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2019版高考数学一轮复习第七章立体几何第45讲立体几何中的向量方法二求空间角和距离课件201805072169_图文

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第 七 章 立体几何 第45讲 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离 考纲要求 能用向量方法解决直线与 直线、直线与平面、平面 与平面的夹角的计算问 考情分析 2017·全国卷Ⅰ,18 2017·全国卷Ⅱ,19 2017·全国卷Ⅲ,19 2017·江苏卷,22 分值:6~8分 命题趋势 用向量法证明线线、线面、面 面的平行与垂直,用向量法求 空间角和空间距离,用向量法 解决探索性问题. 题,了解向量方法在研究 立体几何问题中的应用. 栏目导航 板 块 一 板 块 二 板 块 三 1.两条异面直线所成角的求法 设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则 l1 与 l2 所成的角 θ 范围 求法 ? π? ? ? 0 , ? 2? ? ? a 与 b 的夹角 β (0,π) a· b cos β= |a||b| |a· b| |a||b| cos θ=____________ 2.直线与平面所成角的求法 设直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,直线 l 与平面 α 所成角为 θ,a |a· n| |a||n| 与 n 的夹角为 β,则 sin θ=|cos β|=____________. 3.求二面角的大小 (1)如图①,AB,CD 分别是二面角 α-l-β 的两个面内与棱 l 垂直的直线,则二 → → 〈AB,CD〉 面角的大小 θ 为____________. (2)如图②③,n1,n2 分别是二面角 α-l-β 的两个半平面 α,β 的法向量,则二 |cos 〈n1,n2〉| ,二面角的平面角大小是向量 n1 与 n2 面角的大小 θ 满足|cos θ|=________________ 的夹角(或其补角). 4.利用空间向量求距离(供选用) (1)两点间的距离 设 点 A(x1 , y1 , z1) , 点 → B(x2 , y2 , z2) , 则 |AB| = | AB | = 2 2 2 ? x - x ? + ? y - y ? + ? z - z ? 2 1 2 1 2 1 ________________________________. (2)点到平面的距离 如图所示,已知 AB 为平面 α 的一条斜线段,n 为平面 α 的法向量,则 B 到平面 → n| → |AB· α 的距离为|BO|= . |n| 1.思维辨析(在括号内打“√”或“× ”). (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( × ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( × ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( × ) ? ? π? π? ? ? ? (4)两异面直线夹角的范围是?0,2?,直线与平面所成角的范围是?0,2? ?,二面角 ? ? ? ? 的范围是[0,π].( √ ) 2.已知向量 m,n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量和法向量,若 cos〈m,n〉 1 =- ,则 l 与 α 所成的角为( A ) 2 A.30° C.120° B.60° D.150° 1 解析 ∵cos 〈m,n〉=- ,0° ≤〈m,n〉≤180° , 2 ∴〈m,n〉=120° ,∴l 与 α 所成角为 90° -(180° -120° )=30° ,故选 A. 3.正三棱柱(如右图,底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1 的底面 30° 边长为 2,侧棱长为 2 2,则 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为__________. 解析 取 A1B1 的中点 E, 连接 C1E, AE, 由正三棱柱性质得平面 A1B1C1 ⊥平面 A1B1BA, 又∵C1E⊥A1B1,A1B1 是平面 A1B1C1 与平面 A1B1BA 的交线, ∴C1E⊥平面 A1B1BA,则∠C1AE 为所求. 又∵A1B1=2,AA1=2 2,∴AE=3,C1E= 3, C1 E 3 ∴tan ∠C1AE= = ,∴∠C1AE=30° ,∴AC1 与平面 ABB1A1 所成角为 30° . AE 3 4.二面角的棱上有 A,B 两点,直线 AC,BD 分别在这个二面角的两个半平面 内,且都垂直于 AB.已知 AB=4,AC=6,BD=8,CD=2 17,则该二面角的大小 60° 为____________. → → → → → → → → 解析 由条件,知CA· AB=0,AB· BD=0,CD=CA+AB+BD, → 2 → 2 →2 → 2 → → → → → → ∴ | CD | = | CA | + | AB | + | BD | + 2 CA · AB + 2 AB · BD + 2 CA · BD = 62 + 42 + 82 + → → 2×6×8cos 〈CA,BD〉=(2 17)2, 1 → → → → ∴cos 〈CA,BD〉=- ,即〈CA,BD〉=120° ,∴二面角的大小为 60° . 2 5 . P 是二面角 α - AB - β 棱上一点,分别在平面 α , β 上引射线 PM , PN ,如果 ∠ BPM = ∠ BPN = 45° , ∠ MPN = 60° , 那 么 二 面 角 α - AB - β 的 大 小 为 90° ____________. 解析 过 AB 上一点 Q 分别在 α,β 内作 AB 的垂线,交 PM,PN 于 M,N,则∠ MQN 为二面角 α-AB-β 的平面角.设 PQ=a, ∵∠BPM=∠BPN=45° ,∴QM=QN=a,PM=PN= 2a. 又∠MPN=60° ,知△PMN 为正三角形,则 MN= 2a, 解三角形 QMN,易知∠MQN=90° . 一 求异面直线所成的角 用向量法求异面直线所成角的一般步骤 (1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系;(2)确定异面直线上两个点的

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