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【苏教版】【步步高】2014届高三数学(理)大一轮复习练习:5.3 平面向量的数量积]

时间:2015-04-06


5.3 平面向量的数量积
一、填空题 1. 已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30°,| a |=2,| b |=3 解析 考查数量积的运算. a·b =2× 3 ? 答案 3 2.已知 a 是平面内的单位向量,若向量 b 满足 b·(a-b)=0,则|b|的取值范围 是________. 解析 ∵b·(a-b)=0,∴a·b=b ,即|a||b|·cosθ =|b| ,当 b≠0 时, ∴|b|=|a|cosθ =cosθ ∈(0,1].所以|b|∈[0,1]. 答案 [0,1] π 3.若 e1,e2 是夹角为 的单位向量,且 a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,则 a·b 等于 3 ________.
2 解析 a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-6e2 1+e1·e2+2e2 2 2

,则 a·b=

.

3 =3. 2

=-6+cos 答案 - 7 2

π 1 7 +2=-4+ =- . 3 2 2

4. 已知平面向量 a, b 的夹角为 60°, a=( 3, 1), |b|=1, 则|a+2b|=________. 解析 由 a=( 3,1),得|a|=2,所以|a+2b|= = a2+4a·b+4b2= 4+8cos 60°+4= 12=2 3. 答案 2 3 → → 5.在△ABC 中,已知 BC=2,AB·AC=1,则△ABC 的面积 S△ABC 最大值是________. 解析 以线段 BC 所在直线为 x 轴,线段 BC 的垂直平分线为 y 轴,建立平面直角 坐标系,则 B(-1,0),C(1,0).设 A(x,y) → → 则AB=(-1-x,-y),AC=(1-x,-y), → → 于是AB·AC=(-1-x)(1-x)+(-y)(-y)=x2-1+y2.

a+2b

2

→ → 由条件AB·AC=1 知 x2+y2=2,这表明点 A 在以原点为圆心, 2为半径的圆上. 当 OA⊥BC 时,△ABC 面积最大,即

S△ABC= ×2× 2= 2.
【点评】 建系设标,数形转化,简单易行,用心体会.
2? 的两个单位向量, a= e1 -2 e2 ,b=k e1 + e2 , 3 若 a·b=0,则实数 k 的值为 .

1 2

6.已知 e1 , e2 是夹角为

解析 由 a·b=0 得( e1 -2 e2 ) · (k e1 + e2 )=0. 整理,得 k- 2+(1-2k)cos 答案
5 4 2? 5 =0,解得 k= . 3 4











7.如图,在△ABC 中,AD⊥AB,BC= 3BD,|AD|=1,则AC·AD=________.

解析 法一

建系如图所示.

令 B(xB,0),C(xC,yC),D(0,1), → 所以BC=(xC-xB,yC),



BD=(-xB,1),
→ →

BC= 3 BD,
?xC-xB= 3 ? 所以? ?yC= 3, ? -xB ,

所以 xC=(1- 3)xB,yC= 3. → → → →

AC=((1- 3)xB, 3),AD=(0,1),则AC·AD= 3.

→ → → → → → → → → 法二 AC·AD=(AB+BC)·AD=BC·AD= 3AD·BD, → → → → → → → → |AD| 其中AD·BD=|AD||BD|cos ∠ADB=|AD||BD|· =AD2=1. → |BD| → 答案 3 → → 故 3 AD·BD= 3.

→ → → → 1 2 8.若等边△ABC 的边长为 2 3,平面内一点 M 满足CM= CB+ CA,则MA·MB= 6 3 ________. ?3 3 1? 解析 建立直角坐标,由题意,设 C(0,0),A(2 3,0),B( 3,3),则 M? , ?, 2? ? 2 → → ? 3 1? ? 3 5? MA·MB=? ,- ?·?- , ?=-2. 2? ? 2 2? ?2 答案 -2 9.已知向量 p 的模是 2,向量 q 的模为 1,p 与 q 的夹角为 π ,a=3p+2q,b=p 4

-q,则以 a,b 为邻边的平行四边形的长度较小的对角线的长是________. 解析 |a-b|=|3p+2q-p+q|=|2p+3q| = =

p+3q

2

= 4p2+12p·q+9q2 2 +9 2

8+12 2×

= 29. 答案 29

10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(0,-1),B(-3,-4)两点.若点 C 在∠

AOB 的平分线上,且|→ OC|= 10,则点 C 的坐标是________.
4 解析 法一:设点 C 的坐标是(x,y),且 x<0,y<0,直线 OB 方程为 y= x,因点 3 |4x-3y| C 在∠AOB 的平分线上,所以点 C 到直线 OB 与 y 轴的距离相等,从而 = 5

?x=-1, |x|.又 x2+y2=10,解之得? 所以点 C 的坐标是(-1,-3). ?y=-3, 法二:设点 C 的坐标是(x,y),且 x<0,y<0,则因点 C 在∠AOB 的平分线上,所 以由 -y -3x-4y cos 〈 → OC , → OA 〉= cos 〈 → OC , → OB 〉得 = . 又 x2 + y2 = 10 ,解之得 1· 10 5 10 ?x=-1, ? ?y=-3, 所以点 C 的坐标是(-1,-3).

答案 (-1,-3) → 则△OBC 的面积为________. → → → → 解析 由AB·AC=|AB||AC|cos 60°=2, → → → → → → → 1 得|AB||AC|=4,S△ABC= |AB||AC|sin 60°= 3,由OA+OB+OC=0 知, 2 → → → → 11.已知 O 是△ABC 的内部一点,OA+OB+OC=0,AB·AC=2,且∠BAC=60°,

O 是△ABC 的重心,所以 S△OBC= S△ABC=
答案 3 3

1 3

3 . 3

→ → → → → 12. 已知点 G 是△ABC 的重心, AG=λ AB+μ AC(λ , μ ∈R), 若∠A=120°, AB·AC → =-2,则|AG|的最小值是________. 解析 设 AG 交 BC 于 D,则由 G 是△ABC 的重心,得 D 是 BC 的中点, → → → → 2 2 1 所以AG= AD= · (AB+AC) 3 3 2 → → → → → 1 1 2 = (AB+AC),所以|AG| = (AB+AC)2 3 9 → → → → 1 2 2 = (|AB| +|AC| -4),又由-2=AB·AC 9 → → → → =|AB||AC|cos 120°,得|AB||AC|=4,

2 故当|AB|=|AC|=2 时,|AG|取最小值 . 3 答案 2 3 → → →
2









13.已知△ABC 所在平面上的动点 M 满足 2AM·BC=AC -AB2,则 M 点的轨迹过△

ABC 的________心.
→ → → → → → → → 解析 如图,设 N 是 BC 的中点,则由 2AM·BC=(AC-AB)·(AC+AB)=BC·2AN,

→ → → → → 得(AM-AN)·BC=0,即NM·BC=0, → → 所以NM⊥BC,所以 M 点的轨迹过△ABC 的外心. 答案 外心 二、解答题 14.已知向量 a,b 满足|a|=2,|b|=1,|a-b|=2. (1)求 a·b 的值; (2)求|a+b|的值. 解析 (1)因为|a-b|=2, 所以|a-b|2=a2-2a·b+b2=4+1-2a·b=4. 1 所以 a·b= . 2 1 (2)|a+b|2=a2+2a·b+b2=4+2× +1=6. 2 故|a+b|= 6. 15.已知|a|= 2,|b|=3,a 与 b 夹角为 45°,求使向量 a+λ b 与 λ a+b 的夹 角为钝角时,λ 的取值范围. 解析 由条件知,cos45°=

a·b ,∴a·b=3, |a|·|b|

设 a+λ b 与 λ a+b 的夹角为 θ ,则 θ 为钝角,

a +λ b λ a+b <0, |a+λ b|·|λ a+b| ∴(a+λ b)·(λ a+b)<0. λ a2+λ b2+(1+λ 2)a·b<0,
∴cosθ = ∴2λ +9λ +3(1+λ 2)<0,∴3λ 2+11λ +3<0, -11- 85 -11+ 85 ∴ <λ < . 6 6 若 θ =180°时,a+λ b 与 λ a+b 共线且方向相反, ∴存在 k<0,使 a+λ b=k(λ a+b), ?kλ =1, ∵a,b 不共线,∴? ?λ =k. ∴k=λ =-1, -11- 85 -11+ 85 ∴ <λ < 且 λ ≠-1. 6 6 16.已知向量 a=(cos α ,sin α ),b=(cos β ,sin β ),c=(-1,0). (1)求向量 b+c 的长度的最大值; (2)设 α = π ,且 a⊥(b+c),求 cos β 的值. 4

解析 (1)因为 b+c=(cos β -1,sin β ), 所以|b+c|2=(cos β -1)2+sin2 β =2(1-cos β ). 因为-1≤cos β ≤1,所以 0≤|b+c| ≤4, 即 0≤|b+c|≤2,故当 cos θ =-1 时,向量 b+c 的长度取最大值 2. (2)若 α = ? 2 π 2? ,则 a=? , ?, 4 2? ?2 2 2 cos β + sin 2 2 β - 2 . 2
2

又 b+c=(cos β -1,sin β ),所以 a·(b+c)= 因为 a⊥(b+c),所以 a·(b+c)=0,

即 cos β +sin β =1,平方得 cos β sin β =0, 所以 cos β =0 或 cos β =1. 经检验 cos β =0 或 cos β =1 即为所求. 17 . 如 图,在 △ ABC 中,已知 AB = 3 , AC = 6 , BC = 7 , AD 是∠ BAC 的平分

线. (1)求证:DC=2BD;

→ → (2)求AB·DC的值. 解析(1)证明 在△ABD 中,由正弦定理得 在△ACD 中,由正弦定理得

AB
sin ∠ADB



BD
sin ∠BAD

.



AC
sin ∠ADC



DC
sin ∠CAD

.



又 AD 平分∠BAC, 所以∠BAD=∠CAD,sin ∠BAD=sin ∠CAD, 又 sin ∠ADB=sin(π -∠ADC)=sin ∠ADC, 由①②得

BD AB 3 = = ,所以 DC=2BD. DC AC 6


→ 2 (2)因为 DC=2BD,所以DC= BC. 3

AB2+BC2-AC2 在△ABC 中,因为 cos B= 2AB·BC
32+72-62 11 = = . 2×3×7 21 → → → ? →? 2 ? 所以AB·DC=AB·? ?3BC? ? ? → → 2 = |AB||BC|cos(π -B) 3 2 22 ? 11? = ×3×7×?- ?=- . 3 3 ? 21? 18.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,G 是△ABC 的重心,且 → (1)求角 B 的大小; (2)设 m=(sin A,cos 2A),n=(4k,1)(k>1),m·n 的最大值为 5,求实数 k 的值. → → → 解析 (1)由 G 是△ABC 的重心,得GA+GB+GC=0, → → 56sin A·GA+40sin B·GB+35sin C·GC=0.

→ → → 所以GC=-(GA+GB),由正弦定理,可将已知等式转化为 → → → → → ?56a-35c=0, 因为GA,GB不共线,所以? ?40b-35c=0. 得 a∶b∶c=5∶7∶8. 不妨设 a=5,b=7,c=8,由余弦定理, → → → 56a·GA+40b·GB+35c·(-GA-GB)=0. 整理,得(56a-35c)·GA+(40b-35c)·GB=0. 由此,

a2+c2-b2 52+82-72 1 得 cos B= = = . 2ac 2×5×8 2
因为 0<B<π ,所以 B= π . 3

(2)m·n=4ksin A+cos 2A=-2sin2A+4ksin A+1, 由(1)得 B= 2π ? π 2 ? ,所以 A+C= π ,故得 A∈?0, ?. 3 ? 3 3 ?

设 sin A=t∈(0,1],则 m·n=-2t2+4kt+1,t∈(0,1]. 令 f(t)=-2t2+4kt+1,则可知当 t∈(0,1],且 k>1 时,f(t)在(0,1]上为增函 数,所以,当 t=1 时,m·n 取得最大值 5.于是有:-2+4k+1=5, 3 3 解得 k= ,符合题意,所以,k= . 2 2

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