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2009年 全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题

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2009 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛 参考答案与评分标准 第一试
一,填空题(本题满分 56 分,每小题 8 分) 填空题(

1.

已 知 数 列

{an }

的 前 n 项 和 S n = n 2 + 3n + 4 .

(n ∈ N )
*

, 则

a1 + a3 + a5 + + a21 = 2. 若集合 A = x 是

{

x 3 = ax + 1, x ∈ R 为空集,则实数 a 的取值范围 .

}

3. 设 x , y 为实数, 2 x + y ≥ 1 ,则二元函数 u = x 2 + 4 x + y 2 2 y 的最小值 是 .
x2 y2 = 1 的左,右焦点,以 F1 F2 为直径的圆交双曲 a2 b2

4. 设 F1 , F2 分别是双曲线

线左支于 A , B 两点,且 ∠AF1 B = 120° . 双曲线的离心率的值介于整数 k 与 k + 1 之间,则 k = .

5. 已 知 长 方 体 ABCD A1 B1C1 D1 的 体 积 为 216 , 则 四 面 体 AB1CD1 与 四 面 体
A1 BC1 D 的重叠部分的体积等于

. 大 于

6.



[ x]







x

的 .









,



[log 3 1] + [log 3 2] + [log 3 3] + + [log 3 258] =

7. 设 方 程 x 2 n +1 a2 n x 2 n a2 n 1 x 2 n 1 a1 x a0 = 0 的 根 都 是 正 数 , 且
a1 = ( 2n + 1) ,则 a0 的最大值是

. 个棋盘格.

8. 2009 × 1911 的方格棋盘的一条对角线穿过

解答题( 二, 解答题(本题满分 14 分)
求函数 f ( x ) = sin 4 x tan x + cos 4 x cot x 的值域.

三,解答题(本题满分 15 分) 如图,抛物线 y 2 = 2 x 及点 P (1,1) ,过点 P 的不重合的直线 l1 , l2 与此抛物线 分别交于点 A ,
B , C , D .证明: A , B , C , D 四点共圆的充要条件是直线 l1 与 l2 的倾斜角

互补.
y C A P O D B x

四,解答题(本题满分 15 分) 设 a , b 是正数,且 a ≠ 1 , b ≠ 1 ,求证: a 5 1 b5 1 25 > ( a + 1)( b + 1) . a 4 1 b 4 1 64

2009 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛加试试题 一, (本题满分 50 分) 如图, 在△ ABC 中,DE ‖ BC , ADE 的内切圆与 DE 切于点 M , ABC △ △ 的 BC 边上的旁切圆切 BC 于点 N ,点 P 是 BE 与 CD 的交点,求证 M , N ,P 三 点共线.
A

D B

M P N

E

C

二, (本题满分 50 分) 设 k , n 为给定的整数, n > k ≥ 2 . 对任意 n 元的数集 P ,作 P 的所有 k 元 子集的元素和,记这些和组成的集合为 Q ,集合 Q 中元素个数是 CQ ,求 CQ 的最 大值.

三, (本题满分 50 分) 设 M = 2n1 + 2 n2 + + 2ns , n1 , n2 , , ns 是互不相同的正整数,求证: M = 2 + 2 ++ 2 < 1+ 2
n1 2 n2 2 ns 2

(

)

M.

四, (本题满分 50 分) 求满足下列条件的所有正整数 x ,y : x 与 y 1 互素; (1) (2)x 2 x + 1 = y 3 .


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