nbhkdz.com冰点文库

高中数学联赛模拟试题7

时间:2012-07-25


金太阳新课标资源网

wx.jtyjy.com

高中数学联赛模拟试题 7
一、填空题(本题满分 60 分,前 4 小题每小题 7 分,后 4 小题每小题 8 分) 1. 设 a 1 , a 2 , ? , a 1 0 ? (1, ? ? ) ,则
lo g a
2009
1

? lo g a

2009
2

? ? ? lo g a

2009
10

lo g a a
1

2009
2 ? a1 0

的最小值是



2. 已知 x , y ? N * ,且 1 ? 2 ? ? ? y ? 1 ? 9 ? 9 ? ? ? 9 析式是 y ? 。
2
2

x ?1

,则将 y 表示成 x 的函数,其解 。 。 。

3. 已知函数 f ( x ) ? | x ? 2 | ,若 f ( a ) ? f ( b ) ,且 0 ? a ? b ,则 a b 的取值范围是 4. 满足方程 lo g 2 [ 2 c o s ( x y ) ?
2

1 2 cos ( xy )
2

]? ?y ? y?
2

3 4

的所有实数对 ( x , y ) ?
2

5. 若 [ a ] 表示不超过实数 a 的最大整数,则方程 [tan x ] ? 2 sin x 的解是
2x x? x 2 x

? 4?2 6. 不等式 2 ? 3 ? 2 的解集是 。 7. 设 A 是由不超过 2 0 0 9 的所有正整数构成的集合,即 A ? {1, 2, ? , 2 0 0 9} ,集合 L ? A ,

且 L 中任意两个不同元素之差都不等于 4 ,则集合 L 元素个数的最大可能值 是 。 8. 给出一个凸 1 0 边形及其所有对角线, 在以该凸 1 0 边形的顶点及所有对角线的交点为顶点 的三角形中,至少有两个顶点是该凸 1 0 边形顶点的三角形有 个。 二、解答题 9.(本题满分 14 分)设函数 f ( x ) 定义于闭区间 [0 ,1] ,满足 f (0 ) ? 0 , f (1) ? 1 ,且对任意
x , y ? [0,1], x ? y ,都有 f (

x? y 2

) ? (1 ? a ) f ( x ) ? a f ( y ) ,其中常数 a 满足 0 ? a ? 1 ,
2 2

求 a 的值。

10. (本题满分 14 分)如图, A 是双曲线

x

2

? y ? 1 的右顶点,过点 A 的两条互相垂直的
2

4

直线分别与双曲线的右支交于点 M , N , 问直线 M N 是否一定过 x 轴上一定点?如果不存在 这样的定点,请说明理由;如果存在这样的定点 P 试求出这个定点 P 的坐标。
y

M O A N

x

第 1 页 共 4 页

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网

wx.jtyjy.com

11. (本题满分 16 分)设 A , B 是集合 { a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 } 的两个不同子集,使得 A 不是 B 的 子集, B 也不是 A 的子集,求不同的有序集合对 ( A , B ) 的组数。

12. (本题满分 16 分)设正整数构成的数列 { a n } 使得 a 1 0 k ? 9 ? a1 0 k ? 8 ? ? ? a1 0 k ? 1 9 对一切
j

k ? N * 恒成立。记该数列若干连续项的和

?
p ? i ?1

a p 为 S ( i , j ) ,其中 i , j ? N * ,且 i ? j 。求

证:所有 S ( i , j ) 构成的集合等于 N * 。

第 2 页 共 4 页

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网

wx.jtyjy.com

海南省洋浦中学 2009 年高中数学联赛模拟试题 7 答案
一、 1、 1 0 0 ; 2、
3 ?1
x

; 3、 ( 0 , 2 ) ;
?
4 (k , l ? Z ) ;

( 4、 k ? +

?

2

1 , ) (k ? Z ) 2 2

5、 x ? k ? 或 x ? l ? ?

6、 [ 0 , 4 ] ;

7、 1 0 0 5 ; 8、 9 6 0 。
0? 1

二、9、解:因为 f ( ) ? f (
2

1

0 ?1

)? a , f( )? f( 4 2
2

1

2 ) ? a2 f (1) ? a2 2 2

?1 3 1 2 2 2 4 f( )? f(2 ) ? (1 ? a ) f ( ) ? a f (1) ? 2 a ? a 4 2 2 1 1 所以 f ( ) ? f ( 4 2
2 6

1

?

3

4 ) ? (1 ? a 2 ) f ( 1 ) ? a 2 f ( 3 ) ? ? 2 a 6 ? 3 a 4 2 4 4
4

8分 14 分

由此得 a ? ? 2 a ? 3 a ,而 0 ? a ? 1 ,所以 a ?

2 2

10、解法一: A ( 2 , 0 ) ,将 y 轴向右平移 2 个单位,使点 A 成为新直角坐标系的原点, 在新坐标系下,双曲线的方程为
( x '? 2 ) 4
2

? y ? 1 ,即 4 y ? x ' ? 4 x ' ? 0
2
2 2

(*)
4 3 4 3 )。

若 M N ? x 轴, k A M ? 1 , l A M : y ? x ' , (*) 则 即 代入 式可得 M ( , ) , 进而 N ( , ?
3 3

4 4

所以 P ( , 0 ) ,则点 P 在原坐标系中的坐标为 (
3

4

10 3

, 0) 。 y ? kx ' t y x' ) ? 4(
2

5分
?1, y x' ) ? 4k ? t ? 0

若 M N 不垂直 x 轴,设 l M N : y ? kx '? t ( t ? 0 ) ,则 于是(*)可以改写成 4 y ? x ' ? 4 x '?
2 2

y ? kx ' t

? 0 ,即 4 t (

该方程的两个根 k 1 , k 2 既是 A M , A N 的斜率。 因为 A M ? A N ,所以 k 1 k 2 ? 所以 t ? ?
4 3 4k ? t 4t 4 3 k ? k ( x '? 4 3 10 3 10 3 , 0) 1 2 , k ? ?2) , 0) 。 ) ? ?1 ,

10 分

k ,故 l M N : y ? k x ' ? 4 3

所以过定点 P ( , 0 ) ,则点 P 在原坐标系中的坐标为 ( 综上所述,直线 M N 过 x 轴上的定点 P (

14 分

解法二:设直线 A M 的斜率为 k ( k ? 0 , k ? ? 由?
?x ? 4y ? 4
2 2

? y ? k ( x ? 2)

? M (

8k ? 2
2 2

4k ? 1 4k ? 1
2

,

4k

) ,同理得 N (

2k ? 8
2

4?k

2

,

?4k 4?k
2

)

第 3 页 共 4 页

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网
当 k ? ? 1 时, x M ? x N ? 当 k ? ? 1, k ? 2 , k ? ?
1 2 10 3

wx.jtyjy.com
10 3 10 3 10 3 , 0) ) , 0)

,所以过 (

8分 10 分

时,由直线 M N 的方程得, y ? k '( x ?

所以,直线 M N 过 x 轴上的定点 P (

14 分
5 5

11、解:集合 { a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 } 有 2 个子集,不同的有序集合对 ( A , B ) 有 2 ( 2 ? 1) 组。
5

2分 若 A ? B ,并设 B 中含有 k (1 ? k ? 5) 个元素,则满足 A ? B 的有序集合对 ( A , B ) 有

?
k ?1

5

C 5 ( 2 ? 1) ?
k k

?
k ?0

5

C5 2 ?
k k

?C
k ?0

5

k 5

? 3 ?2 组
5 5
5 5

8分 10 分
5 5

同理,满足 B ? A 的有序集合对 ( A , B ) 也有 3 ? 2 组。
5 5

所以,满足条件的有序集合对 ( A , B ) 的组数为 2 ( 2 ? 1) ? 2 (3 ? 2 ) ? 5 7 0 组。 16 分 12、证明:显然 S ( i , j ) ? N * 下证对任意 n 0 ? N * ,存在 S ( i , j ) ? n 0 用 S n 表示数列 { a n } 的前 n 项和,考虑 1 0 n 0 ? 1 0 个前 n 项和:
S1 ? S 2 ? ? ? S10 n
0

2分

?1 0

(1)
0

由题设 S 1 0 n

0

?1 0

? ( a1 ? a 2 ? ? ? a1 0 ) ? ( a1 1 ? ? ? a 2 0 ) ? ? ? ( a1 0 n ? n0

?1

? ? ? a1 0 n

0

?1 0

)

6分

另外,再考虑如下 1 0 n 0 ? 1 0 个正整数:
S1 ? n0 ? S 2 ? n0 ? ? ? S10 n
0

?1 0

(2) 10 分

显然

S1

00? n

1 0

? n ?2 0 n ? 1 9 0 0

这样(1),(2)中出现 2 0 n 0 ? 2 0 个正整数,都不超过 2 0 n 0 ? 1 9 , 由抽屉原理,必有两个相等。由于(1)式中各数两两不相等,(2)式中各数也两两不等, 故存在 i , j ? N * ,使得 S j ? S i ? n 0 ,即 j ? i ,且 n 0 ? S j ? S i ? S ( i , j ) 所以,所有 S ( i , j ) 构成的集合等于 N * 。 16 分

第 4 页 共 4 页

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com


赞助商链接

2017年数学竞赛模拟试卷(5)

2017年数学竞赛模拟试卷(5)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2017 年数学竞赛模拟试卷(5)一、填空题(每小题 7 分,共 5 6 分) 2 姓名___ . 1 、若 y ?...

2013年全国高中数学联赛一试模拟卷(共7套)附详细解答

2013年全国高中数学联赛一试模拟卷(共7套)附详细解答_数学_高中教育_教育专区。2013 年全国高中数学联赛模拟卷(1)第一试 (考试时间:80 分钟 满分:120 分) ...

2012年全国高中数学联赛模拟卷(7)

2012年全国高中数学联赛模拟卷(7) - 2012 年全国高中数学联赛模拟卷(7)第一试 (考试时间:80 分钟 满分:120 分) 一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8...

2015年全国各地数学竞赛预赛卷 (7)

2015年全国各地数学竞赛预赛卷 (7)_数学_高中教育_教育专区。2015 年全国高中数学联赛湖南省预赛一、选择题:本大题共 5 小题,每小题 6 分,共 30 分,在每...

2011年全国高中数学联赛模拟卷(7)

2011 年全国高中数学联赛模拟卷(7)第一试 (考试时间:80 分钟 满分:120 分) 姓名:___考试号:___得分:___ 一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分...

2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答

2016 年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答 2016 年 6 月 5 日上午 8 : 30 ? ?11: 00 一、填空题(每小题 7 分,共 56 分) 1 、若 y ? log ...

2012 No.7 全国高中数学联合竞赛模拟试题_图文

2012 No.7 全国高中数学联合竞赛模拟试题 - 全国高中数学联赛模拟试题( 全国高中数学联赛模拟试题(7) 一、 填空题 1、设 x1、x2 是实系数一元二次方程 ax2...

2015年浙江省数学竞赛模拟卷七

2015 年浙江省高中数学竞赛模拟卷七一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1、设 f(x)=x3-3x2+6x,若 f(a)=7,f(b)=1,则 a+b 的值为 (A)-2 (...

2011年全国高中数学联赛模拟卷(7)(一试+二试,附详细解答)

2011 年全国高中数学联赛模拟卷(7)第一试 年全国高中数学联赛模拟 模拟卷 第一试 (考试时间:80 分钟 考试时间: 考试时间 满分: 满分:120 分) 姓名: 考试号...

1978年全国高中数学联赛试题及解答

1​9​7​8​年​全​国​高​中​数​学​联​赛​...1978 年全国高中数学竞赛题一试题 1 1.已知 y=log 1 ,问当 x 为何值时,...