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2014届高考数学(理)一轮复习课件:第二篇_函数与基本初等函数Ⅰ第1讲_函数及其表示)_图文

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第1讲 函数及其表示

【2014 年高考会这样考】 1.主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法. 2.考查分段函数的简单应用. 3.由于函数的基础性强,渗透面广,所以会与其他知识结合考 查. 【复习指导】 正确理解函数的概念是学好函数的关键, 函数的概念比较抽象, 应通过适量练习弥补理解的缺陷,纠正理解上的错误.本讲复 习还应掌握:(1)求函数的定义域的方法;(2)求函数解析式的基 本方法;(3)分段函数及其应用.

基础梳理 1.函数的基本概念 (1)函数的定义:设A、B是非空数集,如果按照某种确定的对 应关系f,使对于集合A中的 有

任意

一个数x,在集合B中都

唯一

确定的数f(x)和它对应,那么称f:A→B为从集合A

到集合B的一个函数,记作:y=f(x),x∈A.

(2)函数的定义域、值域 在函数y=f(x),x∈A中,x叫自变量,x的取值范围A叫做
定义域

,与x的值对应的y值叫函数值,函数值的集合

{f(x)|x∈A}叫值域.值域是集合B的子集. (3)函数的三要素:定义域、值域和对应关系. (4)相等函数:如果两个函数的定义域和
对应关系

完全一

致,则这两个函数相等;这是判断两函数相等的依据.

2.函数的三种表示方法 表示函数的常用方法有:解析法、列表法、 图象法 3.映射的概念 一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应 关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有
唯一



确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从

集合A到集合B的一个映射.

(2)函数的定义域、值域 在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做 函数的 定义域 ;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数 .显然,值域是集合

值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 值域 B 的子集. (3)函数的三要素: 定义域 、值域
定义域

和 对应法则



(4)相等函数:如果两个函数的

和 对应法则 完

全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.

一个方法 求复合函数y=f(t),t=q(x)的定义域的方法: ①若y=f(t)的定义域为(a,b),则解不等式得a<q(x)<b即可求 出y=f(q(x))的定义域;②若y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求 出g(x)的值域即为f(t)的定义域. 两个防范 (1)解决函数问题,必须优先考虑函数的定义域. (2)用换元法解题时,应注意换元前后的等价性.

三个要素 函数的三要素是:定义域、值域和对应关系.值域是由函数的 定义域和对应关系所确定的.两个函数的定义域和对应关系完 全一致时,则认为两个函数相等.函数是特殊的映射,映射 f:A→B的三要素是两个集合A、B和对应关系f.

双基自测 1.(人教A版教材习题改编)函数f(x)=log2(3x+1)的值域为 ( A.(0,+∞) C.(1,+∞) 解析 ∵3x+1>1, ∴f(x)=log2(3x+1)>log21=0. 答案 A B.[0,+∞) D.[1,+∞) ).

2.(2011· 江西)若f(x)=

1 ,则f(x)的定义域为 1 log2?2x+1? ( ).

? 1 ? A.?-2,0? ? ? ? 1 ? C.?-2,+∞? ? ?

? 1 ? B.?-2,0? ? ?

D.(0,+∞)

解析

1 由log (2x+1)>0,即0<2x+1<1, 2

1 解得-2<x<0. 答案 A

3.下列各对函数中,表示同一函数的是( A.f(x)=lg x2,g(x)=2lg x x+1 B.f(x)=lg ,g(x)=lg(x+1)-lg(x-1) x-1 C.f(u)= 1+u ,g(v)= 1-u 1+v 1-v

).

D.f(x)=( x)2,g(x)= x2 答案 C

4.(2010· 陕西)某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人 推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名 代表.那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关 系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为 ( ).
?x+3? ? B.y=? ? 10 ? ? ? ?x+5? ? D.y=? ? 10 ? ? ?

?x? A.y=?10? ? ? ?x+4? ? C.y=? ? 10 ? ? ?

解析 根据规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10 的余数大于6时再增选一名代表,即余数分别为7、8、9时可增
?x+3? ? 选一名代表.因此利用取整函数可表示为y=? ? 10 ?.故选B. ? ?

答案 B

5.函数y=f(x)的图象如图所示.那么,f(x)的定义域是 ________;值域是________;其中只与x的一个值对应的y值的 范围是________.

解析 任作直线x=a,当a不在函数y=f(x)定义域内时,直线x =a与函数y=f(x)图象没有交点;当a在函数y=f(x)定义域内 时,直线x=a与函数y=f(x)的图象有且只有一个交点. 任作直线y=b,当直线y=b与函数y=f(x)的图象有交点,则b 在函数y=f(x)的值域内;当直线y=b与函数y=f(x)的图象没有 交点,则b不在函数y=f(x)的值域内. 答案 [-3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]

考向一 求函数的定义域 【例1】?求下列函数的定义域: |x-2|-1 (1)f(x)= ; log2?x-1? ln?x+1? (2)f(x)= . 2 -x -3x+4 [审题视点] 理解各代数式有意义的前提,列不等式解得.

?|x-2|-1≥0, ? 解 (1)要使函数f(x)有意义,必须且只须?x-1>0, ?x-1≠1. ? 解不等式组得x≥3,因此函数f(x)的定义域为[3,+∞).
?x+1>0, ? (2)要使函数有意义,必须且只须? 2 ?-x -3x+4>0, ? ?x>-1, ? 即? ??x+4??x-1?<0, ?

解得:-1<x<1.

因此f(x)的定义域为(-1,1).

求函数定义域的主要依据是 (1)分式的分母不能为零;(2)偶次方根的被开方式其值非负; (3)对数式中真数大于零,底数大于零且不等于1.

【训练1】

(2012· 天津耀华中学月考)(1)已知f(x)的定义域为

? 1 1? ? 1? 2 ?- , ?,求函数y=f?x -x- ?的定义域; 2? ? 2 2? ?

(2)已知函数f(3-2x)的定义域为[-1,2],求f(x)的定义域. 1 解 (1)令x -x-2=t,
2

?? 1 ? 知f(t)的定义域为?t?-2 ?? ?

? 1? ≤t≤2?, ? ?

1 2 1 1 ∴- ≤x -x- ≤ , 2 2 2

?x2-x≥0, ? 整理得? 2 ?x -x-1≤0 ?

?x≤0或x≥1, ? ??1- 5 1+ 5 ? 2 ≤x≤ 2 , ? 5 ? ? 1+ 5? ? ? ? ,0?∪?1, 2 ?.
? ? ?

?1- ∴所求函数的定义域为? ? 2 ?

(2)用换元思想,令3-2x=t, f(t)的定义域即为f(x)的定义域, ∵t=3-2x(x∈[-1,2]),∴-1≤t≤5, 故f(x)的定义域为[-1,5].

考向二
?2 ? 【例2】?(1)已知f?x+1?=lg ? ?

求函数的解析式 x,求f(x);

(2)定义在(-1,1)内的函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求 函数f(x)的解析式. [审题视点] (1)用代换法求解;(2)构造方程组求解.

2 2 解 (1)令t=x +1,则x= , t-1 2 2 ∴f(t)=lg ,即f(x)=lg . t-1 x-1 (2)x∈(-1,1)时,有2f(x)-f(-x)=lg(x+1).① 以-x代x得,2f(-x)-f(x)=lg(-x+1).② 由①②消去f(-x)得 2 1 f(x)=3lg(x+1)+3lg(1-x),x∈(-1,1). 求函数解析式的方法主要有:(1)代入法;(2)换元 法;(3)待定系数法;(4)解函数方程等.

【训练2】 (1)已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,且f(x+1)=f(x) +x+1,试求f(x)的表达式. 1 (2)已知f(x)+2f( )=2x+1,求f(x). x 解 (1)由题意可设f(x)=ax2+bx(a≠0),则

a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1 ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1
?2a+b=b+1, ? ∴? ?a+b=1, ?

1 1 解得a= ,b= . 2 2

1 2 1 因此f(x)=2x +2x.

?1? ? ?f?x?+2f?x ?=2x+1, ? ? (2)由已知得? ? ? ?f?1?+2f?x?=2+1, x ? ?x ?

?1? 消去f?x ?, ? ?

4+x-2x2 得f(x)= . 3x

考向三

分段函数

?21-x,x≤1, ? 【例3】?(2011· 辽宁)设函数f(x)=? ?1-log2x,x>1, ?

则满足f(x)≤2的x的取值范围是( A.[-1,2] B.[0,2]

). D.[0,+∞)

C.[1,+∞)

[审题视点] 对于分段函数应分段求解,最后再求其并集. 解析 故选D. 答案 D
?x≤1, ? f(x)≤2? ? 1-x ?2 ≤2 ? ?x>1, ? 或? ?1-log2x≤2 ?

?0≤x≤1或x>1,

分段函数是一类重要的函数模型.解决分段函数问 题,关键抓住在不同的段内研究问题,如本例中,需分x≤1和 x>1时分别解得x的范围,再求其并集.

【训练3】 (2011· 江苏)已知实数a≠0,函数f(x)=
?2x+a,x<1, ? ? ?-x-2a,x≥1. ?

若f(1-a)=f(1+a),则a的值为________.

解析 分类讨论: (1)当a>0时,1-a<1,1+a>1. 这时f(1-a)=2(1-a)+a=2-a; f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a. 由f(1-a)=f(1+a),得2-a=-1-3a,

3 解得a=- , 2 不符合题意,舍去. (2)当a<0时,1-a>1,1+a<1, 这时f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a; f(1+a)=2(1+a)+a=2+3a, 由f(1-a)=f(1+a),得-1-a=2+3a, 3 解得a=- . 4 3 综合(1),(2)知a的值为-4. 答案 3 - 4

阅卷报告1——忽视函数的定义域
【问题诊断】 函数的单调区间是函数定义域的子区间,所以 求解函数的单调区间,必须先求出函数的定义域.如果是复合 函数,应该根据复合函数单调性的判断方法,首先判断两个简 单函数的单调性,根据同增异减的法则求解函数的单调区 间.由于思维定势的原因,考生容易忽视定义域,导致错误. 【防范措施】 研究函数的任何问题时,把求函数的定义域放 在首位,即遵循“定义域优先”的原则.

1 2 【示例】? 求函数y=log3(x -3x)的单调区间. 1 错因 忽视函数的定义域,把函数y=log t的定义域误认为R 3 导致出错. 实录 设t=x2-3x. 3 ∵函数t的对称轴为直线x=2,
? ?3 ? 3? 故t在?-∞,2?上单调递减,在?2,+∞?上单调递增. ? ? ? ?

1 2 ∴函数y=log3(x -3x)的单调递增区间
? ?3 ? 3? 是?-∞,2?,单调递减区间是?2,+∞?. ? ? ? ?

正解

设t=x2-3x,由t>0,得x<0或x>3,即函数的定义域

为(-∞,0)∪(3,+∞). 3 函数t的对称轴为直线x= , 2 故t在(-∞,0)上单调递减,在??3,+∞??上单调递增. 1 而函数y=log 3 t为单调递减函数,由复合函数的单调性可知, 1 2 函数y=log 3 (x -3x)的单调递增区间是(-∞,0),单调递减区 间是(3,+∞).
? ?

【试一试】 求函数f(x)=log2(x2-2x-3)的单调区间. [尝试解答] 由x2-2x-3>0,得x<-1或x>3, 即函数的定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞). 令t=x2-2x-3,则其对称轴为x=1,故t在(-∞,-1)上是减 函数,在(3,+∞)上是增函数. 又y=log2t为单调增函数. 故函数y=log2(x2-2x-3)的单调增区间为(3,+∞),单调减 区间为(-∞,-1).

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