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《微积分》教学要求(60,60,40)

时间:2015-10-11


《微积分》教学要求
说明:从 2013 学年起《微积分》课程教学内容分为三个学期完成,课时数分别为 60,60, 40.(课时总数没有变化,但时间跨度从四学期变为三学期)

第一学期(60 学时)
第一章 函数与极限(16 学时) 1 了解极限的概念,了解分段函数的极限的计算。 2 掌握极限四则运算法则,会用变量代换求某些简单复合函数的极限。 3 了解极限的性质(惟一性、有界性和保号性)和两个极限存在准则(夹逼准则与单调 有界准则) ,会用两个重要极限求极限。 4 了解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念,会用等价无穷小求极限。 5 理解函数连续性的概念,会判别函数间断点的类型。 6 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质。 说明 1:建议第一节(常用符号介绍)作为自学内容。 ? ? X 定义证明极限不作要求。 说明 2:用 ? ? N , ? ? ?, 第二章 导数与微分(12 学时) 1 理解导数(包括左、右导数)的概念,了解导数的几何意义,了解函数的可导性与连 续性之间关系。 2 掌握导数的四则运算法则、 反函数与复合函数的求导法则, 掌握基本初等函数的导数 公式。会求分段函数的导数。 3 了解高阶导数的概念。掌握初等函数的二阶导数的计算。会求简单函数的 n 阶导数。 4 掌握求隐函数、参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数。会解一些简单实际问题中 的相关变化率问题。 5 了解微分的概念与四则运算。 说明:建议导数的经济意义作为自学内容。高阶导数以二阶为主。 第三章 微分中值定理及导数的应用(12 学时) 1 理解并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理,了解柯西中值定理。 2 掌握洛必达法则求不定式极限的方法。 3 理解函数的极值概念, 掌握用导数判别函数的单调性和求函数极值的方法。 会用单调 性证明不等式。 4 会求最大值、最小值问题,会解决简单的实际应用问题。 5 会用导数判别函数图形的凹凸性,会求拐点。 说明 1:建议第六节(函数图形的描绘) 、第七节(曲率) 、第八节(方程的近似解)作为自 学内容。 说明 2:第三节(泰勒公式)放在第三学期(第十章 无穷级数)里介绍。 第四章 不定积分(10 学时) 1 理解原函数概念,理解不定积分的概念与性质。 2 掌握不定积分的基本公式以及求不定积分的换元法与分部积分法。

说明:建议第四节(有理函数的积分)不作专门介绍,对于一些简单的有理函数、三角有理 函数和无理函数的积分可作为两类积分法的例题作适当训练。 第五章 定积分及其应用(10 学时) 1 2 3 4 理解定积分的基本概念和几何意义,了解定积分的性质和定积分中值定理。 理解变限函数及其求导公式,掌握牛顿---莱布尼兹公式。 掌握定积分的换元积分法和分部积分法。 了解两类广义积分的概念,会计算两类广义积分。

说明 1:建议第五节(定积分的近似计算)作为自学内容。 说明 2:两类广义积分的审敛法和 Γ 函数不作要求。

第二学期(60 学时)
第五章 定积分及其应用(4 学时) 1 会用定积分计算一些几何量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积) 。 说明 1:建议第七节(定积分的几何应用)中的已知平行截面面积的立体体积和旋转曲面的 面积、第八节(定积分的物理应用) 、第九节(定积分的经济应用)作为自学内容。 第六章 向量代数与空间解析几何(12 学时) 1 理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示,掌握向量的运算(线性运算、数量 积、向量积) ,了解向量垂直、平行的条件。 2 掌握直线、 平面方程; 掌握曲线、 曲面方程。 了解一些常用的二次曲面的方程及图形。 3 会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 4 了解空间曲线在坐标面上的投影,并会求其方程。 说明:建议向量的混合积作为自学内容。 第七章 多元函数微分法及其应用(14 学时) 1 理解多元函数的概念。 2 了解二元函数的极限与连续的概念。了解有界闭区域上连续函数的性质。 3 了解偏导数的概念与全微分的概念,了解全微分存在的必要条件和充分条件。 4 了解方向导数和梯度的概念及其计算方法。 5 掌握多元复合函数的一阶、二阶偏导数的求法。 6 会求隐函数的偏导数。 7 了解曲线的切线和法平面以及曲面的切平面和法线的概念,会求它们的方程。 8 理解多元函数极值和条件极值的概念, 掌握多元函数极值存在的必要条件, 了解二元 函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会解决 一些简单的实际应用问题。 说明 1:建议第五节(隐函数存在定理与隐函数微分法)中的由方程组确定的隐函数的偏导 数计算方法作为自学内容。 说明 2:第八节(二元函数的泰勒公式) 、第十节(最小二乘法)不作要求。

第八章 重积分(14 学时) 1 了解二重积分、三重积分的概念,了解重积分的性质。 2 掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标) ,会计算简单的三重积分(直角坐标、 柱面坐标、球面坐标) 。 3 会用重积分求一些几何量(平面图形的面积、空间立体的体积、曲面面积) 。 说明:本章原来教学时数是 12,现改为 14,建议第四节(重积分的应用)中的物理应用作 为自学内容。 第九章 曲线积分与曲面积分(16 学时) 1 2 3 4 5 6 理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 掌握两类曲线积分的计算方法。 掌握格林公式,会使用平面曲线积分与路径无关的条件,会求全微分的原函数。 了解两类曲面积分的概念,了解两类曲面积分的性质及两类曲面积分的关系。 掌握两类曲面积分的计算方法。 了解高斯公式,会使用它们来计算曲面积分和曲线积分。

说明:本章原来教学时数是 14,现改为 16,建议第六节(高斯公式通量与散度)中的通量 与散度和第七节(斯托克斯公式环流量与旋度)作为自学内容。

第三学期(40 学时)
第十章 无穷级数(24 学时) 1 理解常数项级数收敛与发散的概念、 收敛级数和的概念, 掌握级数的基本性质及收敛 的必要条件。 2 掌握几何级数、 P —级数的敛散性。 3 掌握正项级数的判别法(比较法、比值法、根值法和积分法) 。 4 掌握交错级数的莱布尼兹判别法。 5 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念及二者之间的关系。 6 掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 7 了解幂级数在收敛区间内的一些基本性质, 会求一些简单幂级数在收敛区间内的和函 数,并会由此求出某些数项级数的和。 8 了解泰勒公式、 泰勒级数, 掌握 e , sin x, cos x,
x

1 , ln(1 ? x) 的麦克劳林展开式, 1? x

会用它们求一些简单函数的幂级数展开式。 9 了解用三角级数逼近周期函数的思想,了解函数展开为傅里叶级数的狄利克雷条件。 10 会将定义在 (?l , l ) 上的函数展开为傅里叶级数,会将定义在 (0, l ) 上的函数展开为 正弦级数和余弦级数。 说明 1:第十节(幂级数的应用)作为自学内容。 说明 2:第十一节(复数项级数、欧拉公式)不作要求。 第十一章 微分方程(16 学时) 1 了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念。 2 会求解变量可分离的微分方程、齐次方程(包括可化为齐次方程的方程) 、一阶线性

微分方程(包括伯努利方程)和全微分方程。 3 会用降阶法解下列方程: y( n) ? f ( x), y?? ? f ( x, y?), y?? ? f ( y, y?) 。 4 知道线性微分方程解的性质及解的结构定理。 5 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。了解高阶常系数齐次线性微分方程的解 法。 6 会求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解(自由项由多项式、指数函数、正弦函 数、余弦函数及它们的和、积构成) 。 7 会解二阶欧拉方程。 8 会用微分方程求解一些简单的实际应用问题。 说明:第十一节(差分方程)不作要求。


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