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高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列(1) 新人教A版必修5PPT课件_图文

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等差数列(一)

复习
一、数列的定义,通项公式: 按一定次序排成的一列数叫做数列。一般写成 a1,a2,a3 ,… an,… 如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个 公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的 通项公式。
二、数列的简单表示:
三、给出数列的方法:

在过去的三百 多年里,人们 分别在下列时 间里观测到了 哈雷慧星:

相差76

(1)1682,1758,1834,1910,1986,( 2062)
你能预测出下一次 的大致时间吗?

通常情况下,从地面 到10公里的高空,气 温随高度的变化而变 化符合一定的规律, 请你根据下表估计一 下珠穆朗玛峰峰顶的 温度。

8844.43米
减少6.5

高度(km) 1 2 3

45

温度(℃) 28 21.5 15

8.5 2

(2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24.

67
-4.5 -11

…9 … -24

引入 (观察以下数列)

全国统一鞋号中成年男鞋的各种尺码

(表示鞋底长,单位:cm)分别是:

23

1 2

,24,24

12 ,25,25

1 2

,26,26

1 2

,27,27

12 ,28,28

1 2

,29,29

1 2

,30.

某此系统抽样所抽取的样本号分别是: 7,19,31,43,55,67,79,91,103,115.

某长跑运动员7天里每天的训练量(单位:m)是: 7500,8000,8500,9000,10000,10500.

交流
这三个数列有何共同特征 从第2项起,每一项与其前一项之差等 于同一个常数。
请尝试着给具有上述特征的特殊数列 用数学的语言下定义

探究
1、等差数列的定义
如果一个数列从第2项起,每一项与其前一项的差 等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个 常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。
(1)指出定义中的关键词: 从第2项起 每一项与其前一项的差等于同一个常数
⑵由定义得等差数列的递推公式:an?1 ? an ? d (d是常数)
说明:此公式是判断、证明一个数列是否为等差 数列的主要依据.

练习:判断下列数列中哪些是等差数列, 哪些不是?如果是,写出首项a1和公差d, 如果不是,说明理由。
(1) 1, 1, 1, 1, 1. (2) 4, 7,10,13,16. (3) ? 3, ?2, ?1,1, 2,3. (4) ?1, 2,3, 4,5, 6. (5) 5,9,13, , 4n ?1, .

2、等差数列的通项公式 思考:已知等差数列{an }的首项为a1,公差为d,求an . 方法一:不根据等差数列的定义得到
完全归纳法 a2 ? a1 ? d,a3 ? a2 ? d,a4 ? a3 ? d,
所以a2 ? a1 ? d a3 ? a2 ? d ? (a1 ? d) ? d ? a1 ? 2d a4 ? a3 ? d ? (a1 ? 2d) ? d ? a1 ? 3d
由此得到an ? a1 ? (n ?1)d (n ? 2)
当n ? 1时,上面等式两边均为a1,即等式也成立
?等差数列的通项公式为an ? a1 ? (n ?1)d

2、等差数列的通项公式

思考:已知等差数列{an }的首项为a1,公差为d,求an .

} a2 ? a1 ? d,
a3 ? a2 ? d,
a4 ? a3 ? d,

n ?1个

方法二 叠加法

an ? an?1 ? d

将所有等式相加得
an ? a1 ? (n ?1)d

例1 ⑴求等差数列8,5,2,…的第20项. ⑵- 401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?如果是
,是第几项?
解:⑴由a1=8,d=5-8=-3,n=20,得 a20=8+(20-1) ×(-3)=-49.
⑵由a1=-5,d =-9-(-5)=-4,得到这个数列的通项公式 为an=-5-4(n-1). 由题意得-401=-5-4(n-1),解这个关于n的方程,得 n=100,即-401是这个数列的第100项.

例2 在等差数列{an}中,已知 a5=10,a12=31,求首项a1与公差d .
解:由题意得:
a1+ 4d = 10 a1+11d=31 这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方程组,解之得:
a1= - 2 d=3 ∴这个数列的首项a1是-2,公差d =3. 小结:已知数列中任意两项,可求出首项和公差,主要是联立 二元一次方程组。这种题型有简便方法吗?请同学们思考并做 以下练习。

结论
1、已知等差数列的首项与公差,可求得 其任何一项;
2、在等差数列的通项公式中,a1,d,n, an四个量中知三求一.

跟踪训练

在等差数列中, ⑴若a1 ? 2,d ? 3,n ? 10,则an ? 29 .

⑵若a1 ? 3,an ? 21,d ? 2,则n ? 10 .

⑶若a1 ? 12,a6 ? 27,则d ? 3 .

⑷若d

?

?

1 3

,a7

?

8,则a1

?

10 .

3.等差中项
如果 a, A, b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的 等差中项 .
由等差中项的定义可知, a, A, b 满足关系:
b ? A ? A ? a ? A ? a ? b ? b ? 2A ? a?( 或a ? 2A ? b ) 2
意义: 任意两个数都有等差中项,并且这个等差中项
是唯一的.当 a=b 时,A = a = b .

例3 (1)在等差数列{an}中,是否有

an

?

an?1

? an?1 2

(n

?

2) ?

(2)在数列{an}中,如果对于任意的正整数n(n≥2 ),都有

an

?

an?1

? 2

an?1

那么数列{an}一定是等差数列吗?

4、等差数列通项公式的推广 思考:在等差数列{an }中,项an与am有何关系?
解析:由等差数列的通项公式得
an ? a1 ? (n ?1)d ①
am ? a1 ? (m ?1)d ②
① - ②得an ? am ? (n ? m)d.
? an ? am ? (n ? m)d.
进一步可以得到 d ? an ? am . n?m

思考:已知等差数列{an}中,a3=9,a9=3,求a12,a3n.

解法一: 依题意得:

a1+2d=9

a1+8d=3

解之得

a1 =11

d =-1∴这个数列的通项公式是:an=11- (n1)=12-n

解法二:

故 a12= 0, a 3n = 12 – 3 n.

练一练

an ? a1 ? (n ?1)d

1. 求等差数列3,7,11,…的第4,7,10项;
a4 ? 15, a7 ? 27, a10 ? 39

2. 100是不是等差数列2,9,16,…中的项 ?
100 ? 2 ? (n ?1) ? 7 ? n ? 15

3.

-20是不是等差数列0,-

7 2

,-7…中的项

; ?

20

?

0

?

(n

?1) ? ?? ?

7

??

?

n

?

47

(舍)

? 2?

7

练一练
4. 在等差数列中
(1)已知a4 ? 10, a7 ? 19,求a1与d. a1 ? 1, d ? 3

思考题:第15届现代奥运会于1952年在芬兰赫 尔辛基举行,每4年举行一次。奥运会如因故不 能举行,届数照算。 (1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的 通项公式。 (2)2008年北京奥运会是第几届? (3)2050年举行奥运会吗?

巩固练习

1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6,-3a-5,-10a-1, 则 a 等于( )

A. 1

B. -1

C.- 1

5
D.

3

11

提示: (-3a-5 )-(a-6)=(-10a-1) -(-3a-5 )

2. 在数列{an}中a1=1,an= an+1+4,则a10=-35 .

提示: d=an+1- an=-4

3. 在等差数列{an}中a1=83,a4=98,则这个数列有 多少项在300到500之间?40

提示:300< 83+5×(n-1)500? 44 2 ? n ? 84 2

5

5

n=45,46,…,84


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