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【步步高】2015高考数学(广东专用,理)一轮题库:第8章 第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系]

时间:2015-03-26


第3讲
一、选择题

空间点、直线、平面之间的位置关系
).

1.下列命题正确的个数为( ①经过三点确定一个平面; ②梯形可以确定一个平面;

③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面; ④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. A.0 解析 答案 B.1 ①④错误,②③正确. C ( ). C.2 D.3

2.若两条直线和一个平面相交成等角,则这两条直线的位置关系是 A.平行 C.相交 解析 B.异面 D.平行、异面或相交

经验证,当平行、异面或相交时,均有两条直线和一个平面相交成等

角的情况出现,故选 D. 答案 D 3. 若三个平面两两相交, 且三条交线互相平行, 则这三个平面把空间分为( A.5 部分 C.7 部分 解析 B.6 部分 D.8 部分 )

垂直于交线的截面如图,把空间分为 7 部分.

答案 C 4.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是 BD1 的中点,直线 A1C 交平面 AB1D1 于 点 M,则下列结论错误的是 A.A1、M、O 三点共线 C.A、O、C、M 四点共面 ( B.M、O、A1、A 四点共面 D.B、B1、O、M 四点共面 ).

解析 因为 O 是 BD1 的中点.由正方体的性质知,点 O 在直线 A1C 上,O 也 是 A1C 的中点,又直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M,则 A1、M、O 三点共线, A 正确;又直线与直线外一点确定一个平面,所以 B、C 正确. 答案 D 5.一个正方体的展开图如图所示,A、B、C、D 为原正方体的顶点,则在原来 的正方体中 A.AB∥CD B.AB 与 CD 相交 C.AB⊥CD D.AB 与 CD 所成的角为 60° 解析 如图, 把展开图中的各正方形按图(a)所示的方式分别作为正方体的前、 后、左、右、上、下面还原,得到图(b)所示的直观图,可见选项 A、B、C 不 正确.∴正确选项为 D.图(b)中,DE∥AB,∠CDE 为 AB 与 CD 所成的角, △CDE 为等边三角形,∴∠CDE=60° . ( ).

答案 D 6.如图,四棱锥 SABCD 的底面为正方形,SD⊥底面 ABCD,则下列结论中不正确 的是( ).

A.AC⊥SB B.AB∥平面 SCD C.SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D.AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角

解析

选项 A 正确,因为 SD 垂直于平面 ABCD,而 AC 在平面 ABCD 中,所以

AC 垂直于 SD;再由 ABCD 为正方形,所以 AC 垂直于 BD;而 BD 与 SD 相交,
所以,AC 垂直于平面 SBD,进而垂直于 SB.选项 B 正确,因为 AB 平行于 CD, 而 CD 在平面 SCD 内,AB 不在平面 SCD 内,所以 AB 平行于平面 SCD.选项 C 正确, 设 AC 与 BD 的交点为 O, 连接 SO, 则 SA 与平面 SBD 所成的角就是∠ASO,

SC 与平面 SBD 所成的角就是∠CSO,易知这两个角相等.选项 D 错误,AB 与 SC 所成的角等于∠SCD,而 DC 与 SA 所成的角是∠SAB,这两个角不相等.
答案 D

二、填空题 7.已知 a,b 为不垂直的异面直线,α 是一个平面,则 a,b 在 α 上的射影有可 能是: ①两条平行直线;②两条互相垂直的直线;③同一条直线;④一条直线及其 外一点. 在上面结论中,正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号). 解析 只有当 a∥b 时,a,b 在 α 上的射影才可能是同一条直线,故③错,其 余都有可能. 答案 ①②④ 8. 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别为 棱 C1D1、C1C 的中点,有以下四个结论: ①直线 AM 与 CC1 是相交直线; ②直线 AM 与 BN 是平行直线; ③直线 BN 与 MB1 是异面直线; ④直线 AM 与 DD1 是异面直线. 其中正确的结论为________(注:把你认为正确的结论的序号都填上). 解析 直线 AM 与 CC1 是异面直线, 直线 AM 与 BN 也是异面直线, 故①②错 误. 答案 ③④ 9. 如图, 矩形 ABCD 中, AB=2, BC=4, 将△ABD 沿对角线 BD

折起到△A′BD 的位置,使点 A′在平面 BCD 内的射影点 O 恰

好落在 BC 边上,则异面直线 A′B 与 CD 所成角的大小为________. 解析 如题图所示, 由 A′O⊥平面 ABCD, 可得平面 A′BC⊥平面 ABCD, 又由 DC⊥BC 可得 DC⊥平面 A′BC,DC⊥A′B, 即得异面直线 A′B 与 CD 所成角的大小为 90°. 答案 90° 10.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 AA1,CC1 的中点,则在空间 中与三条直线 A1D1,EF,CD 都相交的直线有________条. 解析 法一 在 EF 上任意取一点 M,直线 A1D1 与

M 确定一个平面,这个平面与 CD 有且仅有 1 个交 点 N,当 M 取不同的位置就确定不同的平面,从而 与 CD 有不同的交点 N,而直线 MN 与这 3 条异面 直线都有交点.如图所示. 法二 在 A1D1 上任取一点 P, 过点 P 与直线 EF 作一个平面 α, 因 CD 与平面 α 不平行,所以它们相交,设它们交于点 Q,连接 PQ,则 PQ 与 EF 必然相 交,即 PQ 为所求直线.由点 P 的任意性,知有无数条直线与三条直线 A1D1, EF,CD 都相交. 答案 无数 三、解答题 11. 如图所示,四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角 1 梯形,∠BAD=∠FAB=90° ,BC 綉2AD,BE 1 綉2FA,G、H 分别为 FA、FD 的中点. (1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么? (1)证明 1 由已知 FG=GA,FH=HD,可得 GH 綉2AD.

1 又 BC 綉2AD,∴GH 綉 BC,∴四边形 BCHG 为平行四边形. (2)解 1 由 BE 綉2AF,G 为 FA 中点知,BE 綉 FG,

∴四边形 BEFG 为平行四边形,∴EF∥BG. 由(1)知 BG 綉 CH,∴EF∥CH,∴EF 与 CH 共面. 又 D∈FH,∴C、D、F、E 四点共面. 12.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 的 A1C1 面上有一 点 P(如图所示, 其中 P 点不在对角线 B1D1)上. (1)过 P 点在空间作一直线 l,使 l∥直线 BD, 应该如何作图?并说明理由; (2)过 P 点在平面 A1C1 内作一直线 m,使 m 与 π? ? 直线 BD 成 α 角,其中 α∈?0,2?,这样的直线有几条,应该如何作图? ? ? 解 (1)连接 B1D1,BD,在平面 A1C1 内过 P 作直线 l,使 l∥B1D1,则 l 即为 所求作的直线,如图(a). ∵B1D1∥BD,l∥B1D1,∴l∥直线 BD.

图(a) (2)∵BD∥B1D1,∴直线 m 与直线 BD 也成 α 角,即直线 m 为所求作的直线, π? ? 如图(b).由图知 m 与 BD 是异面直线,且 m 与 BD 所成的角 α∈?0,2?. ? ? π π 当 α=2时,这样的直线 m 有且只有一条,当 α≠2时,这样的直线 m 有两条.

图(b) 13.如图,空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AD、AB 的中点,G、H 分别在 BC、

CD 上,且 BG∶GC=DH∶HC=1∶2.

(1)求证:E、F、G、H 四点共面; (2)设 FG 与 HE 交于点 P,求证:P、A、C 三点共线. 证明 (1)△ABD 中,E、F 为 AD、AB 中点,

∴EF∥BD. △CBD 中,BG∶GC=DH∶HC=1∶2, ∴GH∥BD,∴EF∥GH(平行线公理), ∴E、F、G、H 四点共面. (2)∵FG∩HE=P,P∈FG,P∈HE, ∴P∈面ABC,P∈面ADC? ??P∈直线 AC. 又面ABC∩面ADC=AC ? ∴P、A、C 三点共线. 14.在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 的菱形,∠DAB=60° ,对角线 AC 与 BD 交于点 O,PO⊥平面 ABCD,PB 与平面 ABCD 所成角为 60° . (1)求四棱锥的体积; (2)若 E 是 PB 的中点,求异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值. 解 (1)在四棱锥 P-ABCD 中, ∵PO⊥面 ABCD, ∴∠PBO 是 PB 与面 ABCD 所成的角, 即∠PBO=60° ,在 Rt△POB 中, ∵BO=AB· sin 30° =1, 又 PO⊥OB,∴PO=BO· tan 60° = 3, ∵底面菱形的面积 S 菱形 ABCD=2 3.

1 ∴四棱锥 P-ABCD 的体积 VP-ABCD=3×2 3× 3=2. (2)取 AB 的中点 F,连接 EF,DF, ∵E 为 PB 中点,∴EF∥PA, ∴∠DEF 为异面直线 DE 与 PA 所成角(或其补角). 在 Rt△AOB 中, AO=AB· cos 30° = 3=OP, 6 ∴在 Rt△POA 中,PA= 6,∴EF= 2 . 在正三角形 ABD 和正三角形 PDB 中,DF=DE= 3, ? 6? 6 ? 3?2+? ?2-? 3?2 4 DE +EF -DF ?2? 2 ∴cos∠DEF= = = =4. 2DE· EF 6 3 2 2× 3× 2
2 2 2

2 即异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值为 4 .


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