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(第24讲)直线与圆锥曲线问题的处理方法(1)

时间:2012-07-20

题目 高中数学复习专题讲座 直线与圆锥曲线问题的处理方法(1) 高考要求 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出 现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题 等 突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想 方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考 生“档次” ,有利于选拔的功能 重难点归纳 1 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是研究 它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题, 此时要注意用好 分类讨论和数形结合的思想方法 2 当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题,常用“韦达定理法”设 而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦长的中点问题,常用“点差法” 设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化 同 时还应充分挖掘题目的隐含条件, 寻找量与量间的关系灵活转化, 往往就能 事半功倍 典型题例示范讲解 y 例 1 如图所示,抛物线 y2=4x 的顶点为 O,点 A 的坐标
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为(5,0),倾斜角为

?
4

N

的直线 l 与线段 OA 相交(不经过点 O

或点 A)且交抛物线于 M、N 两点,求△AMN 面积最大时直 o B A x 线 l 的方程,并求△AMN 的最大面积 M 命题意图 直线与圆锥曲线相交, 一个重要的问题就是 有关弦长的问题 本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题 的第一种方法——“韦达定理法” 知识依托 弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与 方程的思想 错解分析 将直线方程代入抛物线方程后,没有确定 m 的取值范围 不等式法求最值忽略了适用的条件 技巧与方法 涉及弦长问题,应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦 长,涉及垂直关系往往也是利用韦达定理,设而不求简化运算 解法一 由题意,可设 l 的方程为 y=x+m,其中-5<m<0
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由方程组 ?

?y ? x ? m ?y
2

? 4x

,消去 y,得 x2+(2m-4)x+m2=0



∵直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N, ∴方程①的判别式Δ =(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0, 解得 m<1,又-5<m<0,∴m 的范围为(-5,0)
1

设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=4-2m,x1·x2=m2, ∴|MN|=4 2 (1 ? m )
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点 A 到直线 l 的距离为 d=

5?m
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2

∴S△=2(5+m) 1 ? m ,从而 S△2=4(1-m)(5+m)2 =2(2-2m)·(5+m)(5+m)≤2(
2 ? 2m ? 5 ? m ? 5 ? m 3 3

) =128
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∴S△≤8 2 ,当且仅当 2-2m=5+m,即 m=-1 时取等号

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故直线 l 的方程为 y=x-1,△AMN 的最大面积为 8 2 解法二 由题意,可设 l 与 x 轴相交于 B(m,0), l 的方程为 x = y +m,其中 0<m<5
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由方程组 ?

?x ? y ? m ? y ? 4x
2

,消去 x,得 y 2-4 y -4m=0



∵直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N, ∴方程①的判别式Δ =(-4)2+16m=16(1+m)>0 必成立, 设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 y 1+ y 2=4,y 1·y 2=-4m, ∴S△=
1 2 (5 ? m ) | y 1 ? y 2 | ?
5 2 1 2

1 2

(5 ? m ) ( y 1 ? y 2 ) ? 4 y 1 y 2
2

=4 (

?

m)

(1 ? m ) =4

(

5 2

?

1 2

m )(

5 2

?

1 2

m )(1 ? m )

5 1 ? 5 1 ? ? ( 2 ? 2 m ) ? ( 2 ? 2 m ) ? (1 ? m ) ? ? 4 ? ? ?8 2 3 ? ? ? ?

3

∴S△≤8 2 ,当且仅当 (

5 2

?

1 2

m ) ? (1 ? m ) 即 m=1 时取等号

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例 2 已知双曲线 C 2x2-y2=2 与点 P(1,2) (1)求过 P(1,2)点的直线 l 的斜率取值范围,使 l 与 C 分别有一个交点, 两个交点,没有交点
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2

(2)若 Q(1,1),试判断以 Q 为中点的弦是否存在 y 命题意图 第一问考查直线与双曲线交点个数问 2 P 题,归结为方程组解的问题 第二问考查处理直线与圆 1 Q 锥曲线问题的第二种方法——“点差法” 知识依托 二次方程根的个数的判定、两点连线的 -1 o 1 斜率公式、中点坐标公式 错解分析 第一问,求二次方程根的个数,忽略了 二次项系数的讨论 第二问, 算得以 Q 为中点弦的斜率 为 2,就认为所求直线存在了 技巧与方法 涉及弦长的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦 所在直线的斜率,弦的中点坐标联系起来,相互转化 解 (1)当直线 l 的斜率不存在时, 的方程为 x=1,与曲线 C 有一个交点 l 当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y-2=k(x-1),代入 C 的方程,并整 理得 (2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0 (*)
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x

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(ⅰ)当 2-k2=0,即 k=± 2 时,方程(*)有一个根,l 与 C 有一个交点 (ⅱ)当 2-k2≠0,即 k≠± 2 时 Δ =[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k) ①当Δ =0,即 3-2k=0,k= ②当Δ >0,即 k<
2
3 2 3 2

时,方程(*)有一个实根,l 与 C 有一个交点

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,又 k≠± 2 ,故当 k<- 2 或- 2 <k< 2 或
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<k<

3 2

时,方程(*)有两不等实根,l 与 C 有两个交点
3 2

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③当Δ <0,即 k> 综上知
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时,方程(*)无解,l 与 C 无交点
3 2

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当 k=± 2 ,或 k=
3 2

,或 k 不存在时,l 与 C 只有一个交点;

当 2 <k< 当 k>
3 2

,或- 2 <k< 2 ,或 k<- 2 时,l 与 C 有两个交点;
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时,l 与 C 没有交点

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(2)假设以 Q 为中点的弦存在,设为 AB,且 A(x1,y1),B(x2,y2),则 2x12- y12=2,2x22-y22=2 两式相减得 2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1-x2)=y1-y1
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3

即 kAB=

y1 ? y 2 x1 ? x 2

=2

但渐近线斜率为± 2 ,结合图形知直线 AB 与 C 无交点, 所以假设不正 确,即以 Q 为中点的弦不存在 例 3 已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与椭
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圆交于 P 和 Q,且 OP⊥OQ,|PQ|=
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10 2

,求椭圆方程

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解 设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0), P(x1,y1),Q(x2,y2)
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由?

?y ? x ?1 ? mx
2

? ny

2

?1

得(m+n)x2+2nx+n-1=0,

Δ =4n2-4(m+n)(n-1)>0,即 m+n-mn>0, 由 OP⊥OQ,所以 x1x2+y1y2=0,即 2x1x2+(x1+x2)+1=0, ∴
2 ( n ? 1) m ? n ? 2n m ? n

+1=0, ①
? ( 10 2 )
2

∴m+n=2 又2
4 ( m ? n ? mn ) m ? n

,

将 m+n=2,代入得 m·n=
3 4


1 2

由①、②式得 m= 故椭圆方程为 学生巩固练习 1 值为( A
8 10 5
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,n=
3 2

3 2

或 m=
3 2
2

3 2

,n=
1

1 2
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x

2

+

y2=1 或 x2+ y2=1
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斜率为 1 的直线 l 与椭圆 )
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x

+y2=1 相交于 A、 两点, B 则|AB|的最大

4

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2

B

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C

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D

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5

2 抛物线 y=ax2 与直线 y=kx+b(k≠0)交于 A、B 两点,且此两点的横坐 标分别为 x1,x2,直线与 x 轴交点的横坐标是 x3,则恒有( )
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A x3=x1+x2 B x1x2=x1x3+x2x3 C x1+x2+x3=0 D x1x2+x2x3+x3x1=0 3 正方形 ABCD 的边 AB 在直线 y=x+4 上,C、D 两点在抛物线 y2=x 上,则正方形 ABCD 的面积为_________ 4 已知抛物线 y2=2px(p>0),过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线 y B l 与该抛物线交于不同的两点 A、B,且|AB|≤2p (1)求 a 的取值范围 (2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求△NAB 面积的 o 最大值
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N

x

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5

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已知中心在原点,顶点 A1、A2 在 x 轴上,离心率 e=
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21 3

A

的双曲线过点 P(6,6) (1)求双曲线方程 (2)动直线 l 经过△A1PA2 的重心 G,与双曲线交于不同的两点 M、N, 问 是否存在直线 l,使 G 平分线段 MN,证明你的结论 参考答案:
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解析
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弦长|AB|= 2 ?

4?

5?t 5

2



4 10
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5

答案 2
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C
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解析

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解方程组 ?

? y ? ax

2

? y ? kx ? b
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,得 ax2 -kx-b=0,可知 x1+x2=

k a

,x1x2=-

b a

,x3=-
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b k

,代入验证即可

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答案 B 3 解析 设 C、D 所在直线方程为 y=x+b,代入 y2=x,利用弦长公式可求出 |CD|的长,利用|CD|的长等于两平行直线 y=x+4 与 y=x+b 间的距离,求出 b 的值,再代入求出|CD|的长 答案 18 或 50 4 解 (1)设直线 l 的方程为 y=x-a,代入抛物线方程得(x-a)2=2px,即 x2 -2(a+p)x+a2=0
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∴|AB|= 2 ? 4 ( a ? p ) 2 ? 4 a 2 ≤2p 又∵p>0,∴a≤-
p
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∴4ap+2p2≤p2,即 4ap≤-p2

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4

(2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),AB 的中点 C(x,y), 由(1)知,y1=x1-a,y2=x2-a,x1+x2=2a+2p,
5

则有 x=

x1 ? x 2 2

? a ? p, y ?

y1 ? y 2 2

?

x1 ? x 2 ? 2 a 2

=p

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∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y-p=-(x-a-p), 从而 N 点坐标为(a+2p,0)? 点 N 到 AB 的距离为 从而 S△NAB=
1 2 p 4 ? 2 ?
|a ? 2p ? a| 2 ? 2p

4(a ? p ) ? 4a
2

2

?

2p ? 2p

2 ap ? p

2

当 a 有最大值-

时,S 有最大值为 2 p2
x a
2 2

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(1)如图,设双曲线方程为

?

y b

2 2

=1

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由已知得

6 a

2 2

?

6 b

2 2

? 1, e

2

?

a

2

? b a
2

2

?

21 3

,解得 a2=9,b2=12

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所以所求双曲线方程为

x

2

?

y

2

=1

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9

12

(2)P、A1、A2 的坐标依次为(6,6)、(3,0)、(-3,0) , ∴其重心 G 的坐标为(2,2) 假设存在直线 l,使 G(2,2)平分线段 MN,设 M(x1,y1),N(x2,y2)
2 2

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则有

? ? x1 ? x 2 ? 4 ?1 2 x1 ? 9 y 1 ? 1 0 8 y ? y2 12 4 4 ,? ? 1 ? ? ,∴kl= ? 2 2 3 x1 ? x 2 9 3 ? y 1 ? y 2 ? 4 ?1 2 x 2 ? 9 y 2 ? 1 0 8 ?

∴l 的方程为 y=

4 3

y
(x-2)+2,
G N

P

?12 x 2 ? 9 y 2 ? 108 ? 由? 4 ? y ? ( x ? 2) 3 ?

,消去 y,整理得 x -4x+28=0

2

A1
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o

A2

x

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M

∵Δ =16-4×28<0,∴所求直线 l 不存在 课前后备注
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