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2009年全国高中数学联合竞赛一试试题

时间:2012-02-20

2009 年全国高中数学联合竞赛一试试题 考试时间:10 月 11 日上午 8:00-9:20 涟源二中邓石鹏整理
一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 7 分,共 56 分。把答案填在横线上。 1、 若函数f ( x ) =

x 1+ x
2

, 且f (

n)

( x) =

99 f ? f ?L f ( x ) ? ? , 则f ( ) (1) = _______ . ?? ? ?

f (1) =
2、

1 1 1 1 2 3 99 ? ? , f ( ) (1) = f ? f (1) ? = , f ( ) (1) = f ? f ? f (1) ? ? = , ? f ( ) (1) = ? ? ?? 10 2 3 4

已知直线L:x+y-9=0和圆M:2x2 +2y 2 -8x-8y-1=0,点A在直线L上, B、C为圆M上两点,在?ABC中,∠BAC=450,AB过圆心M, 则点A横坐标范围为____。
数形结合可知AM ≤ 2r ? ( x ? 2 ) + ( y ? 2 ) ≤ 2 ×
2 2

17 ?3≤x≤6 2

3、

?y ≥ 0 ? 在坐标平面上有两个区域M和N,M为: y ≤ x ,N是随t变化的区域,它由 ? ?y ≤ 2 ? x ? 不等式t ≤ x ≤ t + 1所确定,t的取值范围是0 ≤ t ≤ 1, 设M和N的公共面积是函数 f ( t ),则f ( t )=______。 1 1 1 2 f ( t ) = 1 ? t 2 ? (1 ? t ) = ? t 2 + t.0 ≤ t ≤ 1 2 2 2
4、

1 1 1 1 + +L + < a ? 2007 对一切正整数n都成立的 n +1 n + 2 2n + 1 3 最小正整数a的值是____。

使不等式

Q

1 1 1 1 1 ? ? 1 + +L + ?? + +L + ? k +1 k + 2 2k + 1 ? k + 2 k + 3 2k + 3 ? 1 1 1 1 1 = ? ? = ? >0 k + 1 2k + 2 2k + 3 2k + 2 2k + 3 1 1 1 1 1 1 ? + +L + ↓? + < a ? 2007 ? a = 2009. n +1 n + 2 2n + 1 2 3 3

5、

1

x2 y 2 + = 1( a > b > 0 ) 上任意两点P,Q,若OP ⊥ OQ, 则乘积 OP ? OQ a 2 b2 的最小值为_______。 椭圆

分析: 设P ( a cos θ , b sin θ ) ? Q ( ? a sin θ , b cos θ ) ? OP ? OQ = a 2 cos 2 θ + b 2 sin 2 θ ? a 2 sin 2 θ + b 2 cos 2 θ =

(a

4

+ b 4 ) sin 2 θ cos 2 θ + a 2b 2 ( sin 4 θ + cos 4 θ )

= a 2b 2 + ( a 4 + b 4 ) sin 2 θ cos 2 θ ? 2a 2b 2 sin 2 θ cos 2 θ = a 2b 2 +
6、

1 2 2 2 2 ( a ? b ) sin 2θ ≥ ab 4

若方程lgkx=2lg ( x + 1) 仅有一个实根,那么k的取值范围是____。
?kx > 0 ? 分析:x > ?1 数形结合法由二次方程根的分布可知 ? ? x2 + 2 ? k x + 1 = 0 ( ) ? ? ?=k 2 ? 4k = 0 2 ? ? ??=k ? 4k > 0 ? k < 0, 或k > 4 ? k = 4, ( 2 ) ? 1) ? ( k ?2 > ?1 ?Q f ( 0 ) = 1 > 0,∴ f ( ?1) = k < 0 ?x = ? ? 2 综合知k ∈ ( ?∞, 0 ) U {4} .
7、一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数字之 和,最后一行仅有一个数,第一行是前 100 个正整数按从小到大排成的行,则最后一行的数 是____。

分析: 2   4   6   LL       1 3   5   7   99 100      5   9              3   7   11 L 197 199       12 16 20 L         8         392 396                    20 28 36 L 788 ?1 n = 1 a an ? 第n行的第一个数的是a n = ? ? n n 2 ? n ?1 = 1( n ≥ 2 ) ? n?2 2 2 3 ?2an ?1 + 2 a ? n n 2 = 3 + ( n ? 2 ) × 1 = ( n + 1) ? an = 2 n ? 2 ( n + 1) ( n ≥ 2 ) ? a100 = 101× 298. 2?
8、某车站每天 8 : 00 ? 9 : 00, 9 : 00 ? 10 : 00 都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的, 且两者到站的时间是相互独立的,其规律为 到站的时刻 8:10 9:10 8:30 9:30 8:50 9:50

2

概率

1 6

1 2

1 3

一旅客 8:20 到站,则它候车时间的数学期望为_______。 (精确到分) 分析: 10 ×

1 1 1 1 1 + 30 × + 50 × + 70 × + 90 × ≈ 27. 2 3 36 12 18

二、解答题:本大题共 3 小题,共 44 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1、 (本小题满分 14 分)

设直线l : y = kx + m (其中k , m为整数)与椭圆

x2 y 2 + = 1交于不同的两点A、B, 16 12

x2 y2 与双曲线 ? = 1交于不同的两点C、D,问是否存在直线l,使得向量 4 12 uuur uuu r r AC + BD = 0,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由。 uuur uuu r r 分析: + BD = 0的充要条件是AB与CD的中点重合。 AC

? x12 y12 ? 16 + 12 = 1 x ky ? 设A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , AB的中点为 ( x0 , y0 ),则 ? 2 ? 0 + 0 =0 2 4 3 ? x2 + y2 = 1 ? 16 12 ? ky 同理由双曲线的点差法知x0 ? 0 = 0,∴ x0 = 0, k = 0, 或y0 = 0, 3 (1)当k = 0时, ? m = 0, ±1, ±2, ±3,

( 2 )当y0 = 0时,由直线l与双曲线交于不同的两点 ? ?
综合知适合题意的直线有9条。
2、 (本大题满分 15 分)

3 < k < 3 ? k = ±1

已知p, q ( q ≠ 0 ) 是实数,方程x2 -px+q=0有两个实根α ,β ,数列{an } 满足a1 = p, a2 = p 2 ? q, an = pan ?1 ? qan ? 2 ( n = 3, 4,L) , (1) 求数列{an }的通项公式 ( 用α , β 表示 ), 1 , 求 {an }的前n项和。 4

( 2 ) 若p = 1, q =

3

分析: ) a1 = p = α + β , a2 = p 2 ? q = (α + β ) ? αβ = α 2 + αβ + β 2 (1
2

设 ( an ? xan ?1 ) = ( p ? x )( an ?1 ? xan ? 2 ) ? x2 -px+q=0 ? x=α 或β ? an ? α an ?1 = β ( an ?1 ? α an ? 2 ) , a2 ? α a1 = β 2 ≠ 0 ? an ? α an ?1 = β 2 ? β n ? 2 = β n an ? β an ?1 = α ( an ?1 ? β an ? 2 ) , a2 ? β a1 = α 2 ≠ 0 ? an ? β an ?1 = α 2 ? α n ? 2 = α n ∴ (α ? β ) an = α n +1 ? β n +1 , 1 当α ≠ β 时 ? an = 2 当α = β 时, ? an ? α an ?1 = α n ≠ 0, ? ?( n + 1) α n ? ∴ an = ( n + 1) α n ,∴ an = ?α n +1 ? β n +1 ? ? α ?β

α n +1 ? β n+1 , α ?β
n ?1

α α =β

an
n

?

α

an ?1

= 1,

α

a1

=2?

αn

an

= 2 + ( n ? 1) × 1 = n + 1

α≠β
n

,

1 1 ( 2 )当p = 1, q = 时, ? an = ( n + 1) ? ? , ? ? 4 ?2? 1 1 1 1 S n = 2 × + 3 × 2 + 4 × 3 + L + ( n + 1) n 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ∴ S n = 2 × 2 + 3 × 3 + 4 × 4 + L + ( n + 1) n +1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? S n = 1 + 2 + 3 + 4 + L + n ? ( n + 1) n +1 2 2 2 2 2 2 3 1 n +1 1 n +1 = ? n ? n +1 ∴ S n = 3 ? n ?1 ? n . 2 2 2 2 2
3、 (本大题满分 15 分)

求函数y= x + 27 + 13 ? x + x的最大和最小值。 分析:y= x + 27 + 13 ? x + x = 1× x + 27 + ≤ 1+ 1 1 × 39 ? 3 x + × 2x 3 2

1 1 + ? x + 27 + 39 ? 3 x + 2 x = 11,由柯西不等式得 2 3 1 1 当 x + 27 : 39 ? 3 x : 2 x = 1: : ? x = 9时,y取得最大值11。 3 2 ? 13 ? Q 设u = 13 ? x + x ≥ 0, u 2 = 13 + 2 ? x 2 + 13 x , 当x ∈ ?0, ? 时, u 2 ↑, ? 2? ?13 ? ? 13 ? x ∈ ? ,13? , u 2 ↓∴ x ∈ ?0, ? , y ↑, y ≥ 3 3 + 13, ?2 ? ? 2? ?13 ? 当x ∈ ? ,13? 时, 易知y = x + 27 + 13 ? x + x > 3 3 + 13 ?2 ? 综合知x ∈ [ 0,13],y ≥ 3 3 + 13,即当x=0时,y取最小值,且最小值为3 3 + 13

4


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