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1.走进美妙的数学世界(含答案)-

时间:2012-08-03


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1.走进美妙的数学世界
知识纵横 从蛮荒时代的结绳计数到现代通讯和信息时代神奇的数学,?人类任何时候都受到数 学的恩惠和影响,数学科学是人类长期以来研究数、?量的关系和空间形式而形成的庞大科 学体系. 走进美妙的数学世界,我们将一起走进崭新的“代数”世界,?不断扩充的数系、奇妙 的字母表示数、威力巨大的方程、不等式模型、运动变化的函数观念; 走进美妙的数学世界,我们将一起走进丰富的“图形”世界,拼剪、折叠、平移、旋 转,在操作与实验活动中,发现这些图形的奇妙的性质,用它们设计精美的图案; 走进美妙的数学世界,我们将畅游在无边的“数据”世界,从图表中获取信息,并选 择合适的图表来表达数据和信息; 走进美妙的数学世界,它将开阔我们的视野,它提醒我们有无形的灵魂,它改变我们 的思维方式,它涤尽我们的蒙昧与无知。 诺贝尔奖获得者、著名物理学家杨振宇说: “我赞美数学的优美和力量,它有战术的 机巧与灵活,又有战略上的雄才远虑,而且,奇迹的奇迹,它的一些美妙概念竟是支配物 理世界的基本结构。 ” 例题求解 【例 1】 (1)我们平常用的数是十进制数,如 2639=2×103+6×102+3×10+9,表示十进制 的数要用 10 个数的数码(又叫数字):0,1,2,3??9,在电子计算机中用的是二进制,只要两 个数码 0 和 1,如二进制中 101=1×22+0×21+1 等于十进制的数 5,?那么二进制中的 1101 等 于十进制的数_________. (2001 年浙江省金华市中考题) (2)探究数学“黑洞”“黑洞”原指非常奇怪的天体,它体积小,密度大,?吸引力强, : 任何物体到了它那里都别想再“爬”出来,无独有偶,数字中也有类似的“黑洞” ,满足 某种条件的所有数,通过一种运算,都能被它吸进去,无一能逃脱它的魔掌,譬如:任意 找一个3的倍数的数, 先把这个数的每一个数位上的数字都立方, 再相加, 得到一个新数, 然后把这个新数的每一个数位上数字再立方、求和??,重复运算下去,就能得到一个固 定的数 T=__________,?我们称之为数字“黑洞” 。(2003 年青岛市中考题) 思路点拨 (1)从阅读中可知,无论何种进制的数都可表示与数位上的数字、?进制值 有关联的和的形式;(2)从一个具体的数操作,发现规律. 解:(1)13;(2)153. 【例 2】A、B、C、D、E、F 六个足球队进行单循环比赛,当比赛到某一天时,?统计 出 A、B、C、D、E 五队已分别比赛了 5、4、3、2、1 场球,则还没有与 B?队比赛的球队是 ( ) A.C 队 B.D 队 C.E 队 D.F 队 (第 18 届江苏省竞赛题) 思路点拨: 用算术或代数方法解,易陷入困境.用 6 个点表示 A、B、C、D、E、?F 这 6 个足球队,若两队已经赛过一场,就在相应的两个点之间连一条线,?这样用图来辅助解 题,形象而直观。
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解:选 C.

【例 3】校教具制造车间有等腰直角三角形、正方形、?平行四边形三种废塑料板若 干,数学兴趣小组的同学利用其中7块,恰好拼成了一个矩形(如图①)。后来,又用它们 分别标出X、Y、Z等字母模型(如图②,图③,图④),如果每块塑料板保持图①的标号 不变,请你参与:

(1)将图②中每块塑料板对应的标号填上去; (2)图③中,只画出了标号 7 的塑料板位置,请你适当画线,找出其他 6 块塑料板,?并填 上标号; (3)在图④中,请你适当画线,找出 7 块塑料板,并填上标号.(2002 年烟台市中考题) 思路点拨 动手实验、操作,从对图形分割入手。 解:

【例 4】根据图①和图②回答问题:

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图①1997 年高新技术产业工业 总产值的分布情况

图②2000 年高新技术产业工业 总产值的分布情况

(1)1997 年与 2000 年相比,产值比重减少最多的是哪个产业? (2)假定 2000 年光机电一体化的产值是 1997 年的 2 倍,那么 2000?年高新技术产业工 业总产值比 1997 年增长率是多少? (3)2000 年与 1997 年相比高新技术产业生产值总额增加最多的是哪个产业? (2003 年中央国家机关公务员录用考试行政职业能力倾向试卷试题) 思路点拨 从给定的扇形统计图表中获取信息,?须注意的是扇形统计图表示的是某 一部分占总体的百分比(或称某一部分的比重),因此,需要引入字母表示某种产值的具体 数额,计算推理判断. 解:(1)生物及医药制品. (2)设 1997 年的总产值为 x,则 2000 年的总产值比 1997 年的增长率为 (2x·11.94%÷14.59%-x)÷x·100%=64% (3)假设 1997 年和 2000 年的总产值分别为 a 和 b,某种产业的产值在这两年中的比重 分别为全年的 x%和 y%,则这种产品的产值额的增加量可表示为 b·y%-a·x%=(b-a)y%+a(y%-x%), 将每种产业相应的 x 和 y 代入式中可得电子信息产业的产值增加最多. 【例 5】一个四位数,这个四位数与它的各位数字之和是 1999,求这个四位数,并说明 理由. (重庆市竞赛题) 思路点拨 设所求的四位数为 abcd,由题意可得关于 a、b、c、d 的一个等式,运用估 算、讨论、枚举等方法,分别求出 a、b、c、d 的值。 解:提示:设这个四位数为 abcd,依题意得: 1000a+100b+10c+d+a+b+c+d=1999,即 1001a+101b+11c+2d=1999. (1)显然 a=1,否则,1001a>2000,得 101b+11c+2d=998 (2)因为 11c+2d 的最大值为 99+18=117,故 101b≥998-117=881,有 b=9, 则 11c+2d=998-909=89. (3)由于 0≤2d≤18,则 89-18=71≤11c≤89,故 c=7 或 c=8. 当 c=7 时,11c+2d=77+2d=89,有 d=6; 当 c=8 时,11c+2d=88+2d=89,有 d= 故这个四位数是 1976.
1 2

(舍去)

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学力训练 一、基础夯实: 1.观察下列顺序排列的等式: 9×0+1=1, 9×1+2=11 9×2+3=21, 9×3+4=31 9×4+5=41, ? 猜想:第 n 个等式应为___________. (2003 年北京市中考题) 2.如图,是用火柴棍摆出的一系列三角形图案,按这种方式摆下去,?当每边上摆 20(即 n=20 时),需要的火柴棍总数为_______根. (2003 年河北省中考题)

3.世界杯中,中国男足与巴西、土耳其、哥斯达黎加队同分在C组.赛前,50?名球迷就 C 组 哪支球队将以小组第二名进入十六强进行竞赛,统计结果如图,?认为中国队将以小组第 二名的身份进入十六强的人数占的百分比为_______.(?第十四届 “希望杯” 邀请赛试题)

4.自然数 a、 c、 e 都大于 1,其乘积 abcde=2000,则其和 a+b+c+d+e?的最大值为________, b、 d、 最小值为________. 5.若一个正整数 a 被 2,3?,9 这八个自然数除,所得的余数都为 1,则 a 的最小值是 ________,a 的一般表达式为_________. 6.3 个质数 p、q、r 满足 p+q=r,且 P<q,那么 p 等于( ) A.2 B.3 C.7 D.13 7.如果有 2003 名学生排成一列,按 1,2,3,4,3,2,1,2,3,4,3,2,?的规律报数,那么第 2003 名学生所报的数是( ). A.1 B.2 C.3 D.4 8.如图,有两张形状、 大小完全相同的直角三角形纸片(同一 个直角三角形的两条直角边不相等),把两个三角形相等 的边靠在一起(两张纸片不重叠),?可以拼出若干种图形, 其中,形状不同的四边形有( ).
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A.3 种 B.4 种 C.5 种 D.6 种 9.下面四个图形每个均由六个相同的小正方形组成,折叠后能围成正方体的是(

)

10.设“●”“▲”“■”表示三种不同的物体,?用天平比较它们质量的大小,两次情况 、 、 如图所示,那么●、▲、■这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为( ). A.■、●、▲ B.■、▲、● C.▲、●、■ D.▲、■、●

二、能力拓展: 11.用一个两位数去除 2003,余数是 8,这样的两位数共有________个,?其中最大的两位数 是_______. + + 12.如果 a、 是任意 2 个不等于零的数,定义运算○如下(其余符号意义如常):?a○b= b + + + + 那么[1○(2○3)]-[(1○2)○3]的值是_________. 13.如图,把一个面积为 1 的正方形等分成两个面积为 按着把面积为 积为
1 4 1 2 1 2

a

2



b

的矩形,

的矩形等分成两个面积为
1 8

1 4

的矩形,再把面

的矩形等分成两个面积为

的矩形,?如此进行下去.

试利用图形揭示的规律计算:
1 2

+

1 4

+

1 8

+

1 16

+

1 32

+

1 64

+

1 128

+

1 256

=___________.

(2002 年南宁市中考题)

14.观察下图,三菱柱有 5 个面 6 个顶点 9 条棱,四棱柱有 6 个面 8 个顶点 12 条棱,?五棱柱 有 7 个面 10 个顶点 15 条棱?由此可推测 n 棱柱有(n+2)个面______个顶点_____条棱.

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15.某专卖店在统计 2003 年第一季度的销售额时发现,二月份比一月份增加 10%,三月份比 二月份减少 10%,那么三月份比一月份( ) (2003 年河南省中考题) A.增加 10% B.减少 10% C.不增不减 D.减少 1% 2 1 16.三进位制数 201 可用十进位制数表示为 2×3 +0×3 +1=2×9+0+1=19;二进位制数 1011 可用十进位制数表示为 1×23+0×22+1×2+1=8+0+2+1=?11.?现有三进位制数 a=221,二 进位制数 b=10111,则 a 与 b 的大小关系为( ) A.a>b B.a=b C.a<b D.不能确定 (重庆市竞赛题) 17.某学生骑自行车上学,开始以某一速度匀速行进,中途由于自行车发生故障,停下修车 耽误了几分钟.为了按时到校,他加快了速度,但仍然保持匀速行进,?结果准时到校.他 骑自行车行进的路程 s 与行进的时间 t 的关系有如下四种示意图,其中正确的是( )

18.把 14 个棱长为 1 的正方体,在地面上叠成如图所示的立体,然后将露出的表面部分染成 红色,那么红色部分的面积为( ) A.21 B.24 C.33 D.37

19.如图,有两个正方形的花坛,准备把每个花坛都分成形状相同的四块,种不同的花草.下 面左边的两个图案是设计示例,请你在右边的两个正方形中再设计两个不同的图案. (2003 年苏州市中考题) 请你设计:

20.根据图 a 和图 b 回答问题: 国内生产总值变动图(单位:万亿元) 国家财政支出变动图(单位:千亿元) (1)1998 年我国国内生产总值比 1995 年大约增加了多少?
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(2)1998 年我国财政支出规模(财政支出/国内生产总值)大约是多少? (3)已知 1999 年国内生产总值为 8.5 万亿元,?在这几年中国内生产总值增长最快的是 哪一年度? (2002 年中央国家机关公务员录用考试行政职业能力倾向试卷试题)

三、综合创新: 21.有一批影碟机(VCD)原售价:800 元/台.甲商场用如下办法促销: 购买台数 每台价格 1~5 台 760 元 6~10 台 720 元 11~15 台 680 元 16~20 640 元 20 台以上 600 元

乙商场用如下办法促销:每次购买 1~8 台,每台打九折;每次购买 9~16 台,?每台打 八五折;每次购买 17~24 台,每台打八折;每次购买 24 台以上,每台打七五折: (1)请仿照甲商场的促销列表,列出到乙商场购买 VCD?的购买台数与每台价格的对 照表; (2)现在有 A、B、C 三个单位,A 单位要买 10 台 VCD,B 单位要买 16 台 VCD,C 单位要 买 20 台 VCD,问他们到哪家商场购买花费较少? (第 14 届“希望杯”邀请赛试题)

22.如图是一张“3×5”(表示边长分别为 3 和 5)的长方形,现要把它分成若干张边长为整 数的长方形(包括正方形)纸片,并要求分得的任何两张纸片都不完全相同. (1)能否分成 5 张满足上述条件的纸片?
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(2)能否分成 6 张满足上述条件的纸片? 若能分,用“a×b”的形式分别表示出各张纸片的边长,并画出分割的示意图;?若不能 分,请说明理由. (第 17 届江苏省竞赛题)

【学力训练】(答案) 1.9(n-1)+n=10n-9 2.630 3.
18 50

=36% 4.133,23 2000=24?×53 ?

5.?2520,?a=2520n+1 6.A 7.C 8.B 9.C 10.C 11.6 个,95 这个两位数一定是 2003-8=1995 的约数,而 1995=3×5×7×19 12.
2 3

13.

255 256

14.观察图形数据,归纳其中规律得:n 棱柱有(n+2)个面,2n 个顶点,3n?条棱.? ? 15.D 16.A 17.C S 不会随 t 的增大则减小,修车所耽误的几分钟内,路程不变,?修完车 后继续匀速行进,路程应增加. 18.C 9+3×4+2×4+1×4=33. 19.略 20.(1)(80-59)÷59×100%≈36% (2)13÷80×100%≈16% ? (3)?1995?年~1996 年的增长率为(68-59)÷59×100%≈15%, 同样的方法可得其他年度的增长率,增长率最高的是 1995 年~1996 年度. 21.(1)乙商场的促销办法列表如下: 购买台数 111~8 台 每台价格 720 元 9~16 台 680 元 17~24 台 640 元 24 台以上 600 元

(2)比较两商场的促销办法,可知: 购买台数 选择商场 1~5 台 乙 6~8 台 甲、乙
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9~10 台 乙

11~15 台 甲、乙

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购买台数 选择商场

16 台 甲

17~19 台 甲、乙

20~24 台 甲

24 台以上 甲、乙

因为到甲商场买 21 台 VCD 时共需 600×21=12600 元,而到乙商场买 20?台 VCD?共需 640×20=12800 元,12800>12600, 所以购买 20 台 VCD 时应去甲商场购买. 所以 A 单位应到乙商场购买,B 单位应到甲商场购买,C 单位应到甲商场购买. 22.(1)把可分得的边长为整数的长方形按面积从小到大排列,有 1×1,1×2,1×3,1×4,2×2,1×5,2×3,2×4,3×3,2×5,3×4,3×5. 若能分成 5 张满足条件的纸片,因为其面积之和应为 15,所以满足条件的有 1×1,1×2,1×3,1×4,1×5(如图①)或 1×1,1×2,1×3,2×2,1×5(如图②)

图①

图②

(2)若能分成 6 张满足条件的纸片,则其面积之和仍应为 15,?但上面排在前列的 6 个长 方形的面积之和为 1×1+1×2+1×3+1×4+2×2+1×5=19>15.所以分成 6?张满足条件的纸 片是不可能的.

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