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2012高一数学 2.1.2 指数函数的图象与性质课件 新人教A版必修1_图文

时间:

指数函数的图象与性质

概念 图象 性质 应用 练习

总结
作业

退出

概念 图象

1.某种细胞分裂时,由1个分裂成两 个,两个分 裂成4个……,一个这样的细胞分裂x次后,得到 的细胞个数y与x的函数关系是 。

性质
应用 2.某种商品的价格从今年起每年降低15%设原来 的价格为1,x年后的价格为y,则y与x的函数关系 式?

练习
总结 作业 思考

新课
概念 退出

概念 图象

第一题: 细胞分裂过程

细胞个数

性质 第一次
应用 第二次 练习 第三次 总结

y 表达式: = 2
……

x

2=21 4=22 8=23
2x

第x次 作业
思考

细胞个数y关于分裂次数x的表达式为
退出

新课
概念

概念 图象

第二题:
列表 x y 1 2 3 4 5 0.85 0.852 0.853 0.854 0.855 6 0.856

性质
应用 练习 总结 作业 思考 新课 概念

由上面的对应关系可知,函数关系是:

y ? 0.85x
退出

概念 图象

性质
应用 练习 总结 作业 思考

设问1:象y= 2 , 2 ?1 我们以前学习过的 y ? x, y ? x , y ? x , 一样吗?有没有区别?

x

y ? 0.84 x 这类函数与

设问2:当x取全体实数时,为使 x x y= a 有意义,对y= a 中的底数a 有什么要求?

新课
概念 退出

概念 图象



y?2

x

y ? 0.85 中指数x是自变量,
x

底数是一个大于0且不等于1的常量. 我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个 大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.
底为常数 指数为自变量

性质
应用 练习 总结 作业 思考

形如

y ? a x ( a ? 0 , 且a ? 1 ) 的函数叫做指数函数
幂为函数值 其中 x 为自变量,定义域为 R

新课 概念
退出

概念 探究1:为什么要规定a>0,且a 图象
? ?

? 1呢?
a

性质
应用 练习 总结 作业 思考

①若a=0,则当x>0时,

0

1

=0; x 当x ? 0时, a 无意义. x ②若a<0,则对于x的某些数值,可使 a 无意义. 1 1 x 如 (?2) ,这时对于x= ,x= 4 2 ……等等,在实数范围内函数值不存在. ③若a=1,则对于任何x? R,

a

x

a x =1,是一个常量,没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况,所以规定a>0且a?1。 退出

新课
概念

概念 图象 性质 应用 练习 总结 作业 思考 新课 概念 练习: 若 y ? (a2 ? 4) x 是一个指数函数,求a的取值范围。

解:由指数函数的定义可知,底数应该是大于 且不等于1的常量。所以,

a ? 4 ? 0, 且a ? 4 ? 1
2 2

退出

概念 探究2:函数 y ? 2 ? 3 x 是指数函数吗? 图象 x x 指数函数的解析式y= a 中,a 的系数是1. 性质 有些函数貌似指数函数,实际上却不是,如 应用 x y ? a ?k (a ? 0且a ? 1, k ? z) 练习 有些函数看起来不像指数函数,实际上却是,如 总结 ?x 作业 思考

y?a

(a ? 0, 且a ? 1)
x

?1? 因为它可以化为 y ? ? a ? ? ?

1 1 ( ? 0, 且 ? 1) a a

新课
概念 退出

概念 图象

练习2:
下列函数是否是指数函数:

性质
应用 练习 总结

(1) y ? 0.2x (4) y ? 3?x

(2) y ? ? x

(3) y ? (?2)x

(5) y ?1x

答案:(1) ,(2), (4)是指数函数。

作业 下列函数中,哪些是指数函数? 思考
y ? 4x y? x
4

y ? ?4
我 不 是

x

y ? 4 x ?1

新课
概念

退出

概念 图象

用描点法作函数 ? 2x 和y ? 3x的图象 y .

函数图象特征
-2 1/4 1/9 -1 ? 1/3
x

性质
应用 练习 总结 作业 图像

x y=2x y=3x

… -3 … 1/8 … 1/27

0 1 1

1 2 3
x

2 4 9

3 8 27

… … …

yy ? 3

y?2

1
-3 -2 -1

o

1

2

3

x
退出

概念 图象

函数图象特征
1 1 用描点法作函数 y ? ( ) x 和y ? ( ) x 的图象 . 2 3

性质
应用 练习 总结 作业 图像

x … -3 y=2-x … 8 y=3-x … 27
1 y ? ( )x 2

y ? ( )x 3

-2 4 9 1

-1 2 3
Y

0 1 1

1 2 1/2 1/4 1/3 1/9

3 … 1/8 … 1/27 …

Y=1
O X 退出

y

?1? y?? ? ? 2?

x

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x

y ? 2x

1

0

1

x

y

y

y

?1? y?? ? ? 2?

x

y ? ax
(a ? 1)

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x

y ? 2x

y ? ax
(0 ? a ? 1)

1 1

1 1

0

x

0

0 x

x

概念

观察右边图象,回答下列问题:

Y O

y=3X

y = 2x

图象 问题一: 性质 图象分别在哪几个象限?

Y=

X

应用
练习 总结 作业

Ⅰ、Ⅱ 答四个图象都在第____象限。

问题二: 图象的上升、下降与底数a有联系吗?

a > 0 < a < 1 答:当底数__1时图象上升;当底数____时图象下降.

问题三: 图像 图象中有哪些特殊的点?
(0, ) 1 答:四个图象都经过点____.

退出

概念 问题四: 1 y ? ( ) x 图像是否具有 图象 指数函数 2
对称性?

观察右边图象,回答下列问题:1 x
y?( ) 2

1 y ? ( )x 3

y=3X

Y

y = 2x

性质 答: 不关于y轴对称不关 应用 于原点中心对称 练习 问题五: x y ? 3 与 y ? ( 1 ) x 图象有 函数 3 总结 什么关系 ? 作业 答: 关于y轴对称。
图像

Y

O

X

当底数a(a ? 0且a ? 1)
取任意值时,指数 函数图象是什么样?

退出

三、深入探究,加深理解 在第二象限与
第一象限相反 (底小图高)
y

引导学生 观察图像,发 现图像与底的 关系

在第一象限沿 箭头方向底增 大 (底大图高)

?1? y?? ? ? 2?

x

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x y ? 2x

底互为倒数的 两个函数图像 关于y轴对称
1 0
?1? y?? ? ? 3?
x

?1? y?? ? ? 2?

x

x

y

y

y ? ax
(a ? 1)

y ? ax
(0 ? a ? 1)

1

1

0

x

0

x

概念 图象

指数函数的图象和性质

a>1 图 象 性 质

0<a<1

性质
应用 练习 总结 作业

退出

概 念 图 象 性 质

a>1 图 象 性
y=1 y y=ax
(a>1) (0,1)

0<a<1
y y=ax
(0<a<1)
(0,1)

y=1 x

应 用
练 习 总 结 作 业

x

0

值 域:

R 定义域: (0,+ ∞ )

必过 点: 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 . (
质 在 R 上是 增函数
在 R 上是 减函数
退出

概 念 图 象 性 质 应 用 练 习 总 结

a>1
图 象
y=1 y y=ax
(a>1)
(0,1)

0<a<1
y y=ax
(0<a<1)
(0,1)

y=1 x

x

0

R 定义域: 当 x < 0 时,y < 1; ( 0 , + ∞ ) 当 x < 0 时,y > 1; 值 域: 性 当 x > 0 时,y < 1。 当 x > 0 时,y > 1. , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 . 必过 点: 0 (

作 业

质 在 R 上是 增函数

在 R 上是 减函数
退出

概念 图象 例1、求下列函数的定义域:


性质
应用 练习 总结 作业 例1

y?2

x2 ?1
3? x

?1? ② y ?? ? ? 3?
解: ①


x?R

由 3 ? x ? 0,得 x ? 3

例2
例3 退出

概念

图象 例2:
性质 应用 已知指数函数 f( x ) ? a
x

(a>0,且a≠1)的图象

经过点(3,π),求 f(0)、f(1)、f(-3)的值.
分析:要求f (0), f (1), f (?3)的值,需要我们先求 这一条件,可以求得底数a的值。
1 3
1 3

练习
总结 作业

出指数函数的解析式。根据函数图像经过(3,?)

解:因为指数函数y=ax的图像经过点(3,?),所以 f (3) ? ? .

即a3 ? ? , 解得a ? ? , 于是f ( x) ? ? .

x 3

例1

所以,f (0) ? ? 0 ? 1,f (1) ? ? ? 3 ? ,f (?3) ? ? ?1 ?

1

例2
例3

?

.

退出

概念 4 a 4 b a a ?1 ?0.1 ?0.2 图象 (1)1.7 与1.7 , (2)0.8 与0.8 (3)已知( ) ?( ) , 比较a,b的大小 7 7 性质 解:()考查函数y ?1.7x,它在实数集上是增函数 1 应用 a ?1.7a ?1 因为a ?a ?1,所以1.7 练习 (2)考查函数y ? 0.8x,它在实数集上是减函数 总结 因为?0.1??0.2,所以0.8?0.1?0.8?0.2 作业

例、利用指数函数的性质,比较下列各题中两个值的大小

例1

例2
例3

4 x (3)考查函数y ? ),它在实数集上是减函数 ( 7 4)(4),所以a?b 因为( a ? b 7 7
退出

概念 图象 值的大小 性质 1、比较下列各题中两个 概念 0.8 与30.7 ; (2)0.75?0.1 与0.750.1 (1)3 练习 总结 3 作业 1 1 8 ?
练习1 练习2

(3)( ) 与( ) (4)( ; 4 2 7 (5).7 与0.9 1
0.3 3

0.8

1.8

5 7 与( 7 ) 12 )

8

退出

当堂训练,共同提高
同底指数幂比大 小,构造指数函数, 比较下列各题中两值 利用函数单调性 同底比较大小 不同底但可化同底

? 练习1: 的大小

(1) 1.72.5 , 1.73; (2) 0.8-0.1,0.8-0.2 不同底数幂比大小 ,利用指数函数图像 与底的关系比较 (3) 与 (4) 与 (5)(0.3) -0.3 与 (0.2) -0.3 利用函数图像 或中间变量进行 比较 (6)1.70.3,0.93.1

不同底但同指数 底不同,指数也不同

练习2:已知下列不等式 , 比较 m,n 的大小 : 知识的逆用,建立函数 m n 思想和分类讨论思想 (1) 2 ? 2 0.2m ? 0.2n (2) n am (3) ? a (a ? 0且a ? 1)

概念

图象
性质 概念

3.练习:
1.当a ? (1,+?) 时,函数y ? a x (a ? 0且a ? 1)为增函数. 2.若函数f ( x) ? (2a ? 1) x 是减函数, 则a的取值范围 1 3.函数y ? ( ) 2

这时,当x ? (0, +?) 时, y ? 1. 练习
总结

是 (-1/2,0) . 作业
x ?1

的定义域是 [1, +?) , 值域是 (0,1] .

练习1

练习2

退出

【1】在同一坐标系下,函数y=ax,y=bx,y=cx, y=d x的图象如下图,则a, b, c, d, 1之间从 小到大的顺序是__________________.

b ? a ?1? d ? c
y ?b
x

y

y ?c

x

y ?a

x

y?d

x

o

x

(

【2】指数函数 ①f ( x) ? m , ②g( x) ? n , 满足不等式 0 ? ).
x x

n ? m ? 1,则它们的图象是
D

y
A.

① ②

y

② ①
B.

o
② ①
C.

x
y
① ②

o
y

x

D.

o

x

o

x

y ? a x (a ? 0且a ? 1) 1.指数函数的定义: 函数 概念 叫做指数函数,其中x是自变量,函数定义域是R。 图象 2.指数函数的的图象和性质: a>1 0<a<1 性质 图 应用 象 练习 性 1.定义域:R 总结 质 2.值域:(0,+∞)
6
6 5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0

2

4

6

-4

-2

0

2

4

6

-1

-1

作业

3.过点(0,1),即x=0时,y=1 4.在 R上是增函数 在R上是减函数

方法:利用函数图像研究函数性质是一种直观而形象的 方法,记忆指数函数性质时可以联想指数函数的图像。 退出

概念 图象 性质 应用 练习

练习
思考题:A先生从今天开始每天给你10万元, 而你第一天给A先生1元,第二天给A先生2元, 第三天给A先生4元,第四天给A先生8元…… (1)A先生要和你签订15天的合同,你同意签订 这个合同吗? (2)A先生要和你签订30天的合同,你同意签 订这个合同吗?

总结
作业

退出


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