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2018_2019高中数学第3章导数及其应用3.1.2瞬时变化率——导数(一)学案苏教版选修1_1

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309 教育网 www.309edu.com 3.1.2 瞬时变化率——导数(一) 学习目标 1.了解曲线的切线的概念,会用逼近的思想求切线斜率.2.会求物体运动的瞬时 速度与瞬时加速度. 知识点一 曲线上一点处的切线 思考 如图,当点 Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4)沿着曲线 f(x)趋近于点 P(x,f(x))时,割线 PPn 的变化趋势是什么? 答案 当点 Pn 趋近于点 P 时,割线 PPn 趋近于确定的位置.这个确定的位置的直线 PT 称为过 点 P 的切线. 梳理 可以用逼近的方法来计算切线的斜率, 设 P(x,f(x)),Q(x+Δ x,f(x+Δ x)), 则割线 PQ 的斜率为 kPQ=f?x+ΔΔxx?-f?x?. 当 Δ x 无限趋近于 0 时,f?x+ΔΔxx?-f?x?无限趋近于点 P(x,f(x))处的切线的斜率. 知识点二 瞬时速度与瞬时加速度 思考 瞬时速度和瞬时加速度和函数的变化率有什么关系? 答案 瞬时速度是位移对于时间的瞬时变化率,瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率. 梳理 (1)如果当 Δ t 无限趋近于 0 时,运动物体位移 S(t)的平均变化率S?t0+ΔΔtt?-S?t0?无 限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在 t=t0 时的瞬时速度,即位移对于时间的瞬时 变化率. (2)如果当 Δ t 无限趋近于 0 时,运动物体速度 v(t)的平均变化率v?t0+ΔΔtt?-v?t0?无限趋近 309 教育资源库 www.309edu.com 309 教育网 www.309edu.com 于一个常数,那么这个常数称为物体在 t=t0 时的瞬时加速度,即速度对于时间的瞬时变化 率. 1.曲线上给定一点 P,过点 P 可以作该曲线的两条割线.( √ ) 2.过曲线上任一点可能作不出一条切线.( √ ) 3.有的曲线过它上面的某一点可作两条切线.( × ) 4.平均速度刻画运动物体在某一时间段内变化的快慢程度,瞬时速度刻画物体在某一时刻变 化的快慢程度.( √ ) 类型一 求曲线在某点处的切线斜率 例 1 如图,已知曲线 y=13x3 上一点 P???2,83???,求: (1)点 P 处的切线的斜率; (2)点 P 处的切线方程. 考点 导数的概念 题点 根据定义求函数在某点处的切线斜率 解 (1)由 y=13x3,得 Δ Δ y 13?x+Δ x?3-13x3 x= Δx =13×3x2Δ x+3x?Δ x?2+?Δ Δx x?3 =13×[3x2+3xΔ x+(Δ x)2], 当 Δ x 无限趋近于 0 时,Δ Δ yx无限趋近于 x2. 即点 P 处的切线的斜率为 22=4. 309 教育资源库 www.309edu.com 309 教育网 www.309edu.com (2)在点 P 处的切线方程为 y-83=4(x-2), 即 12x-3y-16=0. 反思与感悟 解决此类问题的关键是理解割线逼近切线的思想.即求曲线上一点处切线的斜 率时,先表示出曲线在该点处的割线的斜率,则当 Δ x 无限趋近于 0 时,可得到割线的斜率 逼近切线的斜率. 跟踪训练 1 利用割线逼近切线的方法分别求曲线 y=2x2 在 x=0,x=-1,x=2 处的切线斜率. 考点 导数的概念 题点 根据定义求函数在某点处的切线斜率 解 设 P(x0,f(x0)),Q(x0+Δ x,f(x0+Δ x)),则割线 PQ 的斜率 kPQ=ΔΔ yx=2?xx00++ΔΔ x?2-2x20 x-x0 =4x0+2Δ x. 当 Δ x 无限趋近于 0 时,kPQ 无限趋近于 4x0,从而曲线 y=f(x)在 x=0,x=-1,x=2 处的 切线斜率分别为 0,-4,8. 类型二 求瞬时速度、瞬时加速度 例 2 已知质点 M 的运动速度与运动时间的关系为 v=3t2+2(速度单位:cm/s,时间单位:s), (1)当 t=2,Δ t=0.01 时,求Δ Δ tv; (2)求质点 M 在 t=2s 时的瞬时加速度. 考点 导数的概念 题点 瞬时加速度 解 Δ Δ vt=v?t+ΔΔtt?-v?t?=3?t+Δ t?2+2-?3t2+2? Δt =6t+3Δ t. (1)当 t=2,Δ t=0.01 时,ΔΔ v t=6×2+3×0.01 =12.03cm/s2. (2)当 Δ t 无限趋近于 0 时,6t+3Δ t 无限趋近于 6t,则质点 M 在 t=2s 时的瞬时加速度为 12cm/s2. 反思与感悟 (1)求瞬时速度的关键在于正确表示“位移的增量与时间增量的比值”,求瞬时 加速度的关键在于正确表示“速度的增量与时间增量的比值”,注意二者的区别. (2)求瞬时加速度:①求平均加速度ΔΔ v t;②令 Δ t→0,求出瞬时加速度. 跟踪训练 2 质点 M 按规律 S(t)=at2+1 做直线运动(位移单位:m,时间单位:s).若质点 M 在 t=2s 时的瞬时速度为 8m/s,求常数 a 的值. 考点 导数的概念 309 教育资源库 www.309edu.com 309 教育网 www.309edu.com 题点 瞬时速度 解 ∵Δ S=S(2+Δ t)-S(2) =a(2+Δ t)2+1-a·22-1=4aΔ t+a(Δ t)2, ∴Δ Δ St=4a+aΔ t. 当 Δ t 无限趋近于 0 时,4a+aΔ t 无限趋近于 4a. ∵在 t=2s 时,瞬时速度为 8m/s, ∴4a=8,∴a=2. 1.已知曲线 y=f(x)=2x2 上一点 A(2,8),则点 A 处的切线斜率为________. 考点 导数的概念 题点 根据定义求函数在某点处的切线斜率 答案 8 解析 ∵f?2+ΔΔxx?-f?2

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