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2013年高考真题解析分类汇编(文科数学)4:平面向量

时间:2013-07-26


2013 年高考解析分类汇编 4:平面向量
一、选择题 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 .( 2013 年 高 考 辽 宁 卷 ( 文 3 )) 已 知 点

??? ? A ?1,3? , B ? 4, ?1? , 则与向量 AB同方向的单位向量为 (
A. ? ,- ?
【答案】A

) D. ? ? , ?

?3 ?5

4? 5?

B. ? ,- ?

?4 ?5

3? 5?

C. ? ? , ?

? 3 4? ? 5 5?

? 4 3? ? 5 5?

??? ? ??? ? AB ? (3, ?4) , 所 以 | AB ? 5, 这 样 同 方 向 的 单 位 向 量 是 |

? 3 4 1 ??? AB ? ( , ? ) ,选 A. 5 5 5
错误! 未指定书签。 . 2013 年高考湖北卷 ( (文) 已知点 A(?1, 1) 、 (1, 2) 、 (?2, ? 1) 、 (3, 4) , ) B C D

? ??? ? ??? 则向量 AB 在 CD 方向上的投影为

( C. ?
3 2 2



A.

3 2 2

B.

3 15 2

D. ?

3 15 2

【答案】A

本题考查向量的投影以及数量的坐标运算。因为 AB ? (2,1), CD ? (5,5) , 所以 AB ? CD ? (2,1) ? (5,5) ? 15 , CD ? 52 ? 52 ? 5 2 。所以向量 AB 在 CD 方向上的

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ??? ? ? ??? ? ??? ??? ? ? AB ? CD 15 3 2 投影为 AB cos ? AB, CD ?? ??? ,选 A. ? ? ? 2 5 2 CD
错 误 ! 未 指 定 书 签 。 .( 2013 年 高 考 大 纲 卷 ( 文 3 )) 已 知 向 量

m ? ? ? ? 1,1? , n ? ? ? ? 2, 2 ? , 若 ? m ? n ? ? ? m ? n ? , 则? = (
A. ?4
【答案】B

) D. -1

B. ?3

C. -2

(m ? n) ? (m ? n) ? (2? ? 3,3) ? (?1,?1) ? ?(2? ? 6) ? 0 ,所以 ? ? ?3 ,
故选 B.
错误!未指定书签。 . (2013 年高考湖南(文 8) 已知 a,b 是单位向量,a·b=0.若向量 c 满 )

足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为____ A. 2 ? 1 【答案】C B. 2

____ C. 2 ? 1





D. 2 ? 2

【命题立意】本题考查数量积的应用。因为 a ? b ? 0 ,即 a ? b ,又 a ? b ? 1 ,所以

? ?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? 2 ,不妨让 a, b 固定,设 u ? a ? b ,则 c ? u ? 1 ,即 c 的终点在以 u 对应点为圆
心,半径为 1 的圆上。则当 c 与 u 方向相同时, c

?

?

?

max

? 2 ? 1,选 C.
?

错误!未指定书签。 . (2013 年高考广东卷(文 10) 设 a 是已知的平面向量且 a ? 0 ,关于向 )

?

?

量 a 的分解,有如下四个命题: ①给定向量 b ,总存在向量 c ,使 a ? b ? c ; ②给定向量 b 和 c ,总存在实数 ? 和 ? ,使 a ? ? b ? ? c ; ③给定单位向量 b 和正数 ? ,总存在单位向量 c 和实数 ? ,使 a ? ? b ? ? c ; ④给定正数 ? 和 ? ,总存在单位向量 b 和单位向量 c ,使 a ? ? b ? ? c ; 上述命题中的向量 b , c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是 A.1
【答案】B

?

?
?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?





B.2

C.3

D.4

本题是选择题中的压轴题,主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形 法则. 利用向量加法的三角形法则, 易的①是对的; 利用平面向量的基本定理, 易的②是对的; 以 a 的终点作长度为 ? 的圆,这个圆必须和向量 ?b 有交点,这个不一定能满足,③ 是错的;利用向量加法的三角形法则,结合三角形两边的和大于第三边,即必须

? b ? ? c =? +? ? a
则实数 m 等于 A. ? 2
【答案】C

,所以④是假命题.综上,本题选 B. ( )

错误!未指定书签。 . (2013 年高考陕西卷(文 2) 已知向量 a ? (1, m), b ? (m, 2) , 若 a//b, )

B. 2

C. ? 2 或 2

D.0

因为 a ? (1, m), b ? (m, 2), 且a / /b, 所以 1? 2 ? m ? m ? m ? ? 2. ,所以选 C
错误!未指定书签。 . (2013 年高考辽宁卷(文 9) 已知点 O ? 0, 0 ? , A ? 0, b ? , B a, a )

?

?

?

?

3

?.

若 ? ABC 为直角三角形,则必有 A. b ? a
3



) B. b ? a ?
3

1 a

C. b ? a
【答案】C

?

3

??b ? a ? ?

3

1? ? ??0 a?

D. b ? a ? b ? a ?
3 3

1 ?0 a

若 A 为直角,则根据 A、B 纵坐标相等,所以 b ? a3 ? 0 ;若 B 为直角,则 利用 K OB K AB ? ?1 得 b ? a 3 ?

1 ? 0 ,所以选 C a

错误! 未指定书签。 . 2013 年高考福建卷 ( (文) 在四边形 ABCD 中, AC )

? (1,2), BD ? (?4,2) ,

则该四边形的面积为( A. 5
【答案】C

) C.5 D.10

B. 2 5

本 题 考 查 的 是 向 量 垂 直 的 判 断 以 及 向 量 的 模 长 . 因 为

AC ? BD ? 1? (?4) ? 2 ? 2 ? 0 , 所 以 AC ? BC , 所 以 四 边 形 的 面 积 为
12 ? 2 2 ? (?4) 2 ? 2 2 | AC | ? | BD | ? ? 5 ,故选 C 2 2
二、填空题 错误! 未指定书签。 . (2013 年高考四川卷 (文 12) 如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC )

与 BD 交于点 O , AB ? AD ? ? AO ,则 ? ? _____________.

??? ???? ?

????

【答案】2

AB ? AD ? AC ? 2 AO ,所以 ? ? 2 ,故填 2.
错误! 未指定书签。 2013 年高考天津卷 ( . (文 12)在平行四边形 ABCD 中, AD = 1, ?BAD ? 60? , )

???? ??? ? BE E 为 CD 的中点. 若 AC· ? 1 , 则 AB 的长为______.
【答案】

1 2

??? ??? ??? ???? 1 ???? ???? 1 ??? ? ? ? ? 因 为 E 为 CD 的 中 点 , 所 以 BE ? BC ? CE ? AD ? DC ? AD ? AB . 2 2 ? ? ? ? ? ???? ???? ??? ? A · ?1 C E AC ? AD ? AB 因 为 ,B 所 以

?

?

???? ??? ???? 1 ??? ???? ??? ? ? ? ???? 2 1 ??? 2 1 ??? ???? ? ? AC· ? ( AD ? AB) ? ( AD ? AB) ? AD ? AB ? AB ? AD ? 1 BE 2 2 2





1?

? ? ? ? ??? 1 ? 1 ??? 2 1 ??? 1 ??? 2 1 ??? AB ? AB cos60? ? 1 ,所以 ? AB ? AB ? 0 ,解得 AB ? 。 2 2 2 4 2

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 2013 年 高 考 重 庆 卷 ( 文 14 ) OA 为 边 , OB 为 对 角 线 的 矩 形 . )

中, OA ? (?3,1) , OB ? (?2, k ) ,则实数 k ? ____________.
【答案】4

??? ?

??? ?

本题考查向量的坐标运算以及向量的数量积的运算。在矩形中,

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? O A? ( ?3 , 1)O B ? ? 2k,,)所 以 A B? O B O ? 2 , )k? ( ?3 , 1 ? , ( ? A ? ( )

为 ( k, 因 1 ) 1? ,

? ? ?? ? ? ?? ??? ??? ? ? A B? O ,所以 AB ? OA ? 0 ,即 ?3 ? k ?1 ? 0 ,解得 k ? 4 。 A

错误!未指定书签。 ( 2013 年高考山东卷(文 15) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知 . )

??? ? ??? ? OA ? (?1, t ) , OB ? (2, 2) ,若 ?ABO ? 90o ,则实数 t 的值为______
【答案】5

??? ? BA ? (?3, t ? 2)

,





?ABO ? 90o







??? ??? ? ? BA ? OB ? (?3, t ? 2) ? (2, 2) ? ?6 ? 2t ? 4 ? 0 ,故 t ? 5 。
错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 2013 年 高 考 浙 江 卷 ( 文 17 ) 设 e1.e2 为 单 位 向 量 , 非 零 向 量 . )

b=xe1+ye2,x.y∈R..若 e1.e2 的夹角为
【答案】2

x ? ,则 ? 的最大值等于_______. 6 b

?2 ?? ?? ? ?? ?? ? ? 3 2 2 2 2 e1 ? e2 ? cos ? , 所 以 b ? x ? y ? 2 xye1 ? e2 ? x ? y ? 3xy 。 所 以 6 2

x2 x2 1 ? 2 ? ?2 2 x ? y ? 3xy y 3y b 1 ? ( )2 ? x x
2





t?

y x





x2 3 2 1 1 1 1 ? t ? 3t ? (t ? ) ? ? ,所以 0 ? ? 4 ,即 ? 2 的最大值为 2,所 2 4 4 1 ? t 2 ? 3t b
以 ? 的最大值为 2.

x

b
错误! 未指定书签。 . (2013 年高考安徽 (文) 若非零向量 a, b 满足 a ? 3 b ? a ? 2b ,则 a, b )

? ?

?

?

?

?

? ?

夹角的余弦值为_______.

【答案】 ?

1 3

等式平方得: a ? 9 b ? a ? 4 b ? 4a ? b

?2

?2

?2

?2

? ?

1 3 错误!未指定书签。(2013 年上海高考数学试题(文科 16) 已知正方形 ABCD 的边长为 1. . ) ?? ?? ?? ? ? 记以 A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 a1 、 a2 、 a3 ;以 C 为起点,其余顶点为终
则 a ? a ? 4 b ? 4|a||b|cos? ,即 0 ? 4 b ? 4 ? 3|b|2cos? ,得 cos ? ? ? ? 点的向量分别为 c1 、 c2 、 c3 .若 i, j , k , l ? ?1, 2,3? 且 i ? j , k ? l ,则 ai ? a j ? ck ? cl 的最小值是________.
【答案】 ?5

?2

?2

?2

? ? ?

?2

?

??

?? ?

??

?

?? ?? ?

??

?? ?? ?

?

根据对称性,

当向量(ai ? a j )与(c k ? cl )互为相反向量,且它们的模最大时

, i ? a j )(c k ? cl )最小。这时ai ? AC , a j ? AD, c k ? CA, cl ? CB, (a (ai ? a j )(c k ? cl ) ? ? | ai ? a j ) | 2 ? ?5 。
错误!未指定书签。(2013 年高考课标Ⅱ卷(文 14)(14)已知正方形 ABCD 的边长为 2 , . )

??? ??? ? ? E 为 CD 的中点,则 AE ? BD ? _______。
【答案】 2

? ? ???? 1 ???? ??? ??? ???? ???? ???? BD A? D D, C ? BA ? AD ? AD ? DC , 所 以 2 ??? ??? ? ? ???? 1 ???? ???? ???? ???? 2 1 ???? 2 1 AE ? BD ? ( AD ? DC ) ? ( AD ? DC ) ? AD ? DC ? 22 ? ? 22 ? 2 。 2 2 2 错误!未指定书签。 (2013 年高考课标Ⅰ卷(文 13) 已知两个单位向量 a , b 的夹角为 . )
在 正 方 形 中 , A E?

??? ?

60? , c ? ta ? (1 ? t )b ,若 b ? c ? 0 ,则 t ? _____.
【答案】2 因 为 a ? b ? a c b s 6 0 , 所 以 b ? c ? [ta ? (1 ? t )b] ? b ? 0 , 即 o ? ?

?

?

?

?

? ? 2? t t a b( 1 ? ) b ? 0 ? ? t ,所以 ? 1 ? t ? 0 ,解得 t ? 2 。 2
错误!未指定书签。(2013 年高考北京卷(文) 已知点 A(1, ?1) , B(3,0) , C (2,1) .若平面区 . )

1 2

? ?

?

? ?

域 D 由所有满足 AP ? ? AB ? ? AC 1 ? ? ? 2,? ? ? 1) 的点 P 组成,则 D 的面积为 ( 0 __________. 【答案】3 当 ? , ? 两个变量均发生变化时,可以先固定一个变量,让另外一个变量改变,

??? ?

??? ?

????

如分别令 ? ? 1,2 , ? 在[0,1]变化,令 ? ? 0,1 , ? 在[1,2]变化。可知 D 为一个平行四边 形 , 其 面 积 为 三 角 形 ABC 面 积 的 两 倍 。 AB : x ? 2 y ? 3 ? 0 , | AB |?

4 ?1 ? 5 ,

d?

| 2?2?3| 5

?

3 5

,则面积为 3。


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