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高三数学-【数学】山东省威海市2018届高三上学期教学质量检测(理) 精品

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山东省威海市 2018 届高三上学期教学质量检测 理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页.第Ⅱ卷 3 至 9 页.共 150 分.考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、考试号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡
皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.

3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式: ( log a

x )?

?

1 x ln a

( u )? ? u?v ? uv? ( v ? 0 )

v

v2

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

(1)已知集合 M ? ?x | 0 ? x ?1?,集合 N ? ?x | ?2 ? x ? 1?,那么“ a ? N ”是“ a ? M ”

的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(2)已知向量 a , b 的夹角为120? ,且| a |? 2 ,| b |? 5 ,则| a ? b | =

A. 29

B. 39

C. 19

D. 3

(3)设

?ex , f (x) ? ?

x ?1,

则 f (ln 3) ?

? f (x ?1) , x ? 1,

A. e

B. ln 3 ?1

C. 3 e

D. 3e

( 4 ) 设 奇 函 数 f (x) 在 (0,??) 上 为 单 调 递 增 函 数 , 且 f (2) ? 0 , 则 不 等 式

f (?x) ? f (x) ? 0 的解集为 x
A.?? 2,0?? ?2,? ??

B. ?? ?,? 2?? ?0,2?

C. ?? ?,? 2?? ?2,? ??

D.?? 2,0?? ?0,2?

(5)已知 a,b, c ? (0,??) , 3a ? 2b ? c ? 0 ,则 ac 的 b

A.最大值是 3 B.最小值是 3

C.最大值是 3 3

D.最小值是 3 3

(6)函数 f (x) ? cos x(x ? R) 的图像向右平移 3? 个单位后,得到 y ? g(x) 的图像, 2

则 g(x) 的解析式为

A. ? sin x

B. sin x

C. ? cos x

D. ? cos x

(7)

3 ? sin 70? 2 ? cos2 10?

=

A. 1

B. 2

C.2

2

2

D. 3 2

(8)已知 a,b, c 满足 c ? b ? a且ac ? 0 ,则下列选项中不一定能成立的是

A. ab ? ac

B. c(b ? a) ? 0 C. ac(a ? c) ? 0

D. cb2 ? ca2

(9)等差数列? an ?的前 n 项和为 S n ,若 a11 ? 12 ,则可计算出

A. S21 ? 252

B. S22 ? 264

C. S20 ? 242

?x ? 1

(10)已知变量 x, y 满足条件 ??x ? y ? 0

,则 2x ? y 的最大值是

??x ? 2 y ? 9 ? 0

A. 13

B. 9

C.3

2

D.以上都不对 D.不确定

(11)已知等比数列?an ?中,公比 q ? 0 ,若 a2 ? 4 ,则 a1 ? a2 ? a3 最值情况为

A.最小值12

B.最大值12

C.最大值 ? 4

D.最小值 ? 4

? (12)已知函数 f (x) = 2x ? b , b ? R ,若 0 f (x) dx ? 2 ,则 b 的值为 ?1

A. ? 8

B. 3

C.1

D. 0

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
注意事项: 1. 第Ⅱ卷共 7 页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中. 2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚.

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上.

(13)下列命题: ①“全等三角形的面积相等”的逆命题;

②“若 ab ? 0 ,则 a ? 0 ”的否命题;

③“正三角形的三个角均为 60? ”的逆否命题,

其中真命题的序号是



(14)不等式| 1? 2x |? 3 的解集为

.

(15)已知函数 f (x) ? (sin x ? cos x)sin x, x ? R ,则 f (x) 的最小正周期是



(16)函数 f (x) ?

1

的定义域是



log2 (x ? 2)

三.解答题:本大题共6小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

(17)(本小题满分 12 分)

已知全集 U = R,非空集合 A ? {x | x ? 2 ? 0} , B ? {x | x ? a 2 ? 2 ? 0}.

x ? (3a ? 1)

x?a

(Ⅰ)当 a

?

1 2

时,求(?U

B

)?

A;

(Ⅱ)命题 p:x ? A ,命题 q:x ? B ,若 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围.

(18)(本小题满分 12 分)
设 f (x) 是 定 义 在 ?2m, 2? m? 上 的 奇 函 数 , 且 对 任 意 a, b??2m, 2 ? m? , 当
a ? b ? 0 时,都有 f (a) ? f (b) ? 0 . a?b
(Ⅰ)求实数 m 的值;
(Ⅱ)解不等式 f (2x ? 3) ? f (x ?1) .

(19)(本小题满分 12 分)

已知正数数列? an ?的前 n 项和为 S n , 2 pSn ? an ? Sn ? p2 (n ? N? , p ? 0, p ? 1) ,

数列? bn ?满足 bn ? 2 log p an ? n log p 4 .

(Ⅰ)求数列? an ?和 ? bn ?的通项公式;

(Ⅱ)当

p

?

1 4

时,

c

n

?

(4 ? bn )an ,求数列? cn ?的前 n

项和Tn .

(20)(本小题满分 12 分)

已知函数 g(x) ? s in2 x 1 ? cosx ? cos2 x 1 ? s inx ,其中 x ? (? , 5? ) ,求函数

1? cosx

1? s inx

4

g(x) 的值域.

(21)(本小题满分 12 分)有一位于 A 处的雷达观测站发现其北偏东 45? ,相距 20 2

海里的 B 处有一货船正以匀速直线行驶,20 分钟后又测得该船只位于点 A 北偏东 45? ? ? (其中 tan? ? 1 ,0? ? ? ? 45? )且与点 A 相距 5 13 海里
5 的位置 C .
(Ⅰ)求该船的行驶速度;
(Ⅱ)在点 A 的正南方 20 海里 E 处有一暗礁(不考虑暗礁的面积),如
果货船继续前行,它是否有触礁的危险?说明理由


?
A
E

B C

(22)(本小题满分 14 分)已知函数 f (x) ? x . ln x
(Ⅰ)求函数 f (x) 的单调减区间和极值;
x
(Ⅱ)当 x ? 1时,若 e e? ? x 恒成立,求实数? 的取值范围.

数学参考答案及评分标准

理科答案

一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分).
BBCDC ACDAB CB
二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分).

(13)②③ (14) (?1,2)

(15) ?

(16) (2,3) ? (3,??)

三.解答题

(17)(本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ)当 a ? 1 时, A ?{x | 2 ? x ? 5 }, B ? {x | 1 ? x ? 9} ,

2

2

2

4

?U

B

={x

|

x

?

1 2

或x

?

9 4

}

,(?U

B

)

?

A

={x

|

9 4

?

x

?

5} . 2

(Ⅱ)由若 q 是 p 的必要条件,即 p ? q ,可知 A ? B .



由 a2 ? 2 ? a ,B={x | a ? x ? a 2 ? 2}

当 3a ?1 ? 2,即 a ? 1 时, A ? {x | 2 ? x ? 3a ?1}, 3

?a ??a

?2 2 ?2

?

3a

?

1

,解得,

1 3

?

a

?

3? 2

5

;

当 3a ?1 ? 2,即 a ? 1 时, A ? ? ,符合题意; 3

当 3a ?1 ? 2 ,即 a ? 1 时, A ? {x | 3a ?1 ? x ? 2}, 3

?a ? 3a ??a2 ? 2

?1 ?2

,解得,

?

1 2

?

a

?

1 3

;

综上,a

?

? ?? ?

1 2

,

3? 2

5

? ?

.

?

2分 4分 6 8分
12 分

(18)(本小题满分 12 分)
解:(Ⅰ)因为 f (x) 是定义在 ?2m,2 ? m?上的奇函数,

所以 2m ? 2 ? m=0 , m ? ?2 .

4分

(Ⅱ)由 m ? ?2 得 f (x) 的定义域为[?4,4 ] ,设 ? 4 ? x1 ? x2 ? 4 ,且 x1 ? x2 ? 0 ,

?x ? x2 ? x1 ? 0 ,

因为 f (x) 为奇函数,所以 ? f (x1) ? f (?x1) ,即 ?y ? f (x2 ) ? f (?x1) ,

又因为 ?x

?

x2

?

x1

?

?

0

,即

? ?

f

(?x1 ) ? (?x1 ) ?

f (x2 ) (x2 )

?

0
,所以

f

(x2 ) ?

f

(? x1 )

?

0,

??(?x1 ) ? x2 ? 0

所以 ?y ? f (x2 ) ? f (x1) ? 0 ,所以,函数 f (x) 在 ?? 4,4?上是单调减函数. 8 分

?? 4 ? 2x ? 3 ? 4, 由 f (2x ? 3) ? f (x ?1) 得 ??? 4 ? x ? 1 ? 4,
??2x ? 3 ? x ? 1,

解得 ? 1 ? x ? 3 , 2

所以原不等式的解集为

? ?

x

?

|

?

1 2

?

x

?

3?? . ?

(19)(本小题满分 12 分)
解:(Ⅰ)当 n ? 1时, 2 pa1 ? a1 ? a1 ? p 2 , p ? 0 (舍)或 p ? 2a1,

12 分

当 n ? 2时, 2 pSn?1 ? an?1

? S n?1 ?

p 2 与 2 pSn

? an

? Sn

?

p 2 相减得 an a n ?1

?

1, 2p

所以,{an }为首项为

p 2

,公比为 1 2p

的等比数列,可得 an

?

p 2?n 2n

.

3分

由 bn ? 2log p an ? 2nlog p 2 ? 2(log p p2?n ? log p 2n ) ? 2nlog p 2=4 ? 2n. 5 分

(Ⅱ)当

p

?

1 4

时,

an

?

4n?2 2n

? 2n?4 , cn

? n ? 2n?3 ,

7分

Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ? 1? 2?2 ? 2 ? 2?1 ? ?? n ? 2n?3

2Tn ? 1? 2?1 ? 2 ? 20 ? ? ? (n ? 1) ? 2n?3 ? n ? 2n?2

以上两式作差得 Tn

?

1 4

? (n ?1) ? 2n?2 .

12 分

(20)(本小题满分 12 分)

解: g(x) ? sin 2 x ? 1 ? cos x ? cos2 x 1 ? sin x

1 ? cos x

1 ? sin x

= sin 2 x ? 1 ? cos x ? cos2 x ? 1 ? sin x

4分

| sin x |

| cos x |

因为 x ? ??? , 5? ?? ,所以| sin x |? ?sin x ,| cosx |? ? cosx , ? 4?

所以, g(x) ? ?sin x(1? cosx) ? cosx(1? sin x)

= ? cosx ? sin x ? 2sin xcosx

令 t ? sin x ? cosx ,则 2sin x cosx ? t 2 ?1,

? ? 由 t ? 2 sin(x ? ? ) ,且? ? x ? 5? ,得 t ? ? 2,?1 ,

4

4

g(x) ? ?cosx ? sin x ? 2sin x cosx

? ? ? ? 可化为 y ? t 2 ? t ?1,t ? ? 2,?1 , y ? 1,1? 2 ? ? 所以函数 g(x) 的值域为 1,1 ? 2 .

6分
10 分 12 分

(21)(本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)如图, AB ? 20 2 , AC ? 5 13 ,

?BAC ? ? , 0? ? ? ? 45? , 由 tan? ? 1 , sec2 ? ? 1? tan2 ? , 5

sec2 ? ? 26 , cos? ? 5 26 ,

2分

25

26


?
A

B C

由余弦定理得, BC = AB2 ? AC2 ? 2AB? ACcos?

= 4分

800 ? 325 ? 2 ? 20 2 ? 5 13 ? 5 26 26

= 55 .

Q

所以货船的行驶速度为 v ? 5 5 ? 15 5 (海里/小时). 1 3

(Ⅱ)如图所示,设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q,
在 ?ABC中,由余弦定理得,

cos B ? AB2 ? BC 2 ? AC 2 = 800 ?125 ? 325 ? 3 10 ,

6分

2AB ? BC

2 ? 20 2 ? 5 5 10

sin B ?

10 , sin Q ? sin(45? ? B) ? sin 45? cos B ? cos 45? sin B ?

5
,

8分

10

5

在 ?ABQ中,由正弦定理得

AB ? AQ , 20 2 ? AQ , AQ ? 20 , sin Q sin B 5 10
5 10
答船继续前行有触礁的危险.

(22)(本小题满分 14 分)

解:(Ⅰ)函数 f (x) ? x 的定义域为 (0,1) ? (1,??) , ln x

f / (x) ? ln x ?1 ,令 f / (x) ? 0 ,解得 x ? e ,列表 ln 2 x

x

e

( 0,1)

(1, e)

(e,??)

f / (x) -



0

+

f (x) 单调递减 单调递减 极 小 值 单调递增 f (e)

12 分 2分

由表得函数 f (x) 的单调减区间为 (0,1) , (1, e) ;极小值为 f (e) = e ,无极大值.

6分

(Ⅱ)因为 x ? 1,所以 ln x ? 0

x
在 e e?

?

x

两边取自然对数,

x e?

? ln x ,即 x ? e? , ln x

由(1)知 x 的最小值为 e ,所以只需 e? ? e ,即? ? 1. ln x

12 分 14 分

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