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新课标三年高考数学试题分类解析 平面向量

时间:2011-01-06


新课标三年高考数学试题分类解析 平面向量
一、选择题 1、 (2007·山东文 5) 已知向量 a = (1,n),b = ( ?1,n) , 2a ? b 与 b 垂直, a =( 若 则 A. 1 答案::C 解析: 2a ? b = (3, n) ,由 2a ? b 与 b 垂直可得: B. 2 C. 2 D.4 )

(3, n) ? (?1, n) = ?3 + n 2 = 0 ? n = ± 3 ,
r r

a = 2。
r r
r r r r

2、 (2007·广东文 4 理 10) 若向量 a, b 满足 | a |=| b |= 1 , , b 的夹角为 60°, a ? a + a ? b =______; a 则 答案: ;
3 2 r r r r 1 3 解析: a ? a + a ? b = 1 + 1×1× = , 2 2

r

r

3、 (2007·山东理 11)在直角 ?ABC 中, CD 是斜边 AB 上的高,则下列等式不成立的是 (A) AC = AC ? AB (B) BC = BA ? BC

uuur 2

uuur uuu r

uuu 2 r

uuu uuu r r

uuu 2 uuur uuu r r (C) AB = AC ? CD
答案::C.

uuur uuu r uuu uuu r r uuu 2 ( AC ? AB) × ( BA ? BC ) r (D) CD = uuu 2 r AB uuur uuur uuu r uuu 2 uuu 2 r r uuur uuu r

解析: AC = AC ? AB ? AC ? ( AC ? AB ) = 0 ? AC ? BC = 0 ,A 是正确的,同理 B 也正确,对于 D 答案可变形为 CD ? AB = AC ? BC ,通过等积变换判断为正确. 4、 (2007·海、宁理 2 文 4)已知平面向量 a = (11) b = (1 ? 1) ,则向量 ,, , A. ( ?2, 1) ? C. (?1 0) , 答案: :D 解析: B. (?2, 1) D. ( ?1 2) ,

uuur 2

uuur uuu r

uuur 2 uuu 2 r

1 3 a ? b =( 2 2



1 3 a ? b = (?1, 2). 2 2

5、 (2008·广东理科)在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,

uuur uuu r uuu r AE 的延长线与 CD 交于点 F .若 AC = a , BD = b ,则 AF = ()

1 1 1 2 a+ b D. a + b 2 4 3 3 解析:此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出 DF : FC = 1: 2 ,然后利用向量的
A. B. C. 加减法则易得答案 B. 答案:B 6、 (2008·广东文科)已知平面向量 a = (1, 2) ,b = ( ?2, m) ,且 a // b ,则 2a + 3b =( A、 ( ?5, ?10) B、 ( ?4, ?8) C、 ( ?3, ?6) D、 ( ?2, ?4)

1 1 a+ b 4 2

2 1 a+ b 3 3

r

r

r r

r

r



解析:排除法:横坐标为 2 + ( ?6) = ?4 答案:B

r

r r r B. a , b 两向量中至少有一个为零向量
D. 存在不全为零的实数 λ1 , λ2 , λ1 a + λ2 b = 0 )

7、 (2008·海南、宁夏)平面向量 a , b 共线的充要条件是(

r r A. a , b 方向相同 r

C. ?λ ∈ R , b = λ a

r

r

r

r

解 析 : 若 a, b 均 为 零 向 量 , 则 显 然 符 合 题 意 , 且 存 在 不 全 为 零 的 实 数 λ1 , λ 2 , 使 得

r r

r r r r r r r r r r λ1 a + λ 2 b = 0 ;若 a ≠ 0 ,则由两向量共线知,存在 λ ≠ 0 ,使得 b = λ a ,即 λ a ? b = 0 ,
符合题意,故选D 答案:D 则 λ 是( A. -1 8、 (2008·海南、宁夏文)已知平面向量 a =(1,-3) b =(4,-2) λ a + b 与 a 垂直, , , ) B. 1 C. -2 D. 2

r

r

r r

r

r r r 解析: λ a + b = ( λ + 4, ?3λ ? 2 ) , a = (1, ?3) ,
∴ λ a + b ⊥ a ? ( λ + 4 ) ? 3 ( ?3λ ? 2 ) = 0 , 即 10λ + 10 = 0 ∴λ = ?1 ,选A 答案:A 9.. (广东文 3)已知平面向量 a= x,1 ,b= ( ) (-x, x 2) 则向量 a + b , A 平行于 x 轴 C.平行于 y 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 D.平行于第二、四象限的角平分线
2

r r

r

解析: a + b = (0,1 + x 2 ) ,由 1 + x ≠ 0 及向量的性质可知,选 C

10.( 2009·广 东 理 6)一质点受到平面上的三个力 F1 , F2 , F3 (单位:牛顿)的作用而处于 平衡状态.已知 F1 , F2 成 60 角,且 F1 , F2 的大小分别为 2 和 4,则 F3 的大小为
0

A. 6
2 2 2

B. 2
0 0

C. 2 5

D. 2 7

解析: F3 = F1 + F2 ? 2 F1 F2 cos(180 ? 60 ) = 28 ,所以 F3 = 2 7 ,选 D. 11.(2009·浙江理 7)设向量 a , b 满足: | a |= 3 , | b |= 4 , a ? b = 0 .以 a , b , a ? b 的 模为边长构成三角形,则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为 ( A. 3 答案:C 解析:对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆,此时只有三个交点,对于圆 的位置稍一右移或其他的变化,能实现 4 个交点的情况,但 5 个以上的交点不能实现. 12. (2009·浙江文 5) 已知向量 a = (1, 2) , = (2, ?3) . b 若向量 c 满足 (c + a ) / / b , ⊥ (a + b) , c 则c = ( ) B. (? B. 4 C. 5 D. 6 )

A. ( , )

7 7 9 3

7 7 ,? ) 3 9

C. ( , )

7 7 3 9

D. (?

7 7 ,? ) 9 3

【命题意图】 此题主要考查了平面向量的坐标运算, 通过平面向量的平行和垂直关系的考查, 很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用. 解析:不妨设 C = ( m, n) ,则 a + c = (1 + m, 2 + n ) , a + b = (3, ?1) ,对于 c + a // b ,则有

ur

r r

r r

(

r r

)

r

r r r 7 7 ?3(1 + m) = 2(2 + n) ;又 c ⊥ a + b ,则有 3m ? n = 0 ,则有 m = ? , n = ? 9 3
13.(2009·山东理 7;文.8)设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC + BA = 2 BP ,则( A. PA + PB = 0

(

)

uuu uuu r r

uuu r



uuu uuu r r

r

B. PC + PA = 0

uuu uuu r r uuu r

r

C. PB + PC = 0

uuu uuu r r

r

D. PA + PB + PC = 0

uuu uuu uuu r r r

r

解析::因为 BC + BA = 2 BP ,所以点 P 为线段 AC 的中点,所以应该选 B。 答案:B。 【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则, 可以借助图形解答。 14. ( 2009· 宁 夏 海 南 理 9 ) 已 知 O , N , P 在 ?ABC 所 在 平 面 内 , 且

uuu uuu r r

OA = OB = OC , NA + NB + NC = 0 ,且 PA ? PB = PB ? PC = PC ? PA ,则点 O,
N,P 依次是 ?ABC 的 (A)重心 外心 垂心 (B)重心 外心 内心 (C)外心 重心 垂心 (D)外心 重心 内心 (注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角型的垂心) 解析:

由 OA = OB = OC 知, O为?ABC的外心; NA + NB + NC = 0知,O为?ABC的重心 ; 由

∴ ∴ Q PA ? PB = PB ? PC, PA ? PC ? PB = 0, CA ? PB = 0,∴ CA ⊥ PB, 同理,AP ⊥ BC ,∴ P为?ABC的垂心,选C.
23.(2009·辽宁文理 3)平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ,a=(2,0), | b |=1,则 | a+2b |= (A) 3 (B)2 3 (C)4 (D)12
0

(

)

解析:由已知|a|=2,|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12 ∴ a + 2b = 2 3 答案:B 15.(2009·宁夏海南文 7)已知 a = ( ?3, 2 ) , b = ( ?1, 0 ) ,向量 λ a + b 与 a ? 2b 垂直,则实数

λ 的值为
(A) ?

1 7

(B)

1 7

(C) ?

1 6

(D)

1 6

答案:A 解析:向量 λ a + b =(-3 λ -1,2 λ ) a ? 2b =(-1,2) , ,因为两个向量垂直,故有(- 3 λ -1,2 λ )×(-1,2)=0,即 3 λ +1+4 λ =0,解得: λ = ?
→ → →

1 ,故选.A。 7

16.(2009·福建理 9,文 12)设 a , b , c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量, 且满足 a 与 b 不共线,
→ → →

a⊥c



∣ a ∣=∣ c ∣,则∣ b ? c ∣的值一定等于










A.以 a , b 为邻边的平行四边形的面积 C. a , b 为两边的三角形面积 积
→ → → → → → →



B. 以 b , c 为两边的三角形面积 D. 以 b , c 为邻边的平行四边形的面
→ → → → → → →





解析: 假设 a 与 b 的夹角为 θ ,∣ b ? c ∣=︱ b ︱·︱ c ︱·∣cos< b , c >∣=︱ b ︱·︱ a
→ → → →

︱?∣cos(90 0 ± θ )∣=︱ b ︱·︱ a ︱?sin θ ,即为以 a , b 为邻边的平行四边形的面积,故选 A。 二、填空题 1. (2008·海南、宁夏理)已知向量 a = (0, 11) , b = (4,0) , λa + b = ?, 1, 则λ = .

29 且 λ > 0 ,

解析:由题意 λa + b = (4,1 ? λ, λ ) ? 16 + (λ ? 1) 2 + λ 2 = 29(λ > 0) ? λ = 3 答案:3

2、 (2008·江苏 2)a , b 的夹角为 120 , a = 1, b = 3 ,则 5a ? b =
0

r r

r

r

r

r





解析:本小题考查向量的线形运算。 因为 a ? b = 1× 3 × ( ? ) = ? 因此 5a ? b = 7。 答案:7 3.( 2009· 广 东 理 10)若平面向量 a , b 满足 a + b = 1 , a + b 平行于 x 轴, b = ( 2,?1) , 则a = . B

r r r

1 2

r r2 r r 2 r2 r2 r r 3 ,所以 5a ? b = (5a ? b ) = 25a + b ? 10a ? b =49。 2

r

解析: a + b = (1,0) 或 (?1,0) ,则 a = (1,0) ? ( 2,?1) = ( ?1,1) 或 a = ( ?1,0) ? ( 2,?1) = ( ?3,1) .

A

4.(2009·江苏)已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30 ,| a |= 2,| b|= 3,则向量 a 和向量 b 的数量
o

r

r

r

r

r

P 第 7 题图

C

r

积 a ?b = 。 解析: 考查数量积的运算。

r r

r r 3 a ?b = 2? 3 ? =3 2

uuu r
uuu v
如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动. 若 OC = xOA + yOB, 其中 x, y ∈ R ,则 x + y 的最大值是________. 解析:设 ∠AOC = α

uuu r

5.(2009·安徽理 14)给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 120 .

o

uuur

uuu r

uuu r

1 ? uuur uuu uuu uuu r r uuu uuu r r v ?OC ? OA = xOA ? OA + yOB ? OA, ?cos α = x ? 2 y ? ? uuu uuu r r uuu uuu ,即 ? r r v ? uuur uuu ?OC ? OB = xOA ? OB + yOB ? OB, ?cos(1200 ? α ) = ? 1 x + y ? ? ? 2
∴ x + y = 2[cos α + cos(120 ? α )] = cos α + 3 sin α = 2sin(α +
0

π
6

)≤2

6.(2009·安徽文 14)在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点,或 = + ,其中 , R ,则 + = _________。

解析:设 BC = b 、 BA = a 则 AF =

uuu r

r

uuu r

r

uuur

r 1 r r uuu r 1 r uuur r r b ? a , AE = b ? a , AC = b ? a 2 2

代入条件得 λ = u = 答案:4/3

2 4 ∴λ + u = 3 3

7.(2009·辽宁文)在平面直角坐标系 xoy 中,四边形 ABCD 的边 AB∥DC,AD∥BC,已知点 A(-2,0),B(6,8) ,C(8,6),则 D 点的坐标为___________. 解析:平行四边形 ABCD 中, OB + OD = OA + OC uuur uuu uuur uuu r r ∴ OD = OA + OC ? OB =(-2,0)+(8,6)-(6,8)=(0,-2) 即 D 点坐标为(0,-2) 答案: (0,-2)
uuu uuur r uuu uuur r

r r r 1 uuu 1 uuu 3 uuu uuu uuur r r r r 14.(天津理.15)在四边形 ABCD 中, = DC = 1, ,uuu BA + uuu BC = uuu BD , AB ( 1) BA BC BD
则四边形 ABCD 的面积是

uuu uuur r
解析:因为 AB = DC =(1,1),所以四边形 ABCD 为平行四边形,所以

r r r r r 1 uuu 1 uuu 3 uuu 3 uuu uuu uuu BA + uuu BC = uuu BD = uuu ( BA + BC ) r r r r BA BC BD BD uuu r uuu r uuu r uuu uuu r r uuu r ∴ BD = 3 BA = 3 BC , 即 BA = BC = 2, BD = 6
则四边形 ABCD 的面积为 S

1 6 = 2 × × 6 × 2 ? = 3 15.(天津文 15)若等边 ?ABC 的 2 4


边长为 2 3 ,平面内一点 M 满足 CM =

→ → 1 → 2 → CB + CA ,则 MA? MB = ________. 6 3

解析:合理建立直角坐标系,因为三角形是正三角形,故设 C (0,0), A( 2 3 ,0), B ( 3 ,3)
→ 3 3 1 3 1 → 3 5 , ) ,然后求得 MA = ( ,? ), MB = (? ,? ) , 2 2 2 2 2 2

这样利用向量关系式,求得 M ( 运用数量积公式解得为-2. 三、解答题:

1、 (2007·山东文 17) (本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, C = 3 7 . tan (1)求 cos C ; (2)若 CB CA =

5 ,且 a + b = 9 ,求 c . 2 sin C ∴ =3 7 解: (1)Q tan C = 3 7, cos C

uuu uuu r r

1 . 8 1 Q tan C > 0 ,∴ C 是锐角. ∴ cos C = . 8 uuu uuu 5 r r 5 (2)Q CB CA = , ∴ ab cos C = , ∴ ab = 20 . 2 2
又Q sin C + cos C = 1
2 2

解得 cos C = ±

又Q a + b = 9

∴ a 2 + 2ab + b 2 = 81 .

∴ a 2 + b 2 = 41 .

∴ c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos C = 36 . ∴ c = 6 .
2.(2009··广东文 16)(本小题满分 12 分) 已知向量 a = (sin θ ,?2) 与 b = (1, cos θ ) 互相垂直,其中 θ ∈ (0, (1)求 sin θ 和 cos θ 的值 (2)若 5 cos(θ ? ? ) = 3 5 cos ? , 0 < ? <

π
2

)

π
2

,求 cos ? 的值

解析: (1) Q a ⊥ b ,∴ a gb = sin θ ? 2 cos θ = 0 ,即 sin θ = 2 cos θ 又∵ sin θ + cos θ = 1 ,
2

v

v

v v

∴ 4 cos θ + cos θ = 1 ,即 cos =
2 2

2

1 4 2 ,∴ sin θ = 5 5



π 2 5 5 , cos θ = θ ∈ (0, ) ∴ sin θ =
2 5 5 5 cos ? + 2 5 sin ? = 3 5 cos θ

(2) ∵ 5cos(θ ? ? ) = 5(cos θ cos ? + sin θ sin ? ) =

∴ cos ? = sin ? ,∴ cos 2 ? = sin 2 ? = 1 ? cos 2 ? ,即 cos 2 ? =
又 0 <? <

1 2

π
2

, ∴ cos ? =

2 2

3.(2009·浙江理 18) (本题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 满足 cos

A 2 5 = , 2 5 uuu uuur r AB ? AC = 3 . (I)求 ?ABC 的面积;

(II)若 b + c = 6 ,求 a 的值.

解析: (I)因为 cos

uuu uuur r A 2 5 3 4 2 A = ,∴ cos A = 2 cos ? 1 = , sin A = ,又由 AB ? AC = 3 , 2 5 2 5 5
1 bc sin A = 2 2

得 bc cos A = 3, ∴ bc = 5 ,∴ S ?ABC =

( II ) 对 于 bc = 5 , 又 b + c = 6 , ∴ b = 5, c = 1 或 b = 1, c = 5 , 由 余 弦 定 理 得

a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A = 20 ,∴ a = 2 5

4.(2009·浙江文 18) (本题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 满足 cos

A 2 5 = , 2 5 uuu uuur r AB ? AC = 3 . (I)求 ?ABC 的面积;
2

(II)若 c = 1 ,求 a 的值.

解析: (Ⅰ) cos A = 2 cos

2 5 2 3 A ) ?1 = ?1 = 2 × ( 2 5 5
2

又 A ∈ (0, π ) , sin A = 1 ? cos A = 所以 bc = 5 ,所以 ?ABC 的面积为:

4 3 ,而 AB. AC = AB . AC . cos A = bc = 3 , 5 5

1 1 4 bc sin A = × 5 × = 2 2 2 5

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bc = 5 ,而 c = 1 ,所以 b = 5 所以 a =

b 2 + c 2 ? 2bc cos A = 25 + 1 ? 2 × 3 = 2 5
r r

5.(2009·江苏 15) (本小题满分 14 分) 设向量 a = (4 cos α ,sin α ), b = (sin β , 4 cos β ), c = (cos β , ?4 sin β ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(α + β ) 的值; (2)求 | b + c | 的最大值; (3)若 tan α tan β = 16 ,求证: a ∥ b . 解析: 本小题主要考查向量的基本概念,同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的 正弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力。满分 14 分。

r

r

r

r

r r

r

r

6.( 2009·广 东 理 16) (本小题满分 12 分) 已知向量 a = (sin θ ,?2) 与 b = (1, cos θ ) 互相垂直,其中 θ ∈ (0, (1)求 sin θ 和 cos θ 的值; (2)若 sin(θ ? ? ) =

π
2

).

10 π , 0 < ? < ,求 cos ? 的值. 10 2

解 : 1 ) ∵ a 与 b 互 相 垂 直 , 则 a ? b = sin θ ? 2 cos θ = 0 , 即 sin θ = 2 cos θ , 代 入 (

sin 2 θ + cos 2 θ = 1



sin θ = ±

2 5 5 , cos θ = ± 5 5





π θ ∈ (0, )
2



∴ sin θ = (

2 5 5 , cos θ = . 5 5


2



0<? <

π
2



0 <θ <

π
2





?

π
2

< θ ?? <

π
2





cos(θ ? ? ) = 1 ? sin 2 (θ ? ? ) =

3 10 10
2 . 2



∴ cos ? = cos[θ ? (θ ? ? )] = cos θ cos(θ ? ? ) + sin θ sin(θ ? ? ) =


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