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福建省宁化一中2015届高三第四次阶段考数学试卷(理科)

时间:2015-08-09


宁化一中 2014-2015 学年第一学期高三第四次阶段考试
数学(理科)试题 第 I 卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:(共 10 小题,每小题 5 分,计 50 分) 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? ?1,2,3,4,5?, B ? ?3, ??? ,则图中阴影部分所表示的集合为( ) A.

?0,1, 2?

B.

?0,1?

C. ?1, 2?

D. ?1? )

U
A B

2.等差数列 ?an ? 中, a1 ? a5 ? 10 , a4 ? 7 ,则数列 ?an ? 的公差为( A.1 B.2 C.3 D.4 )

3.已知函数 f ( x) ? ?

? sin ?x, x ? 1, 那么 f ( x ? 1), x ? 1, ?
B.

?4? f ? ? 的值为( ?3?
1 2

A.

1 2

3 2

C. ?

D. ?

3 2

4.“实数 a ? 1 ”是“复数 ?1 ? ai ? i ( a ? R, i为虚数单位 )的模为 2 ”的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图中 的 x 的值是( ) 9 3 A.2 B. C. D.3 2 2 6. 若直线 x ? ay ? 1 ? 0 与 4 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直,则二项式 ? ax ? 1? 的展开式中 x 的系数为( ) A. ?40 B. ?10 C. 10 D. 40 7.甲、乙、丙、丁四个人排成一行,则乙、丙相邻的排法种数是( A.6 B.8 C.12 D.24
2
5



8.已知双曲线 C 的左右焦点为 F1 , F2 ,其中一条渐近线为 y ? 3x ,点 A 在双曲线 C 上, 若F 2F 1 =( 1A ? 2 F 2 A ,则 cos ?AF )

A.

1 4

B.

1 3

C.

2 4

D.

2 3

9.已知函数 y ? 2sin x cos x 与直线 y ?

1 相交,若在 y 轴右侧的交点自左向右依次 2 ??????? ? 记为 M 1 , M 2 , M 3 , ? ,则 M 1M 13 等于( )
A. 13? B. 12? C. 7? D. 6?

? 1? x ?1 ? 10 . 已 知 函 数 f ( x) ? ? 1 2 ? ? 4 x ? 2x ? 3 ?

x?2 x?2
(1, ? ?)上 存 在 n(n ? 2 )个 不 同 的 数 ,如果在区间

1

x1 , x2 , x3 , ?, xn 使得比值
A. ?2,3?

f ( xn ) f ( x1 ) f ( x2 ) 成立,则 n 的所有取值构成的集合是( ? ??? x1 x2 xn
C. ?2,3,4? 第Ⅱ卷(非选择题 D. ?3,4,5? 共 100 分)



B. ?3, 4?

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。把答案填在答题卡的相应位置。 11.某次数学成绩 ? ~ N 90, ?

?

2

?(? ? 0) ,已知 P ? 70 ? ? ? 110 ? ? 0.6 ,则 P ?? ? 70 ? ?

. .

12.如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 M,则点 M 恰好取自阴影部分的概率为 13.设 O 为坐标原点,点 A( ,1) ,若 M ( x, y ) 满足

1 2

?x ? y ? 2 ???? ? ??? ? ? 不等式组 ? x ? 1 ,则 Z ? OM ? OA 的最小值是 ?y ? 2 ?

.

14.设 F 为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, A 是抛物线上一点, B 是圆 C:? x ? 3? ? ? y ? 3? ? 4 上任意一点,
2 2

设点 A 到 y 轴的距离为 m ,则 m ? AB 的最小值为



15.设函数 f ( x ) 、 g ( x) 的定义域分别为 DJ、DE ,且 DJ ? DE ,若对于任意 x ? DJ ,都有 g ( x) ? f ( x) , 则称 g ( x) 函数为 f ( x ) 在 DE 上的一个延拓函数.设 f ( x) ? e? x ( x ?1)( x ? 0) , g ( x) 为 f ( x ) 在 R 上的一个 延拓函数,且 g ( x) 是奇函数.给出以下命题: ①当 x ? 0 时, g ( x) ? e (1 ? x) ;
?x

②函数 g ( x) 有 3 个零点; ④ ?x1,x2 ? R ,都有 | g ( x1 ) ? g ( x2 ) |? 2 。

, 0) ? (1, ? ?) ; ③ g ( x) ? 0 的解集为 (?1

其中所有正确命题的序号是 . 三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 13 分) 已知 f ( x) ? sin 2x ? 3 cos 2x ? n ?1( n ? N ). (1)在锐角 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,当 n ? 1 时, f ( A) ? 3 , (2)若 f ( x ) 的最大值为 an ( an 为数列 ?an ? 的通项公式) , 又数列 ?bn ? 满足 bn ? 且 c ? 3 , ?ABC 的面积为 3 3 ,求 b 的值.
?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an an?1

2

17.(本小题满分13分) 学校从高一各班随机抽取了部分同学参加了一次安全知识竞赛, 其中某班参赛同学的成绩 (满分为 100 分) 的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏,但可见部分,如图所示,据此解答下列问题:

(1)求该班的参赛人数及分数在 ?80,90? 之间的人数; (2)若要从分数在 ?80,100? 之间的试卷中任取两份分析学生的失分情况,在抽取的试卷中, 设分数在 ?90,100? 之间的份数为随机变量 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E? .

18. (本小题满分 13 分)

E 为 BB1 延长线上的一点 如图长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形, BB 1 ? a,
且满足 BB1 ? B1E ? 1 . (1)求证: D1E ? 平面 AD1C ; (2)当 a ? 1 时,求二面角 E ? AC ? D1 的平面角的余弦值.

19.(本小题满分 13 分) 已知中心在坐标原点 O ,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 点 ?1, ? . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若 F 是椭圆 C 的右焦点,过 F 的直线 l 交椭圆 C 于 M 、N 两点, T 为直线 x ? 4 上任意一点, 且 T 不在 x 轴上, (ⅰ)求 FM ? FN 的取值范围; (ⅱ)若 OT 平分线段 MN ,证明: TF ? MN (其中 O 为坐标原点).

1 , 2

且经过

? 3? ? 2?

???? ? ????

3

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax2 (a ? R) . (1)讨论 f ( x ) 的单调性; (2)若 A, B 是函数 f ( x ) 图像上不同的两点,且直线 AB 的斜率恒大于实数 1 ,求实数 a 的取值范围; (3)当 a ? 1 时,设 F ( x) ? 2 f ( x) ? 3x2 ? kx(k ? R) ,若函数 F ( x) 存在两个零点 m, n(0 ? m ? n) , 且满足 2 x0 ? m ? n ,问:函数 F ( x) 在 ( x0 , F ( x0 )) 处的切线能否平行于 x 轴?若能,求出该切线方程,若 不能,请说明理由.

21.本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果多作,则按所做的前两题 计分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将选题号填入括号中. (1)(本小题满分 7 分) 选修 4 一 2:矩阵与变换 若圆 C : x2 ? y 2 ? 1 在矩阵 A ? ? (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)判断矩阵 A 是否可逆,如果可逆,求矩阵 A 的逆矩阵 A ,如不可逆,说明理由. (2)(本小题满分 7 分) 选修 4 一 4:坐标系与参数方程
?1

? a 0? x2 y 2 E : ? ?1. 对应的变换下变成椭圆 ( a ? 0, b ? 0) ? 4 3 ? 0 b?

2 ? r cos ? , 2 (? 为参数 , r ? 0) , 以 O 为极 2 ? r sin ? 2 ? 点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ? ) ? 1 . 4 (Ⅰ)求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)若圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3 ,求 r 的值.
(3)(本小题满分 7 分) 选修 4 一 5:不等式选讲

? ?x ? ? ? 在平面直角坐标系 xOy 中 , 圆 C 的参数方程为 ? ?y ? ? ? ?

x ?1 ? x ?2 ?a . (Ⅰ)当 a ? ?5 时,求函数 f ( x ) 的定义域;
(Ⅱ)若函数 f ( x ) 的定义域为 R ,试求 a 的取值范围.

设函数 f ( x ) ?

4

宁化一中 2014-2015 学年高三上第四次阶段考参考解答
一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分. 1.C 2.B 3.B 4.A 5.D 6.A 7.C 8.A 9.D 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分. 11. 0.2 ; 12. 10.C

1 3 ; 13. ; 3 2

14.2; 15.②③④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(13 分)解:(1)? f ( x) ? ? sin 2 x ? 3 cos2 x ? n ? 1 ? 2 sin( 2 x ? 当 n ? 1 时,由 f ( A) ? 3 得: 2 sin( 2 A ?

?

3

) ? n ? 1 ,……2 分

?
3

3 2? ? ? ? 又 ?ABC 是锐角三角形,∴ ? ? 2 A ? ? ∴ 2 A ? ? 即 A ? ,………… 5 分 3 3 3 3 3 3 1 3 3 又由 S ?ABC ? bc sin A ? b ? ? 3 3 得: b ? 4 ,………… 7 分 2 2 2

) ? 3 ,∴ sin(2 A ?

?

)?

?

?

3 , 2

(2)由(Ⅰ)知: f ( x) ? 2 sin( 2 x ? 又 bn ?

?

3

) ? n ? 1 ,∴ f ( x) 取最大值为 n ? 1 ,? an ? n ? 1 ……9 分

1 1 1 1 ……………11 分 ? ? ? an an?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 n ?Tn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ……………13 分 2 3 3 4 n ? 1 n ? 2 2 n ? 2 2n ? 4
17.(13 分)解:(1)由图知: ?50,60? 的频率为 0.08,频数为 2,所以该班参赛人数为 (2)因为分数在 ?80,90? 之间的人数为 4, ?90,100? 之间的人数为 2,所以 ? ? 0,1, 2 ,
2 1 1 2 C4 C4 ? C2 C2 2 8 1 且 P(? ? 0) ? 2 ? , P(? ? 1) ? ? , P(? ? 2) ? 2 ? 2 C6 5 C6 15 C6 15 所以 ? 的分布列为:

所以分数在 ?80,90? 的人数为 25 ? 2 ? 7 ? 10 ? 2 ? 4 人;…………6 分

2 ? 25 人, 0.08

2 8 1 2 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? …………13 分 5 15 15 3
18.(本小题满分 13 分) 解:(1)如图所示建立空间直角坐标系 O ? xyz ,则 A(1,0,0), C(0,1,0) ,设? BB1 ? a, BB1 ? B1E ? 1 ,

1? ? ? ,……………2 分 a? ? ???? ? ? ???? ? 1 ???? ? D1 E ? (1,1, ) , AD1 ? (?1,0, a) , CD1 ? (0, ?1, a) , a ???? ? ???? ? 1 ? D1 E ? AD1 ? ?1 ? 0 ? ? a ? 0 ,? D1E ? AD1 a ???? ? ???? ? 1 又? D1 E ? CD1 ? ?1 ? ? a ? 0 ,? D1E ? CD1 a ? AD1 ? CD1 ? D1 ,? D1E ? 平面 AD1C ………6 分(也可用勾股定理证明 D1E ? AD1 , D1E ? CD1 )
所以 D1 (0, 0, a), E ?1,1, a ?
5

? ??? ? ? ? ? y ? 2z ? 0 ?n ? AE ? 0 设平面 EAC 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 ? ? ??? , 即? ,令 z ? 1 , ? x ? 2 z ? 0 n ? CE ? 0 ? ? ? ? 则 x ? y ? ?2 ,? n ? (?2, ?2,1) .……………… 9 分 ???? ? ???? ? 1 ? D1E ? 平面 AD1C ,? 平面 AD1C 的法向量 D1 E ? (1,1, ) ,因为 a ? 1 ,所以 D1E ? (1,1,1) a ? ???? ? ?2 ? 2 ? 1 3 , ………… 12 分 ?? ? cos n, D1E ? 3 4 ? 4 ?1 ? 1?1?1 3 ………… 13 分 ? 当 a ? 1 时, 二面角 E ? AC ? D1 的平面角的余弦值为 3 x2 y 2 19.(本小题满分 13 分)解:(1)设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,则 a b c 1 ? ?e ? a ? 2 , ? 9 x2 y 2 ?1 2 2 ? ? 1, C : ? ? 1 ……………4 分 解得 ,所以椭圆 a ? 4, b ? 3 ? 2 4b 2 4 3 ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? ? (2)(ⅰ)易得 F (1, 0) , 3 3 9 ①若直线 l 斜率不存在,则 l : x ? 1 ,此时 M (1, ) , N (1,? ) , FM ? FN = ? ;……5 分 2 2 4 ②若直线 l 斜率存在,设 l : y ? k ( x ? 1) , M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) ,则 ? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 由 ? x2 消去 y 得: (4k ? 3) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 ……………6 分 y2 ? ? 1 ? 3 ?4 8k 2 4k 2 ? 12 x ? x ? ∴ x1 ? x 2 ? , ……………7 分 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 ?9 2 ∴ FM ? FN ? ( x1 ? 1, y1 ) ? ( x2 ? 1, y 2 ) ? (1 ? k )[x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1] = ……8 分 1 4? 1? k 2 1 1 9 2 ? 1 ∴3 ? 4 ? ? 4 ∴ ? 3 ? FM ? FN ? ? ∵k ? 0 ∴0 ? 2 2 4 1? k 1? k 9 综上, FM ? FN 的取值范围为 [?3, ? ] .………………9 分 4 x ? x2 4k 2 ?3k ? 2 , yQ ? k ( xQ ? 1) ? 2 (ⅱ)线段 MN 的中点为 Q,则由(ⅰ)可得, xQ ? 1 ,…10 分 2 4k ? 3 4k ? 3 yQ 3 3 x ,……………11 分 所以直线 OT 的斜率 k ' ? ? ? ,所以直线 OT 的方程为: y ? ? 4k xQ 4k

(2)当 a ? 1 时, AE ? (0,1,2) , CE ? (1,0,2)

??? ?

??? ?

3 ? ?0 3 1 从而 T (4, ? ) ,此时 TF 的斜率 kTF ? k ? ? ,……………12 分 k 4 ?1 k 1 所以 kTF ? k MN ? ? ? k ? ?1 ,所以 TF⊥MN. ……………13 分 k
6

20.(本小题满分 14 分) 解:(1)? f ( x) ? ln x ? ax2 (a ? R) 的定义域为 ? 0, ???

1 2ax 2 ? 1 ? 2ax ? ……………1 分 x x 当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 0 ,即 f ( x ) 在 ? 0, ??? 上递增;……………2 分
且 f ( x) ?
'

? 1 1 1 ? 2 ?2ax 2 ? 1 ? 0 ?x? ? ?x ? ? ?? ? 当 a ? 0 时,令 f ( x) ? 0 ,则 ? ,即 ? ,即 2a 2a 2a ? ? x?0 ? ? x?0 ? x?0 ? ? ? ? 1 1 ? , ?? 即 f ( x ) 在 ? 0, ? 上递增,在 ? ? ? ? ? ? 上递减;……………4 分 ? 2a 2a ? ? ? ? 综上所述:当 a ? 0 时, f ( x ) 的增区间为 ? 0, ??? ,无减区间;
'

? ? ? 1 1 ? , ?? ,减区间为 ? ? ? ? ? ? ? 2a 2a ? ? ? ? (2)设 A? x1 , f (x1 ) ? , B ? x2 , f (x2 ) ? ,其中 0 ? x1 ? x2 ,由题知:
当 a ? 0 时, f ( x ) 的增区间为 ? 0, ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 1 在 0 ? x1 ? x2 上恒成立,即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 恒成立, x2 ? x1
即 f ( x2 ) ? x2 ? f ( x1 ) ? x1 恒成立,令 g ( x) ? f ( x) ? x ? ln x ? ax2 ? x

1 ? 2ax ? 1 ? 0 在 ? 0, ??? 上恒成立, x 1 1 ? 1 1? 即 2a ? ? 2 ? 在 ? 0, ??? 上恒成立,即 2a ? ? ? 2 ? ? x x x ?max ? x 1 1 1 1 1 ? 1 1? 当 ? 即 x ? 2 时, ? ? 2 ? ? ? ,所以 2 a ? ,所以 a ? ……………8 分 4 8 x 2 x ?max 4 ? x
即 g ( x) ? ln x ? ax2 ? x 在 ? 0, ??? 上递增,即 g ( x) ?
'

(3)设 F ( x) 在 ( x0 , F ( x0 )) 的切线能平行于 x 轴,因为 a ? 1 ,所以 F ( x) ? 2ln x ? x2 ? kx.

?2 ln m ? m2 ? km ? 0, ? 2 ?2 ln n ? n ? kn ? 0, ? 结合题意,有 ?m ? n ? 2 x0 , ? ? 2 ? 2 x0 ? k ? 0, ? ? x0

① ② ③ ④ ……9 分

m m n ? 2 x . 由④得 k ? 2 ? 2 x . ①—②得 2 ln ? (m ? n)(m ? n) ? k (m ? n). ,所以 k ? 0 0 n x0 m?n m 2( ? 1) m 2(m ? n) 所以 ln ? ? n . ⑤ ……11 分 m n m?n ?1 n m 2(u ? 1) ? 0(u ? (0,1)). 设 u ? ? (0,1) ,⑤式变为 ln u ? n u ?1 2(u ? 1) 1 2(u ? 1) ? 2(u ? 1) (u ? 1) 2 ? 4u (u ? 1) 2 (u ? (0,1)) , y? ? ? 设 y ? ln u ? ? ? ? 0, u ?1 u (u ? 1)2 u(u ? 1)2 u(u ? 1) 2 2(u ? 1) 2(u ? 1) ? 0. 所以函数 y ? ln u ? 在 (0,1) 上单调递增,因此, y ? y |u ?1 ? 0 ,即 ln u ? u ?1 u ?1 2ln
7

m 2( ? 1) m n 也就是, ln ? ,此式与⑤矛盾. m n ?1 n 所以 F ( x) 在 ( x0 , F ( x0 )) 处的切线不能平行于 x 轴.……14 分
21.(本小题满分 14 分) (1)解: (Ⅰ)设点 P ( x, y ) 为圆 C: x2 ? y 2 ? 1 上任意一点,经过矩阵 A 变换后对应点为 P?( x?, y?) ,

? x? ? ax, ? a 0 ?? x ? ? ax ? ? x? ? 则? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ,所以 ? ? ? 0 b ?? y ? ? by ? ? y ? ? y ? by . 2 2 x y a 2 x2 b2 y 2 + ? 1 上,所以 + ? 1 , ………………2 分 因为点 P?( x?, y?) 在椭圆 E : 4 3 4 3

? a2 ? 1, 2 ? ? ?a ? 4, ?4 又圆方程为 x2 ? y 2 ? 1 ,故 ? 2 ,即 ? 2 ,又 a ? 0 , b ? 0 ,所以 a ? 2 , b ? 3 . ……4 分 b b ? 3, ? ? ? 1, ? ? ?3 2 0 ?2 0 ? (Ⅱ) A ? ? ,因为 | A |? ? 2 3 ? 0 ,所以矩阵 A 可逆,………………5 分 ? ?0 ? 3? 0 3 ? ?1 ? ?2 0 ? ? 所以 A?1 ? ? ………………………………7 分 ? 3? ?0 ? 3 ? ? ? 2 ? r cos? , ?x ? ? ? 2 (2)解: (Ⅰ)因为圆 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数, r ? 0 ),消去参数得, ? y ? ? 2 ? r sin ? ? 2 ?
? 2? ? 2? x ? ? y ? ? r 2 ? r ? 0 ? ,………………………………2 分 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?
所以圆心 C ? ?
2 2

? ? ?

2 2? ,? ? ,半径为 r , 2 2 ? ?

因为直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ? ) ? 1,化为普通方程为 x ? y ? 2 , ……4 分

? 4

?
(Ⅱ)圆心 C 到直线 x ? y ? 2 的距离为 d ?

? 2 , ………5 分 2 又因为圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3,即 d ? r ? 3 ,所以 r ? 3 ? 2 ? 1 ………7 分 (3)解:(Ⅰ)由题设知: | x ? 1 | ? | x ? 2 | ?5 ? 0 如图,在同一坐标系中作出函数 y ? x ? 1 ? x ? 2 和 y ? 5 的图象(如图所示) y y= x+1
得定义域为 ( ? ?, ? 2? ? ?3,? ?) .………………4 分 (Ⅱ)由题设知,当 x ? R 时,恒有
| x ? 1 | ? | x ? 2 | ?a ? 0 | x ? 1 | ? | x ? 2 |? ? a 即 又由(1) | x ? 1 | ? | x ? 2 |? 3 ,
5

2 2 ? ? 2 2 2

+ x-2

y=5 4 3 2 1 -3 -2 -1 O 1 2 3 x

?1 ? x ? 2 ………6 分 当且仅当 ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 即

?a ? 3 ? a ? ?3 ………7 分
8


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