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三重积分习题课 共38页PPT资料_图文

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1/37

第十章

习题课

三重积分

一、关于三重积分性质和应用的题类 二、关于三重积分的题类 三、杂题

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主要内容
定义 几何意义(无)
性质 计算法 应用 物理意义

2/37
三 重 积 分

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(一)、三重积分常见题目类型

3/37

1.一般三重积分的计算: —— 累次积分法

a. 选择坐标系 使积分域多为坐标面围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.
b. 确定积分序 积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .
c. 写出积分限 图示法 ( 先积一条线, 后扫积分域 )
列不等式法 (从内到外: 面、线、点) 充分利用对称性
d. 计算要简便 应用换元公式

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4/37
2.改变累次积分的积分次序

题目要求改变积分次序或按原积分次序 积不出来,必须改变积分次序.

3.求由曲面所围立体的体积

用三重V 积 ??分 ?d?x: dydz

?

4.用二重积分求曲面的面积

?? A? 1?(?z)2?(?z)2dxdy

Dxy

?x ?y

?? ?? A?
Dxz

1?(?y)2?(?y)2dxdzA?

?x ?z

Dyz

1?(?x)2?(?x)2dydz ?y ?z

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5/37

6.三重积分性质的应用题

?估计重积分的值 ??比较重积分的大小

??重积分中值定理的应用

(二)、三重积分计算的基本技巧

(1) 交换积分顺序的方法

(2) 利用对称性简化计算

分块积分法

(3) 消去被积函数绝对值符号

利用对称性

(4)被积函数为1时巧用其几何意义

??d?xdy?d?z的体积
?

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6/37
, ??? 【例1 】计算 (x? y? z)2 d Vx 2? y 2? z2? R 2 作业题

?

【解】由对称性知 ?x ?d V ?y? ?y ?d V ?z? ?x ?d V ?z? 0

?

?

?

??x2d ?V???y2d ?V???z2d ?V

??(?x?y?z)2dV Ω

Ω

Ω

?

???x2 ?dV???y2 ?dV???z2 ?dV

?

?

?

?2??x?d yV?2??y?dzV?2??x?dzV

?

?

?

? ?? ? ?

3???z2dV

? ? ? ? 32 ?d?sid nR r4 c2 od r s (球面坐标)

00

0

Ω

? 6 ??0 ?s? ic n2 o ?d ? s?0 R r4d r?

4?
5

R5

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7/37
一、关于三重积分性质和应用的题类
【例2】设 ? :x 2?y2?z2?h 2
??? M ? (x3co y? sx2y2?x4)dV
?
??? N? (x2siyn ?x2y3?z3)dV
?
??? P? (z3?x4co 2y? sx2z2)dV
比较M,N,P的大小. ? 【分析】通过计算比较大小很烦琐,注意到积分区域为一以 原点为球心的球体,具有对称性,于是想到是否可利用对称 性直接作出比较呢?
M?0 N?0 P?0
故 P ? N ? M
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8/37
二、关于三重积分的题类

【例3】 计?算 ?(x??z)d, v其? 中 由 z? x2?y2与
?
z? 1?x2?y2所围成的.
【分析】? ? 关y于 o 面 z 为f(对 x,y,z)? 称 x为 x , 的
奇函 有数 ???xd, v?0.
【解Ⅰ】 利用球面坐标 ?

???(?x?z)dv???z?dv

?

?

? ? ? ?2?d?? 4d?1rco ? ?r s2si? d nr 0 00

? ?. 8

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9/37
【解Ⅱ】 利用柱面坐标

???(?x?z)dv???z?dv

?

?

? ? ? ? 2?d?

2
2 ?d?

1??2
zdz

?

?

.

0

0

?

8

【解Ⅲ】 利用直角坐标

???(?x?z)dv???z?dv

?

?

? ? ? 2

1?x2

? 2 dx 2 dy

?2

? 1?x2

2

2

1?x2?y2
zdz
x2?y2

?

?. 8

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10/37
??? 【例4】 计e z 算 d , ? v :x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 .
?
【解Ⅰ】?被积函数z仅 的为 函数,D 截(z)面 为圆域
x2 ?y2 ?1?z2,故采用“先二法后.一

??e?zdv?2??e?zdv

?

?上

1
?2?0e

z

dz[????edzdxxddy]y

DDzz



? 积 ?21?(1?z2)ezdz?2?. 0

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11/37

【解Ⅱ】 柱面坐标

原式? 2???ezdv
?上

? ? ? 2?

1

?2 d? d?

1??2 ez ? ?dz

0

0

0

计算较繁

【解Ⅲ】 球面坐标
??? ? ?? ?? ? 原 ? 2 式 e zd? v 22 ?d? 2d1 e rc? o?r s2sid nr 0 00 ? 上 计算较繁

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12/37

【补例】



? ? ? 试将I 三 ?1 d次 x 1 ? x 2d积 1 y f分 (x ,y,z)dz

? 1 ?1 ? x 2

x 2? y2

按x、y、z的次序积分;然 y、 后 z、再 x 按

的次序积分

??1?x?1 【解】先写 ?:出 ??? 1?x2?y? 1?x2

?? x2?y2?z?1

z

再画 ? 的 出图 ?形

z? x2?y2
y

x

x2?y2 ?1

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13/37

z
(1) 将 ?投影y到 o面 z

由z? x2?y2 x?? z2?y2

?


z? x2?y2

o

y

x

x2?y2 ?1

?

? 0?z?1

?:??Dyz : ???z?y?z

??? z2 ?y2 ?x? z2 ?y2

于是

1z

z2?y2

? ? ? I? dzdy f(x,y,z)dx 0 ?z ?z2?y2

z
1
y??z
o

y?z
y

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(2) 将 ?投影 xo面 到 z

14/37
z

由z? x2?y2 y?? z2?x2

?


z? x2?y2

o

y

x

x2?y2 ?1

? ??1?x?1 ?:??Dzx:?? x?z?1
??? z2?x2 ?y? z2?x2

z
1
z??x

于是

o

11

z2?x2

? ? ? I? dxdz f(x,y,z)dy ?1 x ?z2?x2

z?x
x

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15/37

【例5】 计I? 算 ??f(?x,y,z)d xd yd z
?

教材P106 习题9-3 第1(1)题

? :z?x与 y x?y?1,z?0所围成的区域

双曲抛物面
y
1
Dxy
0

?是曲顶柱体



上顶: z?xy 下底 : z =0

Dxy: x??, y??,x?y??围成

xy
I???dxdy?0 f(x,y,z)dz
Dxy

? ? ? 1

x

1 1 ? x xy
?d x d y f(x ,y,z)d z

00

0

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16/37

【例5】 计I? 算 ??f(?x,y,z)d xd yd z
?

教材P106 习题9-3 第1(1)题

? :z?x与 y x?y?1,z?0所围成的区域

x+ y=1

z

z=xy

y

1
o
1
.
x

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17/37

【例5】 计I? 算 ??f(?x,y,z)d xd yd z
?

教材P106 习题9-3 第1(1)题

? :z?x与 y x?y?1,z?0所围成的区域

x+ y=1

z

z=xy

y

1

o

z =0

1

.
x

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18/37

【例5】 计I? 算 ??f(?x,y,z)d xd yd z
?

教材P106 习题9-3 第1(1)题

? :z?x与 y x?y?1,z?0所围成的区域 。



x+ y=1

z

z=xy

y

1

o

z =0 ?

1

.

x

xy

1 1?x xy

? ? ? I???dxdy?0 D

f(x,y,z)d z ? d x 00

d y f(x,y,z)d z 0

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??? 练


计I算 ??f(x,y,z)d xd yd z?:cz?xy(c?0),a x2 2?b y2 21? 9/317 及z?0所围成的在区 第域 一 教材。 P卦 106 习限 题9-3 的

z

x2 y2 a2 ? b2 ? 1

第1(4)题

y
cz=xy

b

o

.

a

x

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??? 练


计I算 ??f(x,y,z)d xd yd z?:cz?xy(c?0),a x2 2?b y2 22? 0/317 及z?0所围成的在区 第域 一 教材。 P卦 106 习限 题9-3 的

z

x2 y2 a2 ? b2 ? 1

第1(4)题

y
cz=xy

b
o z=0
a
.

x

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练 习

??? 计I算 ??f(x,y,z)d xd yd z?:cz?xy(c?0),a x2 2?b y2 22? 1/317

及z?0所







在区 第域 一 教材。 P卦 106 习限 题9-3
第1(4)题



z

cz=xy
.

?
b
o
a

y x

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z

用哪种坐标? 直角坐标 cz=xy

?是曲顶柱 由体,

xy

上顶: z ? c

.

?
b
o
a

下底 : z = 0

Dxy:

x??,

y??,

x2 y? ? ?1

围成

a? b?

y

xy

b

I???dxdy??c f(x,y,z)dz

D

a

ba??x?

xy

Dxy

? ? ? ? dxa dyc f(x,y,z)dz 0

??

?

a

22/37
y x
x

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23/37
【例6】计算 I ????zdxdydz ? :x 2? y 2? z2? 1 , z? 0 ?
解法Ⅰ ?上顶: z? 1?x2 ?y2

下底 : z = 0

z

Dxy: x2 ? y2 ?1

??x??y?

I ???dxdy??

zdz

Dxy

用哪种坐标? 柱面坐标

.

? ? ? I =

.
2?d?1?d?

1??2
zdz

0

0

0

Dxy 0

1y

1

??

4

x

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24/37

【例6】计算 I ????zdxdydz ? :x 2? y 2? z2? 1 , z? 0 ?

解法Ⅱ

?上顶: z? 1?x2 ?y2

z
下底 : z = 0

Dxy: x2 ? y2 ?1

??x??y?

I ???dxdy??

zdz

Dxy

用哪种坐标? 球面坐标

? ? ? ? ?? ? .

I=

2?
d

?.
2sind

1rcors 2dr

Dxy 0
1

0

0

0

1y

??

x

4

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25/37
【注】选择合适的坐标系是计算三重积分的关键 一般的: (1).区域由平面围成,常选择直角坐标系;
(2).区域由圆柱面围成,被积函数形如 f(x2?y2)
常选择柱面坐标系;
(3).区域由球面锥面围成,被积函数形如 f(x2?y2?z2)
常选择球面坐标系.
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26/37
三、杂题 【例7】 设 f(u )? C ,f(0 )? 0 ,f?(0 )存 ,求在 lti?m0 ?1t4 F(t ),
其中 F(t)? ??f?( x2?y2?z2)dxdydz x2?y2? z2?t2

【解】 在球面坐标系下

? ?? ? ? ? F (t)?2 ?d?sid ntf(r)r2 d r

00

0

? ?4? t f(r)r2dr F(0)?0 0

利用洛必达法则与导数定义,得

lim
t?0

F(t )
? t4

?lt? im0 4?4?f(tt3)t2

?limf(t)? f(0) t?0 t ?0

?f?(0)

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27/37
【练习】 设 f连F 续 (t)? ?[ , ?z2? ?f(x 2? y 2 )d ],V
?
其 ? :0 中 ? z? h ,x 2? y 2? t2 ,求 d(tF ) dt
【提示】 先用柱面坐标积分后展成关于t 的定积分
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28/37
例8 已 ? :知 x ? ? y ? ? ( z ? a ) ? ? a ? , x ? ? y ? ? z ? .计

I???f?(x,y,z)dxdydz ?

z 化为球坐标系下的方程

?M??

r=2a cos?

?:0?r?2aco?s
0???2?
0?φ ?π 4
. .

M
a

r
?

φ ?π 4

0

?

y

? ? ? I ? 2 π d θ π 4 d φ 2 a c s φ o f( r sφ xi cn θ , o r sφ s i sn θ i ,r c n φ ) o r 2 ss φ i d r n 0 00

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29/37
??? 【例9】 计算 2(x2?x)yd, v其? 中 由 z?x2?y2与
?
z
z?1所围成.

【解Ⅰ】

1

???2(x2 ?xy)dv

?

???(?x2 ?y2)d v

? (直角坐标)

Dxy 0

y
1

? ? ? 1

1?x2

1

? dx dy

x
(x2?y2)dz

?1 ?1?x2

x2?y2

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【解Ⅱ】

???2(x2 ?xy)dv
?

????(x2?y2)dv

?

? ? ? ? 2?d?1?d?1?2dz

0

0

?2

(柱面坐标)

? π. 6

30/37
z 1

Dxy 0

y
1

x

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【解Ⅲ】(球面坐标)
z? 1? r?se ?,c
?? z? x 2? y 2? r? co cts.c

31/37
z
1

???(x2 ?y2)dv

Dxy 0

y
1

?

x

? ?? ?? ? ? 2 π
?d

π
4d

se ?rc 2si2n ?r2sid nr

0 00

? ?? ?? ? ? 2π
?d 0

π
π 2d

co ?cts ?rc2si2n ?r2sid nr
0

4

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【解Ⅳ】(截面法)

???(x2 ?y2)dv
?

? ?? ?

1
dz

(x2 ?y2)dxdy

0

Dz

??01dz???3d?d?
Dz

? ? ? ?1dz2πd? z?3d?

00

0

? π. 6

32/37
z
1

Dxy 0

y
1

x

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33/37
【补充:利用对称性化简三重积分计算】
使用对称性时应注意:
1、积分区域关于坐标面的对称性;
2、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴 的 奇偶性.
一般地,当积分区域 ?关于 xoy平面对称,且 被积函数 f ( x, y, z)是关于 z的奇函数,则三重积分 为零,若被积函数 f ( x, y, z)是关于 z的偶函数,则 三重积分为 ?在 xoy平面上方的半个闭区域的三 重积分的两倍.
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34/37

问:是否有 ??z2d ?? v??x2?d? v??y2?dv

?

?

?

b

b

b

? ? ? 我们知道, 在定积分中, f(x )d? xf(y)d? yf(z)d.z

a

a

a

但在二, 三重积分中, 这一结论一般不对,

不过, 当?满足某些条件时, 结论成立。 一般,若在?的表达式中,以y代x,以z代y,以x代z
后,?的表达式不变(即具有“轮换对称性”),

则 ??f(x ?,y,z)d? v??f(y ?,z,x )d.v

?

?

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35/37
【例17】——机动备用

设有一高度为 h(t ) ( t 为时间) 的雪堆在融化过程中,其

表面满足方程

z?h(t)?2(x2

?y2) ,

设长度单位为厘米,

h(t)

时间单位为小时, 已知体积减少的速率与表面积成正比

(比例系数 0.9 ), 问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要

多少小时? (2019考研)

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36/37

[提示]

D z:x 2 ? y 2 ? [ 1 2 h 2 ( t)? h ( t) z ]

记雪堆体积为 V, 侧面积为 S ,则

z

? ?? h(t )
V? d z

dxd y

0

? ? h(t)

? 0

1 2

Dz
[h2(t)?h(t)z]dz?

?
4

h3 (t

)

o
x

y

?? S?

1?(z?x)2?(z?y)2dxdy

D0

D 0:x 2?y2?1 2h 2 (t)

? ??
D0

1?16(x2?y2) h2(t)

dxdy

(用极坐标)

h(t)

? ? 2?
h(t)

2
0

h2(t)?1?62?d??13? h2(t)
12

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37/37

V ??h3(t), S?13?h2(t)

4

12

由题意知 dV ? ?0.9S dt d h ? ? 13 d t 10
h(0)?130

h(t)??13t ?130 10

令 h(t)?0,得 t?10(0小时)
因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100

小时.

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END


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