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高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列的前n项和(1) 新人教A版必修5PPT课件_图文

时间:

等差数列的前n项和(一)

教学目标
? 1、等差数列前n项和公式. ? 2、等差数列前n项和公式及其获取思路; ? 3、会用等差数列的前n项和公式解决一些简单
的与前n项和有关的问题. ? 4、进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前项
和公式;了解等差数列的一些性质,并会用它 们解决一些相关问题;
? 二、教学重点:等差数列前n项和公式的理解、 推导及应用;熟练应用等差数列的求和公式。
? 教学难点:灵活应用等差数列前n项公式解决一 些简单的有关问题。

复习回顾
(1) 等差数列的通项公式: 已知首项a1和公差d,则有: an=a1+ (n-1) d 已知第m项am和公差d,则有:
an=am+ (n-m) d, d=(an-am)/(n-m) (2) 等差数列的性质:
在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q (m,n,p,q∈N),那么: an+am=ap+aq

问题呈现

问题1
泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七 世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱 妃所建,她宏伟壮观,纯白大理石砌建 而成的主体建筑叫人心醉神迷,成为世 界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰,图 案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案,以相 同大小的圆宝石镶饰而成,共有100层( 见左图),奢靡之程度,可见一斑。
你知道这个图案一共花了多少宝石吗?

探究发现
问题1:图案中,第1层到第21层一共有 多少颗宝石?
借助几何图形之 直观性,使用熟悉的 几何方法:把“全等 三角形”倒置,与原 图补成平行四边形。

探究发现
问题1:图案中,第1层到第21层一共有 多少颗宝石?

1 2 3

21 20 19
获得算法:

(1? 21) ? 21

s21 ?

2

21

1

问题2
一个堆放铅笔的V形架的最 下面一层放一支铅笔,往上 每一层都比它下面一层多放 一支,最上面一层放100支. 这个V形架上共放着多少支 铅笔?
问题就是 求 “1+2+3+4+…+100=?”

问题2:对于这个问题,德国著名数学家高斯10岁 时曾很快求出它的结果。(你知道应如何算吗?)

假设1+2+3+

+100=x,

那么100+99+98+

+1=x.

由(1)+(2)得101+101+101+

(1) (2) + 101=2x,

100个101

所以 2x ? 101?100, x=5050.

高斯

这个问题,可看成是求等差数列 1,2,3,…,n,…的前100 项的和。

问题3:
求:1+2+3+4+…+n=? 记:S= 1 + 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+n
S= n+(n-1)+(n-2)+…+ 3 + 2 +1
?2S ? n(n ?1), ? S ? n(n ?1)
2

下面将对等差数列的前n项和公式进行推导 设等差数列a1,a2,a3,…
它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1)
若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2)
由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
由(1)+(2) 得 2sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)+..
即 Sn=n(a1+an)/2

即前n项的和与首项末项及项数有 关
若已知a1,n,d,则如何表示Sn呢?
因为 an= a1+(n-1)d 所以 Sn=na1+n (n-1)d/2

由此得到等差数列的{an}前n项和的公式

Sn

?

n(a1 ? an ) 2

即:等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。

由等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d
上面的公式又可以写成

Sn

?

na1

?

n(n ?1) 2

d

解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。

公式共涉及到5个量:a1, d, n, an , Sn.已知其中3个可求另2个
正所谓:知三求二

例1. 某长跑运动员7天里每天的训练 量(单位:m)是:
7500, 8000 , 8500 , 9000 , 9500 , 10000 ,10500
这位运动员7天共跑了多少米?

解:这位长跑运动员每天的训练量成等差数列,
记为{an}, 其中 a1=7500, a7=10500.
根据等差数列前n项和公式,得

7 ? (7500 ?10500)

s7 ?

2

? 63000

答:这位长跑运动员7天共跑了63000m.

例2 等差数列-10,-6,-2,
2,…前多少项的和是54?
本题实质是反用公式,解一 个关于n 的一元二次函数,注 意得到的项数n 必须是正整数 .

解:将题中的等差数列记为{an},sn代表该数列
的前n项和,则有a1=-10, d=-6-(-10)=4

设该数列前n 项和为54

根据等差数列前n项和公式: sn =

na1 +

n( n 2

1) d

有- 10n + n(n- 1)? 4 54成立 2

整理后, 得n2 - 6n- 27 = 0

解得 n1=9, n2=-3(舍去)
因此等差数列-10,-6,-2,2,...前9项的和 是54.

例3 求集合M={m|m=7n, n是正整数, 且
m<100}的元素个数, 并求这些元素的和.

解: 由7n<100得 n<100/7, ?n ? 14 2 . 7
由于满足它的正整数n共有14个, ∴集合M中的元素共有14个. 即

7, 14, 21, … , 91, 98.

这是一个等差数列, 各项的和是

S14

? 14? (7 ? 98) 2

=735

答: 集合M中的元素共有14个, 它们的和为735.

公式应用 之 知三求二 a1,d , n, an , Sn

例 在等差数列 ?an?中,已知: d ? 4 , n ? 20 , sn ? 460



a1 及

a 20

.

解: 利用 公式2

Sn

?

na1

?

n(n ?1) 2

d

a1=

再根据 公式1

Sn

?

n(a1 ? 2

an )

a20=

练 习一
根据条件,求相应等差数列{an}的Sn:
①a1=5, an=95, n=10; ②a1=100, d=-2, n=50;
答案:①500; ②2550;

练习二

n s (2004.全国文)等差数列

?a n

?的前



和记为 n .已知 a10 ? 30 , a20 ? 50 .

(1)求通项

a n

;

(2)令 sn ? 242,求 n .

小结:
1.推导等差数列前 n项和公式的方法 -------倒序相加法
2.公式的应用中的数学思想.
-------方程思想
3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已 知其中三个量,可以求其余两个
-------知三求二


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