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高中数学一轮复习微专题第16季立体几何的向量方法:第1节 空间向量的线性运算

时间:2017-05-07

第 1 节 空间向量的线性运算 【基础知识】 1.空间向量的有关概念 (1)空间向量:在空间中,具有大小和方向的量叫做空间向量,其大小叫做向量的模或长度. (2)几种常用特殊向量 ①单位向量:长度或模为 1 的向量. ②零向量:长度为 0 的向量. ③相等向量:方向相同且模相等的向量. ④相反向量:方向相反而模相等的向量. ⑤共线向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合, 则这些向量叫作共 线向量或平行向量. ⑥共面向量:平行于同一个平面的向量. 2.空间向量的线性运算 (1)空间向量的加减与数乘运算是平面向量运算的推广. 设 a , b 是 空 间 任 意 两 向 量 , 若 OA ? AC ? a, AB ? b , P ∈ OC , 则

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(2)向量加法与数乘向量运算满足以下运算律 ①加法交换律:a+b=b + a . ②加法结合律:(a+b)+c=a +(b+c) . ③数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb. ④数乘结合律:λ(μa)=(λμ) a.(λ∈R,μ∈R).
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【规律技巧】

1.选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几
何问题的基本要求.解题时应结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就 近表示所需向量. 2.首尾相接的若干个向量的和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,求若干

个向量的和,可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和问题解决. 【典例讲解】 【例1】 在三棱锥 O-ABC 中,M,N 分别是 OA,BC 的中点,G 是△ABC 的重心, 用基向量OA,OB, OC表示OG,MG.











规律方法 (1)选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,是 用向量解决立体几何问题的基本要求.如本例用OA,OB,OC表示OG,MG等,另外解题 时应结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就近表示所需向量. (2)首尾相接的若干个向量的和, 等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量. 所 以在求若干向量的和,可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和. 【变式探究】 如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,设AA1=a,AB=b,AD =c,M,N,P 分别是 AA1,BC,C1D1 的中点,试用 a,b,c 表示以下各向量:

















(1)AP;(2)A1N.





【针对训练】 → 1→ 1 → 1、 (1)如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,O 为 AC 的中点.化简A1O- AB- AD= 2 2 → → → → → __________,用AB,AD,AA1表示OC1,则OC1=__________;

(2)向量 a ? (3,5, ?4), b ? (2,1,8) ,则 2a ? 3b =__________, 3a ? 2b =__________. 1→ 1 → → → → 【答案】 (1)-AA1(或A1A) AB+ AD+AA1;(2)(12,13,16) (5,13,-28) 2 2 → 1→ 1 → → → 1→ 1 → → 1 → → 1→ 1 → 【解析】 (1)A1O- AB- AD=(A1A+AO)- AB- AD=-AA1+ (AB+AD)- AB- AD 2 2 2 2 2 2 2 → → → → 1→ → 1 → → → 1→ 1 → → =-AA1.OC1=OC+CC1= AC+CC1= (AB+AD)+AA1= AB+ AD+AA1. 2 2 2 2 (2) 2a ? 3b ? 2(3,5, ?4) ? 3(2,1,8) ? (6,10, ?8) ? (6,3, 24) ? (12,13,16) ,

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? ? 3a ? 2b ? 3(3,5, ?4) ? 2(2,1,8) ? (9,15, ?12) ? (4, 2,16) ? (5,13, ?28) . ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? 2、在空间四边形 ABCD 中, AB ? CD ? AC ? DB ? AD ? BC =( )
A.-1 C.1 【答案】B 【解析】如图,选取不共面的向量 AB, AC , AD 为基底,则原式= B.0 D.不确定

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??? ? ???? ???? ???? ??? ? ???? AB ? ( AD ? AC ) ? AC ? ( AB ? AD) ???? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ???? ??? ? ???? ???? ???? ???? ???? ??? ? ? AD ? ( AC ? AB) ? AB ? AD ? AB ? AC ? AC ? AB ? AC ? AD ? AD ? AC ? AD ? AB ? 0

3、在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,设 AB ? a, AD ? b, AA1 ? c ,E,F 分别是 AD1,BD 的中点.

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(1)用向量 a, b, c 表示 D1 B, EF , ; (2)若 D1 F ? xa ? yb ? zc ,求实数 x,y,z 的值.

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【答案】 (1) D1 B ? a ? b ? c , EF ?

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1 ? ? 1 1 (2) x ? , y ? ? , z ? ?1 . (a ? c) ; 2 2 2

→ → → → 4、设三棱锥 O-ABC 中,OA=a,OB=b,OC=c,G 是△ABC 的重心,则OG=( A.a+b-c 1 C. (a+b+c) 2 【答案】D B.a+b+c 1 D. (a+b+c) 3

)

5、如图,已知空间四边形 OABC,其对角线为 OB、AC,M、N 分别是对边 OA、BC 的中 点,点 G 在线段 MN 上,且分 MN 所成的比为 2,现用基向量 OA, OB, OC 表示向量 OG , 设 OG ? xOA ? yOB ? zOZ =x+y+z,则 x,y,z 的值分别是( 1 1 1 A.x= ,y= ,z= 3 3 3 1 1 1 C.x= ,y= ,z= 3 6 3

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)

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1 1 1 B.x= ,y= ,z= 3 3 6 1 1 1 D.x= ,y= ,z= 6 3 3

【答案】D

【练习巩固】 1.在下列命题中:

①若向量 a,b 共线,则向量 a,b 所在的直线平行; ②若向量 a,b 所在的直线为异面直线,则向量 a,b 一定不共面; ③若三个向量 a,b,c 两两共面,则向量 a,b,c 共面; ④已知空间的三个向量 a,b,c,则对于空间的任意一个向量 p 总存在实数 x,y,z 使 得 p=xa+yb+zc. 其中正确命题的个数是 A.0 B. 1 C.2 D.3 ( ) ( )

→ 3→ 1→ 1→ 2. O 为空间任意一点,若OP= OA+ OB+ OC,则 A,B,C,P 四点 4 8 8 A.一定不共面 C.不一定共面 B.一定共面 D.无法判断

→ 3→ 1→ 1→ 解析 因为OP= OA+ OB+ OC, 4 8 8
3 1 1 且 + + =1.所以 P,A,B,C 四点共面. 4 8 8 答案 B 3.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a,点 E,F 分别是 BC,AD 的中点,则AE·AF的值为 A.a2 1 B. a2 2 1 C. a2 4 D. 3 2 a 4





(

)

4.若向量 c 垂直于不共线的向量 a 和 b,d=λa+μb(λ,μ ∈R,且 λμ≠0),则( A.c∥d B.c⊥d C.c 不平行于 d,c 也不垂直于 d D.以上三种情况均有可能 解析 由题意得,c 垂直于由 a,b 确定的平面. ∵d=λa+μb,∴d 与 a,b 共面.∴c⊥d. 答案 B

)

5、 如图, 空间四边形 OABC 中,OA ? a, OB ? b, OC ? c, 点 M 在 OA 上, 且 OM ? 2 MA , 点 N 为 BC 中点,则 MN 等于(

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1? 2? 1? a? b? c 2 3 2 ? ? 1 1 1? C. a ? b ? c 2 2 2
A.

2? 1? 1? a? b? c 3 2 2 ? ? 2 2 1? D. a ? b ? c 3 3 2
B. ?

【答案】B


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