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2015-2016学年高中数学人教A版必修4课时训练:2.3.3 平面向量共线的坐标表示(含答案)

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第二章 平面向量
数学· 必修 4(人教 A 版)

2. 3

平面向量的基本定理及坐标表示

2.3.3

平面向量共线的坐标表示

基 础 提 升 1.若 a=(2,3),b=(4,-1+y),且 a∥b,则 y=( A.6 B.5 C.7 D.8 )

答案:C

→ 2. 已知点 M 是线段 AB 上的一点, 点 P 是平面上任意一点, PM 3→ 2 → → =λMB → ,则 λ 等于( = PA + PB,若AM 5 5 3 A. 5 B. 2 5 3 C. 2 ) 2 D. 3

→ ,PB → 表示向量AM → ,MB →. 解析:用PA → =AP → +PM → =AP → +3PA → +2PB → =-2PA → +2PB → ,MB → =MP →+ ∵AM 5 5 5 5

第二章 平面向量
→ =-PM → +PB → =-3PA → +2PB → +PB → =-3PA → +3PB → ,∴AM → =2AB →. PB 5 5 5 5 3 答案:D

3. 已知?ABCD 四个顶点的坐标为 A(5,7), B(3, x), C(2,3), D(4, x),则 x=__________.

答案:5

→ 同向 4.(2013· 辽宁卷)已知两点 A(1,3)、B(4,-1),则与向量AB 的单位向量是(
?3 4? A.?5,-5? ? ? ? ? ? 3 4? C.?-5,5?

)
?4 3? B.?5,-5? ? ? ? ? 4 3? D.?-5,5? ?

→ 1 AB → 解析:AB=(3,-4),则与其同方向的单位向量 e= = (3, → |AB| 5
?3 4? -4)=?5,-5?. ? ?

答案:A

5.已知 A(-2,-3),B(2,1),C(1,4),D(-7,-4),判断 → 与CD → 是否共线. AB

→ =(4,4),CD → =(-8,-8), 解析:∵AB → =-1CD →. ∴AB 2

第二章 平面向量
→ 与CD → 共线. ∴AB

巩 固 提 高 → 与CD → 6.已知 A(-1,-1),B(1,3),C(1,5) ,D(2,7) ,向量AB 平行吗?直线 AB 平行于直线 CD 吗?

→ =(2,4),CD → =(1,2),AB → =2CD →, 解析:AB → 与CD → 平行,即直线 AB 平行于直线 CD. 所以向量AB

7.已知点 A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x). → 与CD → 共线. (1)求实数 x 的值,使向量AB

→ =(x,1),CD → =(4,x), 解析:AB → 与CD → 共线, ∵向量AB ∴x2-4=0,解得 x=± 2.

→ 与CD → 共线时,点 A,B,C,D 是否在一条直线上? (2)当向量AB

解析:x=2 时,不在同一条直线上; x=-2 时,在同一条直线 x+2y+2=0 上.

第二章 平面向量
8. △ABC 的顶点 A、 B、 C 分别对应向量 a=(x1,y1), b=(x2,y2), c=(x3,y3)其重心为 G,对应的向量为 g=(x0,y0). 求证:x0= x1+x2+x3 y1+y2+y3 ,y0= . 3 3

证明:设 AD 为 BC 边的中线,O 为坐标原点. → =OA → +AG → =OA → +2AD → 则OG 3 → +1? → → ? =OA 3?AB+AC? → +1? → → → → ? =OA 3?OB-OA+OC-OA? 1 → → →? = ? . 3?OA+OB+OC? ∵A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),G(x0,y0) ∴x0= x1+x2+x3 y1+y2+y3 ,y0= . 3 3

9.已知 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π. (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b;

(2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α,β 的值.

分析:(1)只需证明 a· b=0 即可;

(2)由已知条件得到 cos α+cos β,sin α+sin β 的值,然后再利用 诱导公式得到 α,β 间的关系即可求得 α,β 的值.

第二章 平面向量
(1)证明:由题意得|a-b|2=2, 即(a-b)2=a2-2a· b+b2=2. 又因为 a2=b2=|a|2=|b|2=1, 所以 2-2a· b=2,即 a· b=0,故 a⊥b.

(2)解析:因为 a+b=(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1),
? ? cos α+cos β=0, 所以? ? ? sin α+sin β=1,

由此得,cos α=cos(π-β),由 0<β<π,得 0<π-β<π. 又 0<α<π,故 α=π-β.代入 sin α+sin β=1,得 sin α= 5π π 1 sin β= ,而 α>β,所以 α= ,β= . 2 6 6


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