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双曲线的简单几何性质(一)浙江省桐乡市高

时间:2017-01-26

双曲线的简单几何性质 (一)
高二数学 方蕾
教学目标: 1.使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质. 2.用双曲线的方程去研究其几何性质,进一步反应了解析几何的特点,并用图像帮助理解双曲线的几何性质,解决一些相 关问题. 2.通过类比椭圆的简单几何性质的方法来研究双曲线的简单几何性质,在老师引导下让学生积极讨论、归纳,培养学生的 观察、研究能力,增强他们的自信心. 教学重点:双曲线的简单几何性质 教学难点:渐近线的求法及理解 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、三角板 内容分析: ?本节知识是讲完了双曲线及其标准方程之后,反过来利用双曲线的方程研究双曲线的几何性质. 它是教学大纲中要求学 生必须掌握的内容,也是高考的一个考点 用坐标法研究几何问题,是数学中一个很大的课题,这里主要是对双曲线的几何性 质的讨论以及利用性质解决相关数学问题.本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质” ,教学中也可以与其类比讲解,主要应指 出它们的联系与区别. 教学流程: (一)复习引入 1. 双曲线的定义及其标准方程
王新敞
奎屯 新疆

平面内到两定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值为常数(大于 0 且小于 F1 F2 )的动点的轨迹叫双曲线。即 MF 1 ? MF 2 ? 2a (0<2 a < F1 F2 ) 焦点在 x 轴上时: 焦点在 y 轴上时:
x2 a2 y2 a2 ? ? y2 b2 x2 b2 ? 1?a ? 0, b ? 0 ? ? 1?a ? 0, b ? 0 ?
O

y

x

(注:双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置)
a , b, c 的关系: c 2 ? a 2 ? b 2 (符合勾股定理的结构),

c ? a ? 0 , c 最大, a , b 可以 a ? b或a ? b或a ? b

2.椭圆的简单几何性质
? ? 1?a ? b ? 0 ? 为例 a2 b2 ⑴范围: ?a ? x ? a, ? b ? y ? b

B2



x

2

y

2

M

⑵对称性:以坐标轴为对称轴,原点为对称中心 ⑶顶点坐标: A1 ?? a,0?,A2 ?a,0?, B1 ?0,-b ?,B2 ?0,b ? 长轴:线段 A1 A2 长为 2 a , a 叫做长半轴长 短轴:线段 B1 B2 长为 2 b , b 叫做短半轴长 ⑷离心率: e ? c , e ? ?0,1?
a

A
1
王新敞
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F1

O

F2

A2

x

B1

探究:类比椭圆几何性质的研究,你认为应研究双曲线的哪些性质?应如何研究这些性质? (二)新课讲解 利用双曲线的方程研究双曲线的几何性质 以焦点坐标在 x 轴上的标准方程为例, 1.范围 由标准方程
x2 a
2

x2 a2

?

y2 b2

? 1?a ? 0, b ? 0 ?

?

y2 b
2

? 1 可得

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1 ? 1 ,即 x 2 ? a 2 ,当 x ? a 时, y 才有实数值,这说明双曲线在不等式 x ? ?a 与 x ? a
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所表示的区域内; 对于 y 的任何值,x 都有实数值 这说明从横的方向来看, 直线 x ? ?a和x ? a 之间没有图象, 从纵的方向来看, 随着 x 的增大,y 的绝对值也无限增大,所以曲线在纵方向上可无限伸展,不像椭圆那样是封闭曲线 2.对称性:类比研究椭圆对称性的研究方法,容易得到,双曲线关于 x 轴、 y 轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是双曲线的
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对称轴,原点是双曲线的对称中心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心. 2.顶点 y 讲解:结合图形,讲解顶点和轴的概念, 中,令 y ? 0 得 x ? ?a ,故它与 x 轴有两个交
A2 ?? a,0? , 且 x 轴为双曲线

Q B2 A1 O B1

N M A2 x

在双曲线方程 点 A1 (a,0),

x2 a
2

?

y2 b2

?1

x a

2 2

?

y

2

b2

? 1 的对称

轴,所以 A1 (a,0), A2 ?? a,0? 为 言,曲线的顶点均指与其对 段 A1 A2 叫 做 双 曲 线

其对称轴的交点,称为双曲线的顶点(一般而 称轴的交点),而对称轴上位于两顶点间的线
x2 a
2

?

y2 b
2

? 1 的实轴,它的长是 2 a .

在方程

x2 y2 ? ? 1 中令 x ? 0 得 y 2 ? ?b 2 ,这个方程没有实数根,说明双曲线和 y 轴没有交点。但 y 轴上的两个特殊点 a2 b2
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B1 (0, b), B2 ?0,?b ? ,这两个点在双曲线中也有非常重要的作用

把线段 B1 B2 叫做双曲线的虚轴,它的长是 2b ,要特别注意不要

把虚轴与椭圆的短轴混淆 顶点: A1 (a,0), A2 ?? a,0? 实轴:线段 A1 A2 长为 2 a , a 叫做半实轴长
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虚轴:线段 B1 B2 长为 2 b , b 叫做虚半轴长 双曲线只有两个顶点,而椭圆有四个顶点,这是两者的又一差异 4.渐近线 过双曲线
x2 a2 ? y2 b2 ? 1 的两顶点 A1 , A2 ,作 y 轴的平行线 x ? ?a ,经过 B1 , B 2 作 x 轴的平行线 y ? ?b ,四条直线围成一个矩形

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矩形的两条对角线所在直线方程是 y ? ?

b x y x (或 ? ? 0 ). a a b

从几何画板上观察,当双曲线上的动点 M 随着其横坐标 x 的增大,点 M 到直线 y ?
x2 a
2

b x 的距离不断变小.又因当双曲线在第 a

一象限时,即 x ? 0 时,双曲线可转化为 y ? b

?1 ?

b b b b x2 ? a2 ? x 2 ? x ,这也意味着双曲线的函数图像永远在 y ? x 的 a a a a

图像的下方.这两方面说明了直线和双曲线在随着 x 的增大而无限靠近,我们把这两条直线称为双曲线的渐近线,这是圆锥曲 线中双曲线所特有的几何性质. 5.离心率 双曲线的实轴长 2 a 和焦距 2 c 的比值
c 称为离心率 e ,又因 c ? a ,所以 e ? 1 a

探究:类比椭圆的离心率,它的大小反应了椭圆的扁平程度,那么双曲线的离心率又可以客观的反应双曲线的什么几何性 质呢? 借助几何画板,通过改变 a 或 b 的大小,观察离心率改变的同时双曲线的开口是如何改变的.直观感到,离心率变大,双曲 线的开口变大,反之,变小.下从理论角度给出说明.
e? c ? a a2 ? b2 ? a a2 ? b2 a2 ?b? ? 1? ? ? ?a?
2

b 是双曲线的一条渐近线的斜率,当斜率变大,从图形上看,双曲线的开口在变大,反之,开口在变小,这一方法,结合 a

图像,更容易理解离心率和双曲线开口的关系. 等轴双曲线 a ? b 即实轴和虚轴等长,这样的双曲线叫做等轴双曲线

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结合图形说明: a ? b 时,双曲线方程变成 x 2 ? y 2 ? a 2 (或 b 2 ) ,它的实轴和都等于 2a(2b),这时直线围成正方形,渐近线方程 为 y ? ?x 它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角,其离心率等与 2

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探究:学完焦点在 x 轴上的双曲线的几何性质,你能用这些性质较准确的画出双曲线的草图吗?请画出焦点在 y 轴上的双 曲线的草图,并写出它的几何性质 y

方程为

y2 a2

?

1. 范围:

? 1?a ? 0, b ? 0 ? b2 y ? ?a或y ? a

x2

2. 对称性:以坐标轴为对称轴,原点为对称中心 3. 顶点: A1 (0,?a), A2 ?0, a ? 实轴:线段 A1 A2 长为 2 a , a 叫做半实轴长 虚轴:线段 B1 B2 长为 2 b , b 叫做虚半轴长
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a 4. 渐进线:方程为 y ? ? x b

5. 离心率: e ? (三)例题讲解

c ?1 a

y x 例 1.写出双曲线方程 49 ? 25 ? ?1 的实轴长、虚轴的长,顶点坐标,离心率和渐近线方程
2

2

(分析:此方程不是双曲线的标准方程,应先将方程转化成标准形式) 解:因为双曲线方程为 25
y2

?

x2 49

? 1 ,所以 a ? 5, b ? 7, c ?

74

实轴长为 10,虚轴长为 14,顶点坐标为(0,-5) , (0,5) ,离心率 e ?
a 5 渐近线方程为 y ? ? x ? ? x b 7

74 , 5

(注意渐近线方程的表达,渐近线方程还可有下求法:以双曲线的焦点在 x 轴上为例,方程 的 1 改成 0 即可求得,因为
x2 a2 ? y2 b2

x2 a
2

?

y2 b2

? 1?a ? 0, b ? 0 ? ,将方程中

x y x y ?x y? ?x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ,即方程 ? ? 0或 ? ? 0 ) a b a b ?a b? ?a b?

总结归纳:共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为 y ? ?
x2 a2 y2 b2

b kb x2 y2 ? ? ?1(k ? 0) 或写成 x ? ? x(k ? 0) ,那么此双曲线方程就一定是: ka a (ka) 2 (kb) 2

?

? ? ?? ? 0 ? .当 ? ? 0 时,双曲线的焦点在 x 轴上,当 ? ? 0 时,双曲线的焦点在 y 轴上.

3 例 2.已知双曲线的渐近线方程为 y ? ? x ,求双曲线的离心率 4

(分析:双曲线的焦点在哪个轴上未告知,

3 a 3 b ? 还是 = 不知,应分类讨论) 4 a 4 b 5 4 5 3

解:若 a ? 4k , b ? 3k ?k ? 0? ,则 c ? 5 k ,因此离心率为 e ? 若 a ? 3k , b ? 4k ?k ? 0? ,则 c ? 5 k ,因此离心率为 e ?
c ? a a2 ? b2 ? a a2 ? b2 a2 5 5 ?b? ? 1? ? ? ? 或 ) 4 3 ?a?
2

(或 e ?

例 3.求以 2 x ? 3 y ? 0 为渐近线,且过点 p (1,2)的双曲线标准方程 方法 1(分析:双曲线焦点不确定,可分情况讨论) 解:若双曲线的焦点在 x 轴上,设方程为
x2 a2 ? y2 b2 ? 1?a ? 0, b ? 0 ? ,渐近线方程为

y??

b x2 y2 x ,所以令 a ? 3k , b ? 2k ?k ? 0? ,则方程为 ? ? 1 ,点 p (1,2)代入方程,得到 36k 2 ? ?32 ,舍去 9k 2 4k 2 a
y2 a2 ? x2 b2 ? 1?a ? 0, b ? 0 ? ,渐近线方程为

若双曲线的焦点在 y 轴上, ,设方程为
y??

y2 x2 a 8 ? 2 ? 1 ,点 p (1,2)代入方程,得到 k 2 ? ,因此双曲线的标准方程 x ,所以令 a ? 2k , b ? 3k ?k ? 0? ,则方程为 2 b 9 4k 9k



y2 x2 ? ?1 32 8 9

方法 2: (由共渐近线的双曲线方程可避免讨论) 不妨设 4x 2 ? 9 y 2 ? ? ?? ? 0? ,点 p (1,2)代入方程, ? ? 4 ? 36 ? ?32 因此双曲线的标准方程为
y2 x2 ? ?1 32 8 9

(四)小结: 1.本堂课的主要内容为双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线方程、离心率是双曲线的几何性质,渐近线是双曲线特有的 几何性质; 2.会求双曲线的相关几何性质,并用渐近线辅助较准确的画出双曲线的草图; 3. 双曲线 双曲线
x2 a2 y2 a
2

? ?

y2 b2 x2 b
2

? 1?a ? 0, b ? 0 ? 的渐近线方程是 y ? ? ? 1?a ? 0, b ? 0 ? 的渐近线方程是 y ? ?

b x, a a x, b

x2 y2 b 如果已知一双曲线的渐近线方程为 y ? ? x ,那么此双曲线方程就可以设 2 ? 2 ? ? ?? ? 0? .当 ? ? 0 时,双曲线的焦点在 x 轴 a a b 上,当 ? ? 0 时,双曲线的焦点在 y 轴上.

(五)课后作业: 双曲线的简单几何性质 1
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(六)板书设计 以焦点坐标在 x 轴上的标准方程为例,
x2 a
2

?

y2 b2

? 1?a ? 0, b ? 0 ?

1.范围: x ? ?a 与 x ? a 2. 对称性: 以坐标轴为对称轴,原点为对称中心 3.顶点: A1 (a,0), A2 ?? a,0? 实轴:线段 A1 A2 长为 2 a , a 叫做半实轴长 虚轴:线段 B1 B2 长为 2 b , b 叫做虚半轴长
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y Q B2 A1 O B1

N M A2 x
叫做等轴双曲线,其离心率等

4.渐近线方程: y ? ? 5. 离心率: e ?
c ?1 a

b x a

a ? b 即实轴和虚轴等长,这样的双曲线

与 2
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课后反思: 本堂课借用了多媒体辅助教学,课堂内容较多,主要用类比的数学思想方法帮助学习双曲线的相关几何知识,知识点不是 很难.准备较充分,在讲解过程中,讲解仔细,清楚,能够做到与学生互动,充分调动学生的学习积极性,互动性较好,学生反 应也较快。 不足之处:离心率大小与双曲线开口大小的关系上应再注意讲解方式;共渐近线双曲线方程的地方讲解稍快些,讲解上不 是很到位,导致有些学生没明白原由。 下节课把没讲解到位的内容再讲一遍,今后在教学中要充分准备,并在课堂上用最简练的语言表达清楚课堂内容。
王新敞
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