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高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系:第6节 线面、面面平行的综合应用

时间:2017-05-02


第 6 节 线面、面面平行的综合应用 【基础知识】 1.平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况. 2.直线和平面平行的判定 (1)定义:直线和平面没有公共点,则称直线平行于平面; (2)判定定理:a ? α ,b ? α ,且 a∥b?a∥α ; (3)其他判定方法:α ∥β ;a⊥α ?a∥β . 3.直线和平面平行的性质定理:a∥α ,a ? β ,α ∩β =l?a∥l. 4.两个平面平行的判定 (1)定义:两个平面没有公共点,称这两个平面平行; (2)判定定理:a ? α ,b ? α ,a∩b=M,a∥β ,b∥β ?α ∥β ; (3)推论:a∩b=M,a,b ? α ,a′∩b′=M′,a′,b′ ? β ,a∥a′,b∥b′?α ∥β . 5.两个平面平行的性质定理 (1)α ∥β ,a⊥α ?a∥β ; (2)α ∥β ,γ ∩α =a,γ ∩β =b?a∥b. 6.与垂直相关的平行的判定 (1)a⊥α ,b⊥α ?a∥b; (2)a⊥α ,a⊥β ?α ∥β .

【规律技巧】 解决探究性问题一般要采用执果索因的方法,假设求解的结果存在,从这个结果出发, 寻找使这个结论成立的充分条件,如果找到了符合题目结果要求的条件,则存在;如果找不 到符合题目结果要求的条件(出现矛盾),则不存在.

【典例讲解】 【例 1】在如图所示的多面体中,四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都为矩形.

(1)若 AC⊥BC,证明:直线 BC⊥平面 ACC1A1; (2)设 D,E 分别是线段 BC,CC1 的中点,在线段 AB 上是否存在一点 M,使直线 DE∥

平面 A1MC?请证明你的结论.

规律方法 解决探究性问题一般先假设求解的结果存在, 从这个结果出发, 寻找使这个 结论成立的充分条件,如果找到了使结论成立的充分条件,则存在;如果找不到使结论成立 的充分条件(出现矛盾),则不存在.而对于探求点的问题,一般是先探求点的位置,多为线 段的中点或某个三等分点,然后给出符合要求的证明. 【变式探究】 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为矩形, PD=DC=4,AD=2,E 为 PC 的中点.

(1)求三棱锥 A-PDE 的体积; (2)AC 边上是否存在一点 M,使得 PA∥平面 EDM?若存在,求出 AM 的长;若不存在, 请说明理由.

【针对训练】 1、设 ? 表示直线 ? , ? , ? 表示不同的平面,则下列命题中正确的是( A.若 a ? ? 且 a ? b ,则 b / /? C.若 a / /? 且 a / / ? ,则 ? / / ? 【答案】D 【解析】 A: 应该是 b / /? 或 b ? ? ; B: 如果是墙角的三个面就不符合题意; C:? ? ? ? m , 若 a / / m 时,满足 a / /? , a / / ? ,但是 ? / / ? 不正确,所以选 D. 2、如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论中正确的是________. )

B.若 ? ? ? 且 ? ? ? ,则 ? / / ? D.若 ? / /? 且 ? / / ? ,则 ? / / ?

①BD∥平面 CB1D1; ②AC1⊥平面 CB1D1;

③AC1 与底面 ABCD 所成角的正切值是 2; ④CB1 与 BD 为异面直线. 【答案】①②④ 【解析】易知①②正确,AC1 与底面 ABCD 所成角的正切值是 定可知④是正确的. 3、已知平面 α ∥β ,P?α 且 P?β ,过点 P 的直线 m 与 α ,β 分别交于 A.C,过点 P 的直 线 n 与 α ,β 分别交于 B,D,且 PA=6,AC=9,PD=8 则 BD 的长为________. 24 【答案】 或 24. 5 2 ,故③错;由异面直线的判 2

4、如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,AB⊥BC,点 M,N 分别为 A1C1 与 A1B 的中点.

(1)求证:MN∥平面 BCC1B1; (2)求证:平面 A1BC⊥平面 A1ABB1. [证明] (1)连接 BC1, ∵点 M,N 分别为 A1C1 与 A1B 的中点,∴MN∥BC1. ∵MN?平面 BCC1B1,BC1?平面 BCC1B1, ∴MN∥平面 BCC1B1. (2)∵AA1⊥平面 ABC,BC?平面 ABC, ∴AA1⊥BC. 又∵AB⊥BC,AA1∩AB=A,∴BC⊥平面 A1ABB1. ∵BC?平面 A1BC,∴平面 A1BC⊥平面 A1ABB1. 5、如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,P 是 DD1 的中点,设 Q 是 CC1 上的点,当点 Q 在( )位置时,平面 D1BQ∥平面 PAO.

A.Q 与 C 重合 C.Q 为 CC1 的三等分点 【答案】D

B.Q 与 C1 重合 D.Q 为 CC1 的中点

【解析】当 Q 为 CC1 的中点时,平面 D1BQ∥平面 PAO.证明如下: ∵Q 为 CC1 的中点,P 为 DD1 的中点, ∴QB∥PA. ∵P、O 分别为 DD1、DB 的中点, ∴D1B∥PO. 又∵D1B 平面 PAO,PO ?平面 PAO,

QB 平面 PAO,PA ?平面 PAO,
∴D1B∥平面 PAO,QB∥平面 PAO, 又 D1B∩QB=B,D1B、QB ?平面 D1BQ, ∴平面 D1BQ∥平面 PAO. 6、如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 是 BC 的中点,AA1=AB=a.

(1)求证:AD⊥B1D; (2)求证:A1C∥平面 AB1D; (3)求三棱锥 C-AB1D 的体积.

(2)证明:连接 A1B,设 A1B∩AB1=E,连接 DE.

∵AA1=AB,∴四边形 A1ABB1 是正方形, ∴E 是 A1B 的中点, 又∵D 是 BC 的中点, ∴DE∥A1C. ∵DE?平面 AB1D,A1C?平面 AB1D, ∴A1C∥平面 AB1D. 1 3 3 (3)解:VC-AB1D=VB1-ADC= S△ADC·|BB1|= a . 3 24 7、如图,在四棱锥 PABCD 中,底面是平行四边形,PA⊥平面 ABCD,点 M、N 分别为 BC、PA 的中点.在线段 PD 上是否存在一点 E,使 NM∥平面 ACE?若存在,请确定点 E 的位置;若 不存在,请说明理由.

【解析】在 PD 上存在一点 E,使得 NM∥平面 ACE.

证明如下:如图,取 PD 的中点 E,连接 NE,EC,AE, 1 因为 N,E 分别为 PA,PD 的中点,所以 NE 綉 AD. 2

1 又在平行四边形 ABCD 中,CM 綉 AD.所以 NE 綉 MC,即四边形 MCEN 是平行四边形.所以 NM 2 綉 EC. 又 EC ?平面 ACE,NM?平面 ACE,所以 MN∥平面 ACE, 即在 PD 上存在一点 E,使得 NM∥平面 ACE. π 8、如图,在三棱锥 A-BOC 中,AO⊥平面 COB,∠OAB=∠OAC= ,AB=AC=2,BC= 2,D、 6

E 分别为 AB、OB 的中点.
(Ⅰ)求证:CO⊥平面 AOB; (Ⅱ)在线段 CB 上是否存在一点 F,使得平面 DEF∥平面 AOC,若存在,试确定 F 的位 置;若不存在,请说明理由.

【证明】 (Ⅰ)因为 AO⊥平面 COB, 所以 AO⊥CO,AO⊥BO. 即△AOC 与△AOB 为直角三角形. π 又因为∠OAB=∠OAC= ,AB=AC=2, 6 所以 OB=OC=1. 由 OB +OC =1+1=2=BC , 可知△BOC 为直角三角形. 所以 CO⊥BO. 又因为 AO∩BO=O,AO ?平面 AOB,BO ?平面 AOB, 所以 CO⊥平面 AOB. (Ⅱ)在段线 CB 上存在一点 F,使得平面 DEF∥平面 AOC,此时 F 为线段 CB 的中点. 如图,连接 DF,EF,
2 2 2

因为 D、E 分别为 AB、OB 的中点, 所以 DE∥OA. 又 DE?平面 AOC,所以 DE∥平面 AOC.

因为 E、F 分别为 OB、BC 的中点, 所以 EF∥OC. 又 EF 平面 AOC,所以 EF∥平面 AOC. 又 EF∩DE=E,EF ?平面 DEF,DE ?平面 DEF, 所以平面 DEF∥平面 AOC. 【巩固提升】 1.直线 a∥平面 α ,则 a 平行于平面 α 内的( A.一条确定的直线 C.无穷多条平行的直线 【答案】C 2.若 l , m 是两条不同的直线,m 垂直于平面 ? ,则“ l ? m ”是“ l / /? 的 ( A.充分而不必要条件 要条件 【答案】B B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 ) )

B.所有的直线 D.任意一条直线

D.既不充分也不必

3. 关于直线 l , m 及平面? , ? ,下列说法中正确的是 A.若∥ ? , ? ? ? ? m, 则l ∥ m B.若∥ ? , C.若 l

(

)

m

∥ ? ,则∥ m

? ? , l ∥ ? ,则 ? ? ?

D.若∥ ? ,∥ m ,则 m

??

【答案】C 【解析】对于 A,由∥ ? , ? ? ? ? m, 是不能推出∥ m 的,故 A 不正确;对于 B,平行于 同一平面的两直线,是不一定平行的,故 B 也不正确;对于 C,若一个平面平行于另一个平 面的一条垂线,则这两个平面互相垂直,知 C 正确;对于 D,两平行线中的一条平行于一个 平面,那么另一条直线只能是与此平面平行或在此平面内,是不可能和平面垂直的,故 D 也不正确.故选:C. 4.α 、β 、γ 是三个平面,a、b 是两条直线,有下列三个条件:①a∥γ ,b?β ;②a∥γ ,

b∥β ;③b∥β ,a?γ .如果命题“α ∩β =a,b?γ ,且________,则 a∥b”为真命题,
则可以在横线处填入的条件是________(填上你认为正确的所有序号). 【答案】 :①③

5.若直线 a⊥b,且直线 a∥平面 α ,则直线 b 与平面 α 的位置关系是(

)

A.b?α B.b∥α C.b?α 或 b∥α D.b 与 α 相交或 b?α 或 b∥α 【答案】D 【解析】 当 b 与 α 相交或 b?α 或 b∥α 时,均满足直线 a⊥b,且直线 a ∥平面 α 的 情况,故选 D. 6.【2015 江苏高考,16】 (本题满分 14 分)在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,已知 AC ? BC , (1) DE // 平面AA1C1C ; BC ? CC1 ,设 AB1 的中点为 D , B1C ? BC1 ? E .求证: (2) BC1 ? AB1 .

【答案】 (1)详见解析(2)详见解析 【解析】 (1)由题意知, ? 为 ?1C 的中点, 又 D 为 ??1 的中点,因此 D? //?C . 又因为 D? ? 平面 ??1C1C , ?C ? 平面 ??1C1C , 所以 D? // 平面 ??1C1C .

7.如图所示,在多面体 A1 B1 D1 DCBA ,四边形 AA1 B1 B , ADD1 A1 , ABCD 均为正方形,

E 为 B1 D1 的中点,过 A1 , D, E 的平面交 CD1 于 F.
(Ⅰ)证明: EF / / B1C ; (Ⅱ)求二面角 E ? A1 D ? B1 余弦值.

【答案】 (Ⅰ) EF / / B1C ; (Ⅱ)

6 . 3

8.如图,已知 E 、 F 分别是正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱 AA1 , CC1 上的中点. 求证:四边形 BED1 F 是平行四边形.

【错证】在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,平面 A1 ADD1 // 平面 B1 BCC1 ,由两个平行平面 于第三个平面相交得交线平行,故 D1 E // FB , 同理 D1 F // EB , 故四边形 BED1 F 是平行四边形. 【剖析】 主要错在盲目地在立体几何证明题中套用平面几何定理. 例题几何问题只有在化为 平面几何问题后才能直接使用平面几何知识解题. 【证明】取 DD1 的中点 G ,连结 AG 、 FG ,

因为 AE ? D1G 且 AE // D1G , 所以 D1 E ? AG 且 D1 E // AG , 又 FG ? CD , CD ? AB 且 FG // CD , CD // AB , 所以 FG ? AB 且 FG // AB , 所以 BF ? AG 且 BF // AG , 所以 D1 E ? BF 且 D1 E // BF , 故四边形 BED1 F 是平行四边形.


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