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暑期培优:第六章不等式 (必记知识点+必明易错点+必会方法)学生版2

时间:2014-10-20


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专题六、不等式
一元二次不等式及其解法

一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图像 一元二次方程 ax +bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
2

Δ>0

Δ=0

Δ<0

有两相异实根 x1,x2(x1<x2)

有两相等实根 x1=x2=- b 2a 没有实数根

{x|x<x1 或 x>x2}

b {x|x≠- } 2a ?

R

{x|x1<x<x2}

?

1.二次项系数中含有参数时,则应先考虑二次项是否为零,然后再讨论二次项系数不为 零时的情形,以便确定解集的形式. 2.当 Δ<0 时,易混 ax2+bx+c>0(a>0)的解集为 R 还是?. [试一试] 1.(2013· 苏中三市、宿迁调研)设集合 A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2-5x≥0},则 A∩(?
RB)=________.

1 1 - , ?,则 a+b 的值是________. 2.不等式 ax2+bx+2>0 的解集是? ? 2 3? 3.不等式 x2+ax+4<0 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是________.

1.由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论
? ? ?a=b=0, ?a>0, (1)不等式 ax2+bx+c>0 对任意实数 x 恒成立?? 或? ?Δ<0. ?c>0, ? ?

不等式专题

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明理辅导内部资料 ? ?a<0, ?a=b=0, ? (2)不等式 ax2+bx+c<0 对任意实数 x 恒成立?? 或? ?Δ<0. ?c<0, ? ?

2.分类讨论思想 解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再对根的大小进行分类讨论;若不能 因式分解,则可对判别式进行分类讨论,分类要不重不漏. [练一练] 若不等式 mx2+2mx+1>0 的解集为 R,则 m 的取值范围是________.

考点一

一元二次不等式的解法

[典例] 解下列不等式: (1)0<x2-x-2≤4;(2)x2-4ax-5a2>0(a≠0).

[类题通法] 1.解一元二次不等式的一般步骤: (1)对不等式变形,使一端为 0 且二次项系数大于 0,即 ax2+bx+c>0(a>0),ax2+bx+ c<0(a>0); (2)计算相应的判别式; (3)当 Δ≥0 时,求出相应的一元二次方程的根; (4)根据对应二次函数的图像,写出不等式的解集. 2.解含参数的一元二次不等式,要把握好分类讨论的层次,一般按下面次序进行讨论: 首先根据二次项系数的符号进行分类,其次根据根是否存在,即 Δ 的符号进行分类,最后在 根存在时,根据根的大小进行分类. [针对训练] 解下列不等式: (1)-3x2-2x+8≥0;(2)ax2-(a+1)x+1<0(a>0).

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考点二

一元二次不等式恒成立问题

一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题 时,要注意三者之间的相互联系,并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问 题,常根据二次函数图像与 x 轴的交点情况确定判别式的符号,进而求出参数的取值范围. 归纳起来常见的命题角度有: ?1?形如 f?x?≥0?x∈R?确定参数的范围; ?2?形如 f?x?≥0,?x∈[a,b]?,确定参数范围; ?3?形如 f?x?≥0?参数 m∈[a,b]?确定 x 的范围. 角度一 形如 f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围 1.(2013· 重庆高考)设 0≤α≤π,不等式 8x2-(8sin α)x+cos 2α≥0 对 x∈R 恒成立,则 α 的取值范围为________.

角度二 形如 f(x)≥0,(x∈[a,b]),确定参数范围 2.对任意 x∈[-1,1],函数 f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 的值恒大于零,求 a 的取值范围;

角度三 形如 f(x)≥0(参数 m∈[a,b])确定 x 的范围 3.对任意 a∈[-1,1],函数 f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 的值恒大于零,求 x 的取值范围.

[类题通法] 恒成立问题及二次不等式恒成立的条件 (1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,就选谁 当主元,求谁的范围,谁就是参数. (2)对于二次不等式恒成立问题,恒大于 0 就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全 部在 x 轴上方;恒小于 0 就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在 x 轴下方. 考点三 一元二次不等式的应用

[典例] 某小商品 2013 年的价格为 8 元/件,年销量是 a 件.现经销商计划在 2014 年将 该商品的价格降至 5.5 元/件到 7.5 元/件之间,经调查,顾客的期望价格是 4 元/件.经测算,
不等式专题 3

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该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比,比例系数为 k.该商 品的成本价为 3 元/件. (1)写出该商品价格下降后,经销商的年收益 y 与实际价格 x 的函数关系式; (2)设 k=2a,当实际价格最低定为多少时,仍然可以保证经销商 2014 年的收益比 2013 年至少增长 20%?

[类题通法] 构建不等式模型解决实际问题 不等式的应用问题常常以函数为背景,多是解决实际生活、生产中的最优化问题等,解 题时,要仔细审题,认清题目的条件以及要解决的问题,理清题目中各量之间的关系,建立 恰当的不等式模型进行求解. [针对训练] 某商品每件成本价为 80 元,售价为 100 元,每天售出 100 件.若售价降低 x 成(1 成= 8 10%),售出商品数量就增加 x 成.要求售价不能低于成本价. 5 (1)设该商店一天的营业额为 y,试求 y 与 x 之间的函数关系式 y=f(x),并写出定义域; (2)若再要求该商品一天营业额至少为 10 260 元,求 x 的取值范围.

[练通考点]

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1.(2012· 江苏高考)已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于 x 的 不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数 c 的值为________. 2.不等式 4x-2x 2>0 的解集为________.


2 3.(2013· 南通三模)不等式 x< -1 的解集是________. x 4.(2013· 苏州常镇二调)若关于 x 的不等式 mx2+2x+4>0 的解集为{x|-1<x<2},则实 数 m 的值为________.
?x2+1,x>0, ? 5.若函数 f(x)=? 则不等式 f(x)<4 的解集是________. ? ?-x,x≤0,

6.已知集合 A={x∈R||x+2|<3},集合 B={x∈R|(x-m)· (x-2)<0},且 A∩B=(-1,n), 则 m=__________,n=________. 第Ⅰ组:夯基保分卷
2 ? ?x +1,x≥0, 1.(2014· 苏州模拟)已知函数 f(x)=? 则满足不等式 f(1-x2)>f(2x)的 x 的 ?1, x<0, ?

取值范围是________. 1 1 x- ?<f? ?的解集是________. 2.已知函数 f(x)=x|x+1|,则 f? 4 ? ? ?2? 3. (2014· 南通期末)若存在实数 x, 使得 x2-4bx+3b<0 成立, 则 b 的取值范围是________.
? ?a,a≤b, 4 x+ ?⊕ 4.(2013· 盐城二模)定义运算 a⊕b=? 则关于非零实数 x 的不等式? x? ? ? ?b,a>b,

1? 4≥8? ?x⊕x?的解集为________. 5.(2013· 南京、淮安二模)若关于 x 的不等式(2ax-1)· ln x≥0 对任意 x∈(0,+∞)恒成 立,则实数 a 的值为________. 6.不等式|x(x-2)|>x(x-2)的解集是________. 7.在 R 上定义运算:x*y=x(1-y).若不等式(x-y)*(x+y)<1 对一切实数 x 恒成立,则 实数 y 的取值范围是________. 8. 若关于 x 的不等式 4x-2x 1-a≥0 在[1,2]上恒成立, 则实数 a 的取值范围为________.


9.设函数 f(x)=mx2-mx-1. (1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值范围.

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10.设二次函数 f(x)=ax2+bx+c,函数 F(x)=f(x)-x 的两个零点为 m,n(m<n). (1)若 m=-1,n=2,求不等式 F(x)>0 的解集; 1 (2)若 a>0,且 0<x<m<n< ,比较 f(x)与 m 的大小. a

第Ⅱ组:提能增分卷 1.(2014· 连云港模拟)已知关于 x 的不等式 x2-ax+2a<0 的解集为 A,若集合 A 中恰有 两个整数,则实数 a 的取值范围是________. 2.(2013· 江苏高考)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x2-4x,则不等式 f(x)>x 的解集用区间表示为________. x x2 3.(2013· 苏锡常镇调研)已知 a 为正的常数,若不等式 1+x≥1+ - 对一切非负实数 2 a x 恒成立,则 a 的最大值为________. 3 4.(2014· 泰州质检)设实数 a≥1,使得不等式 x|x-a|+ ≥a 对任意的实数 x∈[1,2]恒成 2 立,则满足条件的实数 a 的取值范围是________.

二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题

1.二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式
不等式专题 6

表示区域

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Ax+By+C>0 Ax+By+C≥0 不等式组

直线 Ax+By+C=0 某一侧的 所有点组成的平面区域

不包括边界直线 包括边界直线

各个不等式所表示平面区域的公共部分

2.线性规划中的基本概念 名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 意义 由变量 x,y 组成的不等式(组) 由 x,y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 关于 x,y 的函数解析式,如 z=2x+3y 等 关于 x,y 的一次解析式 满足线性约束条件的解(x,y) 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

1 .画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为 ax + by + c>0(a>0). 2. 线性规划问题中的最优解不一定是唯一的, 即可行域内使目标函数取得最值的点不一 定只有一个,也可能有无数多个,也可能没有. [试一试] 1.如图所示的平面区域(阴影部分)满足的不等式是______.

x-y+1≥0, ? ? 2.设 x,y 满足约束条件?x+y-1≥0, ? ?x≤3,

则 z=2x-3y 的最小值是________.

1.确定二元一次不等式表示平面区域的方法 二元一次不等式所表示的平面区域的确定,一般是取不在直线上的点(x0,y0)作为测试点 来进行判定,满足不等式的则平面区域在测试点所在的直线的一侧,反之在直线的另一侧. 2.求二元一次函数 z=ax+by(ab≠0)的最值的方法

不等式专题

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a z z 将函数 z=ax+by 转化为直线的斜截式:y=- x+ ,通过求直线的截距 的最值间接求 b b b 出 z 的最值. z z (1)当 b>0 时,截距 取最大值时,z 也取最大值;截距 取最小值时,z 也取最小值; b b z z (2)当 b<0 时,截距 取最大值时,z 取最小值;截距 取最小值时,z 取最大值. b b [练一练] x-y+2≥0, ? ? (2014· 南京一模)已知实数 x,y 满足?x+y≥0, ? ?x≤1,

则 z=2x+y 的最小值是______.

考点一

二元一次不等式(组)表示平面区域

x≤3, ? ? 1.由不等式组?y≥0, ? ?y≤x-1

所确定的平面区域的面积等于________.

y≤x, ? ?0<x≤3, 2.(2014· 苏锡常镇调研)在不等式组? 1 ? ?y>x

所表示的平面区域内的所有格点(横、

纵坐标均为整数的点称为格点)中任取 3 个点, 则该 3 点恰能作为一个三角形的三个顶点的概 率为________. 3.如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________.

[类题通法] 二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法:直线定界,测试点定域. 注意不等式中不等号有无等号,无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线.测试 点可以选一个,也可以选多个,若直线不过原点,测试点常选取原点.

考点二
不等式专题

求目标函数的最值
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线性规则问题是高考的重点,而线性规划问题具有代数和几何的双重形式,多与函数、 平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透,自然地融合在一起,使数学问 题的解答变得更加新颖别致.归纳起来常见的命题角度有: ?1?求线性目标函数的最值; ?2?求非线性目标的最值; ?3?求线性规划中的参数. 角度一 求线性目标函数的最值 x+y≥2, ? ? 1. (1)(2014· 徐州摸底)已知实数 x, y 满足?x-y≤2, ? ?0≤y≤3,

则 z=2x-y 的最大值是________.

3x-y-6≤0, ? ? (2)(2013· 南京、盐城一模)若变量 x,y 满足约束条件?x-y+2≥0, ? ?x≥0,y≥0, 2x+3y 的最大值为________. 角度二 求非线性目标的最值 0≤x≤1, ? ? 2 . (1)(2014· 苏 北 四 市 二 调 ) 在 约 束 条 件 ?0≤y≤2 ? ?2y-x≥1 ________.

则目标函数 z=

下 , ?x-1?2+y2 的 最 小 值 为

x-y-2≤0, ? ? y x (2)(2014· 南通一模)设实数 x, y 满足?x+2y-5≥0, 则 z= - 的取值范围是________. x y ? ?y-2≤0,

角度三 求线性规划中的参数 x≥0, ? ? 3.(1)(2013· 苏北三市调研)已知实数 x,y 满足约束条件?y≥2x+1, ? ?x+y+k≤0 11 标函数 z=2x+y 的最大值是 ,则实数 k=________. 3 x-y+1≥0, ? ? (2)已知实数 x, y 满足?x+2y-8≤0, ? ?x≤3. 解,则实数 a 的取值范围为________. 5? 若点? ?3,2?是使 ax-y 取得最小值的唯一的可行

(k 为常数),若目

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[类题通法] 1.求目标函数的最值的一般步骤为:一画二移三求.其关键是准确作出可行域,理解目 标函数的意义. 2.常见的目标函数有: (1)截距型:形如 z=ax+by. a z 求这类目标函数的最值常将函数 z=ax+by 转化为直线的斜截式:y=- x+ ,通过求 b b z 直线的截距 的最值间接求出 z 的最值. b (2)距离型:形如 z=(x-a)2+(y-b)2. y-b (3)斜率型:形如 z= . x-a 注意:转化的等价性及几何意义. 考点三 线性规划的实际应用

[典例] 某旅行社租用 A,B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行,A,B 两种车辆的载 客量分别为 36 人和 60 人,租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆,旅行社要求租车总数不超 过 21 辆,且 B 型车不多于 A 型车 7 辆,则租金最少为________元.

[类题通法] 求解线性规划应用题的注意点 (1)明确问题中的所有约束条件,并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号. (2)注意结合实际问题的实际意义,判断所设未知数 x,y 的取值范围,特别注意分析 x, y 是否是整数、非负数等. (3)正确地写出目标函数,一般地,目标函数是等式的形式. [针对训练] 某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千 克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克,B 原料 1 千克.每桶甲产品的利润是 300 元,每桶 乙产品的利润是 400 元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗 A、B 原料都不超 过 12 千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大 利润是________元.

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[练通考点] x≥0, ? ? 1.(2014· 扬州期末)设 x,y 满足约束条件?x+2y≥4, 则 z=2x-y 的最大值是______. ? ?2x+y≤5, x≥1, ? ? 2.不等式组?x+y-4≤0, ? ?kx-y≤0,

表示面积为 1 的直角三角形区域,则 k 的值为_______.

? ?x+|y|≤1, OP 3. 已知 O 为坐标原点, A(1,2), 点 P 的坐标(x, y)满足约束条件? 则 z= OA · ?x≥0, ?

的最大值为________. x+y≤8, ? ?2y-x≤4, 4.若变量 x,y 满足约束条件? x≥0, ? ?y≥0, 则 a-b 的值是________.
? x-y≥-1, ? 5.(2013· 安徽高考)若非负变量 x,y 满足约束条件? 则 x+y 的最大值为 ? ?x+2y≤4,

且 z=5y-x 的最大值为 a,最小值为 b,

______.

x≥0, ? ? 6. (2013· 北京高考)设 D 为不等式组?2x-y≤0, ? ?x+y-3≤0 点(1,0)之间的距离的最小值为________. 第Ⅰ组:夯基保分卷

所表示的平面区域, 区域 D 上的点与

y≥0, ? ? 1 . (2014· 扬州调研 ) 已知 x , y 满足不等式组 ?y≤x, ? ?x+y-4≤0, ________. x+y≥2, ? ? 2.(2013· 南京二模)已知变量 x,y 满足约束条件?x-y≤1, ? ?y≤2,

则 2x - y 的最大值是

则目标函数 z=-2x+y 的

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取值范围是________. 3.(2013· 泰州联考)若函数 f(x)=ax+b-1(0<a≤1)在[0,1]上有零点,则 b-2a 的最小值 为________. 2x-y≤0, ? ? 4.(2014· 扬州模拟)已知实数 x,y 满足?x-3y+5≥0, ? ?x≥0,y≥0, ________. x≥-1, ? ? 5.(2013· 徐州、宿迁三检)已知实数 x,y 满足?y≤3, ? ?x-y+1≤0, ________. x-y+2≥0, ? ? 6. 若不等式组?ax+y-2≤0,表示 ? ?y≥0 1? x ?1? y 则 z =? ?4? · ?2? 的最小值为

则 x2+y2-2x 的最小值是

的平面区域的面积为 3, 则实数 a 的值是________.

x+4y≥4, ? ? 7.(2013· 广东高考)给定区域 D:?x+y≤4, ? ?x≥0,

令点集 T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,

y0)是 z=x+y 在 D 上取得最大值或最小值的点},则 T 中的点共确定________条不同的直线.

3x-5y+6≥0, ? ? 8.若 x,y 满足条件?2x+3y-15≤0, ? ?y≥0 则实数 a 的取值范围是________.

当且仅当 x=y=3 时,z=ax-y 取得最小值,

9.(2014· 南通三模)已知点 P 在直线 x+2y-1=0 上,点 Q 在直线 x+2y+3=0 上,PQ y0 的中点 M(x0,y0),且 y0>x0+2,则 的取值范围是________. x0 x≤0, ? ? 10.已知点(x,y)在约束条件?y≥0, ? ?y-x≤4

表示的平面区域 M 上,若-4≤a≤t 时,动直

线 x+y=a 所经过的平面区域 M 的面积为 7,则实数 t=________. 第Ⅱ组:提能增分卷 x≤3, ? ? ?? ? 1. 设 a>0, 集合 A=??x,y???x+y-4≤0, ? ? ? ??x-y+2a≥0

? ? B={(x, y)|(x-1) +(y-1) ≤a }. 若 ?, ? ?
2 2 2

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点 P(x,y)∈A 是点 P(x,y)∈B 的必要不充分条件,则实数 a 的取值范围是________. 2x-y≥0, ? ? 2.已知实数 x,y 满足线性约束条件?x+y-4≥0, ? ?x≤3, 2x3+y3 则 2 的取值范围是________. xy

b 3.(2012· 江苏高考)已知正数 a,b,c 满足 5c-3a≤b≤4c-a,cln b≥a+cln c,则 的取 a 值范围是________.

基本不等式

a+b 1.基本不等式 ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号. 2.算术平均数与几何平均数 a+b 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为 ,几何平均数为 ab,基本不等式可叙述为: 2 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 3.利用基本不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则: (1)如果积 xy 是定值 p, 那么当且仅当 x=y 时, x+y 有最小值是 2 p.(简记: 积定和最小) p2 (2)如果和 x+y 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值是 .(简记:和定积最大) 4
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1.求最值时要注意三点:一是各项为正;二是寻求定值;三是考虑等号成立的条件. 2.多次使用基本不等式时,易忽视取等号的条件的一致性. [试一试] 1.(2014· 扬州期末)已知 x,y∈R,且 x+2y=1,则 2x+4y 的最小值是________.

1.活用几个重要的不等式 b a a2+b2≥2ab(a,b∈R); + ≥2(a,b 同号). a b ab≤? a+b?2 a+b?2 a2+b2 (a,b∈R);? ? 2 ? ? 2 ? ≤ 2 (a,b∈R).

2.巧用“拆”“拼”“凑” 在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中 “正”“定”“等”的条件. [练一练] 若 x>1,则 x+ 4 的最小值为________. x-1

考点一

利用基本不等式证明不等式

1?? 1? [典例] 已知 a>0,b>0,a+b=1,求证:? ?1+a??1+b?≥9.

[类题通法] 利用基本不等式证明不等式的方法技巧 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,要从整体上把握运用基本 不等式,对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项, 并项,也可乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等. [针对训练]
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1 1 设 a,b 均为正实数,求证: 2+ 2+ab≥2 2. a b

考点二

利用基本不等式求最值

1 1 [典例] (1)(2013· 徐州、宿迁三检)若 a>0,b>0,且 + =1,则 a+2b 的最小 2a+b b+1 值为________. 2 1 (2)已知 x>0,y>0,且 + =1,若 x+2y>m2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 x y ________. z (3)设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0,则 的最小值为________. xy

z 在(3)的条件中,当 取最小值时,求 x+2y-z 的最大值. xy

[类题通法] 两个正数的和与积的转化 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能, 因此可以用在一些不等式的证明中,还可以用于求代数式的最值或取值范围.如果条件等式 中,同时含有两个变量的和与积的形式,就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进 行转化,然后通过解不等式进行求解. a 注意:形如 y=x+ (a>0)的函数求最值时,首先考虑用基本不等式,若等号取不到,再 x 利用该函数的单调性求解. [针对训练] 2x (1)当 x>0 时,则 f(x)= 2 的最大值为________. x +1 (2)已知 log2a+log2b≥1,则 3a+9b 的最小值为________. (3)已知 x>0,y>0,xy=x+2y,若 xy≥m-2 恒成立,则实数 m 的最大值是________.

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考点三

基本不等式的实际应用

[典例] 某厂家拟在 2013 年举行促销活动, 经调查测算, 该产品的年销售量(即该厂的年 k 产量)x 万件与年促销费用 m 万元(m≥0)满足 x=3- (k 为常数),如果不搞促销活动,则 m+1 该产品的年销售量只能是 1 万件. 已知 2013 年生产该产品的固定投入为 8 万元. 每生产一万 件该产品需要再投入 16 万元, 厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍 (产品成本包括固定投入和再投入两部分资金). (1)将 2013 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数; (2)该厂家 2013 年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?

[类题通法] 利用基本不等式求解实际应用题的方法 (1)问题的背景是人们关心的社会热点问题,如“物价、销售、税收、原材料”等,题目 往往较长,解题时需认真阅读,从中提炼出有用信息,建立数学模型,转化为数学问题求解. (2)当运用基本不等式求最值时,若等号成立的自变量不在定义域内时,就不能使用基本 不等式求解,此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解. [针对训练] (2014· 苏中三市、 宿迁调研(一))为稳定房价, 某地政府决定建造一批保障房供给社会. 计 划用 1 600 万元购得一块土地, 在该土地上建造 10 幢楼房的住宅小区, 每幢楼的楼层数相同, 且每层建筑面积均为 1 000 平方米,每平方米的建筑费用与楼层有关,第 x 层楼房每平方米 的建筑费用为(kx+800)元(其中 k 为常数).经测算,若每幢楼为 5 层,则该小区每平方米的 平均综合费用为 1 270 元. 购地费用+所有建筑费用 注:每平方米平均综合费用= . 所有建筑面积 (1)求 k 的值; (2)问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低,应将这 10 幢楼房建成多少层?此
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时每平方米的平均综合费用为多少元?



[练通考点] 1.(2013· 南京三模)若 log2x+1og2y=1,则 x+2y 的最小值是________. a 2b 1 2.(2014· 盐城摸底)常数 a,b 和正变量 x,y 满足 ab=16, + = .若 x+2y 的最小值 x y 2 为 64,则 ab=________. 3.(2013· 苏北四市二模)已知函数 f(x)=x+ p (p 为常数且 p>0),若 f(x)在区间(1,+ x-1

∞)上的最小值为 4,则实数 p 的值为________. 4.?创新题?已知各项为正的等比数列{an}中,a4 与 a14 的等比中项为 2 2,则 2a7+a11 的 最小值为________. 1 1 5.若点 A(1,1)在直线 mx+ny-2=0 上,其中 mn>0,则 + 的最小值为________. m n p 6.已知函数 f(x)=x+ (p 为常数,且 p>0)若 f(x)在(1,+∞)上的最小值为 4,则实 x-1 数 p 的值为________. 第Ⅰ组:夯基保分卷 1.(2014· 南京一模)已知函数 f(x)=log2(x-2).若实数 m,n 满足 f(m)+f(2n)=3,则 m+ n 的最小值是________. x y 2.(2014· 镇江模拟)已知 x,y 为正数,则 + 的最大值为________. 2x+y x+2y 3.若 a,b 均为大于 1 的正数,且 ab=100,则 lg a· lg b 的最大值是________. x2+2 4.函数 y= (x>1)的最小值是________. x-1 1 1 k 5.设 a>0,b>0,且不等式 + + ≥0 恒成立,则实数 k 的最小值等于________. a b a+b

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1 1? ? 1?? 1? 6.已知正实数 x,y,z 满足 2x? ?x+y+ z ?=yz,则?x+y??x+ z ?的最小值为________. x2+?s+t?x+st+1 7.(2014· 泰州调研)已知实数 x,s,t 满足 8x+9t=s,且 x>-s,则 的 x+t 最小值为________. 8.(2013· 盐城三调)若 a,b,c>0,且 a2+ab+ac+bc=4,则 2a+b+c 的最小值为 ________. x2 y2 xy 9.(2013· 苏锡常镇一调)若不等式 + ≥ k 对于任意正实数 x,y 总成立的必要不充分 108 4 3 条件是 k∈[m,+∞),则正整数 m 只能取________.

10.(2013· 南京、盐城一模)近年来,某企业每年消耗电费 24 万元,为了节能减排,决定 安装一个可使用 15 年的太阳能供电设备, 并接入本企业的电网. 安装这种供电设备的费用(单 位:万元)与太阳能电池板的面积(单位:m2)成正比,比例系数约为 0.5.为了保证正常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下,安装后该企业每年消耗的电费 C(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板 k 的面积 x(单位:m2)之间的函数关系是 C(x)= (x≥0,k 为常数).记 F(单位:万 20x+100 元)为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与 15 年所消耗的电费之和. (1)试解释 C(0)的实际意义,并写出 F 关于 x 的函数关系式; (2)当 x 为何值时,F 取得最小值?最小值是多少?

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第Ⅱ组:提能增分卷 1.(2014· 镇江质检)已知 a,b∈R,且 a2+ab+b2=3,设 a2-ab+b2 的最大值和最小值 分别为 M,m,则 M+m=________.

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