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广州市2011届高三二模文科数学试题

时间:2011-04-22


试卷类型:A

2011 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)



学(文科)
2011.4

本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题 卡上.用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上 要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的, 答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:锥体的体积公式 V =

1 Sh , 其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.复数 z = a + bi ( a, b ∈ R ) 的实部记作 Re ( z ) = a ,则 Re ?

? 1 ? ?= ? 2+i?
D. ?

A.

2 3

B.

2 5

C. ?

1 5

1 3

2.函数 y = 1 ? 2 x 的定义域为集合 A ,函数 y = ln ( 2 x + 1) 的定义域为集合 B ,则 A ∩ B = A. ? ?

? 1 1? , ? ? 2 2?

B. ? ?

? 1 1? , ? ? 2 2?

C. ? ?∞, ?

? ?

1? ? 2?

D. ? , +∞ ?

?1 ?2

? ?

3.已知向量 a = (1, 2 ) , b = ( x, 4 ) ,若 b = 2 a ,则 x 的值为 A. 2 B.4
n

C. ±2

D. ±4

4.已知数列 {an } 的通项公式是 an = ( ?1) A. ?55 B. ?5

( n + 1) ,则 a1 + a2 + a3 +
C.5

+ a10 =
D.55

5.在区间 ( 0,1) 内任取两个实数,则这两个实数的和大于 A.

17 18

B.

7 9

1 的概率为 3 2 C. 9
第 1 页 共 4 页

D.

1 18

数学(文科)试题 A

6.设 a , b 为正实数,则“ a < b ”是“ a ? A.充分不必要条件

1 1 < b ? ”成立的 a b
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

B.必要不充分条件

7.已知 f1 ( x ) = sin x + cos x , f n +1 ( x ) 是 f n ( x ) 的导函数,即 f 2 ( x ) = f1′ ( x ) , f 3 ( x ) = f 2′ ( x ) ,…,

f n +1 ( x ) = f n′ ( x ) , n ∈ N* ,则 f 2011 ( x ) =
A. sin x + cos x B. sin x ? cos x C. ? sin x + cos x D. ? sin x ? cos x 8.一条光线沿直线 2 x ? y + 2 = 0 入射到直线 x + y ? 5 = 0 后反射,则反射光线所在的直线方程为 A. 2 x + y ? 6 = 0 B. x + 2 y ? 9 = 0 C. x ? y + 3 = 0 D. x ? 2 y + 7 = 0

9.点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 内一点,且满足 AP = 棱 AB 的距离为 A.

3 1 2 AB + AD + AA1 ,则点 P 到 4 2 3 145 12

5 6

B.

3 4
2

C.

13 4

D.

10.如果函数 f ( x ) = x + a ? x ? 2 ( a > 0 ) 没有零点,则 a 的取值范围为 A. ( 0,1) C. ( 0,1) ∪ ( 2, +∞ ) B. ( 0,1) ∪

(

2, +∞

)

D. 0, 2 ∪ ( 2, +∞ )

(

)

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.若 tan α =

1 π? ? ,则 tan ? α + ? 的值为 2 4? ?
2



12.若关于 x 的不等式 m ( x ? 1) > x ? x 的解集为 x 1 < x < 2 ,则实数 m 的值为

{

}



13.将正整数12分解成两个正整数的乘积有 1×12 , 2 × 6 , 3 × 4 三种,其中 3 × 4 是这三种分解中,两数 差的绝对值最小的,我们称 3 × 4 为12的最佳分解.当 p × q p ≤ q且p, q ∈ N 时,我们规定函数 f ( n ) = ② f ( 24 ) =

(

*

) 是正整数 n 的最佳分解

p 3 1 ,例如 f (12 ) = .关于函数 f ( n ) 有下列叙述:① f ( 7 ) = , 4 7 q
(填入所有正确的序号) .

3 4 9 ,③ f ( 28 ) = ,④ f (144 ) = .其中正确的序号为 8 7 16

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)在梯形 ABCD 中, AD

BC , AD = 2 , BC = 5 ,点 E 、 F 分别在 AB 、


CD 上,且 EF

AD ,若

AE 3 = ,则 EF 的长为 EB 4

数学(文科)试题 A

第 2 页 共 4 页

15. 坐标系与参数方程选做题)设点 A 的极坐标为 ? 2, ( 线 l 的极坐标方程为 ... .

? ?

π?

? ,直线 l 过点 A 且与极轴所成的角为 ,则直 3 6?

π

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) 某地区对 12 岁儿童瞬时记忆能力进行调查.瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学 生共有 40 人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.例如表中听觉记忆能力为中等,且视觉记 忆能力偏高的学生为 3 人. 视觉 听觉 听觉 记忆 能力 偏低 中等 偏高 超常 偏低 0 1 2 0 视觉记忆能力 中等 7 8 偏高 5 3 0 1 超常 1

b
1 1

a
2

由于部分数据丢失,只知道从这 40 位学生中随机抽取一个,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能 力为中等或中等以上的概率为

2 . 5

(1)试确定 a 、 b 的值; (2)从 40 人中任意抽取 1 人,求此人听觉记忆能力恰为中等,且视觉记忆能力为中等或中等以上的 概率.

17. (本小题满分12分) 如图1,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60 方向的 B 处,且与岛屿 A 相距12 海里,渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行,若渔 船甲同时从 B 处出发沿北偏东 α 的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上. (1)求渔船甲的速度; (2)求 sin α 的值.

北 C

西

α
B

60

A



18. (本小题满分14分) 已知等差数列{an}的前 n 项和为 S n ,且 S10 = 55 , S 20 = 210 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn =

南 图1

an * ,是否存在 m 、 k ( k > m ≥ 2, k , m ∈ N ) ,使得 b1 、 bm 、 bk 成等比数列.若存在, an +1

求出所有符合条件的 m 、 k 的值;若不存在,请说明理由.

数学(文科)试题 A

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19. (本小题满分14分) 一个几何体是由圆柱 ADD1 A1 和三棱锥 E ? ABC 组合而成, A 、B 、C 在圆 O 的圆周上, (主) 点 其正

AB 视图、 (左) 侧 视图的面积分别为 10 和 12, 如图 2 所示, 其中 EA ⊥ 平面ABC ,AB ⊥ AC , = AC ,

AE = 2 .
(1)求证: AC ⊥ BD ; (2)求三棱锥 E ? BCD 的体积. E C A1 O B D1 D D1 D A A1 O A A

E

E

正 (主) 视图
图2 20. (本小题满分14分) 对定义域分别是 F 、 G 的函数 y = f ( x) 、 y = g ( x) ,规定:

侧(左)视图

? f ( x ) + g ( x ) , 当x ∈ F 且x ∈ G, ? 函数 h ( x ) = ? f ( x ) , 当x ∈ F 且x ? G , ? 当x ? F 且x ∈ G. ?g ( x) ,
已知函数 f ( x ) = x , g ( x ) = alnx ( a ∈ R ) .
2

(1)求函数 h ( x ) 的解析式; (2)对于实数 a ,函数 h ( x ) 是否存在最小值,如果存在,求出其最小值;如果不存在,请说明理由.

21. (本小题满分14分) 已知双曲线 C :

x2 y 2 ? 2 = 1 ( a > b > 0 ) 和圆 O : x 2 + y 2 = b 2 (其中原点 O 为圆心) ,过双曲线上 2 a b

一点 P ( x0 , y0 ) 引圆 O 的两条切线,切点分别为 A 、 B . (1)若双曲线 C 上存在点 P ,使得 ∠APB = 90 ,求双曲线离心率 e 的取值范围; (2)求直线 AB 的方程; (3)求三角形 OAB 面积的最大值. 数学(文科)试题 A 第 4 页 共 4 页

2011 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)

数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的 分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分 数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 C 5 A 6 C 7 D 8 D 9 A 10 C

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满 分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 11.3 15. ρ sin ? 12.2 13.①③ 14.

23 7

4π ? ?π ? ?π ? ? ? θ ? = 1 或 ρ cos ? + θ ? = 1 或 ρ sin ? θ ? ? = 1 或 3ρ cos θ ? ρ sin θ ? 2 = 0 3 ? ?3 ? ?6 ? ?

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查概率与统计的概念,考查运算求解能力等. ) 解: (1)由表格数据可知视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生有 (10 + a ) 人. 记“视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件 A , 则 P ( A) =

解得 a = 6 . ………………………………………………………………………………………………5 分 因为 32 + a + b = 40 ,所以 b = 2 . 答: a 的值为 6, b 的值为 2.……………………………………………………………………………7 分 (2)由表格数据可知,听觉记忆能力恰为中等,且视觉记忆能力为中等或中等以上的学生有 (11 + b ) 人, 由(1)知, b = 2 ,即听觉记忆能力恰为中等,且视觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有 13 人. ………………………9 分 记“听觉记忆能力恰为中等,且视觉记忆能力为中等或中等以上”为事件 B , 则 P ( B) =

10 + a 2 = , …………………………………………………………………………………4 分 40 5

11 + b 13 . = 40 40 13 .…………………12 分 40

答:听觉记忆能力恰为中等,且视觉记忆能力为中等或中等以上的概率为 数学(文科)试题 A 第 1 页 共 9 页

17. (本小题满分12分) (本小题主要考查方位角、正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力等. ) 解: (1)依题意, ∠BAC = 120 , AB = 12 , AC = 10 × 2 = 20 , ∠BCA = α .………………………2分 在△ ABC 中,由余弦定理,得 北 C

BC 2 = AB 2 + AC 2 ? 2 AB × AC × cos ∠BAC ……………………4分
= 122 + 202 ? 2 × 12 × 20 × cos120 = 784 .
解得 BC = 28 .………………………………………………………6分 所以渔船甲的速度为

BC = 14 海里/小时. 2 答:渔船甲的速度为 14 海里/小时.…………………………………7分

西

α
B

60

A





(2)方法1:在△ ABC 中,因为 AB = 12 , ∠BAC = 120 , BC = 28 ,

∠BCA = α ,
由正弦定理,得

AB BC .……………………………………………………………………9分 = sin α sin120
12 × 3 2 =3 3. 28 14

即 sin α =

AB sin120 = BC

答: sin α 的值为

3 3 .………………………………………………………………………………12 分 14

方法2:在△ ABC 中,因为 AB = 12 , AC = 20 , BC = 28 , ∠BCA = α , 由余弦定理,得 cos α =

AC 2 + BC 2 ? AB 2 .…………………………………………………………9分 2 AC × BC

即 cos α =

202 + 282 ? 122 13 = . 2 × 20 × 28 14
2 2

3 3 ? 13 ? . 因为 α 为锐角,所以 sin α = 1 ? cos α = 1 ? ? ? = 14 ? 14 ?
答: sin α 的值为

3 3 .………………………………………………………………………………12 分 14

数学(文科)试题 A

第 2 页 共 9 页

18. (本小题满分14分) (本小题主要考查等差数列、等比数列、不等式等基础知识,考查方程思想以及运算求解能力. ) 解: (1)设等差数列 {an } 的公差为 d ,则 S n = na1 +

n ( n ? 1) d .………………………………………1 分 2

10 × 9 ? ?10a1 + 2 d = 55, 由已知,得 ? ………………………………………………………………………3 分 ? 20 ×19 ?20a + d = 210. ? 1 ? 2
?2a + 9d = 11, ?a = 1, 解得 ? 1 …………………………………………………………………………5 分 即? 1 ?d = 1. ?2a1 + 19d = 21.
.………………………………………………………………6 分 所以 an = a1 + ( n ? 1) d = n ( n ∈ N ) (2)假设存在 m 、 k ( k > m ≥ 2, m, k ∈ N ) ,使得 b1 、 bm 、 bk 成等比数列, 则 bm = b1bk .……………………………………………………………………………………………7 分
2

?

因为 bn = 所以 b1 =

an n = ,…………………………………………………………………………………8 分 an +1 n + 1
1 m k . , bm = , bk = m +1 k +1 2
2

所以 ?

k ? m ? 1 .……………………………………………………………………………9 分 ? = × 2 k +1 ? m +1? 2m 2 .…………………………………………………………………………10 分 ? m 2 + 2m + 1

整理,得 k =

以下给出求 m , k 的三种方法: 方法 1:因为 k > 0 ,所以 ? m + 2m + 1 > 0 .………………………………………………………11 分
2

解得 1 ? 2 < m < 1 + 2 .……………………………………………………………………………12 分 因为 m ≥ 2, m ∈ N ,
*

所以 m = 2 ,此时 k = 8 . 故存在 m = 2 、 k = 8 ,使得 b1 、 bm 、 bk 成等比数列.……………………………………………14 分 方法 2:因为 k > m ,所以 k =

2m 2 > m .…………………………………………………11 分 ? m 2 + 2m + 1

数学(文科)试题 A

第 3 页 共 9 页

2m m2 ? 1 即 2 <0. + 1 < 0 ,即 2 m ? 2m ? 1 m ? 2m ? 1
解得 ?1 < m < 1 ? 2 或 1 < m < 1 + 2 . ………………………………………………………………12 分 因为 m ≥ 2, m ∈ N ,
*

所以 m = 2 ,此时 k = 8 . 故存在 m = 2 、 k = 8 ,使得 b1 、 bm 、 bk 成等比数列.……………………………………………14 分

2m 2 > 2 .……………………………………………11 分 方法 3:因为 k > m ≥ 2 ,所以 k = ? m 2 + 2m + 1


m2 2m 2 ? 2m ? 1 + 1 < 0 ,即 2 < 0. m ? 2m ? 1 m 2 ? 2m ? 1 1? 3 1+ 3 或 < m < 1 + 2 .…………………………………………………12 分 2 2
*

解得 1 ? 2 < m <

因为 m ≥ 2, m ∈ N , 所以 m = 2 ,此时 k = 8 . 故存在 m = 2 、 k = 8 ,使得 b1 、 bm 、 bk 成等比数列.……………………………………………14 分 19. (本小题满分14分) (本小题主要考查锥体体积,空间线线、线面关系,三视图等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以 及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. ) (1)证明:因为 EA ⊥ 平面ABC , AC ? 平面ABC ,所以 EA ⊥ AC ,即 ED ⊥ AC . 又因为 AC ⊥ AB , AB ∩ ED = A ,所以 AC ⊥ 平面 EBD . 因为 BD ? 平面EBD ,所以 AC ⊥ BD .………………………………………………………………4 分 (2)解:因为点 A 、 B 、 C 在圆 O 的圆周上,且 AB ⊥ AC ,所以 BC 为圆 O 的直径. 设圆 O 的半径为 r ,圆柱高为 h ,根据正(主)视图、侧(左)视图的面积可得,

1 ? ?2rh + 2 r × 2 = 10, ? …………………………………………6 分 ? ?2rh + 1 × 2r × 2 = 12. ? ? 2
解得 ?

E C A1 O B D1 D A

?r = 2, ?h = 2.

所以 BC = 4 , AB = AC = 2 2 .………………………………………………………………………8 分 数学(文科)试题 A 第 4 页 共 9 页

以下给出求三棱锥 E ? BCD 体积的两种方法: 方法 1:由(1)知, AC ⊥ 平面 EBD ,

1 SΔEBD × CA .………………………………………………………………10 分 3 因为 EA ⊥ 平面ABC , AB ? 平面ABC , 所以 EA ⊥ AB ,即 ED ⊥ AB .
所以 VE ? BCD = VC ? EBD = 其中 ED = EA + DA = 2 + 2 = 4 ,因为 AB ⊥ AC , AB = AC = 2 2 ,

1 1 × ED × AB = × 4 × 2 2 = 4 2 .…………………………………………………13 分 2 2 1 16 所以 VE ? BCD = × 4 2 × 2 2 = .…………………………………………………………………14 分 3 3 方法 2:因为 EA ⊥ 平面ABC , 1 1 1 所以 VE ? BCD = VE ? ABC + VD ? ABC = S ΔABC × EA + S ΔABC × DA = SΔABC × ED .…………………10 分 3 3 3
所以 S ΔEBD = 其中 ED = EA + DA = 2 + 2 = 4 ,因为 AB ⊥ AC , AB = AC = 2 2 , 所以 S ΔABC = 所以 VE ? BCD

1 1 × AC × AB = × 2 2 × 2 2 = 4 .…………………………………………………13 分 2 2 1 16 = × 4 × 4 = .…………………………………………………………………………14 分 3 3

20. (本小题满分14分) (本小题主要考查分段函数、导数、函数的单调性和最值等基础知识,考查分类讨论思想,以及运算求解 能力和推理论证能力等. ) 解: (1)因为函数 f ( x ) = x 的定义域 F = ( ?∞, +∞ ) ,函数 g ( x ) = a ln x 的定义域 G = ( 0, +∞ ) ,
2

? x 2 + a ln x, ? 所以 h ( x ) = ? 2 ?x , ?
2

x > 0, x≤0.

……………………………………………………………………4 分

(2)当 x≤0 时,函数 h ( x ) = x 单调递减, 所以函数 h ( x ) 在 ( ?∞, 0] 上的最小值为 h ( 0 ) = 0 . ……………………………………………………5 分 当 x > 0 时, h ( x ) = x + a ln x .
2

若 a = 0 ,函数 h ( x ) = x 在 ( 0, +∞ ) 上单调递增.此时,函数 h ( x ) 不存在最小值.……………6 分
2

若 a > 0 ,因为 h′ ( x ) = 2 x +
2

a 2x2 + a = > 0 ,………………………………………………………7 分 x x

所以函数 h ( x ) = x + a ln x 在 ( 0, +∞ ) 上单调递增.此时,函数 h ( x ) 不存在最小值.……………8 分 数学(文科)试题 A 第 5 页 共 9 页

? a ?? a? 2 ? x + ? ?? x ? ? ? 2 ?? 2? 2x2 + a ,……………………………………9 分 = ? 若 a < 0 ,因为 h′ ( x ) = x x
所以函数 h ( x ) = x + a ln x 在 ? 0, ?
2

? ? ?

? ? a? a ? 上单调递减,在 ? ? , +∞ ? 上单调递增.此时,函数 h ( x ) ? ? ? 2? 2 ? ?

的最小值为 h ? ?

? ? ?

a? ? .…………………………………………………………………………………10 分 2? ?

因为 h ? ?

? ? ?

a? a a a a ? a? a? ? a ?? ………………………11 分 ? = ? + a ln ? = ? + ln ? ? ? = ? ?1 ? ln ? ? ? ? , 2? 2 2 2 2 ? 2? 2? ? 2 ?? ?

所以当 ?2e≤a < 0 时, h ? ?

? ? ?

? a? a? ?≥0 ,当 a < ?2e 时, h ? ? ? < 0 .…………………………13 分 ? ? 2? 2? ? ?

综上可知,当 a > 0 时,函数 h ( x ) 没有最小值;当 ?2e≤a≤0 时,函数 h ( x ) 的最小值为 h ( 0 ) = 0 ; 当 a < ?2e 时,函数 h ( x ) 的最小值为 h ? ?

? ? ?

a? a? ? a ?? ? = ? ?1 ? ln ? ? ? ? .……………………………14 分 ? 2? 2? ? 2 ??

21. (本小题满分14分) (本小题主要考查圆、双曲线、直线方程和不等式等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力,以及 分类讨论思想与创新意识等. ) 解: (1)因为 a > b > 0 ,所以

c a 2 + b2 b ?b? < 1 ,所以 e = = = 1 + ? ? < 2 .…………………1 分 a a a ?a?
2

由 ∠APB = 90 及圆的性质,可知四边形 PAOB 是正方形,所以 OP =

2b .
2

b 2 c a 2 + b2 6 ?b? ,所以 e = = .……………3 分 = 1+ ? ? ≥ 因为 OP = 2b ≥ a ,所以 ≥ a a a 2 2 ?a?
故双曲线离心率 e 的取值范围为 ?
2 2 2

? 6 ? , 2 ? .…………………………………………………………4 分 ? ? 2 ?
2 2 2

(2)方法 1:因为 PA = OP ? OA = x0 + y0 ? b , 所以以点 P 为圆心, PA 为半径的圆 P 的方程为 ( x ? x0 ) + ( y ? y0 ) = x0 + y0 ? b .………5 分
2 2 2 2 2

因为圆 O 与圆 P 两圆的公共弦所在的直线即为直线 AB ,……………………………………………6 分

? x2 + y 2 = b2 , ? ………………………………………………7 分 所以联立方程组 ? 2 2 2 2 2 ?( x ? x0 ) + ( y ? y0 ) = x0 + y0 ? b . ?
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消去 x , y ,即得直线 AB 的方程为 x0 x + y0 y = b .………………………………………………8 分
2 2

2

方法 2:设 A ( x1 , y1 ) B ( x2 , y2 ) ,已知点 P ( x0 , y0 ) , 则 k PA =

y0 ? y1 y , kOA = 1 ( 其中x1 ≠ x0 , x1 ≠ 0 ) . x0 ? x1 x1 y0 ? y1 y1 × = ?1 .…………………………………………5 分 x0 ? x1 x1

因为 PA ⊥ OA ,所以 k PA kOA = ?1 ,即 整理得 x0 x1 + y0 y1 = x1 + y1 .
2 2

因为 x1 + y1 = b ,所以 x0 x1 + y0 y1 = b .……………………………………………………………6 分
2 2 2

2

因为 OA = OB , PA = PB ,根据平面几何知识可知, AB ⊥ OP . 因为 kOP =

y0 x ,所以 k AB = ? 0 .………………………………………………………………………7 分 x0 y0 x0 ( x ? x1 ) . y0

所以直线 AB 方程为 y ? y1 = ? 即 x0 x + y0 y = x0 x1 + y0 y1 .

所以直线 AB 的方程为 x0 x + y0 y = b .………………………………………………………………8 分
2

方法 3:设 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,已知点 P ( x0 , y0 ) , 则 k PA =

y0 ? y1 y , kOA = 1 ( 其中x1 ≠ x0 , x1 ≠ 0 ) . x0 ? x1 x1 y0 ? y1 y1 × = ?1 .…………………………………………5 分 x0 ? x1 x1

因为 PA ⊥ OA ,所以 k PA kOA = ?1 ,即 整理得 x0 x1 + y0 y1 = x1 + y1 .
2 2

因为 x1 + y1 = b ,所以 x0 x1 + y0 y1 = b .……6 分
2 2 2

2

y A

P

这说明点 A 在直线 x0 x + y0 y = b 上. …………7 分
2

同理点 B 也在直线 x0 x + y0 y = b 上.
2

所以 x0 x + y0 y = b 就是直线 AB 的方程. ……8 分
2

O B

x

(3)由(2)知,直线 AB 的方程为 x0 x + y0 y = b ,
2

所以点 O 到直线 AB 的距离为 d =

b2 x0 2 + y0 2



数学(文科)试题 A

第 7 页 共 9 页

2b x0 2 + y0 2 ? b 2 b4 因为 AB = 2 OA ? d = 2 b ? 2 , = x0 + y0 2 x0 2 + y0 2
2 2 2

b 1 所以三角形 OAB 的面积 S = × AB × d = 2

3

x0 2 + y0 2 ? b 2 . ……………………………………10 分 x0 2 + y0 2

以下给出求三角形 OAB 的面积 S 的三种方法: 方法 1:因为点 P ( x0 , y0 ) 在双曲线

x2 y 2 ? = 1 上, a 2 b2

2 x0 2 y0 2 b 2 x0 ? a 2b 2 2 所以 2 ? 2 = 1 ,即 y0 = ( x02 ≥ a 2 ) . 2 a b a

设t =

? b2 ? x0 2 + y0 2 ? b 2 = ? 1 + 2 ? x0 2 ? 2b 2 ≥ a 2 ? b 2 , ? a ?

b3t .………………………………………………………………………………………11 分 所以 S = 2 t + b2
因为 S ′ =

?b3 ( t + b )( t ? b )

(t

2

+ b2 )

2



所以当 0 < t < b 时, S ′ > 0 ,当 t > b 时, S ′ < 0 . 所以 S =

b3t 在 ( 0, b ) 上单调递增,在 ( b, +∞ ) 上单调递减.……………………………………12 分 t 2 + b2
2

当 a ? b ≤ b ,即 b < a ≤
2

2b 时, S最大值 =

b3 × b 1 2 = b ,…………………………………13 分 b2 + b2 2

当 a ? b > b ,即 a >
2 2

2b 时, S最大值 =

(

b3 × a 2 ? b 2

b3 a 2 ? b 2 . = 2 a2 a 2 ? b2 + b2

)

综上可知,当 b < a ≤

2b 时, S最大值
2 2

1 2 b3 a 2 ? b 2 = b ;当 a > 2b 时, S最大值 = .………14 分 a2 2

b 3t b3 .…………………………………………11 分 方法 2:设 t = x0 + y0 ? b ,则 S = 2 = b2 t + b2 t+ t
2

因为点 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 所以 t =

2 x2 y2 b 2 x0 ? a 2b 2 x2 y 2 2 ? 2 = 1 上,即 02 ? 02 = 1 ,即 y0 = ( x02 ≥ a 2 ) . 2 2 a b a b a

? b2 ? x0 2 + y0 2 ? b 2 = ? 1 + 2 ? x0 2 ? 2b 2 ≥ a 2 ? b 2 . ? a ?
数学(文科)试题 A 第 8 页 共 9 页

令 g (t ) = t +

b2 b 2 ( t + b )( t ? b ) ,则 g ′ ( t ) = 1 ? 2 = . t t t2

所以当 0 < t < b 时, g ′ ( t ) < 0 ,当 t > b 时, g ′ ( t ) > 0 .

b2 在 ( 0,b ) 上单调递减,在 ( b, +∞ ) 上单调递增.…………………………………12 分 所以 g ( t ) = t + t
当 a ? b ≤ b ,即 b < a ≤
2 2

2b 时, S最大值

b3 1 = = b 2 ,……………………………………13 分 2 b 2 b+ b
b3 a 2 ? b2 + b2 a 2 ? b2 = b3 a 2 ? b 2 . a2

当 a ? b > b ,即 a >
2 2

2b 时, S最大值 =

综上可知,当 b < a ≤

1 b3 a 2 ? b 2 2b 时, S最大值 = b 2 ;当 a > 2b 时, S最大值 = .………14 分 a2 2
2

方法 3:设 t = x0 + y0 ,则 S =
2

b3 t ? b 2 ?1? 1 = b3 ?b 2 ? ? + .…………………………………11 分 t ?t ? t
2

因为点 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 所以 t = x0 + y0 = ? 1 +
2 2

2 x2 y2 b 2 x0 ? a 2b 2 x2 y 2 2 ? 2 = 1 上,即 02 ? 02 = 1 ,即 y0 = ( x02 ≥ a 2 ) . a2 b a b a2

?

?

b2 ? 2 2 x ? b ≥ a2 . 2 ? 0 a ?
2 2

1 ? 1 ? 令 g ( u ) = ?b u + u = ?b ? u ? 2 ? + 2 , 2b ? 4b ?
2 2

所以 g ( u ) 在 ? ?∞,

? ?

1 ? ? 1 ? 上单调递增,在 ? 2 , +∞ ? 上单调递减.………………………………12 分 2 ? 2b ? ? 2b ? 1 ? t ? 1? ?, a2 ?

因为 t ≥ a ,所以 u = ∈ ? 0, 当

1 1 1 1 1 2 ? 1 ? = b . ≤ 2 ,即 b < a ≤ 2b 时, ? g ( u ) ? max = g ? 2 ? = 2 ,此时 S最大值 = b3 × 2 ? ? 2b 2b 2 a ? 2b ? 4b
………………………………13 分



2 2 1 1 b3 a 2 ? b 2 ? 1 ? a ?b ,此时 S最大值 = . > 2 ,即 a > 2b 时, ? g ( u ) ? max = g ? 2 ? = ? ? 2b 2 a a4 a2 ?a ?

综上可知,当 b < a ≤

1 b3 a 2 ? b 2 2b 时, S最大值 = b 2 ;当 a > 2b 时, S最大值 = .………14 分 2 a2
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