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【步步高】2015届高考数学总复习 第五章 5.3平面向量的数量积课件 理 北师大版

时间:2014-06-05


数学

北(理)

§5.3 平面向量的数量积
第五章 平面向量

基础知识·自主学习
要点梳理
1.两个向量的夹角 → → 已知两个非零向量 a 和 b ,作 OA = a , OB = b ,∠AOB = θ(0° ≤θ≤180° )叫作向量 a 与 b 的夹角. 2.平面向量的数量积 已知两个向量 a 和 b,它们的夹角为 θ,我们把 |a||b|cos θ 叫作
知识回顾 理清教材

b=|a||b|cos θ . a 与 b 的数量积(或内积),记作 a·
3.平面向量数量积的几何意义 数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上的射影 |b|cos θ 的 乘积或 b 的长度|b|与 a 在 b 方向上的射影 |a|cos θ 的乘积.

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

4.平面向量数量积的重要性质 (1)e· a=a· e= |a|cosθ ;
b=0 ; (2)a,b,a⊥b? a·
a· a ; a· b (4)cos θ= |a||b| ;

(3)|a|=

≤ |a||b|. (5)|a· b|____

基础知识·自主学习
要点梳理
5.平面向量数量积满足的运算律
知识回顾 理清教材

a; (1)a· b= b·
b) = a· (λb) ; (2)(λa)· b= λ(a·

c+b· c. (3)(a+b)· c= a·
6.平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b= x1x2+y1y2,由此得到 2 2 2 2 2 x + y (1)若 a=(x,y),则|a| = x +y 或|a|= . (2)设两个非零向量 a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b?

x1x2+y1y2=0 .

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)× (6)×

解析

C D B
65 5

题型分类·深度剖析
题型一 平面向量数量积的运算
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)在 Rt△ABC 中,C= →· → 等于 90° ,AC=4,则AB AC ( A.-16 C.8 B.-8 D.16 )

(2)(2012· 北京)已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的 →· → 的值为 _____ ; 动点,则 DE CB →· → 的最大值为_____. DE DC

题型分类·深度剖析
题型一 平面向量数量积的运算
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)在 Rt△ABC 中,C= →· → 等于 90° ,AC=4,则AB AC ( A.-16 C.8 B.-8 D.16 )

→, (1)C=90° , 可选取向量CA → 为基底表示向量或者利 CB 用数量积的几何意义;

(2)(2012· 北京)已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的 →· → 的值为 _____ ; 动点,则 DE CB →· → 的最大值为_____. DE DC

(2) 建立坐标系求向量的坐 标, 也可利用数量积的几何 意义.

题型分类·深度剖析
题型一 平面向量数量积的运算
答案 思维升华

【例 1】 (1)在 Rt△ABC 中,C= 思维启迪 解析 → → → → → →· →· 解析 AB AC=(CB-CA)· (-CA) 90° ,AC(1) =方法一 4,则AB AC 等于 → → →2 =-CB· CA+CA =16. ( ) → → 方法二 ∵ AB 在 AC方向上的射影是 AC, A.-16 B .- 8 → → →2 ∴ AB AC=|ACD |= C.8 · .16. 16 (2)方法一 以射线 AB,AD 为 x 轴,y 轴的 (2)(2012· 北京)已知正方形 ABCD 正方向建立平面直角坐标系,则 A(0,0),B(1,0), 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的 C(1,1),D(0,1),设 E(t,0),t?[0,1] , →· → 的值为 _____ ; 动点,则 DE CB
→ → 则DE=(t,-1),CB=(0,-1), →· → → → =(t,- DE DC 的最大值为 _____ . 1)=1. 所以DE · CB 1)· (0,-

题型分类·深度剖析
题型一 平面向量数量积的运算

【例 1】 (1)在 Rt△ABC 中,C= 思维启迪 解析 答案 思维升华 →· → 等于 → → → 90° , AC = 4 ,则 AB AC 因为DC=(1,0),所以DE· DC=(t,-1)· (1,0)=t≤1, ( ) → → 故DE· DC的最大值为 1. A.-16 B.-8 方法二 由图知,无论 E 点在哪个位置, C. 8 → D.16 → DE 在CB方向上的射影都是 CB=1, (2)(2012· 北京) 已知正方形 ABCD → → → ∴DE· CB=|CB|· 1=1, 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的 → → 当 E 运动到 B 点时, DE 在DC方向上的射影最大即为 DC=1, → → 动点,则 DE · CB 的值为 _____ ;
→ → → → → ∴ ( DE · DC)max=|DC |· 1= 1. DE · DC 的最大值为 _____ .

题型分类·深度剖析
题型一 平面向量数量积的运算
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)在 Rt△ABC 中,C= →· → 等于 90° ,AC=4,则AB AC ( D ) A.-16 C.8 B.-8 D.16

(2)(2012· 北京)已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的 →· → 的值为 _____ 动点,则 DE CB 1 ; →· → 的最大值为_____. DE DC 1

题型分类·深度剖析
题型一 平面向量数量积的运算
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)在 Rt△ABC 中,C= →· → 等于 90° ,AC=4,则AB AC ( D ) A.-16 C.8 B.-8 D.16

求两个向量的数量积有三种 方法:利用定义;利用向量 的坐标运算;利用数量积的 几何意义.本题从不同角度 创造性地解题,充分利用了 已知条件.

(2)(2012· 北京)已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的 →· → 的值为 _____ 动点,则 DE CB 1 ; →· → 的最大值为_____. DE DC 1

题型分类·深度剖析
→ |=3,|BC → |=4,|CA → |=5, 跟踪训练 1 已知点 A,B,C 满足|AB →· → +BC →· → +CA →· → 的值是________ -25 . 则AB BC CA AB

解析 方法一 如右图,根据题意可得△ABC π 3 4 为直角三角形,且 B=2,cos A=5,cos C=5, →· → +BC →· → +CA →· → =BC →· → +CA →· → ∴AB BC CA AB CA AB
=4×5cos(π-C)+5×3cos(π-A)=-20cos C-15cos A 4 3 =-20×5-15×5=-25. → +BC → +CA → =0, 方法二 易知AB
→ 2+BC → 2+CA → 2+2(AB →· → +AB →· → +BC →· → )=0, 将其两边平方可得AB BC CA CA 1 →2 →2 →2 → → → → → → 故AB· BC+AB· CA+BC· CA=-2(AB +BC +CA )=-25.

题型分类·深度剖析
题型二 求向量的夹角与向量的模

【 例 2】

(1)(2012· 课标全国 )

思维启迪

解析

答案

思维升华

已知向量 a,b 夹角为 45° , 且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b| =________. →与 (2)(2013· 山东 )已知向量 AB → 的夹角为 120° → |= AC ,且|AB → |=2.若AP → =λAB → +AC →, 3, |AC → ⊥BC → ,则实数 λ 的值为 且AP ________.

题型分类·深度剖析
题型二 求向量的夹角与向量的模

【 例 2】

(1)(2012· 课标全国 )

思维启迪

解析

答案

思维升华

已知向量 a,b 夹角为 45° , 且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b| =________. →与 (2)(2013· 山东 )已知向量 AB → 的夹角为 120° → |= AC ,且|AB → |=2.若AP → =λAB → +AC →, 3, |AC → ⊥BC → ,则实数 λ 的值为 且AP ________.
利用数量积的定义 a· b=|a|· |b|cos θ.

题型分类·深度剖析
题型二 求向量的夹角与向量的模

【 例 2】

(1)(2012· 课标全国 )

思维启迪

解析

答案

思维升华

已知向量 a,b 夹角为 45° , 且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b| =________. →与 (2)(2013· 山东 )已知向量 AB → 的夹角为 120° → |= AC ,且|AB → |=2.若AP → =λAB → +AC →, 3, |AC → ⊥BC → ,则实数 λ 的值为 且AP ________.

(1)利用平面向量的数量积概念、 模的概念求解.

∵a,b 的夹角为 45° ,|a|=1,
2 ∴a· b=|a|· |b|cos 45° = 2 |b|,

2 |2a-b| =4-4× |b|+|b|2=10, 2
2

∴|b|=3 2.

题型分类·深度剖析
题型二 求向量的夹角与向量的模

【 例 2】

(1)(2012· 课标全国 )

思维启迪

解析

答案

思维升华

已知向量 a,b 夹角为 45° , 且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b| =________. →与 (2)(2013· 山东 )已知向量 AB → 的夹角为 120° → |= AC ,且|AB → |=2.若AP → =λAB → +AC →, 3, |AC → ⊥BC → ,则实数 λ 的值为 且AP ________.

→ → → → (2)由AP⊥BC知AP· BC=0,

→· → =(λAB → +AC → )· → -AB →) 即AP BC (AC → → → → =(λ-1)AB· AC-λA B 2+AC2
? 1? =(λ-1)×3×2×?-2?-λ×9+4 ? ?

=0,
7 解得 λ=12.

题型分类·深度剖析
题型二 求向量的夹角与向量的模

【 例 2】

(1)(2012· 课标全国 )

思维启迪

解析

答案

思维升华

已知向量 a,b 夹角为 45° , 且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|
3 2 =________.

→ → → → (2)由AP⊥BC知AP· BC=0,

→· → =(λAB → +AC → )· → -AB →) 即AP BC (AC

→ → → → =(λ-1)AB· AC-λA B 2+AC2
? 1? =(λ-1)×3×2×?-2?-λ×9+4 ? ?

→与 (2)(2013· 山东 )已知向量 AB → 的夹角为 120° → |= AC ,且|AB → |=2.若AP → =λAB → +AC →, 3, |AC → ⊥BC → ,则实数 λ 的值为 且AP
7 ________ . 12

=0,
7 解得 λ= . 12

题型分类·深度剖析
题型二 求向量的夹角与向量的模

【 例 2】

(1)(2012· 课标全国 )

思维启迪

解析

答案

思维升华

已知向量 a,b 夹角为 45° , 且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|
3 2 =________.

(1)在数量积的基本运算中,经 常用到数量积的定义、模、夹 角等公式,尤其对 |a|= a· a要 引起足够重视,它是求距离常 用的公式.
(2) 要注意向量运算律与实数 运算律的区别和联系.在向量 的运算中,灵活运用运算律, 达到简化运算的目的.

→与 (2)(2013· 山东 )已知向量 AB → 的夹角为 120° → |= AC ,且|AB → |=2.若AP → =λAB → +AC →, 3, |AC → ⊥BC → ,则实数 λ 的值为 且AP
7 ________ . 12

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 (1)已知向量 a、b 满足|a|=1,|b|=4,且 a· b=2,则 a π C. 3 C.2 π D. 2 D.4 ( C ) 与 b 的夹角为 π π A. B. 6 4 A.1 B. 2

(2)已知向量 a=(1, 3),b=(-1,0),则|a+2b|等于

( C )

解析

π a· b 1 (1)∵cos〈a,b〉=|a||b|=2,∴〈a,b〉=3.

(2)|a+2b|2=a2+4a· b+4b2=4-4×1+4=4, ∴|a+2b|=2.

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

数量积的综合应用
已知△ABC 的角 A、B、
思维启迪 解析 思维升华

C 所对的边分别是 a、b、c,设向 量 m=(a,b),n=(sin B,sin A), p=(b-2,a-2). (1)若 m∥n,求证:△ABC 为等 腰三角形; π (2)若 m⊥p, 边长 c=2, 角 C= , 3 求△ABC 的面积.

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

数量积的综合应用
已知△ABC 的角 A、B、
思维启迪 解析 思维升华

C 所对的边分别是 a、b、c,设向

(1)由 m∥n 可得△ABC 的

量 m=(a,b),n=(sin B,sin A), 边角关系,再利用正弦定 p=(b-2,a-2). (1)若 m∥n,求证:△ABC 为等 腰三角形;
理边角互化即可证得结 论;

π (2)若 m⊥p, 边长 c=2, 角 C= , 再利用余弦定理得 ab,代 3 求△ABC 的面积.
入面积公式.

(2)由 m⊥p 得 a、b 关系,

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

数量积的综合应用
已知△ABC 的角 A、B、
思维启迪 解析 思维升华

C 所对的边分别是 a、b、c,设向

(1)证明

∵m∥n,

量 m=(a,b),n=(sin B,sin A), ∴asin A=bsin B, a b 即 a· p=(b-2,a-2). 2R=b· 2R,其中 R 是三角 (1)若 m∥n,求证:△ABC 为等 腰三角形;
形 ABC 外接圆半径,

π (2)若 m⊥p, 边长 c=2, 角 C= , ∴ABC 为等腰三角形. 3 求△ABC 的面积.

∴a=b.

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

数量积的综合应用
已知△ABC 的角 A、B、
思维启迪 解析 思维升华

C 所对的边分别是 a、b、c,设向

(2)解

由题意可知 m· p=0,

即 a(b-2)+b(a-2)=0. 量 m=(a,b),n=(sin B,sin A), ∴a+b=ab. p=(b-2,a-2). 由余弦定理可知,4=a2+b2-

(1)若 m∥n,求证:△ABC 为等 腰三角形;

ab=(a+b)2-3ab,

即(ab)2-3ab-4=0,

∴ab=4(舍去 ab=-1), π (2)若 m⊥p, 边长 c=2, 角 C= , 3 1 1 π ∴S = 2 absin C = 2 ×4×sin 3 求△ABC 的面积. = 3.

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

数量积的综合应用
已知△ABC 的角 A、B、
思维启迪 解析 思维升华

C 所对的边分别是 a、b、c,设向 量 m=(a,b),n=(sin B,sin A), p=(b-2,a-2). (1)若 m∥n,求证:△ABC 为等 腰三角形;
以向量为载体考查三角形问 题时, 要注意正弦定理、 余弦 定理、 面积公式的应用、 边与 角之间的互化是判断三角形

形状的常用方法. π (2)若 m⊥p, 边长 c=2, 角 C= , 3

求△ABC 的面积.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 (2013· 江苏)已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos β, sin β),0<β<α<π. (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α,β 的值.

(1)证明 由|a-b|= 2,即(cos α-cos β)2+(sin α-sin β)2=2,

整理得 cos αcos β+sin αsin β=0, 即 a· b=0,因此 a⊥b. ? ?cos α+cos β=0 (2)解 由已知条件? , ? ?sin α+sin β=1
又 0<β<α<π,cos β=-cos α=cos(π-α), 1 π 5π 则 β=π-α,sin α+sin(π-α)=1,sin α=2,α=6或 α= 6 , 5π π π 5π 当 α= 6 时,β=6. 当 α=6时,β= 6 (舍去)

题型分类·深度剖析
审题路线图系列3 三审图形抓特点
典例:(5 分)如图所示,把两块斜边长相等的直角三角板拼 → =xAB → +yAC → ,则 x=______,y=_____. 在一起,若AD
审题路线图 解析 温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
审题路线图系列3 三审图形抓特点
典例:(5 分)如图所示,把两块斜边长相等的直角三角板拼 → =xAB → +yAC → ,则 x=______,y=_____. 在一起,若AD
审题路线图
图形有一副三角板构成 ↓(注意一副三角板的特点) 令|AB|=1,|AC|=1
↓(一副三角板的两斜边等长) |DE|=|BC|= 2 ↓(非等腰三角板的特点)
3 6 |BD|=|DE|sin 60° = 2× = 2 2 ↓(注意∠ABD=45° +90° =135° )

解析

温 馨 提 醒
6 2 × = 2 2

→ → AD在AB上的射影即为 x

↓x=|AB|+|BD|cos 45° =1+ 3 1+ 2
→ 在AC → 上的投影即为 y ↓AD

6 2 3 ↓y=|BD|· sin 45° =2×2=2.

题型分类·深度剖析
审题路线图系列3 三审图形抓特点
典例:(5 分)如图所示,把两块斜边长相等的直角三角板拼 → =xAB → +yAC → ,则 x=______,y=_____. 在一起,若AD
审题路线图
方法一

解析

温 馨 提 醒

→ → → → → 结合图形特点,设向量AB,AC为单位向量,由AD=xAB+yAC知, → → → x,y 分别为AD在AB,AC上的射影.又|BC|=|DE|= 2,
6 → → ∴|BD|=|DE|· sin 60° =2. → 在AB → 上的射影 ∴AD

6 6 2 3 x=1+ 2 cos 45° =1+ 2 × 2 =1+ 2 ,
6 3 → → AD在AC上的射影 y= 2 sin 45° =2.

题型分类·深度剖析
审题路线图系列3 三审图形抓特点
典例:(5 分)如图所示,把两块斜边长相等的直角三角板拼 3 3 → → → 1 + 在一起,若AD=xAB+yAC,则 x=______,y=_____.
2

2

审题路线图
方法二

解析

温 馨 提 醒

→ =xAB → +yAC → ,又AD → =AB → +BD →, ∵AD

→ → → → → → → ∴AB+BD=xAB+yAC,∴BD=(x-1)AB+yAC. → → → → → 又AC⊥AB,∴BD· AB=(x-1)AB2.
→ → → 设|AB|=1,则由题意|DE|=|BC|= 2.

6 → → → 又∠BED=60° ,∴|BD|= 2 .显然BD与AB的夹角为 45° . 6 3 2 → → → 2 得 ×1×cos 45° =(x-1)×1 . ∴x= +1. ∴由BD· AB=(x-1)AB , 2 2 → =(x-1)AB → +yAC → 两边取数量积可得 y= 3. 同理,在BD 2

题型分类·深度剖析
审题路线图系列3 三审图形抓特点
典例:(5 分)如图所示,把两块斜边长相等的直角三角板拼 3 3 → → → 1 + 在一起,若AD=xAB+yAC,则 x=______,y=_____.
2

2

审题路线图

解析

温 馨 提 醒

突破本题的关键是, 要抓住图形的特点(图形由一副三角板构 成).根据图形的特点,利用向量分解的几何意义,求解方便 快捷.方法二是原试题所给答案,较方法一略显繁杂.

思想方法·感悟提高
1.计算数量积的三种方法:定义、坐标运算、数量 积的几何意义,要灵活选用,和图形有关的不要 忽略数量积几何意义的应用.

方 法 与 技 巧

2.求向量模的常用方法:利用公式|a|2=a2,将模 的运算转化为向量的数量积的运算.

3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是 求参数或最值问题常用的方法与技巧.

思想方法·感悟提高

1. (1)0 与实数 0 的区别: 0a=0≠0, a+(-a)=0≠0,

失 误 与 防 范

a· 0=0≠0;(2)0 的方向是任意的,并非没有方 向,0 与任何向量平行,0 与任何向量垂直.

2.a· b=0 不能推出 a=0 或 b=0,因为 a· b=0 时, 有可能 a⊥b.
3. a· b=a· c(a≠0)不能推出 b=c, 即消去律不成立.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

1. 已知向量 a=(1,2), b=(x, -4), 若 a∥b, 则 a· b 等于( A ) A.-10 C.0 B.-6 D.6

解析 由 a∥b 得 2x=-4,x=-2, 故 a· b=(1,2)· (-2,-4)=-10.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

2.(2012· 重庆)设 x,y?R,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4), 且 a⊥c,b∥c,则|a+b|等于 A. 5 B. 10 C.2 5 D.10 ( B )

解析

∵a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),

由 a⊥c 得 a· c=0,即 2x-4=0,∴x=2. 由 b∥c,得 1×(-4)-2y=0,∴y=-2.
∴a=(2,1),b=(1,-2).

∴a+b=(3,-1),∴|a+b|= 32+?-1?2= 10.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

3. 已知向量 a=(1,2), b=(2, -3). 若向量 c 满足(c+a)∥b, c⊥(a +b),则 c 等于 ?7 7? A.?9,3? ? ? ?7 7? C.?3,9? ? ?
? 7 7? B.?-3,-9? ? ? ? 7 7? D.?-9,-3? ? ?

( D )

解析 设 c=(x,y),则 c+a=(x+1,y+2), 又(c+a)∥b,∴2(y+2)+3(x+1)=0. 又 c⊥(a+b),∴(x,y)· (3,-1)=3x-y=0.
7 7 联立①②解得 x=-9,y=-3.

① ②

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

→ 与向量 a=(-3,4)的夹角为 π,|AB → |=10,若点 A 的坐 4.向量AB 标是(1,2),则点 B 的坐标为 A.(-7,8) C.(-5,10) B.(9,-4) D.(7,-6) ( D )

→ 解析 ∵AB与 a=(-3,4)反向, → ∴可设AB=(3λ,-4λ),λ>0. → → 又|AB|=10,∴λ=2,∴AB=(6,-8),
又 A(1,2),∴B 点坐标为(7,-6).

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

5.(2012· 天津)在△ABC 中,∠A=90° ,AB=1,AC=2.设点 P, → → → → → → Q 满足AP=λAB,AQ=(1-λ)AC,λ?R.若BQ· CP=-2,则 λ 等于 1 A. 3 2 B. 3 4 C. 3 ( B ) D.2

解析

→ → → → → BQ=AQ-AB=(1-λ)AC-AB,

→ → → → → CP=AP-AC=λAB-AC,
→· → =(λ-1)AC → 2-λAB → 2=4(λ-1)-λ BQ CP 2 =3λ-4=-2,即 λ=3.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

6. (2012· 安徽)设向量 a=(1,2m), b=(m+1,1), c=(2, m ). 若

2 (a+c)⊥b,则|a|=________.

解析

利用向量数量积的坐标运算求解.

a+c=(1,2m)+(2,m)=(3,3m).∵(a+c)⊥b,
∴(a+c)· b=(3,3m)· (m+1,1)=6m+3=0, 1 ∴m=-2.∴a=(1,-1),∴|a|= 2.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

7. (2013· 课标全国Ⅱ)已知正方形 ABCD 的边长为 2, E 为 CD →· → =________. 的中点,则AE BD 2

→· → =(AD → +DE → )· → -AB →) 解析 由题意知:AE BD (AD 1→ → → → =(AD+ AB)· (AD-AB) 2
1 → → 1→2 → 2 =AD - AD· AB- AB =4-0-2=2. 2 2

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

8.已知 a=(2,-1),b=(λ,3),若 a 与 b 的夹角为钝角, 则λ
? 3? ? ? - 6 , (-∞,-6)∪? 2? ? ?. 的取值范围是____________________

解析

3 由 a· b<0,即 2λ-3<0,解得 λ< ,由 a∥b 得: 2

3 6=-λ,即 λ=-6.因此 λ< ,且 λ≠-6. 2

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

π 9.已知向量 a=(4,5cos α),b=(3,-4tan α),α?(0, ),a⊥b,求: 2 (1)|a+b|; π (2)cos(α+ )的值. 4

(1)因为 a⊥b,所以 a· b=4×3+5cos α×(-4tan α)=0, 3 解得 sin α= . 5 π 4 sin α 3 又因为 α?(0, ), 所以 cos α= ,tan α= 2 5 cos α=4, 所以 a+b=(7,1), 解
因此|a+b|= 72+12=5 2.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

π 9.已知向量 a=(4,5cos α),b=(3,-4tan α),α?(0, ),a⊥b,求: 2 (1)|a+b|; π (2)cos(α+ )的值. 4

π π π (2)cos(α+ )=cos αcos -sin αsin 4 4 4

4 2 3 2 2 = × - × = . 5 2 5 2 10

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

10.已知△ABC 的内角为 A、B、C,其对边分别为 a、b、c,B 2B 为锐角,向量 m=(2sin B,- 3),n=(cos 2B,2cos -1), 2 且 m∥n. (1)求角 B 的大小; (2)如果 b=2,求 S△ABC 的最大值.
2B

(1)m∥n?2sin B· (2cos -1)+ 3cos 2B=0 2 π ?sin 2B+ 3cos 2B=0?2sin(2B+ )=0(B 为锐角) 3 2π π ?2B= ?B= . 3 3



练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

10.已知△ABC 的内角为 A、B、C,其对边分别为 a、b、c,B 2B 为锐角,向量 m=(2sin B,- 3),n=(cos 2B,2cos -1), 2 且 m∥n. (1)求角 B 的大小; (2)如果 b=2,求 S△ABC 的最大值.
a2+c2-b2 (2)cos B= ?ac=a2+c2-4≥2ac-4?ac≤4. 2ac

1 1 3 S△ABC= a· c· sin B≤ ×4× = 3. 2 2 2

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3

4

5

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3

4 5 → +AB → +AC → =0,且|OA →| 1.△ABC 的外接圆圆心为 O,半径为 2,OA → → → =|AB|,则CA在CB方向上的射影为 ( C )

A.1

B.2

C. 3

D.3

解析 如图,设 D 为 BC 的中点, → +AB → +AC → =0,得AO → =2AD →, 由OA

→ → ∴A、O、D 共线且|AO|=2|AD|, 又 O 为△ABC 的外心, ∴AO 为 BC 的中垂线, → |=|AB → |=|OA → |=2,|AD → |=1, ∴|AC
→ |= 3,∴CA → 在CB → 方向上的射影为 3. ∴|CD

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3

4

5

2.(2013· 湖南)已知 a,b 是单位向量,a· b=0,若向量 c 满足|c-a -b|=1,则|c|的取值范围是 A.[ 2-1, 2+1] C.[1, 2+1] B.[ 2-1, 2+2] D.[1, 2+2] ( A )

解析

∵a· b=0,且 a,b 是单位向量,∴|a|=|b|=1.

又∵|c-a-b|2=c2-2c· (a+b)+2a· b+a2+b2=1, ∴2c· (a+b)=c2+1.
∵|a|=|b|=1 且 a· b=0,∴|a+b|= 2,
∴c2+1=2 2|c|cos θ(θ 是 c 与 a+b 的夹角).
又-1≤cos θ≤1,∴0<c2+1≤2 2|c|,

∴c2-2 2|c|+1≤0, ∴ 2-1≤|c|≤ 2+1.

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3

4

5

3.如图所示,在平面四边形 ABCD 中,若 AC=3, → → → → BD=2,则(AB+DC)· (AC+BD)=________. 5

解析

→ → → → → → 由于AB=AC+CB,DC=DB+BC,

→ → → → → → → → 所以AB+DC=AC+CB+DB+BC=AC-BD. → → → → → → → → (AB+DC)· (AC+BD)=(AC-BD)· (AC+BD)
→ |2-|BD → |2=9-4=5. =|AC

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3

4

5

4.已知向量 p=(2sin x, 3cos x),q=(-sin x,2sin x),函数 f(x) =p· q. (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 f(C) =1,c=1,ab=2 3,且 a>b,求 a,b 的值.

解 (1)f(x)=-2sin2x+2 3sin xcos x=-1+cos 2x+2 3sin xcos x π = 3sin 2x+cos 2x-1=2sin(2x+ )-1. 6 π π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k?Z, 2 6 2 π π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k?Z, 3 6 ? π π? ∴f(x)的单调增区间是?kπ-3,kπ+6?(k?Z). ? ?

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3

4

5

4.已知向量 p=(2sin x, 3cos x),q=(-sin x,2sin x),函数 f(x) =p· q. (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 f(C) =1,c=1,ab=2 3,且 a>b,求 a,b 的值. π (2)∵f(C)=2sin(2C+ )-1=1, 6 π ∴sin(2C+ )=1, 6 π π π ∵C 是三角形的内角,∴2C+ = ,即 C= . 6 2 6
a2+b2-c2 3 ∴cos C= 2ab = 2 ,即 a2+b2=7.

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3

4

5

4.已知向量 p=(2sin x, 3cos x),q=(-sin x,2sin x),函数 f(x) =p· q. (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 f(C) =1,c=1,ab=2 3,且 a>b,求 a,b 的值.
12 将 ab=2 3代入可得 a + 2 =7,解得 a2=3 或 4. a
2

∴a= 3或 2,∴b=2 或 3.
∵a>b,∴a=2,b= 3.

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3

4

5

5.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量 a=(-1,2), π 又点 A(8,0),B(n,t),C(ksin θ,t)(0≤θ≤ ). 2 → ⊥a,且|AB → |= 5|OA → |,求向量OB →; (1)若AB → 与向量 a 共线, (2)若向量AC 当 k>4, 且 tsin θ 取最大值 4 时, →· →. 求OA OC

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3

4

5



→ =(n-8,t), (1)由题设知AB

→ ⊥a,∴8-n+2t=0. ∵AB
→ |=|AB → |, 又∵ 5|OA ∴5×64=(n-8)2+t2=5t2,得 t=± 8. 当 t=8 时,n=24;t=-8 时,n=-8,
→ =(24,8),或OB → =(-8,-8). ∴OB

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3

4

5

→ =(ksin θ-8,t), (2)由题设知AC → 与 a 共线,∴t=-2ksin θ+16, ∵AC
4 2 32 tsin θ=(-2ksin θ+16)sin θ=-2k(sin θ- ) + . k k 4 ∵k>4,∴1> >0, k 4 32 ∴当 sin θ= 时,tsin θ 取得最大值 . k k π → 32 此时 θ= ,OC=(4,8). 由 =4,得 k=8, 6 k

→· → =(8,0)· ∴OA OC (4,8)=32.


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