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2012-2013年石家庄高二数学期末试题文科

时间:2015-06-16


石家庄市 2012-2013 学年度第二学期期末考试试卷 高二数学(文科)

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题 1? i (i 为虚数单位)等于( 1、复数 ) 1? i A. ?i B. i C. ? 2i D. 2i 2、 “分析法”是:从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的( A.等价条件 B.充分条件 C.必要条件 D.充要条件 3、在极坐标系中,圆 ? ? 2sin ? 的圆心的极坐标是( A. (1, ? ) 2 )

)

?

B. (1, 0)

C. (1, ? )

D. (1, ) 2

?

4 、若 1 ? 2i (i 为虚数单位 ) 是关于 x 的实系数方程 x 2 ? bx ? c ? 0 的一个复数根,则 ( ) A. b ? 2, c ? 3 B. b ? 2, c ? ?1 C. b ? ?2, c ? ?1 D. b ? ?2, c ? 5

5、有一段演绎推理如下,大前提: “如果两个平面平行,则其中一个平面内的直线 平行于另一个平面内的直线” ;小前提: “已知平面 ?、? ,直线 a、 b ,且 ;结论: “ a // b ” 。该推理错误的原因是( ? // ? , a ? ? , b ? ? ” A.大前提错误导致结论错误 C.推理形式错误导致结论错误 6、 已知 2 ? )

B.小前提错误导致结论错误 D.大前提和小前提都错误导致结论错误

2 2 3 3 4 4 a a ? 2 , 3? ? 3 , 4? ? 4 ,..., 若 6 ? ? 6 ,(a, t 均为正 3 3 8 8 15 15 t t
)

实数),类比以上等式,可推测 a , t 的值,则 a ? t =(

A. ?36 B. ?30 C. ?29 D. ?1 7、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于 60 ? ”时,假设正确的是 ( ) A.假设三内角都不大于 60 ? B.假设三内角都大于 60 ? C.假设三内角至多有一个大于 60 ? D.假设三内角至多有两个大于 60 ?

8、设 ( x1, y1),( x2, y 2),

,( x ,n y )n 是变量 x 和 y 的 n 个样本点,如果我们把 x 和 y 的关
)

系用线性回归模型 y ? bx ? a ? e 来表示,以下结论正确的是( A.回归平方和 ? ( y ? y ) 2 越小,模型的拟合效果越好
i ?1 n ?

B.相关指数 R 2 越小,模型的拟合效果越好 C.相关系数 | r | 越小,模型的拟合效果越好 D.残差图的水平带状区域的宽度越窄,模型的拟合效果越好 9、已知曲线 N : ? ? 3 cos? ? sin ? ,且曲线 M 与曲线 N 关于极轴对称,则曲线 M 的方程为( )

A. ? ? ?2cos(? ? ) 6 C. ? ? 2 cos(? ? ) 6

?

B. ? ? ?2 cos(? ? D. ? ? 2 cos(? ?

?
?
6

)

?

6

)

? x ? 2 ? 3cos ? , 10、设曲线 C 的参数方程为 ? (? 为参数),直线 l 的方程为 ? y ? ?1 ? 3sin ? ,
x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则曲线 C 上到直线 l 的距离为 5 的点的个数为(
A.4 B.3 C.2 D.1 )

b、 c ,和实数 a、b、c ,且 n ? N* ,下面使用类比推理,所得结论正 11、已知向量 a、
确的是( ) A.由“若 ac ? bc(c ? 0) ,则 a ? b ”类比得出“若 a c ? b c(c ? 0), 则 a ? b ” B.由“ (ab)c ? a(bc) ”类比得出“ (a b) c ? a (b c) ” C.由“ (a ? b)c ? ac ? bc ”类比得出“ (a ? b) c ? a c ? b c ” D.由“ (ab)n ? a nbn ”类比得出“ (a b)n ? a b ” 12、如图,第(1)个多边形是由正三角形“扩展”而来,第(2)个多边形是由正四边形 “扩展”而来,?,如此类推。设由正 n 边形“扩展”而来的多边形的边数为 an , 则
n n

1 1 1 ? ? ? a3 a4 a5
A.

?

1 a2013

的值为



2013 6042

B.

2011 2013

C.

2013 2014

D.

2011 6042

第 II 卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13、已知相关变量 x 与 y 的样本点为 (0,1),(1,3),(2,5),(3,7) ,则根据这些数据求出的 线性回归方程 y ? b x ? a 必过的点的坐标为
? ? ?



14、设 O 是坐标原点,向量 OA, OB 对应的复数分别为 2 ? 3i, ?2 ? 2i(i 为虚数单位), 那么向量 BA 对应的复数是 (用 a ? bi(a, b ? R) 的形式表示)。

15、在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系,已知射线 ? ?

? x ? t ? 1, 3? 与曲线 ? ( t 为参数)交于 2 4 ? y ? (t ? 1) ,


A、B 两点,则线段 AB 的中点的直角坐标为

16、阅读右面程序框图,如果输出的函数值在区间 (0, 2) ,则输入的 实数 x 的取值范围是 。 三、解答题 1 m?2 ? i ) ? (6m ? 16)i ? 17、复数 z ? m 2 ( 。( i 为虚数单位) m?8 m?8 (I)若复数 z 为纯虚数,求实数 m 的值; (II)若复数 z 对应的点在第三象限或第四象限,求实数 m 的取值范围。 18、班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定从全班 25 个女同学,15 个 男同学中随机抽取一个容量为 8 的样本进行分析。 (I) 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 如 果 数学分数 x 60 64 70 74 80 85 90 93 按 性 物理分数 y 70 75 80 84 85 90 93 95 别 比 例分层抽样,男、女生各抽取多少个才符合抽样要求? (II)随机抽出 8 个,他们的数学,物理分数对应如下表:

根据上表数据,用变量 y 与 x 的相关系数说明物理成绩 y 与数学成绩 x 之间线 性相关关系的强弱,如果有较强的线性相关关系,求 y 与 x 的线性回归方程(系数精 确到 0.01 );否则,说明理由。

? x ? cos ? , 19、在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( ? 是参数), M 是 C1 ? y ? 1 ? sin ? .
上的动点, P 点满足 OP ? 2OM , P 点的轨迹为曲线 C2 。 (I)求曲线 C2 的直角坐标方程; (II)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 极点的交点为 A ,与 C2 的异于极点的交点为 B ,求 | AB | 的值。

?
6

与 C1 的异于

20、 某中学将 100 名高一新生分成水 平 50 相当的甲、乙两个“平行班” ,每班 人,秦老师采用 A、B 两种不同的教 学 方式分别在甲、 乙两个班级进行教改 实 验, 为了了解教学效果, 期末考试后, 秦 老师利用随机抽样的方法分别从两 个 班级中各随机抽取 20 名学生的成绩 进 行统计,做出茎叶图(如图所示),记成绩不低于 90 分为“成绩优秀” 。 (I)在乙班样本的 20 个个体中,从不低于 85 分的成绩中随机抽取 1 个,求抽出 的个体为“成绩优秀”的概率; (II)由以上统计数据填写下面列联表,并判断是否有 97.5%的把握认为“成绩优 秀”与教学方式有关。(参考公式在卷头)

甲班( A 方式) 成绩优秀 成绩不优秀 总计

乙班( B 方式)

总计

21、已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的 x 轴的正

? x ? 2 ? 3t , 半轴重合,且两个坐标系的单位长度相同,直线 l1 的参数方程为 ? (t 为参 ? y ? 1 ? mt ,
数),直线 l2 的极坐标方程为 ? (3cos ? ? 4sin ? ) ? 4 ,直线 l1 与 l2 垂直。 (I)求实数 m 的值;

? x ? 3cos ? , (II)曲线 C 的参数方程为 ? (? 为参数),曲线 C 与直线 l1 交于 A、B 两 ? y ? 2sin ? ,
点,求点 M (2,1) 到 A, B 两点的距离之积。

22、在平面直角坐标系中,设点 A、B 的坐标 (0, ?b), (0, b) 。直线 AM , BM 相交于 点 M ,且它们的斜率之积是 ?

b2 (a ? 0, b ? 0) 。 a2

(I)求点 M 的轨迹方程;类比本题题设、求点 M 轨迹方程的过程和结果,写出 满足什么条件时,动点的轨迹方程是

x2 y 2 ? ? ?1( x ? 0) ; a 2 b2

(II)若直线 AM , BM 与 x 轴分别相交于点 P、Q ,试探究 | OP | | OQ | 是否为定 值,如果是,给出证明,否则,说明理由。

石家庄市 2012~2013 学年度第二学期期末考试试卷

高二数学(文科答案)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1-5.ABDDA 6-10.CBDCC 11-12.CD

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. ?1.5, 4 ? 14. 4 ? 5i

15. ( ?

5 5 , ) 2 2

16. ? ?2,1?

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

m2 ? m ? 2 ? ? m2 ? 6m ? 16 ? i -----------------------------------2 分 17.解: (Ⅰ) z ? m?8 m2 ? m ? 2 =0 , ? m 2 ? 6m ? 16 ? ? 0 ,解得 m?8
m ? ?1 ------------------------5 分

2 ? ?? m ? 6m ? 16 ? ? 0 (Ⅱ) ? -------------------------8 分 2 m ? m ? 2 ? 0 ? ?

解得 m ? ? ?8, ?1? ? ? ?1, 2? -------------------10 分 18.解:(Ⅰ)如果按性别比例分层抽样,男、女生各抽取 3 位和 5 位,---------4 分

727 ? 0.99 ,所以 y 与 x 有较强的线性相关性,---------------6 分 31.8 ? 23.1 ? ? 727 ? 0.72 ,--------------------8 分 根据所给的数据,可以计算得出 b 1014
(Ⅱ) r ?

? ? 84 ? 0.72 ? 77 ? 28.56 a

-------------------10 分

? ? 0.72 x ? 28.56 .-------12 分 所以 y 与 x 的回归直线方程为 y
19.

解: (Ⅰ) C2: ?

? x ? 2cos ? ; ? y ? 2 ? 2sin ?

即 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 -------------------4 分 (Ⅱ)

C1的极坐标方程为?=2sin ? -----------------------------6 分 C2的极坐标方程是?=4sin ? -----------------------------8 分
A, B 的极径为 ?1 =2sin
AB ? 4sin

?
6

, ?2 ? 4sin

?
6

-----------------------10 分

?
6

? 2sin

?
6

? 2sin

?
6

? 1 -------------------12 分

20.(Ⅰ)解: p ? (Ⅱ)

5 ---------------------------------------4 分 7

甲班(A 方式) 成绩优秀 成绩不优秀 总计 0 20 20

乙班(B 方式) 5 15 20

总计 5 35 40

----------------6 分

40 ? ? 0 ?15 ? 5 ? 20 ? 根据列表中的数据可得 K ? ? 5.714 , ------------10 分 5 ? 35 ? 20 ? 20
2 2

由 于 5.714>5.024, 所 以 有 97.5% 的 把 握 认 为 “ 成 绩 优 秀 ” 与 教 学 方 式 有 关.------------------12 分 21.解: (I) 由 l1 的参数方程可知: k1 ?

y ?1 m ? -------------------------2 分 x?2 3

, l2 : 3x ? 4 y ? 4 ,? k 2 ? ? 直线 l1与l2垂直

3 ------------------------------------4 分 4

?k1k2 ? ?1 ? m ? 4 -------------------6 分

(II)曲线 C 的直角坐标方程为:

x2 y 2 ? ? 1 ,-----------------------------8 分 9 4

将直线 l1 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 3t 2 代入得: 180t ? 120t ? 11 ? 0 ,-------------10 分 ? y ? 1 ? 4t
55 -----------------------------12 分 36

由参数 t 的几何意义得: MA MB ? 25 t1t2 ?

b2 22.解: (I)若直线 AM,BM 相交于点 M,且它们的斜率之积是 ? 2 ,设 M ( x, y ) ,则 a
y ?b y ?b b2 x2 y 2 ? ? ? 2 ,整理的 2 ? 2 ? 1( x ? 0) ,------------------4 分 x x a a b
类比本题题设和所得的上面的方程,当点 E,F 的坐标分别为 (0, ?b), (0, b) ,直线 ET,FT

相交于点 T,且它们的斜率之积是

b2 x2 y 2 ? ? ?1( x ? 0) ; ,点 T 的轨迹方程是 a 2 b2 a2

---------------------------------------------------------------------------6 分

(II)依题意直线 AM 为: y ? k1x ? b 直线 BM 为: y ? k2 x ? b -----------------------------------------8 分 设 P( x1 , 0) ,Q( x2 , 0) , 则 x1 ?

b ?b , x2 ? , -------------------------------------------------------10 分 k1 k2

所以 | OP | ? | OQ |? x1 ? x2 ?

b2 b2 ? ? a2. 2 b k1k2 ? 2 a

所以 | OP | ? | OQ | 为定值.------------- -------------------------------------------12 分


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