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数列与不等式2016优质模拟理科数学试题

时间:2016-06-30


第一部分

2016 高考试题 数列

1. 【2016 高考新课标 1 卷】已知等差数列 ?an ? 前 9 项的和为 27, a10 ? 8 ,则 a100 ? ( (A)100 (B)99 (C)98 (D)97



2【2016 高考浙江理数】如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且

An An?1 ? An?1 An?2 , An ? An?2 , n ? N* , Bn Bn?1 ? Bn?1Bn?2 , Bn ? Bn?2 , n ? N* ,
( P ? Q表示点P与Q不重合 ).若 dn ? An Bn ,Sn为△An Bn Bn?1的面积,则 ( )

A. {Sn } 是等差数列 C. {dn } 是等差数列

2 B. {Sn } 是等差数列 2 D. {dn } 是等差数列

3.【2016 年高考四川理数】某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2015 年全年投入研发 资金 130 万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长 12%,则该公司全年投入的研发资金开始 超过 200 万元的年份是( )

(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg2≈0.30) ( A)2018 年 (B)2019 年 (C)2020 年 (D)2021 年 ,S5= .

4.【2016 高考浙江理数】设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则 a1=

5.【2016 年高考北京理数】已知 {an } 错误!未找到引用源。为等差数列, Sn 为其前 n 项和,若 a1 ? 6 ,

a3 ? a5 ? 0 ,则 S6 = _______..
6.【2016 高考新课标 1 卷】设等比数列 ?an ? 错误!未找到引用源。满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2 …an 的最 大值为 .

2 7. 【 2016 高考江苏 卷】已知 {an } 是等差数列, {Sn } 是其前 n 项 和 . 若 a1 ? a2 ? ?3,S5 =10 ,则 a 9 的值是

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.

[来源:Z*xx*k.Com]

8. 【2016 高考新课标 2 理数】Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, 且 a1 =1 其中 x 表 ,S7 ? 28. 记 bn = lg an , 示不超过 x 的最大整数,如 0.9 =0, lg99 =1 . (Ⅰ)求 b1,b11,b101 ; (Ⅱ)求数列 ?bn ? 的前 1 000 项和. 9.【2016 高考山东理数】 (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn=3n2+8n, ?bn ? 是等差数列,且 an ? bn ? bn?1. (Ⅰ)求数列 ?bn ? 的通项公式;

?

?

? ?

? ?

?

?

(an ? 1)n?1 (Ⅱ)令 cn ? . 求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn. (bn ? 2)n
10.【2016 高考江苏卷】 (本小题满分 16 分)

100? .对数列 ?an ? n ? N * 和 U 的子集 T,若 T ? ? ,定义 ST ? 0 ;若 T ? ?t1, t2 ,…,tk ? , 记 U ? ?1,2,…,
* 定义 ST ? at1 ? at2 ? …+atk .例如: T = ?1,3,66? 时, ST ? a1 ? a3 +a66 .现设 ?an ? n ? N 是公比为 3 的等

?

?

?

?

比数列,且当 T = ?2, 4? 时, ST =30 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

k? ,求证: ST ? ak ?1 ; (2)对任意正整数 k ?1 ? k ? 100? ,若 T ? ?1,2,…,
(3)设 C ? U , D ? U , SC ? SD ,求证: SC ? SC ?D ? 2SD . 11. 【2016 高考天津理数】 已知 ?an ? 是各项均为正数的等差数列, 公差为 d , 对任意的 n ? N ?, bn 是 an 和 an ?1 的等差中项. (Ⅰ)设 cn ? bn?1 ? bn , n ? N ,求证: ?cn ? 是等差数列;
2 2 *

(Ⅱ)设 a1 ? d , Tn ?

? ? ?1?
k ?1

2n

n

bn 2 , n ? N * ,求证: ?

1 1 ? 2. 2d k ?1 Tk

n

12.【2016 高考新课标 3 理数】已知数列 {an } 错误!未找到引用源。的前 n 项和 Sn ? 1 ? ? an 错误!未找到 引用源。 ,错误!未找到引用源。其中 ? ? 0 . (I)证明 {an } 错误!未找到引用源。是等比数列,并求其通项公式;
第 2 页 共 2 页

(II)若 S5 ?

31 错误!未找到引用源。 ,求 ? . 32

13.【2016 高考浙江理数】设数列 ?an ? 满足 an ? (I)证明: an ? 2
n
n ?1

an?1 ? 1 , n ? ?? . 2

?a

1

? 2 ? , n ? ?? ;

?3? ? ? (II)若 an ? ? ? , n ? ? ,证明: an ? 2 , n ? ? . ?2?
14.【2016 年高考北京理数】 (本小题 13 分) 设数列 A: a1 , a2 ,… aN ( N ? ).如果对小于 n ( 2 ? n ? N )的每个正整数 k 都有 ak < an ,则称 n 是 数列 A 的一个“G 时刻”.记“ G ( A) 是数列 A 的所有“G 时刻”组成的集合. (1)对数 列 A:-2,2,-1,1,3,写出 G ( A) 的所有元素; (2)证明:若数列 A 中存在 an 使得 an > a1 ,则 G( A) ? ? ; (3)证明:若数列 A 满足 an - an ?1 ≤1(n=2,3, …,N),则 G ( A) 的元素个数不小于 aN - a1 . 15.【2016 年高考四川理数】 (本小题满分 12 分) 已知数列{ an }的首项为 1, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, Sn?1 ? qSn ? 1 ,其中 q>0, n ? N * . (Ⅰ)若 2a2 , a3 , a2 ? 2 成等差数列,求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设双曲线 x 2 ?

5 y2 4n ? 3n e ? 的离心率为 ,且 ,证明: e e ? e ? ??? ? e ? ? 1 2 1 2 n n 2 3 3n ?1 . an

16.【2016 高考上海理数】无穷数列 ?an ?由 k 个不同的数组成, Sn 为 ?an ? 的前 n 项和.若对任意 n ? N ? ,

Sn ??2,3?,则 k 的最大值为________.

[来源:Z.xx.k.Com]

i m S n ? S .下列条件中, 17.【2016 高考上海理数】 已知无穷等比数列 ?an ?的公比为 q , 前 n 项和为 Sn , 且l
n??

使得 2Sn ? S n ? N ? 恒成立的是( (A) a1 ? 0,0.6 ? q ? 0.7 (C) a1 ? 0,0.7 ? q ? 0.8

?

?



(B) a1 ? 0,?0.7 ? q ? ?0.6 (D) a1 ? 0,?0.8 ? q ? ?0.7

18.【2016 高考上海理数】 (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,
第 3 页 共 3 页

第 3 小题满分 8 分. 若无穷数列 {an } 满足:只要 a p ? aq ( p, q ? N * ) ,必有 a p?1 ? aq?1 ,则称 {an } 具有性质 P . (1)若 {an } 具有性质 P ,且 a1 ? 1, a2 ? 2, a4 ? 3, a5 ? 2 , a6 ? a7 ? a8 ? 21 ,求 a3 ;
[来源:学科网 ZXXK]

(2)若 无穷数列 {bn } 是等差数列,无穷数列 {cn } 是公比为正数的等比数列, b1 ? c5 ? 1 , b5 ? c1 ? 81 ,

an ? bn ? cn 判断 {an } 是否具有性质 P ,并说明理由;
(3)设 {bn } 是无穷数列,已知 an?1 ? bn ? sin an (n ? N ) .求证: “对任意 a1 ,{an } 都具有性质 P ”的充要条
*

件为“ {bn } 是常数列”.

不等式
(A) a c ? b c (B) abc ? bac

[

0 ? c ? 1 , 则( 1. 【2016 高考新课标 1 卷】若 a ? b ? 1,

) (D) log a c ? logb c

(C) a logb c ? b loga c

2.【2016 高考浙江 理数】在平面上,过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影.由区域

?x ? 2 ? 0 ? 中的点在直线 x+y ? 2=0 上的投影构成的线段记为 AB,则│AB│=( ?x ? y ? 0 ?x ? 3y ? 4 ? 0 ?
A.2 2 B.4 C.3 2



D. 6

?2 x ? y ? 0 ? 3.【2016 年高考北京理数】若 x , y 满足 ? x ? y ? 3 ,则 2 x ? y 的最大值为( ? x?0 ?
A.0 B.3 C.4 ) D.5



4.【2016 高考浙江理数】已知实数 a,b,c( A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则 a2+b2+c2<100 B.若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1,则 a2+b2+c2<100 C.若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1,则 a2+b2+c2<100 D.若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1,则 a2+b2+c2<100

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? y ? x ? 1, ? 5.【2016 年高考四川理数】设 p:实数 x,y 满足 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 ,q:实数 x,y 满足 ? y ? 1 ? x, 则 p ? y ? 1, ?
是 q 的( )

(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

?x ? y ?1 ? 0 ? 6.【2016 高考新课标 3 理数】若 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0 错误!未找到引用源。 则 z ? x ? y 的 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
最大值为_____________.
ì x + y ? 2, ? ? ? ? 7.【2016 高考山东理数】若变量 x,y 满足 í 2 x - 3 y ? 9, 则 x 2 + y 2 的最大值是( ? ? 锍 ? ? x 0,



(A)4

(B)9

(C)10

(D)12

? x ? y ? 2 ? 0, ? 8. 【2016 高考天津理数】 设变量 x, y 满足约束条件 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0, 则目标函数 z ? 2 x ? 5 y 的最小值为 ( ?3x ? 2 y ? 9 ? 0. ?



(A) ?4

(B)6

(C)10

(D)17

9.【2016 高考新课标 1 卷】某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3 个工时.生 产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150kg,乙材料 9 0kg, 则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元.

?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? 10.【2016 高考江苏卷】 已知实数 x, y 满足 ? 2 x ? y ? 2 ? 0 ,则 x 2 ? y 2 的取值范围是 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?
11.【20 16 高考上海理数】设 x ? R ,则不等式 x ? 3 ? 1 的解集为__________.

.

第二部分

2016 优质模拟试题

[来源:Z§xx§k.Com]

1.【2016 辽宁大连高三双基测 试卷,理 6】 《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题: “今有 五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊 五人分 5 钱, 甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙 、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少
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钱?” ( “钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,甲所得为( (A)

) (D)

5 钱 3 4 2. 【2016 河北衡水中学高三一调,理】已知 S n 和 Tn 分别为数列 ?an ? 与数列 ?bn ? 的前 n 项和,且 a1 ? e ,
(B) (C)

5 钱 4

4 钱 3

3 钱 2

Sn ? eSn?1 ? e5 , an ? ebn , (n ? N ? ) ,则当 Tn 取得最大值时, n 的值为(
A.4 B.5 C.4 或 5 D.5 或 6



3. 【2016 广西桂林调研考试,理 15】已知 m 、 n 为正实数,向量 a ? ? m,1? , b ? ?1 ? n,1? ,若 a ? b ,则 的最小值为______. 4. 【2016 河南六市一模】实数 x, y 满足 ?

1 2 ? m n

? xy ? 0 ,使 z ? ax ? y 取得最大值的最优解有两个,则 ? x ? y ?1

z ? ax ? y ? 1的最小值为(
A.0 B.-2 C.1 D.-1



5. 【2016 甘肃兰州高三实战考试】

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