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2017_2018学年高中数学第一章立体几何初步1.1简单几何学案北师大版必修2

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第 1 课时 简单旋转体 [核心必知] 几种简单旋转体 名称 定义 以半圆的直径所在的 直线为旋转轴,将半 球 圆旋转所形成的曲面 叫作球面,球面所围 成的几何体叫作球 体,简称球 以矩形的一边所在的 直线为旋转轴,其余 圆柱 各边旋转而形成的曲 面所围成的几何体叫 作圆柱 以直角三角形的一条 直角边所在的直线为 圆锥 旋转轴,其余各边旋 转而形成的曲面所围 成的几何体叫作圆锥 高:在旋转轴上这条 边的长度 底面:垂直于旋转轴 的边旋转而成的圆面 侧面:不垂直于旋转 以直角梯形垂直于底 边的腰所在的直线为 圆台 旋转轴,其余各边旋 转而形成的曲面所围 成的几何体叫作圆台 轴的边旋转而成的曲 面 母线:不垂直于旋转 轴的边旋转,无论转 到什么位置都叫作侧 面的母线 图形表示 相关概念 球心:半圆的圆心 球的半径:连接球心 和球面上任意一点的 线段 球的直径:连接球面 上两点并且过球心的 线段 1 [问题思考] 1.铅球和乒乓球都是球吗? 提示:铅球是球,乒乓球不是球,铅球是实心球,符合球的定义,乒乓球是空心球,不 符合球的定义. 2.圆台的母线一定交于一点吗? 提示: 圆台可以看作用平行于底面的平面去截圆锥得到的. 因此圆台的母线一定交于一 点. 3.你能说出圆柱、圆锥、圆台之间的关系吗? 提示:圆柱、圆锥、圆台的形状不同,它们之间既有区别又有联系,并且在一定条件下 可以相互转化. 当圆台的下底面保持不变, 而上底面越来越大时, 圆台就越来越接近于圆柱, 当上底面增大到与下底面相同时,圆台转化为圆柱,当圆台的上底面越来越小时,圆台就越 来越接近于圆锥,当上底面收缩为一个点时,圆台就转化为圆锥了. 讲一讲 1.下列叙述正确的个数是( ) ①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥; ②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台; ③半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球. A.0 B.1 C.2 D.3 [尝试解答] 解析:选 A ①应以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转才可 得到圆锥,以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴旋转得到的几何体如图 1,故①错;②以 直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴旋转可得到圆台, 以直角梯形的不垂直于底的 2 腰所在直线为旋转轴旋转得到的几何体如图 2,故②错;③半圆面绕其直径所在直线旋转一 周形成球,故③错. 对旋转体定义的理解要准确,认清不同的旋转轴、截面的作用有所不同,判断时要抓住 几何体的结构特征,认真分析、对比判别. 练一练 1.下列命题正确的是( ) A.过圆锥侧面上一点有无数条母线 B.在圆锥的侧面上画出的线段只能是曲线段不能是直线段 C.圆台的母线有无数条,它们都互相平行 D.以一个等腰梯形上、下底的中点的连线为旋转轴,将各边旋转 180°形成的曲面围 成的几何体是圆台 解析:选 D A 不正确,当该点不在顶点处时,只有一条母线;B 不正确,因为所有母 线都是直线段;C 不正确,因为所有母线延长后相交于一点;D 正确,符合圆台的结构特征. 讲一讲 2.如图,请描述(1),(2)中 L 围绕 l 旋转一周形成的空间几何体及曲面. [尝试解答] 解:(1)旋转形成的几何体是一个圆环,形成的曲面是一个封闭的圆环曲 面,形如自行车的轮胎. (2)旋转形成的几何体是一个球,形成的曲面是一个球面. (1)判断平面图形旋转后立体图形的形状,应根据平面图形的特点判断. (2)由立体图形判断几何体是由什么样的平面图形旋转而成的,关键是看该立体图形是 3 由哪些简单几何体构成的,然后通过轴截面的形状作出判断. 练一练 2.若将例题中图形改为如图所示,形成的几何体又是怎样的呢? 解:旋转而成的几何体如图所示. 用一个平面去截圆柱,截面是什么图形? [错解] 截面是圆. [错因] 本题错解原因有两个: 一是截面与底面的位置关系考虑不全面; 二是没有真正 把握圆柱是一种几何体,而几何体是封闭的实体. [正解] 如图所示,截面是圆面或者是椭圆面(或椭圆面的一部分)或者是矩形面. 1.给出下列命题: ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线; ③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线; ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的. 其中正确的是( A.①② ) B.②③ 4 C.①③ D.②④ 解析:选 D 依据圆柱、圆锥和圆台的定义及母线的性质可知,②④正确,①③错误. 2.截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是 A.圆柱 C.球 B.圆锥 D.圆台 ( ) 解析:选 C 由球的性质可知,用平面截球所得的截面都是圆面. 3.有下列三个命题: ①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体; ②圆台的任意两条母线的延长线,可能相交也可能不相交; ③圆锥的轴截面是等腰三角形. 其中错误命题的个数是( A.0 C.2 B.1 D.3 ) 解析:选 C ①将矩形的一边作为旋转轴旋转一周得到的几何体是圆柱.②圆台的两条 母线的延长线必相交,故①②错误,③是正确的. 4.过球面上两点可能作出的球的大圆有____________. 解析:若两个点与圆心不共线,则有且只有 1 个,若两个点与圆心共线,则有无数个. 答案:一个或无数个 5.平行于圆锥的底面的平面截这个圆锥所得的截面是________. 答案:圆面 6.如图所示几何体可看作由什么图形旋转 360°得到?画出平面图形和旋转轴. 解:先画出几何体的轴,然后再观察寻找平面图形.旋转前的平面图形如下: 5 一、选择题 1.给出以下说法:①圆台的上底面缩小为一点时(下底面不变),圆台就变成了圆锥; ②球面就是球;③过空间四点总能作一个球.其中正确说法的个数是( A.0 C.2 B.1 D.3 ) 解析:选 B 根据圆锥和圆台的形状之间的联系可知①正确;球面是曲面,球是球体的 简称

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