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【高考领航】(创新版)2015届高考新一轮总复习数学(理)考点突破课件第1课时 函数及其表示_图文

时间:2014-07-28

高考总复习 数学

第1课时

函数及其表示

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(一)考纲点击

1.了解构成函数的要素,了解映射的概念.
2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法 (如图 象法、列表法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数,并能简单的应用.

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(二)命题趋势

1 .以考查函数的三要素和表示法为主,同时函数的图象、
分段函数也是考查的热点. 2 .题型主要以选择题、填空题为主,要求相对较低,但内 容很重要, 特别是函数的表达式,对以后研究函数的性 质、应用有很重要的作用.

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1.函数的基本概念 (1)函数的定义:设A,B是非空的 数集 ,如果按照某种确

定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合
B中都有 唯一确定 的数f(x)和它对应,那么称f:A→B为从 集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫 做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域 .

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(2)函数的值域:如果自变量取值a,则由对应关系f确定的值y

称为函数在a处的函数值,记作y=f(a),所有函数值构成的集
合{f(x)|x∈A}叫做这个函数的值域. (3)函数的三要素 函数的三要素是 定义域 、 值域 和 对应关系.其中 值域被函 数的 定义域 和对应关系完全确定,所以确定一个函数只需这 两个要素即可.

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对点演练 函数f(x)=lg(4-x2)的定义域为 ( )

A.[-2,2]
C.[0,2] 答案:B

B.(-2,2)
D.(0,2)

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2.映射

设A,B是两个非空 的集合,如果按照某一确定的对应关
系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都 有 唯一确定 的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B 为从集合A到集合B的一个映射.

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对点演练 已知集合 A=[0,8],集合 B=[0,4],则下列对应关系中,不能看作 从 A 到 B 的映射的是 1 A.f:x→y=8x 1 C.f:x→y=2x 1 B.f:x→y=4x D.f:x→y=x ( )

解析:按照对应关系 f:x→y=x,对 A 中某些元素(如 x=8),B 中不存在元素与之对应. 答案:D
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3.函数的表示方法 表示函数的常用方法有: 解析法、 列表法 、 图象法.

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对点演练 (1)已知 f
?1? ? ?=x2+5x,则 ?x ?

f(x)=________.

1 1 1 5 解析:令 t=x,则 x= t .所以 f(t)=t2+ t . 5x+1 故 f(x)= 2 . x 5x+1 答案: x2

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(2)(教材习题改编)若 f(x)=x2+bx+c,且 f(1)=0,f(3)=0,则 f(- 1)=________.
? ?1+b+c=0, 解析:由已知得? ? ?9+3b+c=0, ? ?b=-4, 得? ? ?c=3.

即 f(x)=x2-4x+3. 所以 f(-1)=(-1)2-4×(-1)+3=8. 答案:8

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4.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上,因 对应关系 不同而分 别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数. 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域 等于各段函数的值域的 并集 ,分段函数虽由几个部分组

成,但它表示的是一个函数.

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对点演练 x2+1,x≤1, ? ? (2012· 江西)设函数 f(x)=?2 , x>1, ? ?x 则 f(f(3))= 1 A.5 2 C.3 B.3 13 D. 9 ( )

2 2 13 解析:f(3)=3,f(f(3))=f(3)= 9 . 答案:D
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1.两个函数的定义域和对应关系相同时,它们就是同一 (相

等)函数,否则,它们就不相同.
2 .函数解析式的求法主要有:待定系数法、配凑法、换元 法、构造方程组法.

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3.求分段函数应注意的问题:
在求分段函数的值f(x0)时,一定要首先判断x0属于定义域 的哪个子集,然后再代入相应的关系式;分段函数的值 域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并 集. 4 .在求函数的定义域时,一定要注意:①分式的分母不能 为 0 ;②偶次根式的被开方数大于或等于 0 ;③ 0 的 0 次方

无意义;④对数的真数大于0,底数大于0且不等于1.等这
些限制条件.

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题型一 函数的基本概念 有以下判断:
? ?1,x≥0, |x| (1)f(x)= 与 g(x)=? 表示同一函数; x ? ?-1,x<0

(2)函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的交点最多有 1 个;

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lg?x+2? (3)(2014· 大连模拟)函数 f(x)= + 2-x2的定义域为[- 2, |x|-x 0]. (4)已知函数 f(2 )的定义域是[-1,1],则 其中正确判断的序号为__________.
x

?1 ? f(x)的定义域为?2,2?. ? ?

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【解析】

|x| 对于 (1) ,由于函数 f(x) = 的定义域为 {x|x ∈ R ,且 x
? ?1,x≥0, g(x)=? ? ?-1,x<0

x≠0},而函数

的定义域是 R,所以二者不是

同一函数;对于(2),若 x=1 不是 y=f(x)定义域的值,则直线 x= 1 与 y=f(x)的图象没有交点,如果 x=1 是 y=f(x)定义域内的值, 由函数定义可知,直线 x=1 与 y=f(x)的图象只有一个交点,即 y =f(x)的图象与直线 x=1 最多有一个交点;

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?x+2>0, ? 对 于 (3) , 要 使 函 数 有 意 义 , 则 有 ?|x|-x≠0, ?2-x2≥0, ? ?x>-2, ? ?x<0, ?- 2≤x≤ 2, ? ∴- 2≤x<0.



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故所求函数的定义域为[- 2,0). 对于(4),因为 f(2x)中,x∈[-1,1], ∴t=2
x

?1 ? ∈?2,2?,即 ? ?

?1 ? f(t)的定义域为?2,2?,也即 ? ?

f(x)的定义域.

【答案】 (2)(4)

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【归纳提升】

1.判断两个函数是否相同,只需判断这两个

函数的定义域与对应法则是否相同.
2 .求函数的定义域,其实质就是以函数解析式所含运算有 意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求出它们的解集, 其准则一般是:(1)分式中,分母不为零;(2)偶次根式,被开 方数非负;(3)对于y=x0,要求x≠0;(4)对数式中,真数大于

0,底数大于 0且不等于 1;(5)由实际问题确定的函数,其定
义域要受实际问题的约束.

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3.对抽象函数: (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数 f(g(x))的定

义域由a≤g(x)≤b求出;
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x) 在x∈[a,b]时的值域.

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针对训练

1.(2014·辽宁五校第二次联考 )设映射f: x→-x2+2x-1是
集合A={x|x>2}到集合B=R的映射.若对于实数p∈B, 在A中不存在对应的元素,则实数p的取值范围是 A.(1,+∞) C.(-∞,-1) B.[-1,+∞) D.(-∞,-1] ( )

解析:令y=-x2+2x-1=-(x-1)2,当x>2时,y<-1,
而对于实数p∈R,在A={x|x>2}中不存在对应的元素, 所以p的取值范围是[-1,+∞),故选B. 答案:B
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f?x2? 2.已知函数 y=f(x)的定义域是[0,2],求函数 g(x)= 的 1+lg?x+1? 定义域. ?0≤x2≤2 ? 解:由?x+1>0 ?1+lg?x+1?≠0 ? ? ?- 2≤x≤ 2 ?x>-1 得? 9 ? x≠-10 ? ?



9 9 ∴-1<x<-10或-10<x≤ 2.
? 9? ? 9 故定义域为?-1,-10?∪?-10, ? ? ? ? 2?. ?

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题型二

求函数的解析式 (1)已知 f
? 1? 2 1 ?x+ ?=x + 2,求 x? x ?

f(x)的解析式;

(2)已知 f

?2 ? ? +1?=lg ?x ?

x,求 f(x)的解析式;

(3)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 求 f(x)的解析式; (4)已知 f(x)满足
? 1? 2f(x)+f? x?=3x,求 ? ?

f(x)的解析式.

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【解】

(1)f

? 1? 2 1 ? 1?2 ?x+ ?=x + 2=?x+ ? -2,故 x? x ? x? ?

f(x)=x2-2.

2 2 2 2 (2)令 t=x +1,则 x= ,故 f(t)=lg ,即 f(x)=lg . t-1 t-1 x-1 (3)因为 f(x)是一次函数,可设 f(x)=ax+b(a≠0), ∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17. 即 ax+(5a+b)=2x+17,
? ?a=2 因此应有? ? ?5a+b=17 ? ?a=2, ,解得? ? ?b=7.

故 f(x)的解析式是 f(x)=2x+7.
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(4)∵2f(x)+f

?1? ? ?=3x,① ?x ?

?1? 1 3 ∴将 x 用 替换,得 2f ?x ?+f(x)= ,② x x ? ?

1 由①②解得 f(x)=2x-x (x≠0), 1 即 f(x)的解析式是 f(x)=2x- (x≠0). x

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【归纳提升】

求函数解析式常用以下解法:

(1)配凑法:由已知条件 f(g(x))=F(x),可将 F(x)改写成关于 g(x) 的表达式,然后以 x 替代 g(x),便得 f(x)的表达式; (2)待定系数法:若已知函数的类型 (如一次函数、二次函数 )可用 待定系数法; (3)换元法:已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要 注意新元的取值范围; (4)方程思想:已知关于 f(x)与 f
? 1? ? ?或 ?x ?

f(-x)的表达式,可根据已知

条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程求出 f(x).
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针对训练 3.(1)已知 f( x+1)=x+2 x,求 f(x)的解析式. (2)(2013· 安徽)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x). 若当 0≤x≤1 时, f(x)=x(1-x), 则当-1≤x≤0 时, f(x)=________. 解析:(1)法一:设 t= x+1, 则 x=(t-1)2(t≥1); 代入原式有 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1. 故 f(x)=x2-1(x≥1).

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法二:∵x+2 x=( x)2+2 x+1-1=( x+1)2-1, ∴f( x+1)=( x+1)2-1( x+1≥1), 即 f(x)=x2-1(x≥1).

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(2)当 0≤x≤1 时,f(x)=x(1-x),当-1≤x≤0 时,0≤x+1≤1, 1 1 2 ∴f(x+1)=(x+1)[1-(x+1)]=-x(x+1), 而 f(x)=2f(x+1)=-2x 1 - x. 2 1 2 1 ∴当-1≤x≤0 时,f(x)=-2x -2x. 答案:(1)x -1(x≥1)
2

1 2 1 (2)- x - x 2 2

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题型三 分段函数及其应用
2 ? - x +2x, ? (2013· 全国新课标Ⅰ卷)已知函数 f(x)=? ? ?ln?x+1?,

x≤0 , x>0 ( )

若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是 A.(-∞,0] C.[-2,1] B.(-∞,1] D.[-2,0]

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【解析】 先画出函数的图象,数形结合求解.
作出函数y=|f(x)|的图象,如图,当|f(x)|≥ax时,必有k≤a≤0, 其中k是y=x2-2x(x≤0)在原点处的切线斜率,显然k=-2. ∴a的取值范围是[-2,0]. 【答案】 D

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【归纳提升】 首先利用分段区间分别画出函数的图象,利

用导数的几何意义.结合图象求解字母的取值,考查了图象
变换及数形结合的思想方法.

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针对训练 4.(2014· 济南模拟)设函数
-x ? ?2 ,x∈?-∞,1?, f(x)=? 2 ? ?x ,x∈[1,+∞?,

若 f(x)>4,则 x 的取值范围是________. 解析:当 x<1 时,由 f(x)>4,得 2 x>4,即 x<-2;


当 x≥1 时,由 f(x)>4 得 x2>4,所以 x>2 或 x<-2, 由于 x≥1,所以 x>2. 综上可得 x<-2 或 x>2. 答案:(-∞,-2)∪(2,+∞)
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方法感悟:分类讨论思想在分段函数中的应用 【典例】 (2014· 南 京 模 拟 ) 已 知 实 数 a≠0 , 函 数 f(x) =

? ?2x+a,x<1, ? ? ?-x-2a,x≥1,

若 f(1-a)=f(1+a), 则 a 的值为________.

【规范解答】

首先讨论 1-a,1+a 与 1 的关系,

当 a<0 时,1-a>1,1+a<1, 所以 f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a; f(1+a)=2(1+a)+a=3a+2.
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因为 f(1-a)=f(1+a),所以-1-a=3a+2, 3 所以 a=-4.当 a>0 时,1-a<1,1+a>1, 所以 f(1-a)=2(1-a)+a=2-a; f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1. 因为 f(1-a)=f(1+a), 3 所以 2-a=-3a-1,所以 a=- (舍去). 2 3 综上,满足条件的 a=-4. 3 【答案】 -4
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【规律探寻】 解答本题利用了分类讨论思想,分类讨论思

想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性
问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策 略.因为f(x)为分段函数,要表示f(1-a)和f(1+a),要对变量 1-a和1+a的范围进行分类讨论,才能选取不同的关系 式.另外,本例中求出a的值后,要注意检验.

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