1 ? 3 ? 9(3n ?1 ? 1) ? 3n ? 2) ? 3n ( 2
,又 Sn ? 4Tn ? 7 ? (6n ? 7) ? 3n

3( 3 n?1 ? 1) 3?1

? (3n ? 2) ? 3 n ? 1 ?
?Tn ?

7 3n (6n ? 7) ? 4 4

?????????12 分

20【解析】 (1) 取PB的中点,连FG,由题设FG / / BC , FG ?
P

1 BC -----1 分 2
F

1 ? AE / / BC , AE ? BC ? FG / / AE 2

AEFG是平行四边形 ,所以 EF / / AG ---2 分

G
B C

AE ? 面PAB, EF ? 面PAB ? EF / /面PAB
------------------------4 分
A

(2) ? ?PAB是等边三角形,AG ? PB ----------------①

E

D

?ABD中,AD ? 2 AB, ?BAD ? 600 ,由余弦定理 BD 2 ? AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? AD ? cos 600 ? AD 2 ? AB 2 ??ABD ? 90
0

所以 BD ? AB -------6 分

面PAB ? 面ABCD, BD ? AB ? DB ? 面PAB
DB ? AG -----------------------②--------------------------------------------------7 分
由 ①②可知, AG ? PB, AG ? BD ? AG ? 面PBD

又EF / / AG,? EF ? 面PBD -----------------------------------------------9 分

·7·

(3)取 PA 的中点 N , 连BN , DN

P F

?PAB是等边三角形? BN ? PA

? Rt?PBD~Rt?ABD ? PD ? AD
? AN ? PB ?ANB ? ? 是二面角 D ? PA ? B
的平面角 ----------------------------11 分 由 (2)知 BD ? 面PAB, BD ? BN
A

N

B

C

E

D

在Rt?DBN中,BD ? 3AB ? 2BN
tan ? ? BD 5 5 即二面角 D ? PA ? B 的余弦值为 ---------------12 分 ? 2, cos ? ? BN 5 5

解法二 (1)

?ABD中,AD ? 2 AB, ?BAD ? 600 ,由余弦定理 BD 2 ? AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? AD ? cos 600 ? AD 2 ? AB 2 ??ABD ? 900
面PAB ? 面ABCD, BD ? AB ? DB ? 面PAB
建系 {BA, BD, z} 令 AB ? 2 所以 BD ? AB

z

??? ??? ? ?

A ? 2, 0, 0 ? , D 0, 2 3, 0 , P 1, 0, 3 , C ?2, 2 3, 0

?

? ?

? ?

?

P F

??? 1 ??? ???? 1 ? ? 3 EF ? AP ? DC ? ?3, 0, 3 ? ? 3, 0,1 2 2 2 ?? ? 因为平面 PAB 的法向量 n2 ? ? 0,1,0 ?

?

? ?

?

?

?

B

C

??? ?? ? ? EF ? n2 ? 0? EF / /面PAB
(2) BD ? 0, 2 3, 0 , BP ? 1, 0, 3

??? ?

?

?

??? ?

?

?

x

A

E

D

y

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? EF ? BD ? 0, EF ? BP ? 0

EF ? BD, EF ? BP ? EF ? 面PBD

·8·

(3) 设平面 PAD 的法向量为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ?

??

??? ? ???? AP ? ?1 , 0 , 3 AD ? ?2, 2 3, 0 ,

?

?

?

?

?? ??? ? ?? ? n1 ? AP ? ? x ? 3z ? 0 ? 令 x ? 3 所以 n1 ? ? ?? ???? ?n1 ? AD ? ?2 x ? 2 3 y ? 0 ? ?? ? 平面 PAB 的法向量 n2 ? ? 0,1,0 ?

?

3,1,1

?

?? ?? ? 1 5 ,即二面角 D ? PA ? B 的余弦值为 cos ? n1 , n2 ?? 5 5
22【解析】 f ??x ? ? :

a x 2 ? ?1 ? a ?x ? a ?x ? 1??x ? a ? ? x ? ?1 ? a ? ? ? x x x -----2 分

(Ⅰ)当 0 ? a ? 1 时, f ??x ?、f ?x ? 的变化情况如下表:
x

f ?? x ?
f ?x ?

?0,a ?
+ 单调递增

a

?a,1?
单调递减

1 0 极小值

?1, ? ? ?
+ 单调递增

0 极大值

所以函数 f ?x ? 的单调递增区间是 ?0, a ?, ?1,??? ,单调递减区间是 ?a,1? ??????6 分 (Ⅱ)由于 f ?1? ? ? 立的,

1 ? a ,显然 a ? 0 时, f ?1? ? 0 ,此时 f ?x ? ? 0 对定义域内的任意 x 不是恒成 2
----------------------------------9 分

? 当 a ? 0 时,易得函数 f ?x ? 在区间 ?0, ?? 的极小值、也是最小值即是 f ?1? ? ?

1 ? a ,此时只要 2

1 1? ? f ?1? ? 0 即可,解得 a ? ? ,? 实数 a 的取值范围是 ? - ?, ? .-----------14 分 2 2? ?

·9·


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