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高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系:第5节 平面与平面平行的判定与性质

时间:2017-05-02


第 5 节 平面与平面平行的判定与性质 【基础知识】 面面平行的判定与性质 判定 定义 图形 定理 性质

条件 结论

α ∩β =? α ∥β

a?β ,b?β ,a∩b=P, a∥α ,b∥α
α ∥β

α ∥β ,α ∩γ =a, β ∩γ =b

α ∥β ,a?β

a∥b

a∥α

【规律技巧】 证明两个平面平行的方法有: ①用定义,此类题目常用反证法来完成证明; ②用判定定理或推论(即“线线平行?面面平行”),通过线面平行来完成证明; ③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明; ④借助“传递性”来完成. 面面平行问题常转化为线面平行, 而线面平行又可转化为线线平行, 需要注意转化思想 的应用. 【典例讲解】 【例 1】 如图,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形,O 是底面中心,A1O ⊥底面 ABCD,AB=AA1= 2.

(1)证明:平面 A1BD∥平面 CD1B1; (2)求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积. 规律方法 证明两个平面平行的方法有:(1)用定义,此类题目常用反证法来完成证明; (2)用判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平 行;(3)根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明;(4)借助“传递性” 来完成:两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行;(5)利用“线线平行”、

“线面平行”、“面面平行”的相互转化. 【变式探究】 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,E,F,G,H 分别是 AB,AC,A1B1,A1C1 的中点,求证:

(1)B,C,H,G 四点共面; (2)平面 EFA1∥平面 BCHG.

【针对训练】 1、已知 m , n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,则下列命题正确的是( (A)若 ? , ? 垂直于同一平面,则 ? 与 ? 平行 (B)若 m , n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 (C)若 ? , ? 不平行,则在 ? 内不存在与 ? 平行的直线 (D)若 m , n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 【答案】D 【解析】由 A ,若 ? , ? 垂直于同一平面,则 ? , ? 可以相交、平行,故 A 不正确;由 B , 若 m ,n 平行于同一平面, 则 m ,n 可以平行、 重合、 相交、 异面,故 B 不正确;由 C , 若 ? , ? 不平行,但 ? 平面内会存在平行于 ? 的直线,如 ? 平面中平行于 ? , ? 交线 的直线;由 D 项,其逆否命题为“若 m 与 n 垂直于同一平面,则 m , n 平行”是真命 题,故 D 项正确.所以选 D. 2、设 ? , ? 是两个不同的平面, m 是直线且 m ? ? .“ m ∥ ? ”是“ ? ∥ ? ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 【答案】B 3、下列命题中正确的个数是( ) ①若直线 a 不在 α 内,则 a∥α ; ②若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内,则 l∥α ; ③若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与 α 内的任意一条直线都平行; ④若 l 与平面 α 平行,则 l 与 α 内任何一条直线都没有公共点; ⑤平行于同一平面的两直线可以相交. A.1 B.2 C.3 D.4 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) )

【答案】B

4、已知 m、n 是两条直线,α 、β 是两个平面,给出下列命题:①若 n⊥α ,n⊥β ,则 α ∥β ;②若平面 α 上有不共线的三点到平面 β 的距离相等,则 α ∥β ;③若 n、m 为异面 直线,n?α ,n∥β ,m?β ,m∥α ,则 α ∥β .其中正确命题的个数是( A.3 个 C.1 个 [答案] B [解析] 垂直于同一直线的两个平面平行,故①正确;对于②,若平面 α 上的三点在平面 β 的异侧,则它们相交,故②错;根据线面平行的性质定理和面面平行的判定定理,可知 ③正确. 5、如图所示,斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 D,D1 分别为 AC,A1C1 上的点.(1)当 值时,BC1∥平面 AB1D1? (2)若平面 BC1D∥平面 AB1D1,求 的值. B. 2 个 D. 0 个 )

A1D1 等于何 D1C1

AD DC

6、设 m,n 是平面 α 内的两条不同直线;l1,l2 是平面 β 内的两条相交直线,则 α ∥β 的 一个充分而不必要条件是( A.m∥β 且 l1∥α C.m∥β 且 n∥β 【答案】B 7、设 ? 表示直线 ? , ? , ? 表示不同的平面,则下列命题中正确的是( ) ). B.m∥l1 且 n∥l2 D.m∥β 且 n∥l2

A.若 a ? ? 且 a ? b ,则 b / /? C.若 a / /? 且 a / / ? ,则 ? / / ? 【答案】D

B.若 ? ? ? 且 ? ? ? ,则 ? / / ? D.若 ? / /? 且 ? / / ? ,则 ? / / ?

【解析】 A: 应该是 b / /? 或 b ? ? ; B: 如果是墙角的三个面就不符合题意; C:? ? ? ? m , 若 a / / m 时,满足 a / /? , a / / ? ,但是 ? / / ? 不正确,所以选 D. 8、若 ? , ? 是两个相交平面,则“点 A 不在 ? 内,也不在 ? 内”是“过点 A 有且只有一条 直线与 ? 和 ? 都平行”的( A.充分不必要 【答案】C )条件 C.充要 D.既不充分也不必要

B.必要不充分

9、已知平面 α ∥β ∥γ ,两条直线 l,m 分别与平面 α ,β ,γ 相交于 A,B,C 与 D,E,

F,已知 AB=6,DE:DF=2:5,则 AC=________.
【答案】15 【解析】由平行平面的性质定理,知

AB DE AD∥BE∥CF,∴ = . AC DF DF 5 ∴AC= ×AB= ×6=15. DE 2
10、如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥底面 ABC,AB⊥AC,AC=AA1,E,F 分别是棱 BC,

CC1 的中点.

(1)求证:AB⊥平面 AA1C1C; (2)若线段 AC 上的点 D 满足平面 DEF∥平面 ABC1,试确定点 D 的位置,并说明理由; (3)证明:EF⊥A1C.

【练习巩固】

1、设 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 α ⊥β ,m?α ,n?β ,则 m⊥n B.若 α ∥β ,m?α ,n?β , ,则 m∥n C.若 m⊥n,m?α ,n?β ,则 α ⊥β D.若 m⊥α ,m∥n,n∥β ,则 α ⊥β )

)

2、设 m,n 表示不同直线,α ,β 表示不同平面,则下列结论中正确的是( A.若 m∥α ,m∥n,则 n∥α B.若 m?α ,n?β ,m∥β ,n∥α ,则 α ∥β C.若 α ∥β ,m∥α ,m∥n,则 n∥β D.若 α ∥β ,m∥α ,n∥m,n?β ,则 n∥β

规律方法 线面平行、面面平行的命题真假判断多以小题出现,处理方法是数形结合,画图 或结合正方体等有关模型来解题. 3、若直线 a⊥b,且直线 a∥平面 α ,则直线 b 与平面 α 的位置关系是( A.b?α B.b∥α D.b 与 α 相交或 b?α 或 b∥α )

C.b?α 或 b∥α

4、给出下列关于互不相同的直线 l,m,n 和平面 α ,β ,γ 的三个命题: ①若 l 与 m 为异面直线,l?α ,m?β ,则 α ∥β ; ②若 α ∥β ,l?α ,m?β ,则 l∥m; ③若 α ∩β =l,β ∩γ =m,γ ∩α =n,l∥γ ,则 m∥n. 其中真命题的个数为( )

A.3 B.2 C.1 D.0 答案 (1)D (2)C 5.设 α,β ,γ 是三个平面,a,b 是两条不同直线,有下列三个条件:①a∥γ ,b? β ;②a∥γ,b∥β ;③b∥β ,a?γ .如果命题“α∩β=a,b?γ ,且________,则 a∥b”为 真命题,则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的序号填上). 6.如图,在正四棱柱 A1C 中,E,F,G,H 分别是棱 CC1,C1D1,D1D,DC 的中点,N 是 BC 的中点,点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动,则 M 满足条件________时,有 MN∥平 面 B1BDD1(请填上你认为正确的一个条件).

解析 如图,连接 FH,HN,FN,

由题意知 HN∥面 B1BDD1, FH∥面 B1BDD1. 且 HN∩FH=H, ∴面 NHF∥面 B1BDD1. ∴当 M 在线段 HF 上运动时, 有 MN∥面 B1BDD1. 答案 M∈线段 HF 7.如图,ABCD 与 ADEF 为平行四边形,M,N,G 分别是 AB,AD,EF 的中点.

求证:(1)BE∥平面 DMF; (2)平面 BDE∥平面 MNG.


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