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北京市顺义区2016届高三上学期期末统一测试数学(理)试题

时间:2016-04-25


顺义区 2016 届高三年级期末统一测试









(理科)

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项. 1.已知集合 A ? {x | 2 x ? 1 ? 0} , B ? {x | ?1 ? x ? 0} ,那么 A (A) {x | x ? ? } (C) {x | ?1 ? x ? ? }

B?





1 2

(B) {x | x ? 0}

1 2

(D) {x | ?

1 ? x ? 0} 2
( ) (D) y ? 2 ? 1
x

2.下列函数中为偶函数的是 (A) y ? x ? sin x
2

(B) y ? x ? cos x

(C) y ? ln | x |

3.某学校共有师生 4000 人.现用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为 200 的样本, 调查师生对学校食堂就餐问题的建议.已知从学生中抽取的人数为 190 人,那么该校的教师人 数为 ( )

(A) 100 人

[

(B) 150 人

(C) 200 人 (

(D) 250 人 ) (D)

4.极坐标方程分别是 ? ? 2cos ? 和 ? ? 2sin ? 的两个圆的圆心距是 (A) 2 (B) 2 (C)1

2 2

0 5.在 ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,且 c ? 1 , ?A ? 45 , S

ABC

? 2 ,则 a ?

(A) 5

(B) 25

(C)

41

(D) 5 2 ( )

3 b0 ? ”是“ a ∥ b ”成立的 6.对于非零向量 a, b , “ 2a ?
(A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件

(D)既不充分又不必要条件

7.如下程序框图中,当 n ? N * (n ? 1) 时,函数 f n ( x) 表示函数 f n ?1 ( x) 的导函数, 即 f n ( x) ? f 'n?1 ( x) .若输入函数 f1 ( x) ? sin x ? cos x ,则输出的函数

f n ( x) 为
(A) 2 sin( x ?

(

) (B) ? 2 sin( x ?

? ) 4 ? (C) 2 sin( x ? ) 4

? ) 4 ? (D) ? 2 sin( x ? ) 4

8.设函数 f ( x) ?| 2 ? 1|, c ? b ? a ,且 f (c) ? f (a) ? f (b) ,则下列关系式正确的是
x

( (A) a ? c ? 0 (B) a ? c ? 0 (C) a ? c ? 0 (D ) a ? c ? 0



第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.复数
?2

共 110 分)

?1 ? i ? __________ . 1? i
1

10. 3 ,2 3 ,log 1 3 三个数中最大的数 是 _________.
2

11. 设双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个顶点为 (1, 0) , 它的一个焦点与抛物线 y 2 ? 8 x a 2 b2

的焦点相同,则双曲线 C 的方程为 __________, 离心率为 _________.

?x ? y ?1 ? 0 ? 12.若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z ? ?2 x ? y 的最大值为 _______. ?x ? 2 ?
13.已知函数 y ? a
x ?1

(a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在一次函数 y ? mx ? n 的图象上,

其中 m ? 0, n ? 0 ,则 mn 的最大值为 _________. 14.某大众创业公司,2015 年底共有科研人员 10 人,公司全年产品总产值 500 万元,从 2016 年起 该公司计划产品的年产值每年增加 100 万元,为扩大规模,科研人员每年净增 a 人,设从 2016 年 起的第 x 年( x ? N * , 2016 年为第一年) ,该公司科研人员人均产值 y 万元,则 y 与 x 之间的函 数关系式为 ____________ ;为使该公司的人均产值每年都不低于前一年的人均产 值,那么该

公司每年增加的科研人员不能超过 ________ 人. 三、解答题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2

x 3 1 ? sin x ? . 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调递增区间. 16.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?| x ? a | , g ( x) ? x ? 2ax ? 1 ( a 为正常数),且函数 f ( x ) 和 g ( x) 的图像与 y 轴相
2

交于同一点. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) ? g ( x ) 在 [1, 2] 上的最大值与最小值. 17.(本小题满分 13 分) 某班级举行一次 “科普知识” 竞赛活动, 活动分为初赛和决赛两个阶段.现将初赛答卷成绩 (得 分均为整数,满分为 100 分)进行统计,制成如下频率分布表

分 组(分数段) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90,100] 合 计

频 数(人 数)





8

0.44
14

0.28

50

1

(Ⅰ)填写频率分布表中的空格; (Ⅱ)决赛规则如下:参加决赛的每位同学从给定的 5 道小题中依次口答,答对 3 道题就终止答 题并获一等奖;如果前 3 道题都答错就不再答第 4、5 题而被淘汰.某同学进入决赛,每道题 答对的概率均为 0.5. ①求该同学恰好答满 5 道题并获一等奖的概率; ②记该同学决赛中答题的个数为 X ,求 X 的分布列及数学期望.

18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? ?

k ,(k ? 0) x

(Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在 (e, f (e)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间; (Ⅲ)若对 ?x ? (??, 0)

(0, ??) 都有 f (| x |) ? g (| x |) 成立,试确定实数 k 的取值范围.
[

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 E :

x2 y2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的一个顶点 A(0,1) ,离心率 e ? . 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)过右焦点 F 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 E 交于 M 、 N 两点.若在 x 轴上存在 点 P (m, 0) ,使得以 PM , PN 为邻边的平行四边形是菱形,试求出 m 的取值范围. 20.(本小题满分 14 分)

n2 (n ? 4, n ? N * ) 个正数排 成一个 n 行 n 列的数阵,
? a11 ? ? a21 A ? ? a31 ? ?? ? ?a ? n1 a12 ??? a1n ? ? a22 a23 a24 ??? a2 n ? a32 a33 a34 ??? a3n ? 其中 aij (1 ? i ? n ,1? j ? n )表示该数阵中位于第 i 行 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? an 2 an 3 an 4 ??? ann ? ? a13 a14

第 j 列的数, 已知该数阵每一行的数成等差数列, 每一列的数成公比为 2 的等比数列, 且 a22 ? 6, a33 ? 16 . (Ⅰ) 求 a11 和 ai j


(Ⅱ)设 An ? a1n ? a2( n?1) ? a3( n?2) ??????? ?an1 . ①求 An ; ②证明:当 n 是 3 的倍数时, An ? n 能被 21 整除.

顺义区 2016 届高三期末统一测试 (理科)
参考 答案及评分标准
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1. B ; 2. C ; 3. C; 4. B; 5. A; 6. A; 7. C ; 8 . D. 2016.1

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

9.

10.

11.



12.

, 13.

14. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15.(本小题满分 13 分)

解: (Ⅰ)由已知

【3 分】

【6 分】 的最小正周期为 . 【7 分】

(Ⅱ)由(Ⅰ)知





递增

【10 分】



函数

的递增区间为

【13 分】

16.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) 函数 解得 和 . 的图像与 轴相交于同一点, 【4 分】

(Ⅱ)令



【8 分】

的对称轴为



当 在 上

时, 的最小值为 ,最大值为

单调递增。 【13 分】

17. (本小题满分 13 分)
分 组(分数段) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90,100] 合 计
[

频 数(人 数)





解: (Ⅰ) 【4 分】 (Ⅱ)①该同学答满 道题并获一等奖,即前 道题回答结果 对 错,而第 道题答对,

【 6 分】 ②该同学答题的个数可能为 、 、 ,即 , 【7 分】

时分两种情况:答完 3 道题获奖或答完 3 道题淘汰,

时分两种情况:答完 4 道题获奖或答完 4 道题淘汰,

时分两种情况:答完 5 道题获奖或答完 5 道题淘汰,

【10 分】

【13 分】

18.(本小题满分 13 分)

解: (Ⅰ)当

时,







所求切线方程为

,即

【4 分】

(Ⅱ)令

当 当

时, 时, 在

在 在 上递增

上成立, 上成立, 【8 分】 则 时, , 【10 分】

在 在

上递增, 上成立

(Ⅲ)解法(一) :令 等价于 等价于 时,



为偶函数.



当 当

时,令 时, 在

则 在 上递增, 上成立, 在

,这与 在

矛盾, 上成立

不合题意.

上递减

,解得

,又



【13 分】

解法(二) :由已知 等价于 只需 时,

,
,令 , 即 时, ,则 ; 【10 分】

, 为偶函数,







,令





递减,在

递增,





【13 分】

19.(本小题满分 14 分)解: (Ⅰ)由 已知

, 【2 分】

解得



所求椭圆方程为

【4 分】

(Ⅱ) 由已知直线 的斜率 存在且

设 : .



消去

得:



, 【8 分】 , , 【10 分】 , 为邻边的平行四边形是菱形,

在 轴上存在动点 由于对角线互相垂直

,使得以

即 ,



,化简得



【14 分】 (Ⅱ)解法 2.若在 轴上存在动点 则 点 在 ,使得以 的中垂线上, , 为邻边的平行四边形是菱形,



的中点为

,由



) ,

,化简得

而 20.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由已知 , 知 ,

(参照解法 1 相应给分)

,解得

是公差为 4 的等差数列,由 又每一列的数成公比为 2 的等比数列,由 类似的可得

【2 分】

即 (Ⅱ)由

【4 分】

①由
⑴ 2 ⑵

⑵-⑴ 即 【8 分】 , 是 的倍数,令 【8 分】



.

【14 分】

第②问当 是 的正整数倍时,用数学归纳法证明正确的给相应的分数.


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