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广州市2011届高三二模文科数学试题

时间:2011-04-22

试卷类型:A

2011 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)

数 学(文科)

2011.4 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题
卡上.用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用
橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位
置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上 要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的, 答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
参考公式:锥体的体积公式V = 1 Sh , 其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.

1.复数

z

=

a

+

bi

(a,b ∈ R ) 的实部记作

Re( z)

=

a

,则

Re

? ??

1 2+i

? ??

=

A. 2 3

B. 2 5

C. ? 1 5

D. ? 1 3

2.函数 y = 1? 2x 的定义域为集合 A ,函数 y = ln (2x +1) 的定义域为集合 B ,则 A ∩ B =

A.

? ??

?

1 2

,

1 2

? ??

B.

? ??

?

1 2

,

1 2

? ??

C.

? ??

?∞,

?

1 2

? ??

D.

? ??

1 2

,

+∞

? ??

3.已知向量 a = (1, 2) , b = ( x, 4) ,若 b = 2 a ,则 x 的值为

A. 2

B.4

C. ±2

D. ±4

4.已知数列{an} 的通项公式是 an = (?1)n (n +1) ,则 a1 + a2 + a3 + + a10 =

A. ?55

B. ?5

C.5

5.在区间 (0,1) 内任取两个实数,则这两个实数的和大于 1 的概率为
3

A. 17 18

B. 7 9

C. 2 9

D.55
D. 1 18

数学(文科)试题 A 第 1 页 共 4 页

6.设 a , b 为正实数,则“ a < b ”是“ a ? 1 < b ? 1 ”成立的 ab

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

7.已知

f1 ( x) = sin x + cos x ,

fn+1 ( x) 是

fn ( x) 的导函数,即

f2 (x) =

f1′ ( x) ,

f3 ( x) =

f


2

(

x

)

,…,

fn+1 ( x)

=

f


n

(

x

)



n



N*

,则

( ) f2011 x

=

A. sin x + cos x

B. sin x ? cos x

C. ? sin x + cos x D. ? sin x ? cos x

8.一条光线沿直线 2x ? y + 2 = 0 入射到直线 x + y ? 5 = 0 后反射,则反射光线所在的直线方程为

A. 2x + y ? 6 = 0 B. x + 2 y ? 9 = 0

C. x ? y + 3 = 0

D. x ? 2 y + 7 = 0

9.点

P

是棱长为

1

的正方体

ABCD

?

A1B1C1D1

内一点,且满足

AP

=

3 4

AB

+

1 2

AD

+

2 3

AA1

,则点

P



棱 AB 的距离为

A. 5 6

B. 3 4

C. 13 4

D. 145 12

10.如果函数 f ( x) = x + a ? x2 ? 2 (a > 0) 没有零点,则 a 的取值范围为

A. (0,1)

( ) B. (0,1) ∪ 2, +∞

C. (0,1) ∪ (2, +∞)

( ) D. 0, 2 ∪(2, +∞)

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题)

11.若

tan α

=

1 2

,则

tan ???α

+

π 4

? ??

的值为



{ } 12.若关于 x 的不等式 m ( x ?1) > x2 ? x 的解集为 x 1 < x < 2 ,则实数 m 的值为 .
13.将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12 , 2 × 6 , 3× 4 三种,其中 3× 4 是这三种分解中,两数
( ) 差的绝对值最小的,我们称 3× 4 为12的最佳分解.当 p × q p ≤ q且p, q ∈ N* 是正整数 n 的最佳分解

时,我们规定函数 f (n) = p ,例如 f (12) = 3 .关于函数 f (n) 有下列叙述:① f (7) = 1 ,

q

4

7

② f (24) = 3 ,③ f (28) = 4 ,④ f (144) = 9 .其中正确的序号为

8

7

16

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)

(填入所有正确的序号).

14.(几何证明选讲选做题)在梯形 ABCD 中, AD BC , AD = 2 , BC = 5 ,点 E 、 F 分别在 AB 、

CD 上,且 EF

AD ,若 AE = 3 ,则 EF 的长为



EB 4

数学(文科)试题 A 第 2 页 共 4 页

15.(坐标系与参数方程选做题)设点

A

的极坐标为

? ??

2,

π 6

? ??

,直线 l

过点

A

且与极轴所成的角为

π 3

,则直

线 l 的极.坐.标.方程为



三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.(本小题满分12分)

某地区对 12 岁儿童瞬时记忆能力进行调查.瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学

生共有 40 人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.例如表中听觉记忆能力为中等,且视觉记

忆能力偏高的学生为 3 人.

视觉

视觉记忆能力

听觉

偏低 中等 偏高 超常

偏低 听觉

0

7

5

1

中等 记忆

1

8

3

b

能力 偏高

2

a

0

1

超常

0

2

1

1

由于部分数据丢失,只知道从这 40 位学生中随机抽取一个,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能

力为中等或中等以上的概率为 2 . 5

(1)试确定 a 、 b 的值;

(2)从 40 人中任意抽取 1 人,求此人听觉记忆能力恰为中等,且视觉记忆能力为中等或中等以上的

概率.

17.(本小题满分12分)



如图1,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60 方向的 B 处,且与岛屿 A 相距12

C

海里,渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行,若渔

船甲同时从 B 处出发沿北偏东α 的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上.

(1)求渔船甲的速度;
(2)求 sin α 的值.

西α

A东

60

18.(本小题满分14分)

B
南 图1

已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ,且 S10 = 55 , S20 = 210 .

(1)求数列{an} 的通项公式;

( ) (2)设 bn

=

an an+1

,是否存在 m

、k

k > m ≥ 2, k, m ∈ N*

,使得 b1 、bm 、bk 成等比数列.若存在,

求出所有符合条件的 m 、 k 的值;若不存在,请说明理由.

数学(文科)试题 A 第 3 页 共 4 页

19.(本小题满分14分)

一个几何体是由圆柱 ADD1A1 和三棱锥 E ? ABC 组合而成,点 A 、B 、C 在圆 O 的圆周上,其正(主)

视图、侧(左)视图的面积分别为 10 和 12,如图 2 所示,其中 EA ⊥ 平面ABC ,AB ⊥ AC ,AB = AC ,

AE = 2 .

(1)求证: AC ⊥ BD ;

(2)求三棱锥 E ? BCD 的体积.

E

E

E

C

A1

O

B

D1

A A1

O

A

D D1

D

正(主)视图

图2

A 侧(左)视图

20.(本小题满分14分)
对定义域分别是 F 、 G 的函数 y = f (x) 、 y = g(x) ,规定:

? f (x)+ g(x),

函数

h(x)

=

? ?

f

(x),

??g ( x),

当x ∈ F且x ∈ G, 当x ∈ F且x ? G, 当x ? F且x ∈ G.

已知函数 f ( x) = x2 , g ( x) = alnx (a ∈ R) .

(1)求函数 h ( x) 的解析式;

(2)对于实数 a ,函数 h ( x) 是否存在最小值,如果存在,求出其最小值;如果不存在,请说明理由.

21.(本小题满分14分)

已知双曲线

C



x2 a2

?

y2 b2

=1

(a

> b > 0) 和圆 O : x2

+

y2

= b2 (其中原点 O 为圆心),过双曲线上

一点 P ( x0 , y0 ) 引圆 O 的两条切线,切点分别为 A 、 B .

(1)若双曲线 C 上存在点 P ,使得 ∠APB = 90 ,求双曲线离心率 e 的取值范围; (2)求直线 AB 的方程; (3)求三角形 OAB 面积的最大值.

数学(文科)试题 A 第 4 页 共 4 页

2011 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)

数学(文科)试题参考答案及评分标准

说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的 分数.
2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分 数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

答案 B

A

C

C

A

C

D

DAC

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满

分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题.

11.3

12.2

13.①③

14. 23 7

15.

ρ

sin

? ??

π 3



? ??

=

1或

ρ

cos

? ??

π 6



? ??

=

1或

ρ

sin

???θ

?

4π 3

? ??

=

1



3ρ cosθ ? ρ sinθ ? 2 = 0

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) (本小题主要考查概率与统计的概念,考查运算求解能力等.)
解:(1)由表格数据可知视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生有 (10 + a) 人.

记“视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件 A , 则 P( A) = 10 + a = 2 , …………………………………………………………………………………4 分
40 5 解得 a = 6 . ………………………………………………………………………………………………5 分 因为 32 + a + b = 40 ,所以 b = 2 . 答:a 的值为 6,b 的值为 2.……………………………………………………………………………7 分
(2)由表格数据可知,听觉记忆能力恰为中等,且视觉记忆能力为中等或中等以上的学生有 (11+ b) 人,

由(1)知,b = 2 ,即听觉记忆能力恰为中等,且视觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有 13 人.
………………………9 分
记“听觉记忆能力恰为中等,且视觉记忆能力为中等或中等以上”为事件 B ,
则 P ( B) = 11+ b = 13 .
40 40 答:听觉记忆能力恰为中等,且视觉记忆能力为中等或中等以上的概率为 13 .…………………12 分
40
数学(文科)试题 A 第 1 页 共 9 页

17.(本小题满分12分) (本小题主要考查方位角、正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力等.)

解:(1)依题意, ∠BAC = 120 , AB = 12 , AC = 10× 2 = 20 , ∠BCA = α .………………………2分

在△ ABC 中,由余弦定理,得



BC2 = AB2 + AC2 ? 2AB × AC × cos ∠BAC ……………………4分

C

= 122 + 202 ? 2×12× 20× cos120 = 784 .

解得 BC = 28 .………………………………………………………6分

所以渔船甲的速度为 BC = 14 海里/小时. 2

西 α 60 A



答:渔船甲的速度为14 海里/小时.…………………………………7分

B 南

(2)方法1:在△ ABC 中,因为 AB = 12 , ∠BAC = 120 , BC = 28 ,

∠BCA = α , 由正弦定理,得 AB = BC .……………………………………………………………………9分
sinα sin120

即 sinα = AB sin120

12 × =

3 2 =3

3.

BC

28 14

答: sin α 的值为 3 3 .………………………………………………………………………………12 分 14
方法2:在△ ABC 中,因为 AB = 12 , AC = 20 , BC = 28 , ∠BCA = α , 由余弦定理,得 cosα = AC 2 + BC 2 ? AB2 .…………………………………………………………9分
2AC × BC

即 cosα = 202 + 282 ?122 = 13 . 2× 20× 28 14

因为α 为锐角,所以 sin α =

1? cos2 α =

1

?

? ??

13 14

?2 ??

=

3 3. 14

答: sin α 的值为 3 3 .………………………………………………………………………………12 分 14

数学(文科)试题 A 第 2 页 共 9 页

18.(本小题满分14分) (本小题主要考查等差数列、等比数列、不等式等基础知识,考查方程思想以及运算求解能力.)

解:(1)设等差数列{an} 的公差为

d

,则

Sn

=

na1

+

n(n ?1)
2

d

.………………………………………1



由已知,得

???10a1 ? ???20a1

+ 10× 9 d 2
+ 20×19 2

= d

55, = 210.

………………………………………………………………………3





???22aa11

+ +

9d = 11, 19d = 21.

解得

???ad1

= 1, = 1.

…………………………………………………………………………5



所以 an = a1 + (n ?1)d = n ( n ∈ N? ).………………………………………………………………6 分
(2)假设存在 m 、 k (k > m ≥ 2, m, k ∈ N) ,使得 b1 、 bm 、 bk 成等比数列,

则 bm2 = b1bk .……………………………………………………………………………………………7 分

因为 bn

=

an an+1

=

n ,…………………………………………………………………………………8 n +1



所以 b1

=

1 2 , bm

=

m m +1, bk

=

k. k +1

所以

? ??

m ?2 m +1??

=

1 2

×

k k +1

.……………………………………………………………………………9



整理,得

k

=

2m2 ?m2 + 2m

+1

.…………………………………………………………………………10



以下给出求 m , k 的三种方法:

方法 1:因为 k > 0 ,所以 ?m2 + 2m +1 > 0 .………………………………………………………11 分

解得1? 2 < m < 1+ 2 .……………………………………………………………………………12 分

因为 m ≥ 2, m ∈ N* , 所以 m = 2 ,此时 k = 8 . 故存在 m = 2 、 k = 8 ,使得 b1 、 bm 、 bk 成等比数列.……………………………………………14 分

方法

2:因为

k

>

m

,所以

k

=

2m2 ?m2 + 2m

+1

>

m

.…………………………………………………11



数学(文科)试题 A 第 3 页 共 9 页



m2

2m ? 2m

?

1

+

1

<

0

,即

m2 ?1 m2 ? 2m ?1

<

0



解得 ?1 < m < 1? 2 或1 < m < 1+ 2 .………………………………………………………………12 分

因为 m ≥ 2, m ∈ N* , 所以 m = 2 ,此时 k = 8 . 故存在 m = 2 、 k = 8 ,使得 b1 、 bm 、 bk 成等比数列.……………………………………………14 分

方法

3:因为

k

>

m



2

,所以

k

=

2m2 ?m2 + 2m

+1

>

2

.……………………………………………11





m2

m2 ? 2m

?

1

+

1

<

0

,即

2m2 ? 2m ?1 m2 ? 2m ?1

<

0



解得1? 2 < m < 1? 3 或 1+ 3 < m < 1+ 2 .…………………………………………………12 分

2

2

因为 m ≥ 2, m ∈ N* , 所以 m = 2 ,此时 k = 8 . 故存在 m = 2 、 k = 8 ,使得 b1 、 bm 、 bk 成等比数列.……………………………………………14 分

19.(本小题满分14分) (本小题主要考查锥体体积,空间线线、线面关系,三视图等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以
及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.)
(1)证明:因为 EA ⊥ 平面ABC , AC ? 平面ABC ,所以 EA ⊥ AC ,即 ED ⊥ AC . 又因为 AC ⊥ AB , AB ∩ ED = A ,所以 AC ⊥ 平面 EBD . 因为 BD ? 平面EBD ,所以 AC ⊥ BD .………………………………………………………………4 分
(2)解:因为点 A 、 B 、 C 在圆 O 的圆周上,且 AB ⊥ AC ,所以 BC 为圆 O 的直径. 设圆 O 的半径为 r ,圆柱高为 h ,根据正(主)视图、侧(左)视图的面积可得,

???2rh ? ???2rh

+ +

1 2 1 2

r × 2 = 10, × 2r × 2 = 12.

…………………………………………6



解得

?r ?? h

= =

2, 2.

E

C

A1

O

A

B

D1

D

所以 BC = 4 , AB = AC = 2 2 .………………………………………………………………………8 分

数学(文科)试题 A 第 4 页 共 9 页

以下给出求三棱锥 E ? BCD 体积的两种方法:

方法 1:由(1)知, AC ⊥ 平面 EBD ,

所以 VE ? BCD

= VC?EBD

=

1 3

SΔEBD

× CA .………………………………………………………………10



因为 EA ⊥ 平面ABC , AB ? 平面ABC ,

所以 EA ⊥ AB ,即 ED ⊥ AB .

其中 ED = EA + DA = 2 + 2 = 4 ,因为 AB ⊥ AC , AB = AC = 2 2 ,

所以

SΔEBD

=

1 2

×

ED ×

AB

=

1 2

×4×2

2=4

2 .…………………………………………………13 分

所以 VE ? BCD

=

1×4 3

2×2

2 = 16 .…………………………………………………………………14 分 3

方法 2:因为 EA ⊥ 平面ABC ,

所以 VE ? BCD

= VE? ABC

+ VD? ABC

=

1 3

SΔABC

× EA +

1 3 SΔABC

× DA =

1 3

SΔABC

× ED .…………………10



其中 ED = EA + DA = 2 + 2 = 4 ,因为 AB ⊥ AC , AB = AC = 2 2 ,

所以 SΔABC

=

1× 2

AC ×

AB

=

1×2 2

2×2

2 = 4 .…………………………………………………13 分

所以 VE ? BCD

=

1×4×4 3

=

16 3

.…………………………………………………………………………14



20.(本小题满分14分) (本小题主要考查分段函数、导数、函数的单调性和最值等基础知识,考查分类讨论思想,以及运算求解 能力和推理论证能力等.)
解:(1)因为函数 f ( x) = x2 的定义域 F = (?∞, +∞) ,函数 g ( x) = a ln x 的定义域 G = (0, +∞) ,

所以

h

(

x

)

=

?? ? ??

x x

2 2

+ ,

a

ln

x,

x > 0,
……………………………………………………………………4 分
x≤0.

(2)当 x≤0 时,函数 h ( x) = x2 单调递减,

所以函数 h ( x) 在 (?∞, 0] 上的最小值为 h (0) = 0 .……………………………………………………5 分

当 x > 0 时, h ( x) = x2 + a ln x .

若 a = 0 ,函数 h ( x) = x2 在 (0, +∞) 上单调递增.此时,函数 h ( x) 不存在最小值.……………6 分

若 a > 0 ,因为 h′( x) = 2x + a = 2x2 + a > 0 ,………………………………………………………7 分
xx
所以函数 h ( x) = x2 + a ln x 在 (0, +∞) 上单调递增.此时,函数 h ( x) 不存在最小值.……………8 分

数学(文科)试题 A 第 5 页 共 9 页

?

若a

<

0

,因为 h′( x)

=

2x2

+

a

=

2? ?

x

+

?

a 2

? ? ?

? ? ?

x

?

?

a 2

? ? ?

,……………………………………9



x

x

所以函数

h(

x)

=

x2

+

a

ln

x



? ???

0,

?

a 2

? ???

上单调递减,在

? ???

?

a 2

,

+∞

? ???

上单调递增.此时,函数

h

(

x

)

? 的最小值为 h ???

?

a 2

? ???

.…………………………………………………………………………………10



? 因为 h ???

?

a 2

? ???

=

?

a 2

+

a

ln

?

a 2

=

?

a 2

+

a 2

ln

? ??

?

a? 2 ??

=

?

a 2

???1?

ln

? ??

?

a ?? 2 ????

,………………………11



? 所以当 ?2e≤a < 0 时, h ???

?

a 2

? ???≥0

,当

a

<

?2e

时,

h

? ???

?

a 2

? ???

<

0

.…………………………13



综上可知,当 a > 0 时,函数 h ( x) 没有最小值;当 ?2e≤a≤0 时,函数 h ( x) 的最小值为 h (0) = 0 ;



a

<

?2e

时,函数

h

(

x

)

的最小值为

h

? ???

?

a 2

? ???

=

?

a 2

???1

?

ln

? ??

?

a 2

?? ????

.……………………………14



21.(本小题满分14分) (本小题主要考查圆、双曲线、直线方程和不等式等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力,以及 分类讨论思想与创新意识等.)

解:(1)因为 a > b > 0 ,所以 b < 1 ,所以 e = c =

a

a

a2 + b2 = a

1

+

? ??

b a

?2 ??

<

2 .…………………1 分

由 ∠APB = 90 及圆的性质,可知四边形 PAOB 是正方形,所以 OP = 2b .

因为 OP =

2b ≥ a ,所以 b ≥ 2 ,所以 e = c =

a2

a

a2 + b2 = a

1

+

? ??

b a

?2 ??



6 .……………3 分 2

? 故双曲线离心率 e 的取值范围为 ?
?

6, 2

? 2 ??? .…………………………………………………………4 分

(2)方法 1:因为 PA2 = OP2 ? OA2 = x02 + y02 ? b2 ,

所以以点 P 为圆心, PA 为半径的圆 P 的方程为 ( x ? x0 )2 + ( y ? y0 )2 = x02 + y02 ? b2 .………5 分

因为圆 O 与圆 P 两圆的公共弦所在的直线即为直线 AB ,……………………………………………6 分

所以联立方程组

?? x 2
???( x

+ ?

y2 = b2,
x0 )2 + ( y

?

y0

)2

=

x02

+

y02

………………………………………………7 分
? b2.

数学(文科)试题 A 第 6 页 共 9 页

消去 x2 , y2 ,即得直线 AB 的方程为 x0 x + y0 y = b2 .………………………………………………8 分

方法 2:设 A( x1, y1 ) B ( x2, y2 ) ,已知点 P ( x0 , y0 ) ,

( ) 则 kPA =

y0 x0

? ?

y1 x1

, kOA

=

y1 x1

其中x1 ≠ x0 , x1 ≠ 0 .

因为

PA



OA ,所以 kPAkOA

=

?1 ,即

y0 x0

? ?

y1 x1

×

y1 x1

=

?1.…………………………………………5



整理得 x0 x1 + y0 y1 = x12 + y12 .

因为 x12 + y12 = b2 ,所以 x0 x1 + y0 y1 = b2 .……………………………………………………………6 分

因为 OA = OB , PA = PB ,根据平面几何知识可知, AB ⊥ OP .

因为 kOP

=

y0 x0

,所以 kAB

=

?

x0 y0

.………………………………………………………………………7 分

所以直线

AB

方程为

y

?

y1

=

?

x0 y0

(

x

?

x1

)



即 x0 x + y0 y = x0 x1 + y0 y1 .

所以直线 AB 的方程为 x0 x + y0 y = b2 .………………………………………………………………8 分

方法 3:设 A( x1, y1 ), B ( x2, y2 ) ,已知点 P ( x0 , y0 ) ,

( ) 则 kPA =

y0 x0

? ?

y1 x1

, kOA

=

y1 x1

其中x1 ≠ x0 , x1 ≠ 0 .

因为

PA



OA ,所以 kPAkOA

=

?1 ,即

y0 x0

? ?

y1 x1

×

y1 x1

=

?1.…………………………………………5



整理得 x0 x1 + y0 y1 = x12 + y12 . 因为 x12 + y12 = b2 ,所以 x0 x1 + y0 y1 = b2 .……6 分

y P

这说明点 A 在直线 x0 x + y0 y = b2 上. …………7 分

A

同理点 B 也在直线 x0 x + y0 y = b2 上. 所以 x0 x + y0 y = b2 就是直线 AB 的方程. ……8 分 (3)由(2)知,直线 AB 的方程为 x0 x + y0 y = b2 ,

O

x

B

所以点 O 到直线 AB 的距离为 d =

b2



x02 + y02

数学(文科)试题 A 第 7 页 共 9 页

因为 AB = 2 OA 2 ? d 2 = 2 b2 ? b4 = 2b x02 + y02 ? b2 ,

x02 + y02

x02 + y02

所以三角形 OAB 的面积 S = 1 × AB × d = b3 2

x02 + y02 ? b2 x02 + y02

.……………………………………10 分

以下给出求三角形 OAB 的面积 S 的三种方法:

方法

1:因为点 P ( x0 , y0 ) 在双曲线

x2 a2

?

y2 b2

= 1 上,

( ) 所以

x02 a2

?

y02 b2

= 1 ,即

y02

=

b2 x02 ? a2b2 a2

x02 ≥ a2 .

设t =

x02 + y02 ? b2 =

? ?1

+

?

b2 a2

? ?

x02

?

? 2b2



a2 ? b2 ,

所以

S

=

b3t t2 + b2

.………………………………………………………………………………………11



( ) 因为

S′

=

?b3

(t +b)(t ?
t2 + b2 2

b)



所以当 0 < t < b 时, S′ > 0 ,当 t > b 时, S′ < 0 .

所以

S

=

b3t t2 + b2



( 0, b )

上单调递增,在 (b,

+∞)

上单调递减.……………………………………12





a2 ? b2 ≤ b ,即 b < a ≤

2b

时, S最大值

=

b3 ×b b2 + b2

=

1 b2 ,…………………………………13 2



( ) 当

a2 ? b2 > b ,即 a >

2b 时, S最大值 =

b3 × a2 ? b2 = b3 2 a2 ? b2 + b2

a2 ? b2 . a2

综上可知,当 b < a ≤

2b

时,

S最大值

=

1 2

b2

;当

a

>

2b 时, S最大值 = b3

a2 ? b2 a2

.………14 分

方法 2:设 t =

x02

+

y02

? b2

,则 S

=

b3t t2 + b2

=

b3 t + b2

.…………………………………………11 分

t

( ) ( ) 因为点 P

x0 , y0

在双曲线 x2 a2

?

y2 b2

= 1 上,即

x02 a2

?

y02 b2

= 1 ,即 y02

=

b2 x02 ? a2b2 a2

x02 ≥ a2 .

所以 t =

x02 + y02 ? b2 =

? ?1

+

?

b2 a2

? ?

x02

?

? 2b2



a2 ? b2 .

数学(文科)试题 A 第 8 页 共 9 页

令 g (t) = t

+

b2 t

,则

g



(

t

)

=

1

?

b2 t2

=

(t +b)(t
t2

?b) .

所以当 0 < t < b 时, g′(t ) < 0 ,当 t > b 时, g′(t ) > 0 .

所以 g (t ) = t + b2 在 (0, b) 上单调递减,在 (b, +∞) 上单调递增.…………………………………12 分
t



a2 ? b2 ≤ b ,即 b < a ≤

2b 时, S最大值

= b3 b + b2

= 1 b2 ,……………………………………13 分 2

b

当 a2 ? b2 > b ,即 a > 2b 时, S最大值 =

b3

a2 ? b2 +

b2

= b3 a2 ? b2 . a2

a2 ? b2

综上可知,当 b < a ≤

2b

时,

S最大值

=

1 2

b2

;当

a

>

2b 时, S最大值 = b3

a2 ? b2 a2

.………14 分

方法 3:设 t = x02 + y02 ,则 S = b3

t ? b2 = b3 t

?b2

? 1 ?2 ?? t ??

+

1 t

.…………………………………11



( ) ( ) 因为点 P

x0 , y0

在双曲线 x2 a2

?

y2 b2

= 1 上,即

x02 a2

?

y02 b2

= 1 ,即 y02

=

b2 x02 ? a2b2 a2

x02 ≥ a2 .

所以 t

=

x02

+

y02

=

??1 + ?

b2 a2

? ? ?

x02

? b2



a2





g (u)

=

?b 2u 2

+u

=

?b2

? ??

u

?

1 2b2

?2 ??

+

1 4b2



所以

g

(u

)



? ??

?∞,

1 2b2

? ??

上单调递增,在

? ??

1 2b2

,

+∞

? ??

上单调递减.………………………………12



因为

t



a

,所以

u

=

1 t



? ??

0,

1 a2

? ??





1 2b2



1 a2

,即 b

<

a



2b

时, ??g (u )??max

=

g

? ??

1 2b2

? ??

=

1 4b2

,此时 S最大值

=

b3

×

1 2b

=

1 b2 . 2

………………………………13 分

当 1 > 1 ,即 a > 2b2 a2

2b 时, ??g (u )??max

=

g

? ??

1 a2

? ??

=

a2 ? b2 a4

,此时 S最大值

=

b3

a2 ? b2 . a2

综上可知,当 b < a ≤

2b

时,

S最大值

=

1 2

b2

;当

a

>

2b 时, S最大值 = b3

a2 ? b2 a2

.………14 分

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