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17.1一元二次方程的概念

时间:2016-02-23


一.复习 1.什么叫方程?我们学过那些方程? 2.什么叫一元一次方程?

3.什么叫分式方程?

问题一. 有一块长100cm,宽50cm的铁皮,在它 的四周各减去一个同样大的正方形,然后制作成 一个无盖的底面积为3600cm2的盒子,切去的正 方形的边长应为多少?
x

(100-2x)
(50-2x)

x

设切去的正方形边长为xcm, 则盒底的长(100-2x)cm 宽为(50-2x)cm,
x

3600cm2

据题意得: (100-2x) (50-2x)=3600, 整理得: x2-75x+350=0 ( 1)

问题2:学校图书馆去年年底有图书5万册, 预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的 年平均增长率.
分析:设这两年的年平均增长率为x, 去年年底的图书数是5万册, 则今年年底的图书数是5(1+x)万册; 明年年底的图书数又是今年年底的(1+x)倍, 即 5(1+x)(1+x)=5(1+x)2万册. 可列得方程 5(1+x)2 = 7.2, 整理可得 5x2+10x-2.2=0. ( 2)

3.思考、讨论 问题1和问题2分别归结为解方程 x2-75x+350=0 和 5x2+10x-2.2=0. 显然,这两个方程都不是一元一次方程. 那么这两个方程与一元一次方程的区别在 哪里?它们有什么共同特点呢? 共同特点: (1) 都是整式方程 (2) 只含有一个未知数 (3) 未知数的最高次数是2

一元二次方程的概念 只含有一个未知数,并且未知数的最高 次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 通常可写成如下的一般形式: ax2+bx+c=0 (a、b、c是已知数,a≠0)。

ax2
bx

叫做二次项,a 叫做二次项系数;
叫做一次项,b 叫做一次项系数;

c

叫做常数项。

三、 例题与练习
1.例1 ( 1) ( 2) 下列方程中哪些是一元二次方程?

3x ? 2 ? 5x ? 3
x ?4
2

否 对 否 对

x?2 2 ?1 ? x ( 3) x ?1 2 ( 4) 6 y ? y

一元二次方程满足的三个条件: (1) 都是整式方程 (2) 只含有一个未知数 (3) 未知数的最高次数是2

下列方程那些是一元二次方程?

1. 2. 3. 4. 5. 6.

x(5x-2)=x(x+1)+4x2

否 是 是 是 否

7x2+6=2x(3x+1)
1 2 ?7 x 2

6x2=x
2x2=5y

-x2=0



将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的 二次项系数、一次项系数和常数项: 1)(x+3)(3x-4)=(x+2)2 2)(x-2)(x+3)=8 3)x2-4=(x+2)2 4) 2x(x-1)=3(x-5)-4 2X2+X-16=0 X2+X-14=0 4X+8=0 2X2-5X+19=0 2X2 +3X-8=0

5) 2x2=2-3x

一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系?
一元一次方程 一般式 相同点 不同点 一元二次方程

ax=b

(a≠0)

ax2+bx+c=0

(a≠0)

整式方程,只含有一个未知数 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2



方程(2a-4)x2 -2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程? 在什么条件下此方程为一元一次方程?

解:a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程 当 2a-4≠0,即a ≠2 时是一元二次方程;

一、选择题 1.方程(m-1)x2+mx+1=0为关于x的一元二 C 次方程则m的值为___ A 任何实数 B m≠0 C m≠1 D m≠0 且m≠1
2.关于x的方程中一定是一元二次方程的是 D A ax2+bx+c=0 B mx2+x-m2=0 C (m+1)x2=(m+1)2 D (m2+1) x2-m2=0

随堂练习
1.关于x的方程

? nx ? m ? 0 在什么条件下是一元二次方程? m≠3 在什么条件下是一元一次方程? m=3,n ≠0
2

?m ? 3?x

2. 关于x的方程(2m2+m-3)xm+1+5x=13可 能是一元二次方程吗? 不可能

m+1=2,得m=1 2m2+m-3 ≠0,得m ≠1
3.若方程kx3-(x-1)2=3(k-2)x3+1是关于x 的一元二次方程,则k=_ __ 3

4.a为何值关于x的方程(3a+6)x2+6ax-3=0 是一元二次方程。 a≠-2 5.K为何值方程(k2-9)x2+(k-5)x+3=0不 是关于x的一元二次方程. K=±3

一元二次方程解的概念
?方程解的定义是怎样的呢?

能使方程左右两边相等的未知数的值就叫 方程的解。只含有一个未知数的方程的解 也叫做根

例4 已知关于x的一元二次方程 (m-1)x2+3x-5m+4=0有一根为2,求m。 分析:一根为2即x=2,只需把x=2代入原方程。

m=-6

巩固练习:

1)已知关于x的一元二次方程 则a的值为?B?
A.1 B.-1

(a ? 1) x ? x ? a ? 1 ? 0,的一根是0
2 2

C.1或-1

D.0

( 2)关于x的一元二次方程 ( m ? 2) x ? 3m x ? m ? 4 ? 0
2 2 2 2

有一根为0, 则2m ? 4m ? 3
2

的值为多少 ?
解:把x=0代入方程得:m=±2, 但m+2≠0,得m ≠-2,则m=2 把m=2代入2m2-4m+3=3

1)若a ? b ? c ? 0, 则一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0必有一解为 1 .
2

2)若a ? b ? c ? 0, 则一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0必有一解为 -1 .
2

3)若4a ? 2b ? c ? 0, 则一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0必有一解为 2 .
2

4)根据下表的对应值, 试判断一元二次 方程ax ? bx ? c ? 0的一解的范围是? C?
2

x

3.23 -0.06

3.24 -0.02

3.25 0.03

3.26 0.07

ax 2 ? bx ? c

A 3<x <3.23 B 3.23<x <3.24
C 3.24<x <3.25

D 3.25<x <3.26

①二次项系数a≠0在解题中的应用 ?m -1?x 2 ? x ? m ? 1 ? 0有一个根 1.若关于x的一元二次方程
为0,则m的值为? ?B? ? ? ?

A、1

B、-1

C、1或-1

D、2

本课小结: 1、只含有一个未知数,并且未知数的最高次数 是2的整式方程,叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式为

ax ? bx ? c ? 0
2

(a≠0),

一元二次方程的项及系数
3.一元二次方程的解的概念


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