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二次函数与方程、不等式综合

时间:2019-08-06

二次函数与方程、不等式综合

中考要求

板块 二次函数

A 级要求
1.能根据实际情境了解二次 函数的意义; 2.会利用描点法画出二次函 数的图像;

考试要求
B 级要求
1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次 函数的表达式; 2.能从函数图像上认识函数的性质; 3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向; 4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近 似解;

C 级要求
1. 能 用 二 次 函 数 解 决 简 单的实际问题; 2. 能 解 决 二 次 函 数 与 其 他知识结合的有关问题;

知识点睛

一、二次函数与一元二次方程的联系

1. 直线与抛物线的交点
(1) y 轴与抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 得交点为 ?0 ,c? .

? ? (2) 与 y 轴平行的直线 x ? h 与抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 有且只有一个交点 h ,ah2 ? bh ? c .

(3) 抛物线与 x 轴的交点:二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x1 、 x2 ,是对应

一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程

的根的判别式判定:

①有两个交点 ? ? ? 0 ? 抛物线与 x 轴相交; ②有一个交点(顶点在 x 轴上) ? ? ? 0 ? 抛物线与 x 轴相切; ③没有交点 ? ? ? 0 ? 抛物线与 x 轴相离. (4) 平行于 x 轴的直线与抛物线的交点.可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时,两

交点的纵坐标相等,设纵坐标为 k ,则横坐标是 ax2 ? bx ? c ? k 的两个实数根.

(5) 抛物线与 x 轴两交点之间的距离.若抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与 x 轴两交点为 A? x1 ,0? ,B ? x2 ,0? ,

由于 x1 、 x2 是方程 ax2

? bx ? c ? 0 的两个根,故 x1 ? x2

??b a

,x1 ? x2

?

c a

AB ? x1 ? x2 ?

? x1 ? ?x2 2 ?

? x1 ? ?x2 2 ? 4x1x2 ?

? ??

?

b a

2
? ??

?

4c a

?

b2 ? 4ac ? ?

a

a

2. 二次函数常用的解题方法 (1) 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;

(2) 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;

(3) 根据图象的位置判断二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 中 a , b , c 的符号,或由二次函数中 a , b , c 的

符号判断图象的位置,要数形结合;

(4) 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与 x 轴

的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.

(5) 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式 ax2 ? bx ? c(a ? 0) 本身就是所含字母 x 的二次函

数;以 a ? 0 时为例,二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系如下:

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??0 ??0 ??0

抛物线与 x 轴有 两个交点
抛物线与 x 轴只 有一个交点
抛物线与 x 轴无 交点

二次三项式的值可正、 可零、可负 二次三项式的值为非负
二次三项式的值恒为正

一元二次方程有两个不相等实根 一元二次方程有两个相等的实数根 一元二次方程无实数根.

3. 二次函数与一元二次方程根的分布(选讲)

所谓一元二次方程,实质就是其相应二次函数的零点(图象与 x 轴的交点问题),因此,二次方程 的实根分布问题,即二次方程的实根在什么区间内的问题,借助于二次函数及其图象利用数形结合的方 法来研究是非常有益的.
设 f ? x? ? ax2 ? bc ? c ?a ? 0? 的二实根为 x1 , x2 ,? x1 ? x2 ? ,? ? b2 ? 4ac ,且? ,? ?? ?? ? 是预先给
定的两个实数.
(1) 当两根都在区间 ?? ,? ? 内,方程系数所满足的充要条件: ∵ ? ? x1 ? x2 ? ? ,对应的二次函数 f ? x? 的图象有下列两种情形:

a>0

y

y

x1 x2

O?

?x

?

?

O x2 x1

x

当 a ? 0 时的充要条件是: ? ? 0 ,? ? ? b ? ? , f ?? ? ? 0 , f ?? ? ? 0 .
2a

当 a ? 0 时的充要条件是: ? ? 0 ,? ? ? b ? ? , f ?? ? ? 0 , f ?? ? ? 0 .
2a 两种情形合并后的充要条件是:

? ? 0 ,? ? ? b ? ? 2a

?

? ?



? f ?? ? ? 0 ,? f ?? ? ? 0??

(2) 当两根中有且仅有一根在区间 ?? ,? ? 内,方程系数所满足的充要条件;

∵ ? ? x1 ? ? 或? ? x2 ? ? ,对应的函数 f ? x? 的图象有下列四种情形:

y

y

?

x1 ?

O

x1 ?

x

O?

x

从四种情形得充要条件是:

y

y

?

? x1

O?

x1

x

O

?x

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f ?? ? ? f ?? ? ? 0 ② (3) 当两根都不在区间?? ,? ? 内方程系数所满足的充要条件: 当两根分别在区间?? ,? ? 的两旁时; ∵ x1 ? ? ? ? ? x2 对应的函数 f ? x? 的图象有下列两种情形:

y

y

??

O x1

x2 x

O x1 ? ? x2

x

当 a ? 0 时的充要条件是: f ?? ? ? 0 , f ?? ? ? 0 . 当 a ? 0 时充要条件是: f ?? ? ? 0 , f ?? ? ? 0 .
两种情形合并后的充要条件是: ? f (?) ? 0 ,? f (? ) ? 0 ③ 当两根分别在区间[? ,? ] 之外的同侧时:
∵ x1 ? x2 ? ? ? ? 或? ? ? ? x1 ? x2 ,对应函数 f ? x? 的图象有下列四种情形:

y

y

O x1

x2 ?? x

??

x1 O

x2

x

y

x1 O

x2

??

y

??

x

x1 O

x2

x

当 x1 ? x2 ? ? 时的充要条件是:
? ? 0 , ? b ? ? ,? f ?? ? ? 0 ④
2a 当 ? ? x1 ? x2 时的充要条件是:
??0,? b ? ? ,? f ??? ? 0⑤
2a (3)区间根定理
如果在区间 ?a,b? 上有 f ?a? ? f ?b? ? 0 ,则至少存在一个 x ??a ,b? ,使得 f ? x? ? 0 .
此定理即为区间根定理,又称作勘根定理,它在判断根的位置的时候会发挥巨大的威力.
f(a)
b a
f(b)

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例题精讲

一、二次函数与方程、不等式综合

【例1】 已知二次函数 f ? x? ? x2 ? px ? q ,且方程 f ? x? ? 0 与 f ?2x? ? 0 有相同的非零实根.

(1)求

q p2

的值;

(2)若 f ?1? ? 28 ,解方程 f ? x? ? 0 .

【例2】 已知二次函数 y ? x2 ? x ? a (a ? 0) ,当自变量 x 取 m 时,其相应的函数值小于 0 ,那么下列结论

中正确的是( )

A . m ?1 的函数值小于 0

B . m ?1 的函数值大于 0

C . m ?1 的函数值等于 0

D . m ?1 的函数值与 0 的大小关系不确定

【例3】 小明、小亮、小梅、小花四人共同探究代数式 x2 ? 4x ? 5 的值的情况.他们作了如下分工:小明 负责找值为1时 x 的值,小亮负责找值为 0 时 x 的值,小梅负责找最小值,小花负责找最大值.几 分钟后,各自通报探究的结论,其中错误的是( )
A.小明认为只有当 x ? 2 时, x2 ? 4x ? 5 的值为1. B. 小亮认为找不到实数 x ,使 x2 ? 4x ? 5 的值为 0 . C. 小梅发现 x2 ? 4x ? 5 的值随 x 的变化而变化,因此认为没有最小值 D.小花发现当 x 取大于 2 的实数时, x2 ? 4x ? 5 的值随 x 的增大而增大,因此认为没有最大值.

【例4】 已知关于 x 的一元二次方程 2x2 ? 4x ? k ?1 ? 0 有实数根, k 为正整数. (1)求 k 的值; (2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于 x 的二次函数 y ? 2x2 ? 4x ? k ?1的图象向下平移 8
个单位,求平移后的图象的解析式; (3)在(2)的条件下,将平移后的二次函数的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折,图象的其余
部分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答:当直线 y ? 1 x ? b?b ? k ? 与此图
2 象有两个公共点时, b 的取值范围.

【例5】 已知函数 y1 ? x , y2 ? x2 ? bx ? c ,? ,? 为方程 y1 ? y2 ? 0 的两个根,点 M ?t ,T ? 在函数 y2 的图
象上.

(1)若 ?

?

1 3

,?

?

1 2

,求函数

y2

的解析式;

(2)在(1)的条件下,若函数

y1 与

y2 的图象的两个交点为

A

,B

,当

?ABM

的面积为

1 123

时,

求 t 的值;

(3)若 0 ? ? ? ? ?1 ,当 0 ? t ?1时,试确定 T ,? ,? 三者之间的大小关系,并说明理由.

【例6】 已知方程 x2 ? 2 px ?1 ? 0 的两个实根一个小于1,一个大于1,求 p 的取值范围.

【例7】 已知方程 x2 ? ax ? b ? 0 的两根均大于 2 ,求 a,b 的关系式.

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? ? 【例8】 设二次方程 x2 ? a2 ?1 x ? a ? 2 ? 0 有一根比1大,另一根比 ?1小,试确定实数 a 的范围.

【例9】 若二次方程 ax2 ? 2x ? 1 ? 0?a ? 0? 在区间 ?1,3? 内仅有较大实根,另一根不等于1,求 a 的取值范围.

【例10】已知方程 x2 ? bx ? c ? 0 有两个实数根 s、t ,并且 x ? 2,t ? 2 .证明: (1) c ? 4 ; (2) b ? 4 ? c .

【例11】若 x 的二次方程 4x2 ? 2mx ? n ,因为方程 f ? x? ? 0 的解都位于 0 ? x ?1的范围中,求正整数 m,n 的
值.

【例12】设有整系数二次函数 f ? x? ? ax2 ? bx ? c ,其图像开口方向朝上,且与 x 轴有两个交点,分别在 ??1,0? 、 ?1,? ?? 内,且 f ? x? ? 0 的判别式等于 5 ,试求 a ,b ,c 的值.

【例13】已知方程 x2 ? ?k ?1? x ? k ? 0 有两个大于 2 的实根,求 k 的取值范围.

【例14】若关于 x 的二次方程 7x2 ? ? p ? 13? x ? p2 ? p ? 2 ? 0 的两根? 、? 满足 0 ? ? ?1 ? ? ? 2 ,求实数 p
的取值范围.

【例15】方程 x2 ?11x ? ?30 ? a? ? 0 有两实根,且两根都大于 5 ,证明 0 ? a ≤ 1 .
4

【例16】已知方程 ax2 ? 4x ? b ? 0 ?a ? 0? 的两实根为 x1 、 x2 ,方程 ax2 ? 3x ? b ? 0 的两实根为? 、 ? .
(1)若 a 、 b 均为负整数,且 | ? ? ? |?1 ,求 a 、 b 的值; (2)若? ?1? ? ? 2 , x1 ? x2 ,求证: ?2 ? x1 ? 1 ? x2 .

【例17】设 a ,b 是实数,二次方程 x2 ? ax ? b ? 0 的一个根属于区间??1 ,1? ,另一个根属于区间?1 ,2? ,
求 a ? 2b 的取值范围.

【例18】已知 m 、n 均为正整数,若关于 x 的方程 4x2 ? 2mx ? n ? 0 的两个实数根都大于1且小于 2 ,求 m 、 n 的值.

【例19】实数 a 在什么范围内取值时,关于 x 的方程 x2 ? (2 ? a)x ? 5 ? a ? 0 的一个根大于 0 而小于 2 ,另一 个根大于 4 而小于 6 ?

【例20】 已知方程

ax2

?

bx

?

c

?

0

有两个不同实根,求证:方程

ax2

?

bx

?

c

?

k

? ??

x

?

b 2a

? ??

?

0

至少有一个根,

在前一个方程的两根之间.(此处 k ? 0 )

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【例21】试证:若实数 a ,b ,c 满足条件 a ? b ? c ? 0 ,这里 m 时正数,那么方程 ax2 ? bx ? c ? 0 m? 2 m?1 m
有一个根介于 0 和1之间.

【例22】 阅读材料,解答问题. 例:用图象法解一元二次不等式: x2 ? 2x ? 3 ? 0 . 解:设 y ? x2 ? 2x ? 3 ,则 y 是 x 的二次函数. ∵ a ?1? 0 ,∴抛物线开口向上. 又∵当 y ? 0 时, x2 ? 2x ? 3 ? 0 ,解得 x1 ? ?1,x2 ? 3. ∴由此得抛物线 y ? x2 ? 2x ? 3 的大致图象如图所示. 观察函数图象可知:当 x ? ?1或 x ? 3时, y ? 0 .
∴ x2 ? 2x ? 3 ? 0 的解集是 x ? ?1或 x ? 3. (1)观察图象,直接写出一元二次不等式: x2 ? 2x ? 3 ? 0 的解集是____________; (2)仿照上例,用图象法解一元二次不等式: x2 ?1 ? 0 .

【例23】 阅读下列内容后,解答下列各题: 几个不等于 0 的数相乘,积的符号由负因数的个数决定.
例如:考查代数式 ? x ?1?? x ? 2? 的值与 0 的大小 当 x ?1时, x ?1? 0 ,x ? 2 ? 0 ,∴ ? x ?1?? x ? 2? ? 0 当1? x ? 2 时, x ?1 ? 0 ,x ? 2 ? 0 ,∴ ? x ?1?? x ? 2? ? 0 当 x ? 2 时, x ?1 ? 0 ,x ? 2 ? 0 ,∴ ? x ?1?? x ? 2? ? 0 综上:当1? x ? 2 时, ? x ?1?? x ? 2? ? 0 ;当 x ?1或 x ? 2 时, ? x ?1?? x ? 2? ? 0
(1)填写下表:(用“ ? ”或“ ? ”填入空格处)
x ? ?2 ?2 ? x ? ?1 ?1? x ? 3 3 ? x ? 4 x ? 4
x?2 x ?1 x?3 x?4
? x ? 2?? x ?1?? x ? 3?? x ? 4?

(2)由上表可知,当 x 满足

时, ? x ? 2??x ?1??x ? 3??x ? 4? ? 0 ;

(3)运用你发现的规律,直接写出当 x 满足

时, ? x ? 7?? x ? 8?? x ? 9? ? 0 .

【例24】如图所示,抛物线 y ? ax2 ? bx ? c?a ? 0? 与 x 轴的两个交点分别为 A??1,0? 和 B?2,0? ,当 y ? 0

时, x 的取值范围是



y

A

B

-1 O 1 2

x

【例25】如 下右图是 抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 的 一部 分,其对 称轴 为直 线 x ?1 , 若其与 x 轴 一交点为

B?3,0? ,则由图象可知,不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集是



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y

O1

B 3x

【例26】解不等式: ?x ? x2 ? 2 ? x .

【例27】对于满足 0 ≤ p ≤ 4 的所有实数 p ,求使不等式 x2 ? px ? 4x ? p ? 3 成立的 x 的取值范围.

【例28】已知二次函数 y ? x2 ? (m ?1)x ? m ?1
(1)求证:不论 m 为任何实数,这个函数的图象与 x 轴总有交点, (2) m 为何实数时,这两个交点间的距离最小?这个最小距离是多少?

【例29】 先阅读理解下面的例题,再按要求解答: 例题:解一元二次不等式 x2 ? 9 ? 0 .
解:∵ x2 ? 9 ? ? x ? 3?? x ? 3? ,

∴ ? x ? 3?? x ? 3? ? 0 .

由有理数的乘法法则“两数相乘,同号得正”,有

(1)

? ? ?

x x

? ?

3 3

? ?

0 0

(2)

? ? ?

x x

? ?

3 3

? ?

0 0

解不等式组(1),得 x ? 3,

解不等式组(2),得 x ? ?3,

故 ? x ? 3?? x ? 3? ? 0 的解集为 x ? 3或 x ? ?3,

即一元二次不等式 x2 ? 9 ? 0 的解集为 x ? 3或 x ? ?3. 问题:求分式不等式 5x ?1 ? 0 的解集.
2x ? 3

【例30】不等式 2x ?1 ? x ? a 的解为 x ? m ,求 m 的最小值. 【例31】

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