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高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法第一课时利用数学归纳法证明等式不等式问题教学案苏教版选修2_2

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第一课时 利用数学归纳法证明等式、不等式问题 [对应学生用书 P48] 在学校,我们经常会看到这样的一种现象:排成一排的自行车,如果一个同学将第一辆 自行车不小心弄倒了,那么整排自行车就会倒下. 问题 1:试想要使整排自行车倒下,需要具备哪几个条件? 提示:(1)第一辆自行车倒下;(2)任意相邻的两辆自行车,前一辆倒下一定导致后一辆 倒下. 问题 2:利用这种思想方法能解决哪类数学问题? 提示:一些与正整数 n 有关的问题. 数学归纳法 一般地,对于某些与正整数有关的数学命题,我们有数学归纳法公理:如果 (1)当 n 取第一个值 n0(例如 n0=1,2 等)时结论正确; (2)假设当 n=k(k∈N ,且 k≥n0)时结论正确,证明当 n=k+1 时结论也正确. 那么,命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都成立. * 数学归纳法的两个步骤之间的联系: 第一步是验证命题递推的基础,第二步是论证命题递推的依据,这两个步骤缺一不可, 只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断,可能得不出正确的结论,因为单靠步骤(1),无 法递推下去,即 n 取 n0 以后的数时命题是否正确,我们无法判断.同样只有步骤(2)而缺少 步骤(1)时,也可能得出不正确的结论,缺少步骤(1)这个基础,假设就失去了成立的前提, 步骤(2)也就没有意义了. [对应学生用书P48] 1 用数学归纳法证明恒等式 [例 1] 用数学归纳法证明: 1 1 1 1 1 1 1 1 1- + - +…+ - = + +…+ . 2 3 4 2n-1 2n n+1 n+2 2n [思路点拨] 等式的左边有 2n 项,右边共有 n 项,f(k)与 f(k+1)相比左边增二项, 右边增一项,而且左右两边的首项不同.因此,从 n=k 到 n=k+1 时要注意项的合并. 1 1 [精解详析] (1)当 n=1 时,左边=1- = , 2 2 1 右边= ,命题成立. 2 (2)假设当 n=k 时命题成立,即 1 1 1 1 1 1 1 1 1- + - +…+ - = + +…+ , 2 3 4 2k-1 2k k+1 k+2 2k 那么当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 左边=1- + - +…+ - + - = + +…+ + - 2 3 4 2k-1 2k 2k+1 2k+2 k+1 k+2 2k 2k+1 1 2k+2 = 1 1 1 1 1 + +…+ + + . k+2 k+3 2k 2k+1 2k+2 1 右边= k+2 k+3 + 1 1 1 1 +…+ + + , 2k 2k+1 2k+2 左边=右边, 上式表明当 n=k+1 时命题也成立. 由(1)和(2)知,命题对一切非零自然数均成立. [一点通] (1)用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题, 关键在于“先看项”, 弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,项的多少与 n 的取值是否有关.由 n=k 到 n=k+1 时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项. (2)证明 n=k+1 时成立,必须用到假设 n=k 成立的结论. 1.用数列归纳法证明:当 n∈N 时, -1+3-5+ … +(-1) (2n-1)=(-1) ·n. 证明:(1)当 n=1 时,左边=-1,右边=-1, 所以左边=右边,等式成立. n n * 2 (2)假设当 n=k(k>1,k∈N )时等式成立, 即-1+3-5+ … +(-1) (2k-1)=(-1) ·k. 那么当 n=k+1 时, -1+3-5+ … +(-1) (2k-1)+(-1) =(-1) ·k+(-1) =(-1) =(-1) =(-1) k+1 k k+1 k k+1 k k * ·(2k+1) (2k+1) k+1 (-k)+(-1) (2k+1-k) (k+1) (2k+1) k+1 k+1 这就是说 n=k+1 时等式也成立, 由(1)(2)可知,对任何 n∈N 等式都成立. 2.用数学归纳法证明: 1 -2 +3 -4 +…+(2n-1) -(2n) =-n(2n+1). 证明:(1)当 n=1 时,左边=1 -2 =-3,右边=-1×(2×1+1)=-3, 所以左边=右边,等式成立. (2)假设当 n=k 时等式成立, 即 1 -2 +3 -4 +…+(2k-1) -(2k) =-k(2k+1)成立. 则当 n=k+1 时, 左边=1 -2 +3 -4 +…+(2k-1) -(2k) +[2(k+1)-1] -[2(k+1)] =-k(2k+1)+(2k+1) -(2k+2) =(2k+1)(k+1)-4(k+1) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 * =(k+1) [2k+1-4(k+1)]=(k+1)(-2k-3) =-(k+1)[2(k+1)+1]=右边, 所以当 n=k+1 时,等式成立. 由(1)(2)可知对于任意正整数 n,等式都成立. 用数学归纳法证明不等式 [例 2] 求证: 1 n+1 n+2 + 1 1 5 * +…+ > (n≥2,n∈N ). 3n 6 [思路点拨] 运用数学归纳法证明, 证明时仔细观察不等式的结构特征, 在第二步证明 当 n=k+1 时,如何进行不等式的变换是关键.另外,要注意本题 n 的初始值为 2. [精解详析] (1)当 n=2 时, 1 1 1 1 57 5 左边= + + + = > ,不等式成立. 3 4 5 6 60 6 3 (2)假设当 n=k(k≥2,k∈N )时不等式成立, 即 1 * k+1 k+2 + 1 1 5 +…+ > , 3k 6 则当 n=k+1 时, 1 k+ = 1 + +1 + 1 1 k+ 1 1 1 1 +…+ + + + +2 3k 3k+1 3k

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