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江苏2017届高三数学第九章圆锥曲线的综合问题第二课时最值范围证明问题课时跟踪检测理

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课时跟踪检测(五十三) 最值、范围、证明问题
一保高考,全练题型做到高考达标 1.如图所示,椭圆 E:xa22+yb22=1(a>b>0)的左焦点为 F1,右焦点为 F2,过 F1 的直线交 椭圆于 A,B 两点,△ABF2 的周长为 8,且△AF1F2 面积最大时,△AF1F2 为正三角形.

(1)求椭圆 E 的方程;

(2)设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P,且与直线 x=4 相交于点 Q,

证明:点 M(1,0)在以 PQ 为直径的圆上.

解:(1)因为点 A,B 都在椭圆上,所以根据椭圆的定义有|AF1|+|AF2|=2a 且|BF1|+|BF2| =2a,

又因为△ABF2 的周长为 8,

所以|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8,所以 a=2.

因为椭圆是关于 x,y 轴,原点对称的,

所以△AF1F2 为正三角形,当且仅当 A 为椭圆的短轴端点,则 a=2c? c=1,b2=a2-c2

=3,

故椭圆

E

x2 y2 的方程为 4 + 3 =1.

(2)证明:由题意得,动直线 l 为椭圆的切线,

故不妨设切点 P(x0,y0), 因为直线 l 的斜率存在且为 k,所以 y0≠0, 则直线 l:y=k(x-x0)+y0,

??y=k x-x0 联立方程组???x42+y32=1

+y0,

消去 y,

得 3x2+4[k(x-x0)+y0]2-12=0, 由 Δ =0? k=-43yx00. 则直线 l 的方程为x40x+y30y=1,

联立直线 l 与直线 x=4 得到点 Q???4,

-x0 y0

???,

则 PM · QM =(1-x0)(1-4)+(-y0)???-

-x0 y0

???=-3(1-x0)+3(1-x0)=0,

所以 PM ⊥ QM ,即点 M 在以 PQ 为直径的圆上.

x2 y2

a2

2.设椭圆 M:a2+ 2 =1(a>

2)的右焦点为 F1,直线 l:x=

与 x 轴交于点 A, a2-2

若 OF1 =2 F1 A (其中 O 为坐标原点).
(1)求椭圆 M 的方程; (2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点,EF 为圆 N:x2+(y-2)2=1 的任意一条直径(E,F 为直

径的两个端点),求 PE · PF 的最大值.

解:由题意知,点 A??? ( aa2-2 2,0???,F1 a2-2,0),

由 OF 1=2 F1 A ,得

a2-2=2???

a2 a2-2-

a2-2???,

解得 a2=6.

所以椭圆

M

x2 y2 的方程为 6 + 2 =1.

(2)设圆 N:x2+(y-2)2=1 的圆心为点 N,则点 N 的坐标为(0,2),则 PE · PF =(NE―→

- NP )·( NF - NP )=(- NF - NP )·( NF - NP )= NP 2 -N PF2 = NP 2 -1,

从而求 PE · PF 最大值转化为求 NP 2 的最大值.因为 P 是椭圆 M 上的任意一点,设 P(x0,y0),
所以x620+y220=1, 即 x20=6-3y20. 因为点 N 的坐标为(0,2),

所以 NP 2 =| NP |2=x20+(y0-2)2=-2(y0+1)2+12. 因为点 P(x0,y0)在椭圆 M 上, 则 y0∈[- 2, 2],

所以当 y0=-1 时, NP 2 取得最大值 12, 所以 PE · PF 的最大值为 11. 3.(2016·无锡期末)已知长轴在 x 轴上的椭圆的离心率 e= 36,且过点 P(1,1).
(1)求椭圆的方程;

(2)若点 A(x0,y0)为圆 x2+y2=1 上任一点,过点 A 作圆的切线交椭圆于 B,C 两点,求 证:CO⊥OB(O 为坐标原点).
解:(1)由题意可设椭圆方程为xa22+yb22=1(a>b>0). c 6 c2 2
由题意得a= 3 ,则a2=3. 又 a2=b2+c2, 所以 a2=3b2. 因为 P(1,1)在椭圆上,
11 所以a2+b2=1, 解得 a2=4,b2=43.
x2 3y2 所以椭圆的方程为 4 + 4 =1. (2)证明:由题意得切线方程为 xx0+yy0=1. ①若 y0=0,则切线方程为 x=1 或 x=-1, 所以 B(1,1),C(1,-1)或 B(-1,1),C(-1,-1), 所以 CO⊥OB; ②当 y0≠0 时,切线方程为 xx0+yy0=1,与椭圆方程联立并化简得(3x20+y20)x2-6x0x+ 3-4y20=0. 设 B(x1,y1),C(x2,y2). 则 x1+x2=3x620+x0 y20,x1x2=33x-20+4yy2020, x1x2+y1y2=???1+xy2020???x1x2-xy200(x1+x2)+y102 =???1+xy2020???33x-20+4yy2020-xy200·3x620+x0 y20+y102 =4y02-3x420+y40-y20 4yy20x20 20=4y02 13-x20yy2020+y-40 4y20x20=0, 所以 CO⊥OB. 综上所述,CO⊥OB. 4.(2016·合肥模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:xa22+yb22=1(a>b≥1)的离
心率 e= 23,且椭圆 C 上一点 N 到 Q(0,3)距离的最大值为 4,过点 M(3,0)的直线交椭圆 C 于点 A,B.

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)设 P 为椭圆上一点,且满足 OA + OB =t OP (O 为坐标原点),当|AB|< 3时, 求实数 t 的取值范围.

解:(1)∵e2=ca22=a2-a2 b2=34,∴a2=4b2,

x2 y2 则椭圆方程为4b2+b2=1,即

x2+4y2=4b2.

设 N(x,y),则

|NQ|= x- 2+ y- 2

= 4b2-4y2+ y- 2

= -3y2-6y+4b2+9

= - y+ 2+4b2+12.

当 y=-1 时,|NQ|有最大值 4b2+12,则 4b2+12=4,

解得 b2=1,

∴a2=4,

故椭圆 C 的方程是x42+y2=1.

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y), 直线 AB 的方程为 y=k(x-3),

??y=k x- , 由???x42+y2=1, 整理得(1+4k2)x2-24k2x+36k2-4=0. 则 x1+x2=12+4k42k2, x1x2=316+k24-k24, Δ =(-24k2)2-16(9k2-1)(1+4k2)>0, 解得 k2<15.

由题意得 OA + OB =(x1+x2,y1+y2)=t(x,y),

则 x=1t(x1+x2)=t

24k2 +4k2 ,

y=1t(y1+y2)=1t[k(x1+x2)-6k]=t

-6k +4k2

.

由点 P 在椭圆上,得t2

k2 2

144k2

+4k2 2+t2 +4k2 2=4,

化简得 36k2=t2(1+4k2).①

由|AB|= 1+k2|x1-x2|< 3,

得(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]<3,将 x1+x2,x1x2 代入得

(1+k2)???

242k4 +4k2 2-

k2- 1+4k2

???<3,

化简得(8k2-1)(16k2+13)>0,

则 8k2-1>0,即 k2>18,

∴18<k2<15.②

由①得 t2=13+6k42k2=9-1+94k2,

由②得 3<t2<4,

∴-2<t<- 3或 3<t<2.

故实数 t 的取值范围为(-2,- 3)∪( 3,2).

二上台阶,自主选做志在冲刺名校 如图所示,设 F(-c,0)是椭圆xa22+yb22=1(a>b>0)的左焦点,直线 l:x=-ac2与 x 轴交

于 P 点,MN 为椭圆的长轴,已知|MN|=8,且|PM|=2|MF|.

(1)求椭圆的标准方程; (2)过点 P 的直线 m 与椭圆相交于不同的两点 A,B. ①证明:∠AFM=∠BFN; ②求△ABF 面积的最大值. 解:(1)∵|MN|=8, ∴a=4, 又∵|PM|=2|MF|, ∴e=12. ∴c=2,b2=a2-c2=12.

x2 y2 ∴椭圆的标准方程为16+12=1.

(2)①证明:当 AB 的斜率为 0 时,显然∠AFM=∠BFN=0,满足题意; 当 AB 的斜率不为 0 时, 设 A(xA,yA),B(xB,yB), AB 的方程为 x=my-8, 代入椭圆方程整理得(3m2+4)y2-48my+144=0. Δ =576(m2-4)>0, 得 m2>4, yA+yB=3m428+m 4,

yAyB=3m124+4 4.

则 kAF+kBF=xAy+A 2+xBy+B 2=myyA-A 6+myyB-B 6

=yA

myB- myA-

+yB myA- myB-



2myAyB- myA-

yA+yB myB-



而 2myAyB-6(yA+yB)=2m·3m124+4 4-6·3m428+m 4=0,

∴kAF+kBF=0, ∴∠AFM=∠BFN. 综上可知,∠AFM=∠BFN.

②S△ABF=S△BFP-S△AFP=12|PF|·|yB-yA|

72 m2-4 = 3m2+4 ,

即 S△ABF=

72 m2-4 m2- +16

72

= 3

m2-4+

16 m2-4

72



=3 3,

2 3×16

当且仅当 3

m2-4=

16 m2-4,

即 m=±2 321时(此时适合于 Δ >0 的条件)取到等号. ∴△ABF 面积的最大值是 3 3.


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