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2016年广州市普通高中毕业班模拟考试(文科数学)

时间:2016-01-20


2016 年广州市普通高中毕业班模拟考试

文科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第 Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)若全集 U=R,集合 A ? x 0 ? x ? 2 , B ? x x ? 1 ? 0 ,则 A ? ?U B = (A) x 0 ? x ? 1

?

?

?

?

?

?

(B) x 1 ? x ? 2

?

?

(C) x 0 ? x ? 1

?

?

(D) x 1 ? x ? 2
2

?

?

(2)已知 a, b ? R , i 是虚数单位,若 a ? i 与 2 ? bi 互为共轭复数,则 ? a ? bi ? = (A) 5 ? 4i (B) 5+4i (C) 3 ? 4i (D) 3+4i

b ? 1 ,则向量 a 与 b 夹角的大小为 (3)已知 a ? 1 , b ? (0, 2) ,且 a ?
(A)

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

(D)

? 2

(4)已知 E , F , G , H 是空间四点,命题甲: E , F , G , H 四点不共面,命题乙:直线 EF 和 GH 不相交,则甲是乙成立的 (A)必要不充分条件 (C)充要条件 (5)设 a ? log3 7 , b ? 2 , c ? 0.8 ,则
1.1 3.1

(B)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件

(A) b ? a ? c

(B) a ? c ? b

(C) c ? b ? a

(D) c ? a ? b
2

(6)已知 f ? x ? 在 R 上是奇函数,且满足 f ? x ? 4? ? f ? x ? ,当 x ? ? 0,2? 时, f ? x ? ? 2x ,则 f ? 7? ? (A) 2 (B) ?2 (C) ?98 (D) 98

(7)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图与侧视图都是斜边 长为 2 的直角三角形,俯视图是半径为 1 的四分之一圆周和两条 半径,则这个几何体的体积为

3 ? 12 3 (C) ? 4
(A)

3 ? 6 3 (D) ? 3
(B)

俯视图

文科数学试题 第 1 页(共 12 页)

(8)在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? a2 ???? ? an ? 2n ? 1,则 a12 ? a22 ???? ? an 2 等于 (A) (2n ?1)2

(B)

(2n ? 1) 2 3

(C) 4 ? 1
n

(D)

4n ? 1 3

(9)已知 sin ? ?

3 ?? ? ,且 ? ? ? ,? ? ,函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 的图像的相邻两条对称轴之间的 5 ?2 ?

距离等于 (A) ?

? ,则 2

??? f ? ? 的值为 ?4?
(B) ?

3 5

4 5

(C)

3 5

(D)

4 5
开始

(10)执行如图所示的程序框图,输出的结果为 (A) ? ?2 ,2 ? (C) ? ?4 ,? 4 ?
2 2

(B) ? ?4 ,0 ?

x=1,y=1,k=0

? 8? (D) ? 0 ,

s=x-y,t=x+y x=s,y=t

(11)已知双曲线

x y ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0) 的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线 2 a b

距离的 2 倍,则其渐近线方程为 (A) 2 x ? y ? 0 (C) 4 x ? 3 y ? 0 (B) x ? 2 y ? 0

k=k+1 否 k≥3 是 输出(x,y)

(D) 3x ? 4 y ? 0

结束

(12)已知 y ? f ? x ? 为 R 上的连续可导函数,且 xf ? ? x ? ? f ? x ? ? 0 ,则函数 g ? x ? ? xf ? x ? ?1 ? x ? 0 ? 的零点个数为 (A)0 (B)1 (C)0 或 1 (D)无数个

第 Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做答. 第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)函数 y ?

1 的定义域是_____________. x ?1
文科数学试题 第 2 页(共 12 页)

? x ? 0, ? y ? 0, ? (14)设 x , y 满足约束条件 ? 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 x ? y ? ? 1, ? ? ? x ? y ? 3,
*



2 (15) 设数列 ?an ? 的各项都是正数, 且对任意 n ? N , 都有 4Sn ? an 其中 S n 为数列 ?an ? 的前 n 项 ? 2an ,

和,则数列 ?an ? 的通项公式为 an ?



(16)已知以 F 为焦点的抛物线 y 2 =4 x 上的两点 A,B 满足 AF =2 FB ,则弦 AB 中点到抛物线准线的距 离为_________.

uuu r

uur

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 已知 a , b , c 是△ ABC 中角 A , B , C 的对边,且 3cos B cos C ? 2 ? 3sin B sin C ? 2cos A .
2

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若△ ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值.

(18) (本小题满分 12 分) “冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的慈善公益活动,活动规定:被邀请者要么在 24 小时内接受 挑战,要么选择为慈善机构捐款(不接受挑战) ,并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战, 则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容,然后便可以邀请另外 3 个人参与这项活动.假 设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的,且互不影响. (Ⅰ)若某参与者接受挑战后,对其他 3 个人发出邀请,则这 3 个人中至少有 2 个人接受挑战的概率 是多少? (Ⅱ)为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关,某调查机构进行了随机抽样调查,调查得到如下
2 ? 2 列联表:

男性 女性 合计
n ? ad ? bc ?
2

接受挑战 45 25 70

不接受挑战 15 15 30

合计 60 40 100

根据表中数据,能否有 90%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”? 附: K ?
2

? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
P K 2 ≥ k0
k0

?

?

0.100 2.706

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

文科数学试题 第 3 页(共 12 页)

(19) (本小题满分 12 分) 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC ? AA1 ? 3 , BC ? 2 , D 是 BC 的中点, F 是 C1C 上一点. (Ⅰ)当 CF ? 2 时,证明: B1F ⊥平面 ADF ; (Ⅱ)若 FD ? B1D ,求三棱锥 B1 ? ADF 的体积. A1 F C1 B1

C A

D B

(20)(本小题满分 12 分) 定圆 M : x ? 3

?

?

2

? y 2 ? 16 ,动圆 N 过点 F

?

3, 0 且与圆 M 相切,记圆心 N 的轨迹为 E .

?

(Ⅰ)求轨迹 E 的方程; (Ⅱ)设点 A , B , C 在 E 上运动, A 与 B 关于原点对称,且 AC ? CB ,当△ ABC 的面积最小 时,求直线 AB 的方程.

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

mx x ?n
2

? m, n ? R ? 在 x ? 1 处取到极值 2.

(Ⅰ)求 f ? x ? 的解析式; (Ⅱ)设函数 g ? x ? ? ln x ?

a ,若对任意的 x1 ?? ?1,1? ,总存在 x2 ??1,e? ( e 为自然对数的底数) , x 7 使得 g ? x2 ? ? f ? x1 ? ? ,求实数 a 的取值范围. 2

文科数学试题 第 4 页(共 12 页)

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.

(22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图 ?ACB ? 90? , CD ? AB 于点 D ,以 BD 为直径的 e O 与 BC 交于点 E . (Ⅰ)求证: BC ? CE ? AD ? DB ;
o (Ⅱ)若 BE ? 4 ,点 N 在线段 BE 上移动, ?ONF ? 90 ,

C E N A D O B F

NF 与 e O 相交于点 F ,求 NF 的最大值.

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 : ? 数, a ? 0 ). (Ⅰ)若曲线 C1 与曲线 C2 有一个公共点在 x 轴上,求 a 的值; (Ⅱ)当 a ? 3 时, 曲线 C1 与曲线 C2 交于 A , B 两点,求 A , B 两点的距离.

? x ? t ? 1, ? x ? a cos ?, ( t 为参数)与曲线 C2 : ? ( ? 为参 y ? 1 ? 2 t y ? 3sin ? ? ?

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知定义在 R 上的函数 f ? x ? ?| x ? m | ? | x | , m ? N* ,存在实数 x 使 f ( x) ? 2 成立. (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)若 ? , ? ? 1 , f (? ) ? f ( ? ) ? 4 ,求证:

4 1 ? ? 3. ? ?

文科数学试题 第 5 页(共 12 页)

2016 年广州市普通高中毕业班模拟考试 文科数学答案及评分参考
评分说明: 1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内 容比照评分参考制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答 有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题不给中间分. 一.选择题 (1)A (7)A 二.填空题 (13) (?1, ??) (14)3 (15) 2 n (16) (2)D (8)D (3)C (9)B (4)B (10)B (5)D (11)C (6)B (12)A

9 4

三.解答题 (17)解: (Ⅰ)由 3cos B cos C ? 2 ? 3sin Bsin C ? 2cos A ,
2

得 3cos ? B ? C ? ? 2 ? 2cos A .
2

即 2cos A ? 3cos A ? 2 ? 0 .
2

即 (2cos A ? 1)(cos A ? 2) ? 0 .

1 或 cos A ? ?2 (舍去) . 2 ? 因为 0 ? A ? ? ,所以 A ? . ?
解得 cos A ? (Ⅱ)由 S ?

1 3 bc sin A ? bc ? 5 3 ,得 bc ? 20 . 2 4

因为 b ? 5 ,所以 c ? 4 . 由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A ,
2 2 2

得 a ? 25 ? 16 ? 2 ? 20 ?
2

1 =21 , 2
文科数学试题 第 6 页(共 12 页)

故a ?

21 .

a b c ? ? ? 2R , sin A sin B sin C b c 5 得 sin B sin C ? sin A ? sin A ? . a a 7
根据正弦定理 (18)解: (Ⅰ)这 3 个人接受挑战分别记为 A, B, C ,则 A, B, C 分别表示这 3 个人不接受挑战.??1 分 这 3 个人参与该项活动的可能结果为: ? A, B, C? , A, B, C , A, B, C , A, B, C , A, B, C , A, B, C ,

?

? ?
?

? ?

? ?

? ?

?

? A, B, C? , ? A, B, C? .共有 8 种.
其中,至少有 2 个人接受挑战的可能结果有: ? A, B, C? , A, B, C , A, B, C , A, B, C ,共有 4 种. 根据古典概型的概率公式,所求的概率为 P ? (Ⅱ)根据 2 ? 2 列联表,得到 K 的观测值为:
2

? ?

? ?

?

4 1 ? . 8 2

100 ? 45 ?15 ? 25 ?15? K ? ? ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ? 60 ? 40 ? 70 ? 30
2

n ? ad ? bc ?

2

2

?

25 ? 1.79 . 14

因为 1.79 ? 2.706 , 所以没有 90%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”. 广东数学教师 QQ 群:179818939。里面数学资源丰富,研讨数学问题热烈。 (19) (Ⅰ)证明:因为 AB ? AC , D 是 BC 的中点, 所以 AD ⊥ BC . 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 因为 B1B ⊥底面 ABC , AD ? 底面 ABC , 所以 AD ⊥ B1B . 因为 BC ∩ B1B = B , 所以 AD ⊥平面 B1BCC1 . 因为 B1F ? 平面 B1BCC1 , 所以 AD ⊥ B1F . 在矩形 B1BCC1 中,因为 C1F ? CD ? 1 , B1C1 ? CF ? 2 , 所以 Rt?DCF ≌ Rt?FC1B1 . 所以∠ CFD =∠ C1B1F .所以∠ B1FD=90 . (或通过计算 FD ? B1F ? 5 , B1D ? 10 ,得到△ B1FD 为直角三角形) 文科数学试题 第 7 页(共 12 页)
?

所以 B1F ? FD . 因为 AD ∩ FD = D , 所以 B1F ⊥平面 ADF . (Ⅱ)解:因为 AD ? 平面B1DF , AD ? 2 2 , 因为 D 是 BC 的中点,所以 CD ? 1 . 在 Rt △ B1BD 中, BD ? CD ? 1 , BB1 ? 3 , 所以 B1 D ?

BD 2 ? BB12 ? 10 .

因为 FD ? B1D , 所以 Rt?CDF ∽ Rt?BB1D . 所以

DF CD . ? B1D BB1
1 10 . ? 10 ? 3 3
1 1 1 10 10 2 . S?B1DF ? AD ? ? ? ? 10 ? 2 2 ? 3 3 2 3 9

所以 DF ?

所以 VB1 ? ADF ?

(20)解: (Ⅰ)因为点 F

?

3, 0 在圆 M : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 16 内,所以圆 N 内切于圆 M .

?

因为 | NM | ? | NF |? 4 ?| FM | , 所以点 N 的轨迹 E 是以 M ? 3, 0 , F 且 2a ? 4, c ? 3 ,所以 b ? 1 . 所以轨迹 E 的方程为

?

?

?

3, 0 为焦点的椭圆,

?

x2 ? y 2 ? 1. 4

(Ⅱ) (1)当 AB 为长轴(或短轴)时,依题意知,点 C 就是椭圆的上下顶点(或左右顶点) ,

1 ? | OC | ? | AB |? 2 . 2 (2)当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时,
此时 S?ABC ? 设其斜率为 k ,直线 AB 的方程为 y ? kx ,

? x2 2 4 4k 2 ? ? y ? 1, 2 2 , y ? , 联立方程 ? 4 得 xA ? A 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ? y ? kx, ?
2 2 所以 | OA | ? x A ? y A ?
2

4(1 ? k 2 ) . 1 ? 4k 2
文科数学试题 第 8 页(共 12 页)

由 | AC |?| CB | 知,△ ABC 为等腰三角形, O 为 AB 的中点, OC ? AB ,

? x2 ? y 2 ? 1, ? 1 ?4 所以直线 OC 的方程为 y ? ? x ,由 ? k ? y ? ? 1 x, ? k ?
解得 xC ?
2

4k 2 4(1 ? k 2 ) 4 2 2 , | OC | ? . y ? , C k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4

S?ABC ? 2S?OAC ?| OA | ? | OC |?

4(1 ? k 2 ) 4(1 ? k 2 ) 4(1 ? k 2 ) ? ? . 1 ? 4k 2 k2 ? 4 (1 ? 4k 2 )(k 2 ? 4)

由于 (1 ? 4k )(k ? 4) ?
2 2

(1 ? 4k 2 ) ? (k 2 ? 4) 5(1 ? k 2 ) ? , 2 2

所以 S ?ABC… ,
2 2 当且仅当 1 ? 4k ? k ? 4 ,即 k ? ?1 时等号成立,

8 5

此时△ ABC 面积的最小值是 因为 2 ?

8 . 5

8 8 ,所以△ ABC 面积的最小值为 , 5 5

此时直线 AB 的方程为 y ? x 或 y ? ?x . 广东数学教师 QQ 群:179818939。里面数学资源丰富,研讨数学问题热烈。 (21)解:(Ⅰ)因为 f ? x ? ?

mx , x ?n m( x 2 ? n) ? 2mx 2 ?mx 2 ? mn 所以 f ?( x) ? . ? ( x 2 ? n) 2 ( x 2 ? n) 2 由 f ? x ? 在 x ? 1 处取到极值 2,
2

? mn ? m ? 0, ? ? (1 ? n) 2 所以 f ? ?1? ? 0 , f ?1? ? 2 ,即 ? ? m ? 2. ? ? 1? n
解得 m ? 4 , n ? 1 . 经检验,此时 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极值. 所以 f ( x) ?

4x . x ?1
2

文科数学试题 第 9 页(共 12 页)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ?( x) ?

?4( x ? 1)( x ? 1) ,故 f ? x ? 在 (?1,1) 上单调递增, ( x 2 ? 1) 2

由 f (1) ? 2, f (?1) ? ?2 故 f ? x ? 的值域为 ? ?2, 2? . 从而 f ( x1 ) ?

7 3 ? . 2 2 7 3 成立,只须 g ( x )最小值 ? . 2 2

所以总存在 x2 ??1,e? ,使得 g ? x2 ? ? f ? x1 ? ?

函数 g ( x) ? ln x ?

1 a x?a a 的定义域为 ? 0, ??? ,且 g ?( x) ? ? 2 ? . x x x2 x

①当 a ? 1 时, g ?( x ) >0,函数 g ? x ? 在 ?1,e? 上单调递增, 其最小值为 g (1) ? a ? 1 ?

3 ,符合题意. 2

②当 1 ? a ? e 时,在 ?1, a ? 上有 g ?( x) ? 0 ,函数 g ? x ? 单调递减,在 ? a, e? 上有 g ?( x) ? 0 ,函数 g ? x ? 单调递增,所以函数 g ? x ? 的最小值为 g (a) ? ln a ? 1 . 由 ln a ? 1 ?

3 ,得 0 ? a ? e .从而知 1 ? a ? e ,符合题意. 2

③当 a ? e 时,显然函数 g ( x) 在 ?1,e? 上单调递减,

a 3 ? 2 ? ,不合题意. e 2 综上所述, a 的取值范围为 ??, e ? . ?
其最小值为 g (e) ? 1 ?

?

(22)解: (Ⅰ) 在 ?ACB 中, ?ACB ? 90 , CD ? AB 于点 D ,
?
2 所以 CD ? AD ? DB ,

因为 CD 是圆 O 的切线,
2 由切割线定理得 CD ? CE ? CB .

所以 CE ? CB ? AD ? DB . (Ⅱ)因为 ON ? NF ,所以 NF ? OF 2 ? ON 2 . 因为线段 OF 的长为定值,即需求解线段 ON 长度的最小值. 弦中点到圆心的距离最短,此时 N 为 BE 的中点,点 F 与点 B 或 E 重合. 因此 NF
max

?

1 BE ? 2 . 2
文科数学试题 第 10 页(共 12 页)

(23)解: (Ⅰ)曲线 C1 : ?

? x ? t ? 1, 的直角坐标方程为 y ? 3 ? 2 x . ? y ? 1 ? 2t

曲线 C1 与 x 轴交点为 ?

?3 ? ,0? . ?2 ?

? x ? a cos ? , x2 y 2 ? 1. 曲线 C2 : ? 的直角坐标方程为 2 ? a 9 ? y ? 3sin ?
曲线 C2 与 x 轴交点为 (?a,0),(a,0) . 由 a ? 0 ,曲线 C1 与曲线 C2 有一个公共点在 x 轴上,知 a ? (Ⅱ)当 a ? 3 时, 曲线 C2 : ?

3 . 2

? x ? 3cos ? , 为圆 x 2 ? y 2 ? 9 . y ? 3sin ? ?

圆心到直线 y ? 3 ? 2 x 的距离 d ?

3 2 ?1
2 2

?

3 5 . 5
2

? 3 5 ? 12 5 所以 A, B 两点的距离 AB ? 2 r ? d ? 2 9 ? ? . ? 5 ? ? ? 5 ? ?
2 2

(24)解: (Ⅰ)因为 | x ? m | ? | x |? ( x ? m) ? x ? m . 要使不等式 | x ? m | ? | x |? 2 有解,则 | m |? 2 ,解得 ?2 ? m ? 2 . 因为 m ? N* ,所以 m ? 1 . (Ⅱ)因为 ? , ? ? 1 , 所以 f (? ) ? f ( ? ) ? 2? ? 1 ? 2? ? 1 ? 4 ,即 ? ? ? ? 3 .

所以

4

?

?

1? 4 1 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 3?? ? ? 1
4? ? ? 1 ? 4? ? ? 1 ? 5 ? 2 . ? ? 3. ? ?5 ? ? ?? ? ? ?? 3? ? ? ? 3? ? ?

(当且仅当

4?

?

?

? 时,即 ? ? 2 , ? ? 1 等号成立) ?



4

?

?

1

?

? 3.
文科数学试题 第 11 页(共 12 页)

文科数学试题 第 12 页(共 12 页)


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