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高中数学统计与概率知识点(学案、2011二模)

时间:2015-09-14


高中数学统计与概率知识点(文)
第一部分:统计
一、众数 一组数据中出现次数_________的那个数据,叫做这组数据的众数。 ①众数在一组数据中出现的次数最多; ②众数反映了一组数据的集中趋势; ③.众数可 能多个 二、中位数 一组数据按大小顺序排列,当有奇数个数据时,位于___________的一个数据; 当有偶数个数据时,为最中间两个数据的________数,叫做这组数据的中位数。 三 .平均数 平均数,就用各数据的总和除以数据的个数,得数就是这组数据的平均数。 四、标准差、方差 样本数据 x1,x2,?,xn 的平均数为 x ,则标准差的计算公式是:

s=

(x 1 - x )2 + (x 2 - x )2 + L + (x n - x )2 n

方差是标准差的平方 五、简单随即抽样:抽签法和随机数表法 (1)抽签法的操作步骤 第一步,将总体中的所有个体编号,并把号码写在形状、大小相同的号签上. 第二步,将号签放在一个容器中,并搅拌均匀 第三步,每次从中抽取一个号签,连续抽取 n 次,就得到一个容量为 n 的样本. (2)随机数表法操作步骤 第一步,将总体中的所有个体编号. 第二步,在随机数表中任选一个数作为起始数. 第三步,从选定的数开始依次向右(向左、向上、向下)读,将编号范围内的数取出, 编号范围外的数去掉,直到取满 n 个号码为止,就得到一个容量为 n 的样本. 六、系统抽样步骤 一般地,用系统抽样从含有 N 个个体的总体中抽取一个容量为 n 的样本,其操作步骤: 第一步,将总体的 N 个个体编号. 第二步,确定分段间隔 k,对编号进行分段.

第三步,在第 1 段用简单随机抽样确定起始个体编号 l. 第四步,按照一定的规则抽取样本. 七、分层抽样 若总体由差异明显的几部分组成时,适用分层抽样。一般地,分层抽样的操作步骤: 第一步,计算样本容量与总体的个体数之比. 第二步,将总体分成互不交叉的层,按比例确定各层要抽取的个体数. 第三步,用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取相应数量的个体. 第四步,将各层抽取的个体合在一起,就得到所取样本. 八、简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的区别与联系
方法 类别 共同 特点 抽样特征 相互联系 适应范围

简单随 机抽样 系统 抽样 抽样过 程中每 个个体 被抽取 的概率 相等

从总体中 逐个不放 回抽取 将总体分成 均衡几部 分,按规则 关联抽取 将总体分 成几层, 按比例分 层抽取 用简单随 机抽样抽 取起始号 码 用简单随 机抽样或 系统抽样 对各层抽 样

总体中 的个体 数较少 总体中 的个体 数较多 总体由 差异明 显的几 部分组 成

分层 抽样

九、列频率直分布表的步骤 第一步,求极差. 第二步,决定组距与组数. 第三步,确定分点,将数据分组. 第四步,列频率分布表.

频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O

0.5

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t

频率分布直方图中 ,小长方形的面积=频率=组距╳小长方形的高

十、根据样本频率分布直方图,估计总体的众数、中位数和平均数 (1)众数:最高矩形下端中点的横坐标. (2)中位数:直方图面积平分线与横轴交点的横坐标. (3)平均数:每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和. 十一:茎叶图 茎叶图又称“枝叶图”,它的思路是将数组中的数按位数进行比较,将数的大小基本 不变或变化不大的位作为一个主干(茎) ,将变化大的位的数作为分枝(叶) ,列在主干的 后面,这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数,每个数具体是多少。

第二部分:概率
一、随机事件的概率及概率的意义
1、基本概念:

(1)必然事件:在条件 S 下,一定_______发生的事件,叫相对于条件 S 的必然事件; (2)不可能事件:在条件 S 下,一定______发生的事件,叫相对于条件 S 的不可能事件; (3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件; (4) 随机事件: 在条件 S 下_____发生也可能_______的事件, 叫相对于条件 S 的随机事件; (5)频数与频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试 验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数;称事件 A 出现的比例

nA fn(A)= n 为事件 A 出现的概率: 对于给定的随机事件 A, 如果随着试验次数
的增加, 事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上, 把这个常数记作 P (A) , 称为事件 A 的概率。 (6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数 nA 与试验总次数

nA n 的比值 n ,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次
数的不断增多,这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概

率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试 验的前提下可以近似地作为这个事件的概率

二、 概率的基本性质 1、基本概念: (1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件 (2)若 A∩B 为不可能事件,即 A∩B=ф ,那么称事件 A 与事件 B 互斥; (3)若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件; (4)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);若事件 A 与 B 为对立 事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1 —P(B) 2、概率的基本性质: 1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A)≤1; 2)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B); 3)若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于 是有 P(A)=1—P(B); 4)互斥事件与对立事件的区别与联系: 互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会同时发生, 其具体包括三种不同的情形: (1)事件 A 发生且事件 B 不发生; (2)事件 A 不发生且事件 B 发生; (3)事件 A 与事件 B 同时不发生 对立事件是指事件 A 与事件 B 有且仅有一个发生,其包括两种情形; (1)事件 A 发生 B 不发生; (2)事件 B 发生事件 A 不发生,对立事件是互斥事件的特殊情形。 三、古典概型及随机数的产生 1、 (1)古典概型的使用条件:试验结果的有限性和所有结果的等可能性。 (2)古典概型的解题步骤;

①求出总的基本事件数;

A包含的基本事件数 ②求出事件 A 所包含的基本事件数,然后利用公式 P(A)= 总的基本事件个数
四、几何概型及均匀随机数的产生 1、基本概念: (1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体 积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型; (2)几何概型的概率公式:

构成事件A的区域长度(面积或体 积) 的区域长度(面积或体 积) P(A)= 试验的全部结果所构成 ;
(1) 几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每 个基本事件出现的可能性相等.

第三部分:

统计案例

1.线性回归方程 ①变量之间的两类关系:函数关系与相关关系; ②制作散点图,判断线性相关关系 ③线性回归方程: y ? bx ? a (最小二乘法)
n ? xi yi ? nx y ? ? i ?1 ? ?b ? n 2 ? xi2 ? nx ? ? i ?1 ? ? ? a ? y ? bx
?

注意:线性回归直线经过定点 ( x, y ) 。

2. 相关系数(判定两个变量线性相关性) :r ?

? (x
i ?1 n i ?1

n

i

? x)( yi ? y )
n

? ( xi ? x ) 2 ? ( y i ? y ) 2
i ?1

注:⑴ r >0 时,变量 x, y 正相关; r <0 时,变量 x, y 负相关;

(2) | r | 越接近于 1,两个变量的线性相关性越强; | r | 接近于 0 时,两个变量之 间几乎不存在线性相关关系。 3.回归分析中回归效果的判定: ⑴总偏差平方和:

?(y
i ?1

n

i

⑶残差平方和:? ( yi ? yi) 2 ; ? y ) 2 ⑵残差:ei ? yi ? yi ;
i ?1

?

?

n

?

⑷回归平方和:

? ( yi ? y) 2 - ? ( yi ? yi) 2 ;⑸相关指数 R 2 ? 1 ?
i ?1 i ?1
2

n

n

?

? ( yi ? yi ) 2 ?(y
i ?1 i ?1 n

n

?


i

? yi )

2

注:① R 得知越大,说明残差平方和越小,则模型拟合效果越好; ② R 越接近于 1, ,则回归效果越好。 4.独立性检验(分类变量关系) : 随机变量 K 越大,说明两个分类变量,关系越强,反之,越弱。 2 2 列联表 y1 x1 x2 总计 a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d
2

2

K=

2

达标练习
一、选择题
1、根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在 20~80 mg/100mL(不含 80)之间,属于酒后驾车;血液酒精浓度在 80mg/100mL(含 80)以 上时,属醉酒驾车。据有关报道,2009 年 8 月 15 日至 8 月 28 日,某地区查处酒后驾 车和醉酒驾车共 500 人,如图是对这 500 人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率 分布直方图, 则属于醉酒驾车的人数约 频率 为( ) 组距
0.0 2 0.01 5 0.0 1 0.00 5 20 30 40 50 60 70 80

A.25 C.75

B.50 D.100

酒精含量
90 100 (mg/100mL)

2、某赛季甲、乙两名篮球运动员各 13 场比赛得分情况用茎叶图表示如下: 甲 乙 9 8 8 1 7 7 9 9 6 1 0 2 2 5 6 7 9 9 5 3 2 0 3 0 2 3 7 1 0 4 根据上图,对这两名运动员的成绩进行比较,下列四个结论中,不正确 的是( ... A.甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B.甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数 C.甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值 D.甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 )

3、如图,矩形长为 6,宽为 4,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆,数得落在椭圆外的黄豆数 为 96 颗,以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( (A) 7.68 (C) 16.32 (B) 8.68 (D) 17.32 )

4、连续抛两枚骰子分别得到的点数是 a , b ,则向量 (a, b) 与向量 (1, ? 1) 垂直的概率是

(

)

5 (A) 12

1 (B) 6

(C)

1 3

1 (D) 2

5、已知 x,y 的取值如下表:( x y

) 0 2.2 1 4.3 3 4.8 4 6.7

从散点图可以看出 y 与 x 线性相关,且回归方程为 ? y ? 0.95x ? a ,则 a ? (A) 3.25 (B) 2.6 (C) 2.2 (D) 0

二、填空题
1、已知函数 f ( x) ? ax ? (b ? 1) x ? b ?1 ,且 a ? (0, 3) ,则对于任意
2

的 b ? R ,函数 F ( x) ? f ( x) ? x 总有两个不同的零点的概率是

.

3、 一个正方形的内切圆半径为 2,向该正方形内随机投一点 P,点 P 恰好落在圆内的概率 是__________ 4、某地为了调查职业满意度,决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群 体的相关人员中,抽取若干人组成调查小组,有关数据见下表,则调查小组的总人 数为 ;若从调查小组中的公务员和教师中随机选 2 人撰写调查报告,则 . 抽取人数

其中恰好有 1 人来自公务员的概率为 相关人员数 公务员 教师 自由职业者 32 48 64

x
y
4

5、某棉纺厂为了解一批棉花的质量,从中随机抽测 100 根棉花纤维

长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标) 。所得数据均在区间 ?5,40? 中,其频率分布 直方图如图所示,由图中数据可知 a ? _______,在抽测的 100 根中,棉花纤维的长度在

?20,30?内的有__________根。
频率 组距

0.06 a 0.04 0.03 0.02 0.01 o 长度(m m)

6、 一个正方形的内切圆半径为 2, 向该正方形内随机投一点 P,点 P 恰好落在圆内的概率是 ____

7、某射击运动员在一组射击训练中共射击 5 次,成绩统计如下表: 环数 次 数 8 2 9 2 10 1 .

则这 5 次射击的平均环数为

;5 次射击环数的方差为

8、在两个袋内,分别装着写有 0,1,2,3,4,5 六个数字的 6 张卡片,今从每个袋中任取一张卡 片,则两数之和等于 5 的概率为_______.

三、解答题

1、某校为了解学生的视力情况,随机抽查了一部分学生视力,将调查结果分组,分组区 间为(3.9,4.2], (4.2,4.5],… , (5.1,5.4].经过数据处理,得到如下频率分布表: 分组 (3.9,4.2] (4.2,4.5] (4.5,4.8] (4.8,5.1] (5.1,5.4] 合计 频数 3 6 25 y 2 n 频率 0.06 0.12 x z 0.04 1.00

(I)求频率分布表中未知量 n,x,y,z 的值;
(II)从样本中视力在(3.9,4.2]和(5.1,5.4]的所有同学中随机抽取两人,求两人的视力 差的绝对值低于 0.5 的概率.

2、某校从高一年级学生中随机抽取 60 名学生,将其

期中考试的数学成绩(均为整数)分成六段: ?40,50? , ?50,60? ,?, ?90,100? 后得到如 下频率分布直方图. (Ⅰ)求分数在 ?70,80? 内的频率; (Ⅱ)根据频率分布直方图,估计该校高一年级学生期中 考试数学成绩的平均分; (Ⅲ)用分层抽样的方法在 80 分以上(含 80 分)的学生中抽取一个容量为 6 的样本,将 该样本看成一个总体, 从中任意选取 2 人, 求其中恰有 1 人的分数不低于 90 分的概率.


70

3、某学校餐厅新推出 A、B、C、D 四款套餐,某一天四款套餐销售 情况的条形图如下.为了了解同学对新推出的四款套餐的评价, 对每位

60
50
40

30
20

10
0

A

B

C

D

种类

同学都进行了问卷调查, 然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取 20 份进行统计, 统计结 果如下面表格所示: 满意 A 套餐 B 套餐 C 套餐 D 套餐 50% 80% 50% 40% 一般 25% 0 50% 20% 不满意 25% 20% 0 40%

(Ⅰ)若同学甲选择的是 A 款套餐,求甲的调查问卷被选中 的概率; (Ⅱ) 若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出 2 人进行面谈, 求这两人中至 少有一人选择的是 D 款套餐的概率.

4、 由世界自然基金会发起的“地球 1 小时”活动, 已发展成为最有影响力的环保活动之一, 今年的参与人数再创新高.然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问.

对此,某新闻媒体进行了网上调查,所有参与调查的人中,持“支持” 、 “保留”和“不支 持”态度的人数如下表所示: 支持 20 岁以下 20 岁以上(含 20 岁) 800 100 保留 450 150 不支持 200 300

(Ⅰ)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取 n 个人,已知从“支持”态度 的人中抽取了 45 人,求 n 的值; (Ⅱ)在持“不支持”态度的人中,用分层抽样的方法抽取 5 人看成一个总体,从这 5 人中任意选取 2 人,求至少有 1 人 20 岁以下的概率; (Ⅲ)在接受调查的人中,有 8 人给这项活动打出的分数如下:9.4,8.6,9.2,9.6, 8.7,9.3,9.0,8.2.把这 8 个人打出的分数看作一个总体,从中任取 1 个数,求该数与总 体平均数之差的绝对值超过 0.6 的概率.


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